考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷2（共193題）

考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷2（共7套）（共193題）考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)A是m×s階矩陣，B為s×n階矩陣，則方程組BX＝0與ABX＝0同解的充分條件是()．A、r(A)＝sB、r(A)＝mC、r(B)＝sD、r(B)＝n標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：設(shè)r(A)＝s，顯然方程組BX＝0的解一定為方程組ABX＝0的解，反之，若ABX＝0，因?yàn)閞(A)＝s，所以方程組AY＝0只有零解，故BX＝0，即方程組BX＝0與方程組ABX＝0同解，選A．2、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，且非齊次線性方程組AX＝b有兩個(gè)不同解η1，η2，則下列命題正確的是()．A、AX＝b的通解為k1η1＋k2η2B、η1＋η2為AX＝b的解C、方程組AX＝0的通解為k(η1－η2)D、AX＝b的通解為k1η1＋k2η2＋(η1＋η2)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)榉驱R次線性方程組AX＝b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因?yàn)锳*≠O，所以r(A)＝n＝1，η2－η1為齊次線性方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系，選C．3、設(shè)有方程組AX＝0與BX＝0，其中A，B都是m×n階矩陣，下列四個(gè)命題：(1)若AX＝0的解都是BX＝0的解，則r(A)≥r(B)(2)若r(A)≥r(B)，則AX＝0的解都是BX＝0的解(3)若AX＝0與BX＝0同解，則r(A)＝r(B)(4)若r(A)＝r(B)，則AX＝0與BX＝0同解以上命題正確的是()．A、(1)(2)B、(1)(3)C、(2)(4)D、(3)(4)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若方程組AX＝0的解都是方程組BX＝0的解，則n－r(A)≤n－r(B)，從而r(A)≥r(B)，(1)為正確的命題；顯然(2)不正確；因?yàn)橥夥匠探M系數(shù)矩陣的秩相等，但反之不對，所以(3)是正確的，(4)是錯(cuò)誤的，選B．4、設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×m階矩陣，則()．A、當(dāng)m＞n時(shí)，線性齊次方程組ABX＝0有非零解B、當(dāng)m＞n時(shí)，線性齊次方程組ABX＝0只有零解C、當(dāng)n＞m時(shí)，線性齊次方程組ABX＝0有非零解D、當(dāng)n＞m時(shí)，線性齊次方程組ABX＝0只有零解標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：AB為m階方陣，當(dāng)m＞n時(shí)，因?yàn)閞(A)≤n，r(B)≤n且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}，所以r(aB)＜m，于是方程組ABX＝0有非零解，選A．5、設(shè)A為m×n階矩陣，則方程組AX＝b有唯一解的充分必要條件是()．A、r(A)＝mB、r(A)＝nC、A為可逆矩陣D、r(A)＝n且b可由A的列向量組線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方程組AX＝b有解的充分必要條件是b可由矩陣A的列向量組線性表示，在方程組AX＝b有解的情形下，其有唯一解的充分必要條件是r(A)＝n，故選D．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)6、設(shè)A＝，且存在三階非零矩陣B，使得AB＝O，則a＝_______，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2；1．知識點(diǎn)解析：因?yàn)锳B＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，又B≠O，于是r(B)≥1，故r(A)≤2，從而a＝2，b＝1．7、設(shè)η，為非零向量，A＝，η為方程組AX＝0的解，則a＝_______，方程組的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：3；k(－3，1，2)T．知識點(diǎn)解析：AX＝0有非零解，所以｜A｜＝0，解得a＝3，于是方程組AX＝0的通解為k(－3，1，2)T．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)8、設(shè)向量組α1，α2，…，αn-1為n維線性無關(guān)的列向量組，且與非零向量β1，β2正交．證明：β1，β2線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)＝，因?yàn)棣?，α2，…，αn-1與β1，β2正交，所以Aβ1＝0，Aβ2＝0，即β1，β2為方程組AX＝0的兩個(gè)非零解，因?yàn)閞(A)＝n－1，所以方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)線性無關(guān)的解向量，所以β1，β2線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析9、設(shè)齊次線性方程組，其中ab≠0，n≥2．討論a，b取何值時(shí)，方程組只有零解、有無窮多個(gè)解?在有無窮多個(gè)解時(shí)求出其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D＝＝[a＋(n－1)b](a－b)n-1．(1)當(dāng)a≠b，a≠(1－n)b時(shí)，方程組只有零解；(2)當(dāng)a＝b時(shí)，方程組的同解方程組為χ1＋χ2＋…＋χn＝0，其通解為X＝k1(－1，1，0，…，0)T＋k2(－1，0，1，…，0)T＋…＋kn-1(－1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn-1為任意常數(shù))；(3)令A(yù)＝，當(dāng)a＝(1－n)b時(shí)，r(A)＝n－1，顯然(1，1，…，1)T為方程組的一個(gè)解，故方程組的通解為k(1，1，…，1)T(k為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)A為三階矩陣，A的第一行元素為a，b，c且不全為零，又B＝且AB＝O，求方程組AX＝0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB＝O得r(A)＋r(B)≤3且r(A)≥1．(1)當(dāng)k≠9時(shí)，因?yàn)閞(B)一2，所以r(A)一1，方程組AX一0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，顯然基礎(chǔ)解系可取B的第1、3兩列，故通解為(k1，k2為任意常數(shù))；(2)當(dāng)k＝9時(shí)，r(B)＝1，1≤r(A)≤2，當(dāng)r(A)＝2時(shí)，方程組AX＝0的通解為C(C為任意常數(shù))；當(dāng)r(A)＝1時(shí)，A的任意兩行都成比例，不妨設(shè)a≠0，由得通解為(k1，k2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析11、a，b取何值時(shí)，方程組有解?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)a≠1時(shí)，r(A)＝r()＝4，唯一解為(2)a＝1，b≠－1時(shí)，r(A)≠r()，因此方程組無解；(3)a＝1，b＝－1時(shí)，通解為X＝k1(1，－2，1，0)T＋k2(1，－2，0，1)T＋(－1，1，0，0)T(k1，k2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、A，B為n階矩陣且r(A)＋r(B)＜n．證明：方程組AX＝0與BX＝0有公共的非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組＝0的解即為方程組AX＝0與BX＝0的公共解．因?yàn)椤躵(A)＋r(B)＜n，所以方程組＝0有非零解，故方程組AX＝0與BX＝0有公共的非零解．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)(Ⅰ)，α1，α2，α3，α4為四元非齊次線性方程組BX＝b的四個(gè)解，其中(1)求方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；(2)求方程組(Ⅱ)BX＝0的基礎(chǔ)解系；(3)(Ⅰ)與(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為(2)因?yàn)閞(B)＝2，所以方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，α4－α1＝，α2＋α3－2α1＝為方程組(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系；(3)方程組(Ⅰ)的通解為k1ξ1＋k2ξ2＝，方程組(Ⅱ)的通解為取k2＝k，則方程組(Ⅰ)與方程組(Ⅱ)的公共解為k(－1，1，1，1)T(其中k為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、(1)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系；(2)求(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為(Ⅱ)的基礎(chǔ)解系為(2)(Ⅰ)，(Ⅱ)公共解即為＝0的解，(Ⅰ)，(Ⅱ)的公共解為(k為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、問a，b，c取何值時(shí)，(Ⅰ)，(Ⅱ)為同解方程組?