新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第5章　§5.4　平面向量的綜合應(yīng)用培優(yōu)課（原卷版）

§5.4平面向量的綜合應(yīng)用題型一平面向量在幾何中的應(yīng)用例1(1)如圖，在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(1,4)，點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝3DC，AD＝eq\f(\r(15),2)，則△ABC的面積的最大值為_(kāi)_______．(2)在△ABC中，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中點(diǎn)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，試用a，b表示eq\o(DE,\s\up6(→))為_(kāi)_______，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，則∠ACB的最大值為_(kāi)_______．思維升華用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟平面幾何問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(設(shè)向量))向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(計(jì)算))解決向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(還原))解決幾何問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1(1)在△ABC中，已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，則△ABC為()A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三邊均不相等的三角形(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D點(diǎn)滿足eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，AD＝eq\r(37)，則BC的長(zhǎng)為()A．3eq\r(7)B．3eq\r(6)C．3eq\r(3)D．6題型二和向量有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題命題點(diǎn)1與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例2如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為()A．3B．3eq\r(2)C．1D.eq\f(1,3)命題點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例3已知在邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，M，N分別為邊BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且CN＝BM，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(MN,\s\up6(→))的最大值為_(kāi)_______．命題點(diǎn)3與模有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例4已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1] B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)]C．[eq\r(2)，eq\r(2)＋1] D．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍)．(2)利用基本不等式求最值(范圍)．(3)建立坐標(biāo)系，設(shè)變量構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)．(4)數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求最值．跟蹤訓(xùn)練2(1)已知平行四邊形ABCD的面積為9eq\r(3)，∠BAD＝eq\f(2π,3)，E為線段BC的中點(diǎn)．若F為線段DE上的一點(diǎn)，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(5,6)eq\o(AD,\s\up6(→))，則|eq\o(AF,\s\up6(→))|的最小值為()A.eq\r(11)B．3C.eq\r(7)D.eq\r(5)(2)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2，△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足|eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，則|eq\o(AP,\s\up6(→))|的最小值為()A.eq\r(3)－1B．2eq\r(2)－1C．2eq\r(3)－1D.eq\r(7)－1(3)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－5,3] B．[－3,5]C．[－6,4] D．[－4,6]課時(shí)精練1．四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，則這個(gè)四邊形是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形2．(多選)如圖，點(diǎn)A，B在圓C上，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值()A．與圓C的半徑有關(guān)B．與圓C的半徑無(wú)關(guān)C．與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)D．與點(diǎn)A，B的位置有關(guān)3.如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值為()A．8B．9C．12D．164．在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，G為△ABC的重心，若eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6，則△ABC外接圓的半徑為()A.eq\r(3)B.eq\f(4\r(3),3)C．2D．2eq\r(3)5．在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AB⊥AD，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值是()A．－eq\f(5,8)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,8)D．－eq\f(1,4)6．設(shè)向量a，b，c滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c·(a＋b－c)＝0，則|c|的最大值等于()A．1B．2C．1＋eq\f(\r(5),2)D.eq\r(5)7．(多選)已知點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有()A．若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的重心B．若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)－\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)－\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的垂心C．若(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的外心D．若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心8．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，每逢新春佳節(jié)，我國(guó)許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習(xí)俗，以此達(dá)到裝點(diǎn)環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖①是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖②中正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓的直徑，則eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[1,2] B．[2,3]C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))9．已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為_(kāi)_______．10．已知P是邊長(zhǎng)為4的正△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq