高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)

學(xué)

知

識(shí)

點(diǎn)

總

結(jié)

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念及基本初等函數(shù)（指、對(duì)、嘉函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3:算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面對(duì)量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個(gè)中學(xué)學(xué)生所必需學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了中學(xué)階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)問和基本技能的主要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、

不等式、解三角形、立體幾何初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)

調(diào)了這些學(xué)問的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧及難度上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個(gè)系列：

系列1：由2個(gè)模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線及方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理及證明、數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個(gè)模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語(yǔ)、圓錐曲線及方程、

空間向量及立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理及證明、數(shù)系的擴(kuò)充及復(fù)數(shù)

選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

系列3：由6個(gè)專題組成。

選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2：信息平安及密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對(duì)稱及群。

選修3—5：歐拉公式及閉曲面分類。

選修3—6：三等分角及數(shù)域擴(kuò)充。

系列4：由10個(gè)專題組成。

選修4一1：幾何證明選講。

選修4一2：矩陣及變換。

選修4—3：數(shù)列及差分。

選修4—4：坐標(biāo)系及參數(shù)方程。

選修4一5：不等式選講。

選修4—6：初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法及試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。

選修4一8：統(tǒng)籌法及圖論初步。

選修4一9：風(fēng)險(xiǎn)及決策。

選修4一10：開關(guān)電路及布爾代數(shù)。

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面對(duì)量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合及簡(jiǎn)易邏輯：集合的概念及運(yùn)算、簡(jiǎn)易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射及函數(shù)、函數(shù)解析式及定義域、值域及最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)及指數(shù)

函數(shù)、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的應(yīng)用

（4）三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系及誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、求值、化簡(jiǎn)、證明、三角函數(shù)的

圖象及性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面對(duì)量：有關(guān)概念及初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念及性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、肯定值不等式、不等式的應(yīng)用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線及圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線及圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用

⑼直線、平面、簡(jiǎn)潔幾何體：空間直線、直線及平面、平面及平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

⑩排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

?概率及統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

?導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

?復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算

中學(xué)數(shù)學(xué)必修1學(xué)問點(diǎn)

第一章集合及函數(shù)概念

K1.12集合

[1.1.1]集合的含義及表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.

(2)常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N*或M表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，A表示實(shí)數(shù)集.

(3)集合及元素間的關(guān)系

對(duì)象a及集合”的關(guān)系是aeM,或者兩者必居其一.

(4)集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合.

③描述法：｛xx具有的性質(zhì)｝,其中x為集合的代表元素.

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.

(5)集合的分類

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無限個(gè)元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集

(0).

[1.1.2)集合間的基本關(guān)系

(6)子集、真子集、集合相等

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

A^B(DACA

(或A中的任一元素都(2)0QA

子集或

屬于B(3)若A=3且8=C,則A=C

(4)若A=5且BQA,則A=B

4a且B中至(1)0uA(A為非空子集)

AuB

真子集*少有一元素不屬于

(2)若AuB且3uC,則AuC

(或A*工*

BnA)

A中的任一元素都

集合(DACB

A=B屬于B,B中的任

相等(2)BcA

一元素都屬于A

（7）已知集合A有〃（"21）個(gè)元素，則它有2"個(gè)子集，它有2"-1個(gè)真子集，它有2"-1個(gè)非空子集，它有2"-2非空

真子集.

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號(hào)意義性質(zhì)示意圖

(1)AA=A

[x\xeA,且

Af|B(2)A0=0

交集

(3)4BeA

xeB]

AByBGD

(1)AA=A

{X|XG4,或

A|JB(2)A0=A

并集

(3)ABoA

XGB}

AB2BC?

1A@A)=0*

{x\xeA]旗A8)=(")”8)

補(bǔ)集

賴A8)=(“A)(”)2A(QX)=U)④

【補(bǔ)充學(xué)問】含肯定值的不等式及一元二次不等式的解法

（1）含肯定值的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0)[x\-a<x<a]

|x|>a(a>0)x\x<-a^Lx>a}

把ox+〃看成一個(gè)整體，化成|x|＜。，

Iax+b\<c,\ax+b\>c(c>0)

|x|＞。（。＞0）型不等式來求解

（2）一元二次不等式的解法

判別式

A>0A=0A<0

△=〃-4ac

y

二次函數(shù)Ij

y=ax2+bx+c(a>0)

0*口

的圖象

一元二次方程

ax2+bx+c-0（?＞0）（其中為＜z）無實(shí)根

的根

1

ax+bx+c>0(a>0){x\x<x1或XAxJ{x|R

的解集

ax2+0x+c＜0（。＞0）

{x|Xj<x<x2}00

的解集

K1.23函數(shù)及其表示

[1.2.1]函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)A、3是兩個(gè)非空的數(shù)集，假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確

定的數(shù),f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,B以及A到8的對(duì)應(yīng)法則/)叫做集合A到B的一個(gè)函

數(shù)，記作

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù).