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅱ)的通解為(k為任意常數(shù))，把(Ⅱ)的通解代入(Ⅰ)，得知識點(diǎn)解析：暫無解析16、證明線性方程組(Ⅰ)有解的充分必要條件是方程組(Ⅱ)與(Ⅲ)是同解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(Ⅰ)可寫為AX＝b，方程組(Ⅱ)、(Ⅲ)可分別寫為ATY＝0及＝0．若方程組(Ⅰ)有解，則r(A)＝r(Ab)，從而r(AT)＝，又因?yàn)?Ⅲ)的解一定為(Ⅱ)的解，所以(Ⅱ)與(Ⅲ)同解；反之，若(Ⅱ)與(Ⅲ)同解，則r(AT)＝，從而r(A)＝r(Ab)，故方程組(Ⅰ)有解．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為寫出(Ⅱ)的通解并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：，則(Ⅰ)可寫為AX＝0，則(Ⅱ)可寫為BY＝0，因?yàn)棣?，β2，…，βn為(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系，因此r(A)＝n，β1，β2，…，βn線性無關(guān)，Aβ1＝Aβ2＝…＝Aβn＝0A(β1，β2，…，βn)＝ABT＝OBAT＝O．α1T，α2T，…，αnT為BY＝0的一組解，而r(B)＝n，α1T，α2T，…，αnT線性無關(guān)．因此α1T，α2T，…，αnT為BY＝0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，通解為k1α1T＋k2α1T＋…＋knαnT(k1，k2…kn為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)A是m×s階矩陣，B是s×n階矩陣，且r(B)＝r(AB)．證明：方程組BX＝0與ABX＝0是同解方程組．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先，方程組BX＝0的解一定是方程組ABX＝0的解．令r(B)＝r且ξ1，ξ2，…，ξn-1是方程組BX＝0的基礎(chǔ)解系，現(xiàn)設(shè)方程組ABX＝0有一個(gè)解η0不是方程組BX＝0的解，即Bη0≠0，顯然ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關(guān)，若ξ1，ξ2，…，ξn-r…，η0線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù)k1，k2，…，kn-r，k0，使得k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＋k0ξ0＝0，若k0＝0，則k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，因?yàn)棣?，ξ2，…，ξn-r線性無關(guān)，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，從而ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關(guān)，所以k0≠0，故η0可由ξ1，ξ2，…，ξn-r，線性表示，由齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，有Bη0＝0，矛盾，所以ξ1，ξ2，…，ξn-r，η0線性無關(guān)，且為方程組ABX＝0的解，從而n－r(AB)≥n－r＋1，r(AB)≤r－1，這與r(B)＝r(AB)矛盾，故方程組BX＝0與ABX＝0同解．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)A，B，C，D都是n階矩陣，r(CA＋DB)＝n．(1)證明：r＝n；(2)設(shè)ξ1，ξ2，…，ξr，與η1，η2，…，ηs分別為方程組AX＝0與BX＝0的基礎(chǔ)解系，證明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)閚＝r(CA＋DB)＝≤n，所以＝n；(2)因?yàn)椋絥，所以方程組＝0只有零解，從而方程組AX＝0與BX＝0沒有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr，與η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)A為n階矩陣，A11≠0．證明：非齊次線性方程組AX＝b有無窮多個(gè)解的充分必要條件是A*b＝0．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)非齊次線性方程組AX＝b有無窮多個(gè)解，則r(A)＜n，從而｜A｜＝0，于是A*b＝A*AX＝｜A｜X＝0．反之，設(shè)A*b＝0，因?yàn)閎≠0，所以方程組A*X＝0有非零解，從而r(A*)＜n，又A11≠0，所以r(A*)＝1，且r(A)＝n－1．因?yàn)閞(A*)＝1，所以方程組A*X＝0的基礎(chǔ)解系含有n－1個(gè)線性無關(guān)的解向量，而A*A＝0，所以A的列向量組α1，α2，…，αn為方程組A*X＝0的一組解向量．由A11≠0，得α2，…，αn線性無關(guān)，所以α2，…，αn是方程組A*X＝0的基礎(chǔ)解系．因?yàn)锳*b＝0，所以b可由α2，…，αn線性表示，也可由α1，α2，…，αn線性表示，故r(A)＝r()＝n－1＜n，即方程組AX＝b有無窮多個(gè)解．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．標(biāo)準(zhǔn)答案：令r(B)＝r，BX＝0的基礎(chǔ)解系含有n－r個(gè)線性無關(guān)的解向量，因?yàn)锽X＝0的解一定是ABX＝0的解，所以ABX＝0的基礎(chǔ)解系所含的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)不少于BX＝0的基礎(chǔ)解系所含的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)，即n－r(AB)≥n－r(B)，r(AB)≤r(B)；又因?yàn)椋瑀[(AB)T]＝r(AB)＝r(BTAT)≤r(AT)＝r(A)，所以r(AB)≤min{r(A)，r(B)}．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、證明：r(A)＝r(ATA)．標(biāo)準(zhǔn)答案：只需證明AX＝0與ATAX＝0為同解方程組即可．若AX0＝0，則ATAX0＝0．反之，若ATAX0＝0，則X0TTATAX0＝0(AX0)T(AX0)＝0AX0＝0，所以AX＝0與ATAX＝0為同解方程組，從而r(A)＝r(ATA)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A是m×n階矩陣，且非齊次線性方程組AX＝b滿足r(A)＝r()＝r＜n．證明：方程組AX＝b的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)最多是n－r＋1個(gè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)＝r＜n，所以齊次線性方程組AX＝0的基礎(chǔ)解系含有n－r個(gè)線性無關(guān)的解向量，設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξn-r．設(shè)η0為方程組AX＝b的一個(gè)特解，令β0＝η0，β1＝ξ1＋η0，β2＝ξ2＋η0，…，βn-r＝ξn-r＋η0，顯然β0，β1，β2，…，βn-r，為方程組AX＝b的一組解．令k0β0＋k1β1＋…＋kn-rβn-r＝0，即(k0＋k1…＋kn-r)η0＋k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，上式兩邊左乘A得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0，因?yàn)閎為非零列向量，所以k0＋k1＋…＋kn-r＝0，于是k1ξ1＋k2ξ2＋…＋kn-rξn-r＝0，注意到ξ1，ξ2，…，ξn-r線性無關(guān)，所以k1＝k2＝…＝kn-r＝0，故β0，β1，β2，…，βn-r線性無關(guān)，即方程組AX＝b存在由n－r＋1個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成的向量組．設(shè)β1，β2，…，βn-r+2為方程組AX＝b的一組線性無關(guān)解，令γ1＝β2－β1，γ2＝β3－β1，…，γn-r+1＝βn-r＋2－β1，根據(jù)定義，易證γ1，γ2，…，γn-r+1線性無關(guān)，又γ1，γ2，…，γn-r+1為齊次線性方程組AX＝0的一組解，即方程組AX＝0含有n－r＋1個(gè)線性無關(guān)的解，矛盾，所以AX＝b的任意n－r＋2個(gè)解向量都是線性相關(guān)的，所以AX＝b的線性無關(guān)的解向量的個(gè)數(shù)最多為n－r＋1個(gè)．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、討論方程組的解的情況，在方程組有解時(shí)求出其解，其中a，b為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D＝＝－(a＋1)(b＋2)．(1)當(dāng)a≠－1，b≠－2時(shí)，因?yàn)镈≠0，所以方程組有唯一解，由克拉默法則得(2)當(dāng)a＝－1，b≠－2時(shí)，當(dāng)b≠－1時(shí)，方程組無解當(dāng)b＝－1時(shí)，方程組的通解為X＝(k為任意常數(shù))．(3)當(dāng)a≠一1，b＝－2時(shí)，方程組的通解為X＝(k為任意常數(shù))．當(dāng)a≠1時(shí)，顯然r(A)＝2≠r()＝3，方程組無解．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)問a，b，c為何值時(shí)，矩陣方程AX＝B有解?有解時(shí)求出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：令X＝(X1，X2，X3)，B＝(β1，β2，β3)，方程組AX＝B等價(jià)于則AX＝B有解的充分必要條件是r(A)＝r(AB)，由r(A)＝r(AB)得a＝1，b＝2，c＝－2，此時(shí)AX1＝β1的通解為AX2＝β2的通解為AX3＝β3的通解為則X＝(X1，X2，X3)＝，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量，若=r(A)，則線性方程組()A、Ax=α必有無窮多解。