選擇性必修第二冊第四章 43等比數(shù)列

§4.3等比數(shù)列

4.3.1等比數(shù)列的概念

第1課時(shí)等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用.3.掌握等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式并了解其推導(dǎo)過程.4.靈活應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣形式及變形.

知識梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

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知識點(diǎn)一等比數(shù)列的概念

1.定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),

那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示0WO）.

2.遞推公式形式的定義：念=q（〃WN*且〃>1）（或誓=q,"WN*）

思考為什么等比數(shù)列的各項(xiàng)和公比q均不能為0?

答案由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不能為0,因此q也不能為0.

知識點(diǎn)二等比中項(xiàng)

如果在a與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,6成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，

此時(shí),G2=ab.

思考當(dāng)G2=a〃時(shí)，G一定是4，6的等比中項(xiàng)嗎？

答案不一定，如數(shù)列0,0,5就不是等比數(shù)列.

知識點(diǎn)三等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

若等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為0，公比為q,則如=維二1（〃GN*）.

知識點(diǎn)四等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣和變形

等比數(shù)列｛"”｝的公比為4,則

■,班③

其中當(dāng)②中〃?=1時(shí)，即化為①.

當(dāng)③中q>0且時(shí)，y=簧爐為指數(shù)型函數(shù).

q

?思考辨析判斷正誤*

1.數(shù)列1,—1,1,—1,…是等比數(shù)列.(V)

2.若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為常數(shù)，則該數(shù)列為等比數(shù)列.(X)

3.等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為零，但公比可以為零.(X)

4.常數(shù)列一定為等比數(shù)列.(X)

題型探究探究重點(diǎn)提升素養(yǎng)

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一、等比數(shù)列中的基本運(yùn)算

例1在等比數(shù)列｛小｝中：

(1)3=1,04=8,求斯；

(2)4”=625,n—^,q=5,求?；

(3)42+〃5=18,4+。6=9,an—\,求〃.

解(1)因?yàn)椤?=aq3,

所以8=爐，所以4=2,

所以a“=aq"r=2"-i.

__??_=625=￡.

(2)的—,一]—5廠1-5，

故0=5.

Cl5—Cl\Q~Vci\cf—18,①

(3)因?yàn)獒躍c

〃3+。6=〃間2+〃?5=9,②

由篇得夕=3'從而0=32.

又m=1,

所以32X(；＞r=1,

即26-，，=2。，故〃=6.

反思感悟等比數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及4個(gè)量0,an,n,q,只要知道其中任意三個(gè)就能求出

另外一個(gè)，在這四個(gè)量中，G和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問題便迎

刃而解.

跟蹤訓(xùn)練1在等比數(shù)列｛斯｝中：

(1)若它的前三項(xiàng)分別為5,-15,45,求g

(2)若的=2,07=8,求斯.

解(1)因?yàn)槎?=5,

4=—=—3,

?a\

所以=405.

(2)因?yàn)?/p>

。7=。聞6,

〃@=2,①

所以，

〃闖6=8,②

從而4=的，而“?3=2,

二日21

于正0=/=5，

夕乙

2〃-5

所以斯=0/一|=23.

二、等比中項(xiàng)的應(yīng)用

例2如果一1,a,b,c,一9成等比數(shù)列，那么b=,ac=.

答案一39

解析因?yàn)?是一1,一9的等比中項(xiàng)，

所以萬=9,b=±3.

又等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號相同，得“0,故6=-3,

而b又是a,c的等比中項(xiàng)，

故br—ac,即ac=9.

反思感悟(1)由等比中項(xiàng)的定義可知7=不=62=曲=6=i*7^,所以只有4,〃同號時(shí)，a,

匕的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號時(shí)，沒有等比中項(xiàng).

⑵在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)

的等比中項(xiàng).

(3)a,G,b成等比數(shù)列等價(jià)于。=而3?0).

跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列｛”“｝中，“1=—16,“4=8,則“7等于()

A.—4B.±4C.—2D.±2

答案A

解析因?yàn)?4是S與47的等比中項(xiàng)，

所以蜀=〃]07,

即64=—16s,故s=-4.