(2)區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)。是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且。＜。，滿意人的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做必,切；滿意。＜》＜匕的實(shí)數(shù)x

的集合叫做開區(qū)間，記做(a,。)；滿意或的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做年功)，

(〃,加；滿意x2a,x＞a,xW匕,x＜匕的實(shí)數(shù)x的集合分別記做[a,+oo),(a,+oo),(-oo,.

留意：對(duì)于集合｛x[a＜x＜。｝及區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于"，而后者必需

。＜》，(前者可以不成立，為空集；而后者必需成立).

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①/(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②/(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③/(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1.

⑤y=tanx中，.

⑥零(負(fù))指數(shù)基的底數(shù)不能為零.

⑦若/(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交

集.

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知/(x)的定義域?yàn)楸?切，其復(fù)合函數(shù)/[g(x)]的定義域應(yīng)由不

等式a4g(x)4Z?解出.

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，依據(jù)問題詳細(xì)狀況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類探討.

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事實(shí)上，假如在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)數(shù),

這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值及值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域

及最值的常用方法：

①視察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)潔的函數(shù)，我們可以通過視察干脆得到值域或最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式及常數(shù)的和，然后依據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值.

③判別式法：若函數(shù)y=f(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有)，的關(guān)于x的二次方程a(y)x2+伙y)x+c(y)=O,則在

a(y)/O時(shí)，由于為實(shí)數(shù)，故必需有△=4a(y)-c(y)?O,從而確定函數(shù)的值域或最值.

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最

值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域及值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.21函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)

系.圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)4、8是兩個(gè)集合，假如依據(jù)某種對(duì)應(yīng)法則/,對(duì)于集合A中任何一個(gè)元素，在集合8中都有唯一的元素和

它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)(包括集合A,8以及A到8的對(duì)應(yīng)法則f)叫做集合A到B的映射，記作了:A,3.

②給定一個(gè)集合A到集合3的映射，且aeAAwB.假如元素a和元素匕對(duì)應(yīng)，那么我們把元素匕叫做元素”的

象，元素”叫做元素6的原象.

K1.33函數(shù)的基本性質(zhì)

[1.3.1]單調(diào)性及最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

假如對(duì)于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的隨意兩個(gè)二)(2)利用已知函數(shù)

自變量的值X|、X2,當(dāng)之、的單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象

X2時(shí)，都有f(X[)<f(X2),f(Xj

(在某個(gè)區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)

01~xTx一x象上升為增)

間上是增圖數(shù)A2A

函數(shù)的(4)利用復(fù)合函數(shù)

單調(diào)性假如對(duì)于屬于定義域I內(nèi)(1)利用定義

某個(gè)區(qū)間上的隨意兩個(gè)yy=f(X)(2)利用已知函數(shù)

自變量的值Xi、X2,當(dāng)X1<f(x?的單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象

X2時(shí)，都有f(X1)>f(x2),

(在某個(gè)區(qū)間圖

那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)

0Xix,X象下降為減)

間上是誠(chéng)酉教.

(4)利用復(fù)合函數(shù)

②在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個(gè)減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個(gè)減函數(shù)為增函數(shù)，減函

數(shù)減去一個(gè)增函數(shù)為減函數(shù).

③對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=/Tg(x)],令〃=g(x),若y=為增，“=g(x)為增，則y=/Tg(x)]為增；若y=/(〃)

為減，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為增；若y=/(u)為增，“=g(x)為減，則y=/[g(x)]為減；若y=/(〃)

為減，〃=g(x)為增，則y=/[g(x)]為減.

(2)打“J”函數(shù)的圖象及性質(zhì)

y

/(x)分別在［6,8。)上為增函數(shù)，分別在

［—6,0)、(0,6］上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,假如存在實(shí)數(shù)Mf滿

X

意：(1)對(duì)于隨意的xe/,都有

(2)存在/e/,使得/(x0)=M.那么，我們稱M是函數(shù)

/(x)的最大值，記作_4空。)=".