B、Ax=α必有唯一解。C、僅有零解。D、必有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組必有解(零解)，則選項(xiàng)C、D為互相對立的命題，且其正確與否不受其他條件制約，故其中有且只有一個(gè)正確，因而排除A、B。又齊次線性方程組有n+1個(gè)變量，而由題設(shè)條件知，=r(A)≤n＜n+1，所以方程組必有非零解。故選D。2、設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解。B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解。C、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解。D、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴徽擙R次線性方程組Ax=0的解的情況如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(A，b)，所以選項(xiàng)A、B均不正確。而由Ax=b有無窮多個(gè)解可知，r(A)=r(A，b)＜n。根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件可知，此時(shí)Ax=0必有非零解。故選D。3、設(shè)α1，α2，α3均為線性方程組Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2一4α3，可以作為導(dǎo)出組Ax=0的解向量有()個(gè)。A、4。B、3。C、2。D、l。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1一2α2+α3)=Aα1一2Aα2+Aα3=b一2b+b=0，A[(α1一α3)]=(Aα1一Aα3)=(b一b)=0，A(α1+3α2—4α3)=Aα1+3Aα2一4Aα3=b+3b一4b=0。這四個(gè)向量都是Ax=0的解。故選A。4、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T。B、(2，1，一3)T。C、(2，2，一5)T。D、(2，一2，6)T。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如果A選項(xiàng)是Ax=0的解，則D選項(xiàng)必是Ax=0的解。因此選項(xiàng)A、D均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的任何一個(gè)解η均可由α1，α2線性表示，即方程組x1α1+x2α2=η必有解，而可見第二個(gè)方程組無解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2線性表示。故選B。5、設(shè)α1，α2，α3，α4是四維非零列向量組，A=(α1，α2，α3，α4)，A*為A的伴隨矩陣。已知方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為k(1，0，2，0)T，則A*x=0的基礎(chǔ)解系為()A、α1，α2，α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2，α3，α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，所以四階方陣A的秩r(A)=4—1=3，則其伴隨矩陣A*的秩r(A*)=1，于是方程組A*x=0的基礎(chǔ)解系含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。又A*(α1，α2，α3，α4)=A*A=｜A｜E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程組A*x=0的解。將(1，0，2，0)t代入方程組Ax=0可得α1+2α3=0，這說明α1可由向量組α2，α3，α4線性表出，而向量組α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量組α2，α3，α4必線性無關(guān)。事實(shí)上，由α1+2α2=0可知向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，選項(xiàng)A不正確；顯然，選項(xiàng)B中的向量都能被α1，α2，α3線性表出，說明向量組α1+α2，α2+α3，α1+α3線性相關(guān)，選項(xiàng)B不正確；而選項(xiàng)D中的向量組含有四個(gè)向量，不是基礎(chǔ)解系，所以選項(xiàng)D也不正確。故選C。6、設(shè)A是m×n矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置，若η1，η2，…，ηt為方程組ATx=0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n一m。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：r(AT)+t等于AT的列數(shù)，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m一t=r(A)。故選C。7、已知β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，α1，α2是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+。B、k1α1+k2(α1—α2)+。C、k1α1+k2(β1+β2)+。D、k1α1+k2(β1—β2)+。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對于A、C選項(xiàng)，因?yàn)樗赃x項(xiàng)A、C中不含有非齊次線性方程組Ax=b的特解，故均不正確。對于D選項(xiàng)，雖然β1一β2是齊次線性方程組Ax=0的解，但它與α1不一定線性無關(guān)，故D選項(xiàng)也不正確。事實(shí)上，對于B選項(xiàng)，由于α1，α1一α2與α1，α2等價(jià)(顯然它們能夠互相線性表示)，故α1，α1一α2也是齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，而由可知是齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，由非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)定理知，故選B。8、設(shè)A是n階矩陣，對于齊次線性方程組(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，現(xiàn)有四個(gè)命題：①(I)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解③(I)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(I)的解。以上命題中正確的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：若Anα=0，則An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，則α必是(2)的解，可見命題①正確。如果An+1α=0，而Anα≠0，那么對于向量組α，Aα，A2α，…，Anα，一方面，若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的兩邊得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。類似地可得k1=k2=…=n=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα線性無關(guān)。但另一方面，這是n+1個(gè)n維向量，它們必然線性相關(guān)，兩者矛盾。故An+1α=0時(shí)，必有Anα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命題②正確。故選A。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知方程組有非零解，則k=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式等于零，即=12(k+1)=0，因此得k=一1。10、已知方程組有無窮多解，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：n元線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是r(A)=，而有無窮多解的充分必要條件是r(A)=＜n，對增廣矩陣作初等行變換，有由于r(A)=2，所以6—2a=0，即a=3。11、，方程Ax=β無解，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：1或3知識點(diǎn)解析：已知方程組無解，所以r(A)≠r(A，β)。又因?yàn)閞(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有｜A｜=0<=>a=1或3。12、設(shè)，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，則由n一r(A*)=2可知，A*x=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，其通解形式為k1η1+k2η2。又因?yàn)锳*A=｜A｜E=O，所以矩陣A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2為任意常數(shù)。13、設(shè)(1，1，1)T，(2，2，3)T均為線性方程組的解向量，則該線性方程組的通解為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R知識點(diǎn)解析：該線性方程組的系數(shù)矩陣為。