三、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用

例3在等比數(shù)列｛%｝中.

(1)已知〃3=4,“7=16,且q>0,求斯；

(2)若｛〃,1｝為遞增數(shù)列，且出=mo,2(4〃+a〃+2)=5〃〃+i,求通項(xiàng)公式品

解⑴??啜=/3=什4,

:?q?=2,又q>0,***(7=-\/2?

〃+I

；?斯=的/-3=4.(也)“-3=22(〃EN*).

(2)由出=。10=。54°-5,且〃5工0,

得。5=爐,即爐,

又gWO,?,ai=q.

由2(斯+?！?2)=5為+1得，2?！?1+/)=5僅7〃，

：.2(l+g2)=5q,

解得9=3或9=2.

?:a尸q,且｛〃〃｝為遞增數(shù)列，

.“1=2,

二%=22「=2"(〃GN)

反思感悟(1)應(yīng)用如=斯。'-'"，可以憑借任意已知項(xiàng)和公比直接寫出通項(xiàng)公式，不必再求0.

(2)等比數(shù)列的單調(diào)性由⑶，q共同確定，但只要單調(diào)，必有q>0.

跟蹤訓(xùn)練3已知等比數(shù)列｛〃"｝滿足=3,4|+。3+。5=21,則①+的+仍等于()

A.21B.42C.63D.84

答案B

解析設(shè)等比數(shù)列｛飆｝的公比為q,則由。1=3,0+43+45=21得3(l+q2+q4)=21,解得

q2=—3(舍去)或爐=2,于是43+。5+。7=爐(“]+43+。5)=2義21=42.

四、靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問題

例4(1)有四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，將這四個(gè)數(shù)分別減去1,1,4,13成等差數(shù)列，則這四個(gè)數(shù)的和

是.

答案45

解析(1)設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為“，的，aq2,aq3,

則。一1,aq—1,做2—4,aq3-]3成等差數(shù)列.

口12(的-1)=(4-1)+胸2—4),

glj?

12伍爐—4)=(aq—1)+(aq3—13),

a(q—1>=3,

整理得

的(g-1)2=6,

解得。=3,q=2.

因此這四個(gè)數(shù)分別是3,6,12,24,其和為45.

(2)有四個(gè)實(shí)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，且它們的乘積為216,后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且它們

的和為12,求這四個(gè)數(shù).

解方法一設(shè)前三個(gè)數(shù)分別為力a,aq,

則)〃.陽=216,

所以涼=216.所以4=6.

因此前三個(gè)數(shù)為也6,64

由題意知第4個(gè)數(shù)為12夕一6.

所以6+64+12夕-6=12,

解得

故所求的四個(gè)數(shù)為9,642.

方法二設(shè)后三個(gè)數(shù)為4一d,4,4+2,

則第一個(gè)數(shù)為*4一①2,

由題意知上4-J)2x(4—0X4=216,

解得4-4=6.所以1=-2.

故所求得的四個(gè)數(shù)為9,6,42

反思感悟幾個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法

⑴三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為a,aq.

推廣到一般：奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為

aa0

…，/飛’aq，aq、…

(2)四個(gè)符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為

aaa

7，I，aq,aq\

推廣到一般：偶數(shù)個(gè)符號相同的數(shù)成等比數(shù)列設(shè)為

aaa?《

…，/了］，aq,aq\*…

(3)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，不能確定它們的符號是否相同時(shí)，可設(shè)為a,aq,aq\a(f.

跟蹤訓(xùn)練4在2和20之間插入兩個(gè)數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則

插入的兩個(gè)數(shù)的和為()

A.-4或苧B.4或苧

答案B

解析設(shè)插入的第一個(gè)數(shù)為a,則插入的另一個(gè)數(shù)為5.

由a,y,20成等差數(shù)列得2X5=a+20.

a2—a—20=0,解得a=—4或4=5.

2

當(dāng)a=-4時(shí)，插入的兩個(gè)數(shù)的和為4+會(huì)=4.