②一般地，設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,假如存在實(shí)數(shù)機(jī)滿意：(1)對(duì)于隨意的xe/,都有/(x)Nm；(2)

存在x(,e/,使得/(與)=m.那么，我們稱機(jī)是函數(shù)f(x)的最小值，記作7max(x)=m-

［1.3.2］奇偶性

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的

定義圖象判定方法

性質(zhì)

假如對(duì)于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)隨意一個(gè)X,都有(a,f(a))先推斷定義域是否

?一整?。?！g),那么函數(shù)rr.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

一a

f(x)叫做奇用數(shù).oax(2)利用圖象(圖

象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

(-a.f(-a))

函數(shù)的

奇偶性假如對(duì)于函數(shù)f(x)定義(1)利用定義(要

y

域內(nèi)隨意一個(gè)X,都有先推斷定義域是否

(-a,f(-a)).(a.f(a))

f(—x)=f(X)，那么函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)

f(x)叫做假發(fā)裝.(2)利用圖象(圖

-adax象關(guān)于y軸對(duì)稱)

②若函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則/(0)=0.

③奇函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱的區(qū)間增減性相反.

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函數(shù)(或奇函數(shù))，兩個(gè)偶函數(shù)(或奇函數(shù))的

積(或商)是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)及一個(gè)奇函數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

R補(bǔ)充學(xué)問】函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；

③探討函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)；④畫出函數(shù)的圖象.

利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要精確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖

象.

①平移變換

-"＞o,左移〃個(gè)單■位＞1，一f(x+h)v—f(x］—1＞。，上移"個(gè)單位〉丫_+Z

)v一八“松。,右移㈤個(gè)單位＞y-j(x+n)y-jw-o.卜?移出個(gè)單位＞y-jw+K

②伸縮變換

y=/(x)畸患〉y=/3)

0<4<1.縮?y=4/(x)

y=/(x)4>1,伸

③對(duì)稱變換

y=/(x)」Uy=-/(x)y=/(x)，軸>y=/(-x)

y=/(X)原點(diǎn)>y=y=/(x)直線尸|>y=

去掉y軸左邊圖象

y=f(x)俁由>軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱圖象?y=/(|x|)

彳呆留.飾hl二方圖象、?ft\?

>=f(x)將遒由下方圖象翻折上去‘y力八切

(2)識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、改變趨勢(shì)、對(duì)稱性等方面探討函數(shù)的定義域、值域、單

調(diào)性、奇偶性，留意圖象及函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.

(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為探討數(shù)量關(guān)系問題供應(yīng)了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)

果的重要工具.要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

其次章基本初等函數(shù)(I)

K2.12指數(shù)函數(shù)

(2.1.1]指數(shù)及指數(shù)新的運(yùn)算

(1)根式的概念

①假如x"=a,a€R,x€R,〃>l,且〃€乂，那么x叫做a的〃次方根.當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，。的〃次方根用符號(hào)

心表示；當(dāng)“是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的〃次方根用符號(hào)板表示，負(fù)的〃次方根用符號(hào)4表示；0的〃次方根

是0；負(fù)數(shù)。沒有〃次方根.

②式子標(biāo)叫做根式，這里〃叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為隨意實(shí)數(shù)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，?>0.

③根式的性質(zhì)：(標(biāo))"=a；當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，V7=a；當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，技=|。|=,".

[-a(a<0)

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的意義是：41=痂(4>0,m,〃€"+，且〃>1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕等于0.

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的意義是：/7=(L)；=N+，且”>1).0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕沒有

aVa

意義.留意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

①/?〃$=優(yōu)+'(。>0/,s￡R)②(優(yōu))s=a^(a>0,r,seR)

③(aby=arbr(a>0,/?>O,reR)

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(4)指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)

定義函數(shù))，=ax{a>0且a工1)叫做指數(shù)函數(shù)

JTv=wI\v=ay

a>10<?<1

圖象

定義域R

值域(0,+oo)

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x=0時(shí)，y=\.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

函數(shù)值的

改變狀況

。改變對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在其次象限內(nèi)，。越大圖象越低.

K2.23對(duì)數(shù)函數(shù)

【2.2.1】對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

①若，=N(a>0,且owl),則x叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記作x=log“N,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).

③對(duì)數(shù)式及指數(shù)式的互化：x=log,,N=優(yōu)=N(a>0,a片1,N>0).

(2)幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

b

logfll=0,logfla=l,\ogaa=b.

(3)常用對(duì)數(shù)及自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：IgN,即10gHlN；自然對(duì)數(shù)：數(shù)N,即log*(其中e=2.71828…).