已知原方程組有兩個(gè)不同的解，所以系數(shù)矩陣A不滿秩，即r(A)<3，又因?yàn)锳的一個(gè)二階子式=一2≠0，所以r(A)≥2。故r(A)=2。因此導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)解向量，由線性方程組解的性質(zhì)可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基礎(chǔ)解系。故原方程組的通解為k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。14、已知齊次線性方程組有通解k1(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，則方程組的通解是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k2(13，一3，1，5)T，k2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：方程組(2)的通解一定會(huì)在方程組(1)的通解之中，且是方程組(1)的通解中滿足(2)中第三個(gè)方程的解，將(1)的通解代入(2)的第三個(gè)方程，得(2k1+3k2)一2(一k1+2k2)+0k2+k1=0，即5k1=k2，將其代入(1)的通解中，得方程組(2)的通解為5k2(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，一3，1，5)T，其中k2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中15、當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求x1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由數(shù)學(xué)歸納法得到方程組系數(shù)矩陣的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。當(dāng)a≠0時(shí)，Dn≠0，方程組有唯一解。將A的第一列換成b，得行列式為=Dn—1=nan—1，所以由克拉默法則得x1=。知識點(diǎn)解析：暫無解析16、當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=0時(shí)，方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n—1，所以方程組有無窮多解，其通解為x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)17、計(jì)算行列式｜A｜；標(biāo)準(zhǔn)答案：=1一a4。知識點(diǎn)解析：暫無解析18、當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，方程組Ax=b有無窮多解，并求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得要使原線性方程組有無窮多解，則有1一a4=0且一a一a2=0，即a=一1。當(dāng)a=一1時(shí)，可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為(1，1，1，1)T，非齊次方程的特解為(0，一1，0，0)T，故其通解為(0，一1，0，0)T+k(1，1，1，1)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)，當(dāng)a，b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC—CA=B，并求所有矩陣C。標(biāo)準(zhǔn)答案：令，則由AC—CA=B得該方程組是四元非齊次線性方程組，如果C存在，此線性方程組必須有解。對系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得當(dāng)a=一1，b=0時(shí)，線性方程組有解，即存在C，使AC—CA=B。此時(shí)增廣矩陣變換為所以通解為即(其中c1，c2為任意常數(shù))。知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)線性方程組為問k1與k2各取何值時(shí)，方程組無解?有唯一解?有無窮多解?有無窮多解時(shí)，求其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)r(A)=r(B)=4<=>一k1+2≠0<=>k1≠2時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)k1=2時(shí)，，則①當(dāng)k2≠1時(shí)，r(A)=3≠r(B)=4，方程組無解；②當(dāng)k2=1時(shí)，r(A)=r(B)=3＜4，方程組有無窮多解，且則通解為其中k為任意常數(shù)。綜上，當(dāng)k1≠2時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)k1=2且k2≠1時(shí)，方程組無解；當(dāng)k1=2且k2=1時(shí)，方程組有無窮多解，且通解為式(*)。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、已知線性方程組問a，b為何值時(shí)，方程組有解，并求出方程組的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組有解<=>r(A)=r(B)=>當(dāng)a=1，且b=3時(shí)，原方程組等價(jià)于該方程組對應(yīng)的齊次方程組為選x3，x4，x4為自由未知量，令，得齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系令，得方程組的一個(gè)特解η=，則方程組的通解為x=η+k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3，其中k1，k2，k3為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，k1，…，ks為實(shí)數(shù)，滿足k1+k1+…+ks=1。證明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程組的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，故有Aηi=b(i=1，…，s)。因?yàn)閗1+k2+…+ks=1，所以Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b(k1+…+ks)=b，由此可見x也是方程組的解。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)α1，α2，…，αs為線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2為實(shí)常數(shù)。試問t1，t2滿足什么條件時(shí)，β1，β2，…，βs也為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)棣耰(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的線性組合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知β1(i=1，2，…，s)均為Ax=0的解。從α1，α2，…，αs是Ax=0的基礎(chǔ)解系知s=n—r(A)。以下分析β1，β2，…，βs線性無關(guān)的條件。設(shè)k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t2k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks—1+t1ks)αs=0，由于α1，α2，…，αs線性無關(guān)，所以又因系數(shù)矩陣的行列式=t1s+(一1)s+1+t2s，當(dāng)t1s+(一1)s+1+t2s≠0時(shí)，方程組(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此當(dāng)s為偶數(shù)且t1≠±t2，或當(dāng)s為奇數(shù)且t1≠一t2時(shí)，β1，β2，…，βs線性無關(guān)，即為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、已知方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(b11，b12，…，b1，2n)T，(b21，b22，…，b2，2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn，2n)T。試寫出線性方程組的通解，并說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意可知，線性方程組(2)的通解為y=c1(a11，a12，…，a1，2n)T+c2(a11，a22，…，a2，2n)T+…+cn(an1，an2，…，an，2n)T，其中c1，c2，…，cn是任意的常數(shù)。這是因?yàn)椋涸O(shè)方程組(1)和(2)的系數(shù)矩陣分別為A，B，則根據(jù)題意可知ABT=O，因此BAT=(ABT)T=O，可見A的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置為(2)的n個(gè)解向量。由于B的秩為n，所以(2)的解空間的維數(shù)為2n—r(B)=2n—n=n，又因?yàn)锳的秩等于2n與(1)的解空間的維數(shù)的差，即n，因此A的n個(gè)行向量是線性無關(guān)的，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、已知三階矩陣A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全為零，矩陣(k為常數(shù))，且AB=O，求線性方程組Ax=0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。若k≠9，則r(B)=2，于是r(A)≤1，顯然r(A)≥1，故r(A)=1。