當(dāng)a=5時(shí)，插入的兩個(gè)數(shù)的和為“+，=苧.

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

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1.在等比數(shù)列｛知｝中，若6=4,的=-32,則公比夕應(yīng)為（）

A.土;B.±2C.^D.—2

答案D

解析因?yàn)橐?/=-8,故q=-2.

2.（多選）已知。是1,2的等差中項(xiàng)，b是一1,一16的等比中項(xiàng)，則乃等于（）

A.6B.—6C.-12D.12

答案AB

..14~23,

解析〃=（—1）X（—16）=16,〃=±4,

?**ab=±6.

3.若等比數(shù)列的首項(xiàng)為4,末項(xiàng)為128,公比為2,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）

A.4B.8C.6D.32

答案C

解析由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，128=4X2門,2門=32,所以〃=6.

4.等比數(shù)列｛〃〃｝中，31=1,。5=—8。2，。5＞。2，則?！ǖ扔冢ǎ?/p>

A.（一2）廠1B.一（一2"r）

C.（一2）〃D.一（一2）"

答案A

解析設(shè)公比為小則41g4=-8aq,

又。］#0,戶0,

所以夕3=—8,q=-2.

又as>ai,

所以。2<0,%>0,

從而。1>0,即4|=1,

故a?=(—2)n~'.

5.在等比數(shù)列｛小｝中，a\=-2,43=-8,則數(shù)列｛%｝的公比為,通項(xiàng)公式為a?=

答案±2(—2)"或一2"

解析?譚=爐,

CI]

；.才=三=4,gfq=±2.

當(dāng)夕=一2時(shí)，a“=aqr=-2X(-2)"r=(-2)”；

當(dāng)q=2時(shí)，斯=0/「=-2義2"-1=-2".

■課堂小結(jié)

1.知識清單：

(1)等比數(shù)列的才既念.

(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.

(3)等比中項(xiàng)的概念.

(4)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推廣.

2.方法歸納：方程(組)思想、構(gòu)造法、等比數(shù)列的設(shè)法.

3.常見誤區(qū)：

(l)x,G,y成等比數(shù)列今仆二犯，但G2=xy#x,G,y成等比數(shù)列.

(2)四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列時(shí)設(shè)成京，；aq,aq3,未考慮公比為負(fù)的情況.

(3)忽視了等比數(shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)符號相同，所有偶數(shù)項(xiàng)符號相同而出錯(cuò).

課時(shí)對點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

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X基礎(chǔ)鞏固

1.在數(shù)列｛?。?若如+|=3斯，切=2,則“4為()

A.108B.54C.36D.18

答案B

解析因?yàn)橹?|=3%，

所以數(shù)列(小｝是公比為3的等比數(shù)列，

則44=33〃1=54.

2.(多選)在等比數(shù)列｛“”｝中，izi=g,q=2,則如與制的等比中項(xiàng)為()

11

-44C---

A.B.4D.4

答案AB

解析由題意得加=。4〃8?

因?yàn)閍i=￡,q=2,

所以。4與的等比中項(xiàng)為±?6=±4.

3.在等比數(shù)列｛%｝中,斯>0,且“|+〃2=1，的+。4=9,則改+的的值為()

A.16B.27C.36D.81

答案B

解析.."|+。2=1,。3+。4=9,；應(yīng)2=9.

:.q=31q=—3舍去)，a(+?5—(?3+ci4)q—27.

4.數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，且0,。3,。7為等比數(shù)列｛5｝的連續(xù)三項(xiàng)，則數(shù)列｛為｝

的公比為()

A.-\/2B.4C.2D.：

答案C

解析因?yàn)?,(13,。7為等比數(shù)列｛兒｝中的連續(xù)三項(xiàng)，

所以aj=a\aT,

設(shè)數(shù)列｛?。墓顬?,則dWO,

所以(ai+2tZ)2=ai3]+6i/),

所以0=2",

所以公比g=^=萼=2.

a\z.cl

5.若正項(xiàng)數(shù)列｛如｝滿足0=2,忌+1-3斯+以“-4曷=0,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式如等于()

A.22"-1B.2"C.22仆?D.22"-3

答案A

解析由曷+|—3%+|斯一4欣=0,

得(““+1—4a”>(a”+i+“”)=0.