(4)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)假如。>0,。*1,知>0,77>0,那么

M

①加法：log“M+log“N=log“(MV)②減法：logaM-log?N=log?—

③數(shù)乘：〃log“V=log“AT5eR)④-N=N

⑤log“M"=41og〃MSwO,z?eR)⑥換底公式：108“雙=獨(dú)23>(),且/,片1)

blogAa

[2.2.2]對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對(duì)數(shù)函數(shù)

函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)

名稱

定義函數(shù)y=log”x(a>0且。工1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

a>\0<〃<1

yn\;xl>J=iog?x\X=1

y；J=log.X

r

圖象

\：(1,0)

0|/：(1,0)x0

定義域(0,+oo)

值域R

過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x=l時(shí)，y=0.

奇偶性非奇非偶

單調(diào)性在(0,+8)上是增函數(shù)在(0,+CO)上是減函數(shù)

函數(shù)值的

改變狀況

a改變對(duì)圖象的影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=/(x)中解出X,得式子x=/(y).假如對(duì)于y在C中

的任何一個(gè)值，通過式子x=0(y),x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=°(y)表示x是y的函數(shù)，

函數(shù)尤=G(y)叫做函數(shù)y=/(x)的反函數(shù)，記作x=/T(y),習(xí)慣上改寫成y=/共口.

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式y(tǒng)=/(x)中反解出x=/T(y)；

③將x=r'(y)改寫成y=廣'(x),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

①原函數(shù)y=/(x)及反函數(shù)y=尸(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

②函數(shù)y=/(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=/7(x)的值域、定義域.

③若P(a,h)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則P'S,。)在反函數(shù)y=r'(幻的圖象上.

④一般地，函數(shù)y=/(x)要有反函數(shù)則它必需為單調(diào)函數(shù).

K2.32幕函數(shù)

(1)累函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=x"叫做幕函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).

（2）幕函數(shù)的圖象

（3）棄函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象.幕函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限（圖

象關(guān)于y軸對(duì)稱）；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第

一象限.

②過定點(diǎn)：全部的器函數(shù)在（0,+。。）都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)（1,1）.

③單調(diào)性：假如a>0,則箱函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在L0,+o。）上為增函數(shù).假如a<0,則基函數(shù)的圖象在（0,+8）

上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸及y軸.

④奇偶性：當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)（其中〃國(guó)互質(zhì)，p和geZ）,若

幺1

p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則y=x〃是奇函數(shù)，若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則y=x0是偶函數(shù)，若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則

1

y=X0是非奇非偶函數(shù).

⑤圖象特征：幕函數(shù)y=x",%e(0,+oo),當(dāng)a>l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x下方，若x〉l,其圖象在直

線y=x上方，當(dāng)a<l時(shí)，若0<x<l,其圖象在直線y=x上方，若龍〉1,其圖象在直線y=x下方.

K補(bǔ)充學(xué)問》二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式

①一般式：/(x)="2+法+c(a#0)②頂點(diǎn)式：.f(x)=a(x-/^)2+Z(a*0)③兩根式：

求二次函數(shù)解析式的方法

/(x)=a(x-xt)(x-x2)(a0)(2)

①己知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或及對(duì)稱軸有關(guān)或及最大(小)值有關(guān)時(shí)，常運(yùn)用頂點(diǎn)式.

③若已知拋物線及x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求/(x)更便利.

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)

①二次函數(shù)/(x)=ax1+bx+c(a豐0)的圖象是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

②當(dāng)。>0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)“<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在

上遞減，當(dāng)時(shí)，.

③二次函數(shù)/(x)-ax2+bx+c(a^0)當(dāng)△=/??-4ac>0時(shí)，圖象及x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

1?1

(4)一元二次方程內(nèi)2+云+。=0(。40)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分學(xué)問在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整,

且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根及系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，

系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布.

設(shè)一元二次方程or?+bx+c=0(ax0)的兩實(shí)根為％,毛，且為4W.令f(x)=ox?+bx+c,從以下四個(gè)方面來

分析此類問題：①開口方向：a②對(duì)稱軸位置：③判別式：△④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào).

②K\Wxz〈kO

⑤有且僅有一個(gè)根x,(或檢)滿意怎〈?(或檢)<feo/a,)/(fe)<0,并同時(shí)考慮了(h)=o或/(他)=o

這兩種狀況是否也符合

?ki<Xi<Xi<pzO

此結(jié)論可干脆由⑤推出.

(5)二次函數(shù)/(x)=a?+笈+c(“wO)在閉區(qū)間［p,q］上的最值

設(shè)/")在區(qū)間［",4］上的最大值為M,最小值為加，令.