可見此時(shí)Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3一r(A)=2，矩陣B的第一列、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0的通解為x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2為任意常數(shù)。若k=9，則r(B)=1，從而1≤r(A)≤2。①若r(A)=2，則Ax=0的通解為x=k1(1，2，3)T，k1為任意常數(shù)。②若r(A)=l，則Ax=0的同解方程組為：ax1+bx2+cx3=0，不妨設(shè)a≠0，則其通解為x=k1(，1，0)T+k2(，0，1)T，其中k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)矩陣A=(a1，a2，a3，a4)，其中a2，a3，a4線性無關(guān)，a1=2a2一a3，向量b=a1+a2+a3+a4，求方程組Ax=b的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：已知a2，a3，a4線性無關(guān)，則r(A)≥3。又由a1，a2，a3線性相關(guān)可知a1，a2，a3，a4線性相關(guān)，故r(A)≤3。綜上所述，r(A)=3，從而原方程組的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為4—3=1。又因?yàn)閍1=2a2一a3<=>a1一2a2+a3=0<=>(a1，a2，a3，a4)=0，所以x=(1，一2，1，0)T是方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系。又由b=a1+a2+a3+a4可知x=(1，1，1，1)T是方程組Ax=b的一個(gè)特解。于是原方程組的通解為x=c(1，1，1，1)T+c(1，一2，1，0)T，c∈R。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)1、設(shè)方陣R3×3≠O，而PQ=O，則A、t=6時(shí)，必有秩(P)=1．B、t=6時(shí)，必有秩(P)=2．C、t≠6時(shí)，必有秩(P)=1．D、t≠6時(shí)，必有秩(P)=2．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：當(dāng)t≠6時(shí)，秩(Q)=2，且由PQ=0知Q的每一列都是方程組PX=0的解，故PX=0至少有2個(gè)線性無關(guān)的解，基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)3-秩(P)≥2，秩(P)≤1；又P≠O，有秩(P)≥1，故此時(shí)必有秩(P)=1．2、設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有兩個(gè)不同解β1和β2，其導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1，α2，c1，c2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解為A、c1α1+c2(α1+α2)+(β1-β2)B、c1α1+c2(α1-α2)+(β1+β2)C、c1α1+c2(β1+β2)+(β1-β2)D、c1α1+c2(β1-β2)+(β1+β2)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因α1，α1-α2是與基礎(chǔ)解系α1，α2等價(jià)的線性無關(guān)向量組，故α1，α1-α2也是Ax=0的基礎(chǔ)解系，又由(Aβ1+Aβ2)=(B+B)=b知(β1+β2)是Ax=B的一個(gè)解，由解的結(jié)構(gòu)即知(B)正確．3、設(shè)α1=(1，0，2)T及α2=(0，1，-1)T都是線性方程組Ax=0的解，則其系數(shù)矩陣A=A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由條件知Ax=0至少有兩個(gè)線性無關(guān)解，因此其基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)至少為2，即3-r(A)≥2，r(A)≤1，故只有(A)正確．4、設(shè)A為m×n矩陣，則齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充要條件是A的A、列向量組線性無關(guān)．B、列向量組線性相關(guān)．C、行向量組線性無關(guān)．D、行向量組線性相關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：設(shè)A按列分塊為A=[α1，α2，…，αn]，則方程組Ax=0的向量形式是x1α1+x2α2+…+xnαn=0，由此可知Ax=0僅有零解x1α1+x2α2+…+xnαn=0，僅在x1=x2=…=xn=0時(shí)成立向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)．5、設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A．且存在3階方陣B≠O，使AB=O，則A、λ=-2且｜B｜=0．B、λ=-2且｜B｜≠0．C、λ=1且｜B｜=0．D、λ=1且｜B｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：暫無解析6、設(shè)矩陣Am×n的秩為r(A)=m＜n，b為任一m維列向量，則A、線性方程組Ax=b必?zé)o解．B、線性方程組Ax=b必有唯一解．C、線性方程組Ax=b必有無窮多解．D、A的任意m個(gè)列向量都線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：注意增廣矩陣只有m行，其秩不會(huì)大于m，故由m=r(A)≤t[A┆b]≤m，r(A)=r(A┆b)=m＜n，所以，Ax=b有無窮多解．7、設(shè)矩陣Am×n的秩為r，對于非齊次線性方程組AX=b，A、當(dāng)r=m時(shí)，Ax=b必有解．B、當(dāng)r=n時(shí)，Ax=b必有唯一解．C、當(dāng)m=n時(shí)，Ax=b必有唯一解．D、當(dāng)r＜n時(shí)，Ax=b必有無窮多解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè)α1，α2，α3是4元非齊次線性方程組Ax=b的3個(gè)解向量，且秩(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T，c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由Ax=b的解的結(jié)構(gòu)知關(guān)鍵在于求出Ax=0的基礎(chǔ)解系，由于Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量個(gè)數(shù)為4-秩(A)=4-3=1，因此Ax=0的任意一個(gè)非零解都可作為Ax=0的基礎(chǔ)解系．易知ξ=2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T是Ax=0的一個(gè)非零解，故ξ可作為Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以，Ax=b的通解為x=α1+cξ．只有選項(xiàng)(C)正確．9、設(shè)A為n階實(shí)矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對于線性方程組(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：ATAx=0，必有A、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．B、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．C、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．D、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：若x滿足Ax=0，兩端左乘AT，得ATx=0，故Ax=0的解都是ATAx=0的解；若x滿足ATAx=0，兩端左乘xT，得(xTAT)(Ax)=0，即(Ax)T(Ax)=0，或‖Ax‖2=0，得Ax=0，所以ATAx=0的解也都是Ax=0的解．因此(Ⅰ)與(Ⅱ)同解，只有選項(xiàng)(A)正確.10、設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0，其中A、B均為m×n矩陣，現(xiàn)有4個(gè)命題：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，則Ax=0與Bx=0同解．以上命題中正確的是A、①②B、①③C、②④D、③④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若Ax=0的解均是Bx=0的解，則Ax=0的解空間是Bx=0的解空間的子空間，從而有n-r(A)≤n-r(B)，r(A)≥r(B)．當(dāng)Ax=0與Bx=0同解時(shí)，還有r(B)≥r(A)，從而有r(A)=r(B)，因此，①與③正確．11、設(shè)A是，2階矩陣，α是n維列向量，且秩=秩(A)，則線性方程組A、Ax=α必有無窮多解．B、Ax=α必有唯一解．C、=0僅有零解．D、=0必有非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：注意選項(xiàng)(D)中的方程組是n+1元方程組，而其系統(tǒng)矩陣的秩等于An×n的秩，它最大是n，必小于n+1，因而該齊次線性方程組必有非零解．12、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣A*≠O，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齊次線性方程組Ax=b的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系A(chǔ)、不存在．B、僅含一個(gè)非零解向量．