又｛斯｝是正項(xiàng)數(shù)列，

所以斯+1—4斯=0,§4=4.

由等比數(shù)列的定義知數(shù)列僅“｝是以2為首項(xiàng)，

4為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，

得a“=2X4"r=22"r.

6.若｛斯｝為等比數(shù)列，且〃3+。4=4,〃2=2,則公比4=.

答案1或一2

〃聞2+〃@=4,

解析根據(jù)題意,

aiq=2.

a\=—l,

解得或

q=12.

7.已知｛為｝是等差數(shù)列，公差d不為零.若。2,S，s成等比數(shù)列，且20+〃2=1，且0

=,d=?

答案12-1

解析俏，。7成等比數(shù)列，，曷=。2。7,

工31+2d)2=(〃]+0(4]+6d),

即2d+3〃i=0.①

又???2〃]+〃2=1,，3m+d=l.②

2

由①②解得。1=3，d=~].

8.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前三項(xiàng)依次為〃-1,。+1,。+4,則斯=.

答案4xg)c

解析由已知可得(a+l)2=(〃-l)(a+4),

解得。=5,所以〃]=4,政=6,

所以m=4義(才廠1.

9.在等比數(shù)列｛斯｝中,6=32,怒=8.

⑴求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式〃〃；

(2)若4〃=/,求九

解(1)因?yàn)椤?=。3爐，

所以廣胃V

所以q=±|.

當(dāng)時(shí)，a,,=ayq"_3=32X=28-"；

當(dāng)夕=-g時(shí)，斯=。3</'-3=32*(一；卜3.

所以a“=2「"或"“=32X1一寸-3.

(2)當(dāng)為=義時(shí)，

即2"T或32X(-￡)?-3=1,

解得〃=9.

10.在等比數(shù)列｛踴｝中:

(1)已知03=2,675=8,求47；

(2)已知“3+0=5,a5—a1=15,求通項(xiàng)公式斯.

解⑴因?yàn)槟?爐=|,

所以爐=4,

所以“7=4542=8X4=32.

(2)43+。1=4|(爐+1)=5,

%一。1=4|(。4-1)=15,

所以夕2—1=3,所以爐=4,

所以“1=1,q=±2,

所以a“=aq"r=(±2)"-i.

營綜合運(yùn)用

11.已知a,b,c,4成等比數(shù)列，且曲線y=3—2x+3的頂點(diǎn)是3,c）,則ad等于（）

A.3B.2C.1D.-2

答案B

解析?；y=（x—1）~+2,/./?—1,c—2.

又'：a,b,c,d成等比數(shù)列，:.ad=bc=2.

12.已知等比數(shù)列｛斯｝滿足功=:，。3。5=4（。4—1）,則。2等于（）

1*1

2C-D-

A.B.20

答案c

解析方法一:④，〃5的等比中項(xiàng)為34,

a3a5=晶，43a5=4(出—1)?

?,?4=4(。4-1),

?-4〃4+4=0,

。4=2.

4

:?q=2,

〃2=〃ig=wX2=]

方法二?."345=4(44—1),

?".ai^2-?i^4=4(ai<73—1),

將代入上式并整理，得q6—I6q3+64=O,

解得q=2,

.1

..42="q=].

13.(多選)已知等差數(shù)列a,b,c三項(xiàng)之和為12,且a,b,c+2成等比數(shù)列，則。等于()

A.-2B.2C.-8D.8

答案BD

a+cz=2b,a=2,4=8,

解析由已知得《a+b+c^l2,解得，b=4,或<b=4,

”(c+2)=62,、c=6c=0.

故4=2或a=8.

14.若數(shù)列｛內(nèi)｝的前〃項(xiàng)和為S”且斯=25.一3,則｛〃“｝的通項(xiàng)公式是.

答案斯=3?(-1)門

=

解析由an2Sn~3得%-I=2S"-L3(〃22),

兩式相減得a,—an?=2