2025屆北京市朝陽區(qū)力邁國際學(xué)校高三第二次診斷性檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷含解析

2025屆北京市朝陽區(qū)力邁國際學(xué)校高三第二次診斷性檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．22．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為，若直線與圓相切，則雙曲線的漸近線方程是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．5．某大學(xué)計算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個方向展開研究，且每個方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種6．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．337．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．8．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．1 C．或1 D．或99．歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．曲線在點處的切線方程為，則（）A． B． C．4 D．811．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區(qū)別），任取球，記其中黑球數(shù)為，則為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值為______.14．（5分）有一道描述有關(guān)等差與等比數(shù)列的問題:有四個和尚在做法事之前按身高從低到高站成一列，已知前三個和尚的身高依次成等差數(shù)列，后三個和尚的身高依次成等比數(shù)列，且前三個和尚的身高之和為cm，中間兩個和尚的身高之和為cm，則最高的和尚的身高是____________cm．15．在中，角的對邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．16．設(shè)滿足約束條件，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，為等腰直角三角形，，平面底面，為的中點.（1）求證：平面；（2）若平面與平面的交線為，求二面角的正弦值.18．（12分）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且是與的等差中項.（1）證明：為等差數(shù)列，并求；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值.19．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）記的最小值為，且正實數(shù)滿足.證明：.20．（12分）2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年，是中國青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年，是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚五四精神在青年節(jié)到來之際，學(xué)校組織“五四運動100周年”知識競賽，競賽的一個環(huán)節(jié)由10道題目組成，其中6道A類題、4道B類題，參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答，現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.（1）求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率；（2）若甲同學(xué)答對每道A類題的概率都是，答對每道B類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題，用X表示甲同學(xué)答對題目的個數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面積的最大值．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程是.（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于兩點A，B，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選：C本題主要考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.2．C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個圓柱和一個長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.本題主要考查三視圖的識別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).3．B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點，根據(jù)題意，得到，再由，根據(jù)勾股定理求出，從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點，因為是以圓的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以，又因為圓與直線的切點為，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此漸近線的方程為.故選B本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.4．B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B函數(shù)奇偶性的運用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點對稱時有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)5．B【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識別方向有2人時，有種，當(dāng)人臉識別方向有1人時，有種，∴共有360種.故選：B本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因為,所以.故選:C.本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算,考查了學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7．B【解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.本題考查復(fù)數(shù)的乘法運算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.8．C【解析】

由題意利用兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題．9．A【解析】

計算，得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故，表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選：.本題考查了復(fù)數(shù)的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.10．B【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用切線斜率求出，根據(jù)切線過點求出即可.【詳解】因為，所以，故，解得，又切線過點，所以，解得，所以，故選：B本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于中檔題.11．A【解析】

由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，計算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，進(jìn)而可求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.故選：A.本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12．B【解析】

可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.【詳解】在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：B本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用單調(diào)性比大小等知識，考查了學(xué)生的運算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．29【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為以原點為圓心的圓，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖：聯(lián)立，解得，目標(biāo)函數(shù)是以原點為圓心，以為半徑的圓，由圖可知，此圓經(jīng)過點A時，半徑最大，此時也最大，最大值為.所以本題答案為29.線性規(guī)劃問題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14．【解析】

依題意設(shè)前三個和尚的身高依次為，第四個(最高)和尚的身高為，則，解得，又，解得，又因為成等比數(shù)列,則公比，故.15．【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因為，所以．又因為，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.16．【解析】

作出可行域，將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或，分別計算出與，再由不等式的簡單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，顯然當(dāng)時，z=0；當(dāng)時將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率，則由圖可知或顯然，聯(lián)立，所以則或，故或綜上所述，故答案為：本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）取的中點，連接，易得，進(jìn)而可證明四邊形為平行四邊形，即，從而可證明平面；（2）取中點，中點，連接，易證平面，平面，從而可知兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出平面的法向量，及平面的法向量為，由，可求得平面與平面所成的二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：如圖1，取的中點，連接.，，，，且，四邊形為平行四邊形，.又平面，平面，平面.（2）如圖2，取中點，中點，連接.，，平面平面，平面平面，平面，平面，兩兩垂直.以點為坐標(biāo)原點，向量的方向分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由，可得，在等腰梯形中，，易知，.則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，得.因為，，，所以，所以平面與平面所成的二面角的正弦值為.本題考查線面平行的證明，考查二面角的求法，利用空間向量法是解決本題的較好方法，屬于中檔題.18．（1）見解析，（2）最小正整數(shù)的值為35.【解析】

（1）由等差中項可知，當(dāng)時，得，整理后可得，從而證明為等差數(shù)列，繼而可求.（2），則可求出，令，即可求出的取值范圍，進(jìn)而求出最小值.【詳解】解析：（1）由題意可得，當(dāng)時，，∴，，當(dāng)時，，整理可得，∴是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，∴，.（2）由（1）可得，∴，解得，∴最小正整數(shù)的值為35.本題考查了等差中項，考查了等差數(shù)列的定義，考查了與的關(guān)系，考查了裂項相消求和.當(dāng)已知有與的遞推關(guān)系時，常代入進(jìn)行整理.證明數(shù)列是等差數(shù)列時，一般借助數(shù)列，即后一項與前一項的差為常數(shù).19．（1）或；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，利用零點分段法解不等式，或作出函數(shù)的圖像，利用函數(shù)的圖像解不等式；（2）由（1）作出的函數(shù)圖像求出的最小值為，可知，代入中，然后給等式兩邊同乘以，再將寫成后，化簡變形，再用均值不等式可證明.【詳解】（1）解法一：1°時，，即，解得；2°時，，即，解得；3°時，，即，解得.綜上可得，不等式的解集為或.解法二：由作出圖象如下：由圖象可得不等式的解集為或.（2）由所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，正實數(shù)滿足，則，即，（當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號）故，得證.此題考查了絕對值不等式的解法，絕對值不等式的性質(zhì)和均值不等式的運用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.20．（1）；（2）分布列見解析，期望為．【解析】

（1）甲同學(xué)至少抽到2道B類題包含兩個事件：一個抽到2道B類題，一個是抽到3個B類題，計算出抽法數(shù)后可求得概率；（2）的所有可能值分別為，依次計算概率得分布列，再由期望公式計算期望．【詳解】（1）令“甲同學(xué)至少抽到2道B類題”為事件，則抽到2道類題有種取法，抽到3道類題有種取法，∴；（2）的所有可能值分別為，，，，，∴的分布列為：0123本題考查古典概型，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．解題關(guān)鍵是掌握相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式．21．（1）（2）【解析】

(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】（1），，所以，所