C、含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量．D、含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由A*≠O知A*至少有一個(gè)元素Aij=(-1)i+jMij≠0，故A的余子式Mij≠0，而Mij為A的n-1階子式，故r(A)≥n-1，又由Ax=b有解且不唯一知r(A)＜n，故r(A)=n-1．因此，Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為n-r(A)=n-(n-1)=1，只有(B)正確．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)13、設(shè)其中a1，a2，a3，a4，a5是兩兩不同的一組常數(shù)，則線性方程組ATX=B的解是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，0，0，0，0)T知識點(diǎn)解析：由于方程組的系數(shù)行列式｜AT｜=｜A｜=(ai-aj)≠0，故方程組有唯一解，利用Gramer法則(或用觀察法)易求出這個(gè)唯一解為x=(1，0，0，0，0)T．14、若方程組有解，則常數(shù)a1，a2，a3，a4應(yīng)滿足的條件是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a1+a2+a3+a4=0知識點(diǎn)解析：對方程組的增廣矩陣施行初等行變換：由階梯形矩陣B及方程組Ax=b有解判定定理知，方程組有解a1+a2+a3+a4=0．15、若3階非零方陣B的每一列都是方程組的解，則λ=______，｜B｜=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1；0知識點(diǎn)解析：由條件知方程組有非零解，故其系數(shù)行列式｜A｜==5(λ-1)=0，故λ=1．又由條件知AB=O，若｜B｜≠0，則B可逆，用B-1右乘AB=O兩端得A=O，這與A≠O矛盾，故｜B｜=0．16、設(shè)n階方陣A的各行元素之和均為零，且秩(A)=n-1，則齊次線性方程組AX=0的通解為_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：x=kξ，其中k作為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：n元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為n-r(A)=n-(n-1)=1，故Ax=0的任一非零解都可作為它的基礎(chǔ)解系．由A=(aij)n×n的元素滿足aij=0(i=1，2，…，n)知Ax=0有解ξ=(1，1，…，1)T，故ξ可作為Ax=0的基礎(chǔ)解系，從而得方程組的通解為x=kξ，其中k作為任意常數(shù)．17、已知線性方程組無解，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點(diǎn)解析：A→，當(dāng)a≠3且a≠-1時(shí)有唯一解；當(dāng)a=3時(shí)，秩(A)=秩=2＜3，有無窮多解；當(dāng)a=-1時(shí)，秩(A)=2，秩=3，故無解．三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)18、設(shè)向量α1=(1，0，2，3)，α2=(1，1，3，5)，α3=(1，-1，a+2，1)，α4=(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)．問：a，b為何值時(shí)，β不能用α1，α2，α3，α4線性表示；a，b為何值時(shí)，β能用α1，α2，α3，α4線性表示，并寫出該表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=-1，b≠0時(shí)，β不能用α1，α2，α3，α4線性表示；當(dāng)a≠-1時(shí)，有唯一的線性表示：β=α3+0α4；當(dāng)a=-1，b=0時(shí)，有β=(-2c1+c2)α1+(1+c1-2c2)α2+c1α3+c2α4(c1，c2為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、問a、b為何值時(shí)，線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解?并求有無窮多解時(shí)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a≠1時(shí)有唯一解；當(dāng)a=1且b≠-1時(shí)，無解；當(dāng)a=1且b=-1時(shí)，通解為x1=-1+c1+c2，x2=1-2x1-2x2，x1=c2，x4=c2(c1，c2為任意常數(shù))．或知識點(diǎn)解析：暫無解析20、λ為何值時(shí)，線性方程組有解?并求其全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)λ≠1時(shí)無解；當(dāng)λ=1時(shí)，通解為x1=1-c，x2=-1+2c，x3=c.(c為任意常數(shù))．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)4元線性方程組(Ⅰ)為又已知某齊次線性方程組(Ⅱ)的通解為k1(0，1，1，0)+k2(-1，2，2，1)．(1)求線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；(2)問線性方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，則求出所有的非零公共解.若沒有，則說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)由系數(shù)矩陣的初等行變換：A=(x3，x4任意)，令x3=1，x4=0，得ξ1=(0，0，1，0)T；令x3=0，x4=1，得ξ2=(-1，1，0，1)T，則ξ1，ξ2就是(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．(2)若x是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，則存在常數(shù)λ1，λ2，λ3，λ4，使由此得λ1，λ2，λ3，λ4滿足齊次線性方程組解此齊次線性方程組，得其參數(shù)形式的通解為λ1=C，λ2=C，λ3=-C，λ4=C，其中C為任意常數(shù)．故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，全部非零公共解為C(0，0，1．0)T+C(-1，1，0，1)T=C(-1，1，1，1)T，其中C為任意非零常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、已知線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：(b11，b12，…，b1,2n)T，(b21，b22，…，b2,2n)T，…，(bn1，bn2，…，bn,2n)T．試寫出線性方程組的通解，并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：記方程組(Ⅰ)、(Ⅱ)的系數(shù)矩陣分別為A、B，則可以看出題給的(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系中的n個(gè)向量就是B的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量．因此，由(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系可知ABT=O轉(zhuǎn)置即得BAT=O因此可知AT的n個(gè)列向量——即A的n個(gè)行向量的轉(zhuǎn)置向量都是方程組(Ⅱ)的解向量．由于B的秩為n(B的行向量組線性無關(guān))，故(Ⅱ)的解空間的維數(shù)為2n-r(B)=2n-n=n，所以(Ⅱ)的任何n個(gè)線性無關(guān)的解就是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．已知(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系含n個(gè)向量，即2n-r(A)=n，故r(A)=n，于是可知A的n個(gè)行向量線性無關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，因此(Ⅱ)的通解為y=c1(a11，a12，…，a1,2n)T+c2(a21，a22，…，a2,2n)T+…+c(an1，an2，…，an,2n)T其中c1，c2，…，cn為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)α1，α2，…，αs為線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1α1+t2α1，其中t1，t2為實(shí)常數(shù)．試問t1，t2滿足什么關(guān)系時(shí)，β1，β2，…，βm也為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.標(biāo)準(zhǔn)答案：由Ax=0的解的線性組合都是解知，β1，β2，…，βs都是Ax=0的解向量．由于已知Ax=0的基礎(chǔ)解系含s個(gè)向量，所以，只要β1，β2，…，βs線性無關(guān)．就可作為基礎(chǔ)解系，否則不能作為基礎(chǔ)解系．由于β1，β2，…，βs由線性無關(guān)向量組α1，α2，…，αs線性表示的系數(shù)矩陣為s階方陣故β1，β2，…，βs線性無關(guān)｜P｜=t1s+(-1)1-st2a≠0，即當(dāng)t1，t2滿足t1a+(-1)1+st2a≠0(s為偶數(shù)時(shí)，t1≠±t2；s為奇數(shù)時(shí)，t1≠-t2)時(shí)，β1，β2，…，βs也是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)有3維列向量問λ取何值時(shí)(1)β可由α1，α2，α3線性表示．且表達(dá)式唯一?(2)β可由α1，α2，α3線性表示，但表達(dá)式不唯一?(3)β不能由α1，α2，α3線性表示?