(I)當(dāng)。>0時(shí)(開口向上)

①若，則機(jī)=/(p)②若，則③若，則m=/(q)

①若，則M=/(q)②，則”=/(p)

(H)當(dāng)a<0時(shí)(開口向下)

①若，則M=/(p)②若，則③若，則M=/(q)

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根及函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe￡>),把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x)(xe。)的零

點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)的圖象及x軸交點(diǎn)

的橫坐標(biāo)。即:

方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù))，=/(x)的圖象及x軸有交點(diǎn)o函數(shù))=/(x)有零點(diǎn).

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

求函數(shù))=/*)的零點(diǎn)：

①(代數(shù)法)求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根；

(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它及函數(shù)曠=/(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找

出零點(diǎn).

4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)y-ax~+bx+c(ah0).

1)A>0,方程"2+"+c=0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象及x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

2)A-0,方程a/+6x+c=0有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象及x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有

一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn).

3)A<0,方程ax2+6x+c=0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象及x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn).

中學(xué)數(shù)學(xué)必修2學(xué)問點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

A

底面

(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面相互平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所

圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱ABCDE-AAC力E'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱A?！?/p>

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面

是及底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐尸一AAC力E

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面及底面相像，其相像比等于頂點(diǎn)到截面距離及高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)「一A'8'C力E

幾何特征：①上下底面是相像的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線及軸平行；③軸及底面圓的半徑垂直；④側(cè)面綻開圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的兒何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面綻開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面綻開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓；②球面上隨意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下

2畫三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等

3直觀圖：斜二測(cè)畫法

4斜二測(cè)畫法的步驟：

(1).平行于坐標(biāo)軸的線依舊平行于坐標(biāo)軸；

(2).平行于y軸的線長(zhǎng)度變半，平行于x,z軸的線長(zhǎng)度不變；

(3).畫法要寫好。

5用斜二測(cè)畫法畫出長(zhǎng)方體的步驟：(1)畫軸(2)畫底面(3)畫側(cè)棱(4)成圖

1.3空間幾何體的表面積及體積

(-)空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積S=2m-/+2m,3圓錐的表面積S=mV+R'

4圓臺(tái)的表面積5=河/+成2+冰/+成25球的表面積S=4成?

(二)空間幾何體的體積

1柱體的體積^=5底乂力2錐體的體積

3臺(tái)體的體積3=g(S上+內(nèi)S卜+SQxJ4球體的體積

其次章直線及平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

1平面含義：平面是無限延展的

2平面的畫法及表示

(1)平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形，銳角畫成45°,且橫邊畫成鄰邊的2倍長(zhǎng)(如圖)

(2)平面通常用希臘字母a、6、丫等表示，如平面a、平面B等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者

相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。

3三個(gè)公理：

(1)公理1：假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，

符號(hào)表示為

AEL

BEL=>LCa

AEa

BEa

公理1作用：推斷直線是否在平面內(nèi)

(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面a,

使AWa、Bea、CWa。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

(3)公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

符號(hào)表示為：peanp=〉anB=L,且PGL

公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

2.1.2空間中直線及直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行。

符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a//b=>a//c

c〃b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這特性質(zhì)都適用。

公理4作用：推斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4留意點(diǎn)：

①a'及b’所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，及。的選擇無關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條

上；

②兩條異面直線所成的角()型(0,)；

③當(dāng)兩條異面直線所成的角層直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線相互垂直，記作a，b；

④兩條直線相互垂直，有共面垂直及異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.3-2.1.4空間中直線及平面、平面及平面之間的位置關(guān)系

1、直線及平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線及平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行一一沒有公共點(diǎn)

指出：直線及平面相交或平行的狀況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用a來表示

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1直線及平面平行的判定

1、直線及平面平行的判定定理：平面外一條直線及此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線及此平面平行。

簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行。

符號(hào)表示：

bC0｝二＞a〃Q

2.2.2平面及平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線及另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

，b一一。/符號(hào)表示：

/力二/C

ICB

b〃a」

2、推斷兩平面平行的方法有三種：

(1)用定義；

(2)判定定理；

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

2.2.3—2.2.4直線及平面、平面及平面平行的性質(zhì)

1,定理：一條直線及一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面及此平面的交線及該直線平行。

簡(jiǎn)記為：線面平行則線線平行。f------------------\

符號(hào)表示：?\

b

a〃Q]

au8?a〃b

anP=b-

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：假如兩個(gè)平面同時(shí)及第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

符號(hào)表示：

a〃B】

any=a卜a//b

BCY=b-

作用：可以由平面及平面平行得出直線及直線平行

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線及平面垂直的判定

1、定義

假如直線L及平面a內(nèi)的隨意一條直線都垂直，我們就說直線L及平面a相互垂直，記作L，a,直線L叫做平面

a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線及平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P