標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)λ≠0且λ≠-3；(2)λ=1；(3)λ=-3．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、已知線性方程組(1)a、b為何值時(shí)，方程組有解?(2)當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．(3)當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)a=1，b=3；(2)ξ1=(1，-2，1，0，0)T，ξ2=(1，-2，0，1，0)T，ξ3=(5，-6，0．0，1)T；(3)(-2，3，0，0，0)T+c1(1，-2，1，0，0)T+c2(1，-2，0．1，0)T+c3(5，-6，0，0，1)T，其中c1，c2，c3為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、k為何值時(shí)，線性方程組有唯一解、無解、有無窮多組解?在有解情況下，求出其全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)當(dāng)k≠-1且k≠4時(shí)，有唯一解：(2)當(dāng)k=-1時(shí)，方程組無解；(3)當(dāng)k=4時(shí)，有無窮多解，通解為x=(0，4，0)T+c(-3，-1，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)有線性方程組(1)證明：當(dāng)a1，a2，a3，a4兩兩不等時(shí)，此方程組無解；(2)設(shè)a1=a3=k，a=a=-k(k≠0)時(shí)，方程組有解β1=(-1，1，1)T，β2=(1，1，-1)T，寫出此方程組的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)此時(shí)，增廣矩陣的行列式是一個(gè)4階范德蒙行列式，不等于零，故=4，而r(A)≤3．故方程組無解；(2)r(A)==2＜3，方程組有無窮多解．導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系含3-r(A)=3-2=1個(gè)解向量．可取其基礎(chǔ)解系為β1-β2=(-2，0，-2)T．故此方程組的通解為x=β1+c(β1-β2)(-1，1，1)T+c(-2，0，2)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)矩陣A、B的行數(shù)都是m．證明：矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是r(A)=r(A┆B)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)B、X按列分塊分別為B=[b1，b2，…，bm]，X=[x1，x2，…，xp]，則Ax=B即[Ax1，Ax2，…，Axp]=[b1，b2，…，bp]，故Ax=B有解線性方程組Axj=bj(j=1，2，…，p)有解，由非齊次線性方程組有解的充要條件，即得AX=B有解r(A)=r[A┆bj](j=1，2，…，p)A的列向量組的極大無關(guān)組也是矩陣[A┆bj](j=1，2，…，p)的列向量組的極大無關(guān)組r(A)=r[Ab1b2…bp]=r(A┆B)．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)矩陣X=(xij)3×3為未知矩陣，問a、b、c各取何值時(shí)，矩陣方程AX=B有解?并在有解時(shí)，求出其全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由下列矩陣的初等行變換：可見，r(A)=r[A┆B]a=1，b=2，c=1，于是由上題知Ax=B有解a=1，b=2，c=1．此時(shí)，對矩陣D作初等行變換：于是若將矩陣B按列分塊為B=[b1，b2，b3]，則得方程組Ax=b1的通解為：η1=(1-l，-l，l)T；方程組Ax=b2的通解為：η2=(2-m，2-m，m)T；方程組Ax=b3的通解為：η3=(1-n，-1-n，n)T，所以，矩陣方程Ax=B的通解為x=[η1，η2，η3]=，其中l(wèi)，m，n為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、已知齊次線性方程組其中ai≠0，試討論a1，a2，…，an和b滿足何種關(guān)系時(shí)，(1)方程組僅有零解；(2)方程組有非零解．在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組的系數(shù)行列式｜A｜=bn-1(b+ai)，故當(dāng)｜A｜≠0，即b≠0且b+ai≠0時(shí)，方程組只有零解．當(dāng)b=0或b+ai=0時(shí)，方程組有非零解．當(dāng)b=0時(shí)，設(shè)a1≠0，由系統(tǒng)矩陣A的初等行變換：得方程組的基礎(chǔ)解系可取為：當(dāng)b+ai=0時(shí)，有b=ai≠0，由系數(shù)矩陣的初等行變換：由此得方程組的用自由未知量表示的通解為：x2=x1，x3=x1，…，xn=x1(x1任意)，令自由未知量x1=1，則方程組的基礎(chǔ)解系可取為ξ=(1，1，…，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)A為n階方陣(n≥2)，A*為A的伴隨矩陣，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)秩(A)=n時(shí)，｜A｜*=｜A｜n-1≠0，故秩(A*)=n．當(dāng)秩(A)=n-1時(shí)，｜A｜=0且A中至少有某個(gè)元素的代數(shù)余子式不等于零，A*≠O，秩(A*)≥1，再由A*A=｜A｜E=0知，A的列向量均為方程組A*x=0的解向量，n-秩(A*)≥秩(A)=n-1，秩(A*)≤1，綜合前已證過的秩(A*)≥1，得秩(A*)=1．若秩(A)≤n-2，則A的每個(gè)元素的代數(shù)余子式都為零，A*=O，秩(A*)=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2，a+2b)T，β=(1，3，-3)T，試討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3惟一地線性表示，并求出表示式；(Ⅲ)β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不惟一，并求表示式．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)有一組數(shù)x1，x2，x3，使得x1α1+x2α2+x3α3=β(*)對方程組(*)的增廣矩陣施行初等行變換：(1)當(dāng)a=0，b為任意常數(shù)時(shí)，有可知r(A)≠，故方程組(*)無解，β不能由α1，α2，α3線性表示．(2)當(dāng)a≠0，且a≠b時(shí)，r(A)==3，方程組(*)有唯一解：x1=1-，x2=，x3=0．故此時(shí)β可由α1，α2，α3唯一地線性表示為：β=(1-)α1+α2．(3)當(dāng)a=b≠0時(shí)，對施行初等行變換：可知r(A)==2，故方程組(*)有無窮多解，通解為：x1=1-，x2=+c，3=c，其中c為任意常數(shù)．故此時(shí)β可由α1，α2，α3線性表示，但表示式不唯一，其表示式為β=(1-)α1+(+c)α2+α3．知識點(diǎn)解析：暫無解析33、已知(1，-1，1，-1)T是線性方程組的一個(gè)解，試求(1)該方程組的全部解，并用對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示全部解；(2)該方程組滿足x2=x3的全部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：將解向量x=(1，-1，1，-1)T代入方程組，得λ=μ．對方程組的增廣矩陣施行初等行變換：(1)當(dāng)λ≠時(shí)，有因r(A)==3＜4．故方程組有無窮多解，全部解為x=(0，，0)T+k(-2，1，-1，2)T，其中k為任意常數(shù)．因r(A)==2＜4，故方程組有無窮多解，全部解為x=(，1，0，0)T+k1(1，-3，1，0)T+k2(-1，-2，0，2)T，其中k1，k2為任意常數(shù).(2)當(dāng)λ≠時(shí)，由于x2=x3，即，故此時(shí)，方程組的解為x=(-2，1，-1，2)T=(-1，0，0，1)T．當(dāng)λ=時(shí)，由于x2=x3，即1-3k1=2k2=k1，解得2=-2k1．故此時(shí)全部解為x=(，1，0，0)T+k1(1，-3，1，0)T+(-2k1)(-1，-2，0，2)T=(-1，0，0，1)T+k1(3，1，1，-4)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析34、已知齊次線性方程組同解，求a，b，c的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組(Ⅱ)的未知量個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)，故方程組(Ⅱ)有無窮多個(gè)解．因?yàn)榉匠探M(Ⅰ)與(Ⅱ)同解，所以方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣的秩小于3．由此得a=2．此時(shí)，方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣可通過初等行變換化為由此得(-1，-1，1)T是方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．將x1=-1，x2=-1，x3=1代入方程組(Ⅱ)可得b=1，c=2或b=0，c=1．當(dāng)b=1，x=2時(shí)，對方程組(Ⅱ)的系數(shù)矩陣施以初等行變換，有比較(1)式與(2)式右邊的矩陣可知，此時(shí)方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．當(dāng)b=0，c=1時(shí)，方程組(Ⅱ)的系數(shù)矩陣可通過初等行變換化為比較(1)與(3)右邊的矩陣可知，此時(shí)方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)的解不相同．綜上所述，當(dāng)a=2，b=1，c=2時(shí)，方程組(Ⅰ)與(Ⅱ)同解．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、AX=0和BX=0都是n元方程組，下列斷言正確的是()．A、AX=0和BX=0同解r(A)=r(B)．B、AX=0的解都是BX=0的解r(A)≤r(B)．C、AX=0的解都是BX=0的解r(A)≥r(B)．D、r(A)≥r(B)AX=0的解都是BX=0的解．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：AX=0和BX=0同解(A)=r(B)，但r(A)=r(B)推不出AX=0和BX=0同解，排除(A)AX=0的解都是BX=0的解，則AX=0的解集合BX=0的解集合，于是n-r(A)≤n-r(B)，即r(A)≥r(B)．(C)對，(B)不對．n-r(A)≤n-r(B)推不出AX=0的解集合BX=0的解集合，(D)不對．2、設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r．則方程組AX=βA、在r=m時(shí)有解．B、在m=n時(shí)有唯一解．C、在r＜n時(shí)有無窮多解．D、在r=n時(shí)有唯一解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：此題的考點(diǎn)是解的情況的判別法則以及矩陣的秩的性質(zhì)．在判別法則中雖然沒有出現(xiàn)方程個(gè)數(shù)m，但是m是r(A)和r(A｜β)的上限．因此，當(dāng)r(A)=m時(shí)，必有r(A｜β)=r(A)，從而方程組有解，(A)正確．(C)和(D)的條件下不能確定方程組有解．(B)的條件下對解的情況不能作任何判斷．3、的一個(gè)基礎(chǔ)解系為A、(0，-1，0，2)T．B、(0，-1，0，2)T，(0，1／2，0，1)T．C、(1，0，-1，0)T，(-2，0，2，0)T．D、(0，-1，0，2)T，(1，0，-1，0)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：用基礎(chǔ)解系的條件來衡量4個(gè)選項(xiàng)．先看包含解的個(gè)數(shù)．因?yàn)閚=4，系數(shù)矩陣為其秩為2，所以基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含2個(gè)解．排除(A)．再看無關(guān)性(C)中的2個(gè)向量相關(guān)，不是基礎(chǔ)解系，也排除．(B)和(D)都是兩個(gè)無關(guān)的向量，就看它們是不是解了．(0，-1，0，2)T在這兩個(gè)選項(xiàng)里都出現(xiàn)，一定是解．只要看(0，1／2，0，1)T或(1，0，-1，0)T(其中一個(gè)就可以)．如檢查(1，0，-1，0)T是解，說明(D)正確．或者檢查出(0，1／2，0，1)T不是解，排除(B)．4、當(dāng)A=()時(shí)，(0，1，-1)和(1，0，2)構(gòu)成齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由解是3維向量知n=3，由基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解得到3-r(A)=2，從而r(A)=1．由此著眼，只有(A)中的矩陣符合此要求．5、A=，r(A)=2，則()是A*X=0的基礎(chǔ)解系．A、(1，-1，0)T，(0，0，1)T．B、(1，-1，0)T．C、(1，-1，0)T，(2，-2，a)T．D、(2，-2，a)T，(3，-3，6)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由A是3階矩陣，因此未知數(shù)個(gè)數(shù)n為3．r(A)=2，則r(A*)=1．A*X=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含n-1=2個(gè)解，(A)滿足．(1，-1，0)T，(0，0，1)T顯然線性無關(guān)，只要再說明它們都是A*X=0的解．A*A=｜A｜E=0，于是A的3個(gè)列向量(1，-1，0)T，(2，-2，a)T，(3，-3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，a和b不會(huì)都是0，不妨設(shè)a≠0，則(0，0，a)T=(2，-2，a)T-2(1，-1，0)T也是A*X=0的解．于是(0，0，1)T=(0，0，a)T／a也是解．6、線性方程組的通解可以表示為A、(1，-1，0，0)T+c(0，1，-1，0)T，c任意．B、(0，1，1，1)T+c1(0，-2，2，0)T+c2(0，1，-1，0)T，c1，c2任意．C、(1，-2，1，0)T+c1(-1，2，1，1)T+c2(0，1，-1，0)T，c1，c2任意．D、(1，-1，0，0)T+c1(1，-2，1，0)T+c2(0，1，-1，0)T，c1，c2任意．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：用排除法．非齊次方程組AX=β的通解是它的一個(gè)特解加上導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系的線性組合．因此表達(dá)式中，帶參數(shù)的是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，無參數(shù)的是特解．于是可從這兩個(gè)方面來檢查．先看導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系．方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)n=4，系數(shù)矩陣的秩為2，所以導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含2個(gè)解．(A)中只一個(gè)，可排除．(B)中用(0，-2，2，0)T，(0，1，-1，0)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，但是它們是相關(guān)的，也可排除．(C)和(D)都有(1，-2，1，0)T，但是(C)用它作為特解，而(D)用它為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的成員，兩者必有一個(gè)不對．只要檢查(1，-2，1，0)T，確定是原方程組的解，不是導(dǎo)出組的解，排除(D)．7、設(shè)ξ1，ξ2是非齊次方程組AX=β的兩個(gè)不同的解，η1，η2為它的導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則它的通解為()A、k1η1+k2η2+(ξ1-ξ2)／2．B、k1η1+k2(η1-η2)+(ξ1+ξ2)／2．C、k1η1+k2(ξ1-ξ2)+(ξ1-ξ2)／2．D、k1η1+k2(ξ1-ξ2)+(ξ1+ξ2)／2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：先看特解．(ξ1-ξ2)／2是AX=0的解，不是AX=β的解，從而(A)，(C)都不對．(ξ1+ξ2)／2是AX=β的解．在看導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系．在(B)中，η1，η1-η2是AX=0的兩個(gè)解，并且由η1，η2線性無關(guān)容易得出它們也無關(guān)，從而可作出AX=0的基礎(chǔ)解系，(B)正確．在(D)中，雖然η1，ξ1-ξ2都是AX=0的解，但不知道它們是否無關(guān)，因此(D)作為一般性結(jié)論是不對的．8、設(shè)A為4×3矩陣，η1，η2，η3是非齊次線性方程組AX=β的3個(gè)線性無關(guān)的解，k1，k2為任意常數(shù)，則AX=β的通解為()A、(η2+η3)／2+k1(η2-η1)．B、(η2-η3)／2+k2(η2-η1)．C、(η2+η3)／2+k1(η3-η1)+k2(η2-η1)．D、(η2-η3)／2+k1(η3-η1)+k2(η2-η1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：(B)和(D)都用(η2-η3)／2為特解，但是(η2-η3)／2不是原方程組的解，因此(B)和(D)都排除．(A)和(C)的區(qū)別在于導(dǎo)出組AX=0的基礎(chǔ)解系上，(A)只用一個(gè)向量，而(C)用了兩個(gè)：(η3-η1)，(η2-η1)．由于η1，η2，η3線性無關(guān)，可推出(η3-η1)，(η2-η1)無關(guān)，并且它們都是AX=0的解．則AX=0的解集合的秩不小于2，從而排除(A)．9、設(shè)線性方程組AX=β有3個(gè)不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n-2，n是未知數(shù)個(gè)數(shù)，則()正確．A、對任何數(shù)c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；B、2γ1-3γ2+γ3是導(dǎo)出組AX=0的解；C、γ1，γ2，γ3線性相關(guān)；D、γ1-γ2，γ2-γ3是AX=0的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：Aγi=β，因此A(γ1-3γ2+γ3)=2β-3β+β=0，即2γ1-3γ2+γ3是AX=0的解，(B)正確．c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解c1+c2+c3=1，(A)缺少此條件．當(dāng)r(A)=n-2時(shí)，AX=0的基礎(chǔ)解系包含兩個(gè)解，此時(shí)AX=β存在3個(gè)線性無關(guān)的解，因此不能斷定γ1，γ2，γ3線性相關(guān)．(C)不成立．γ1-γ2，γ2-γ3都是AX=0的解，但從條件得不出它們線性無關(guān)，因此(D)不成立．二、填空題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)10、已知ξ1=(1，1，-1，-1)T和ξ2=(1，0，-1．0)T是線性方程組的解，η=(2，-2，1，1)T是它的導(dǎo)出組的解，方程組的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：ξ1+c1η+c2(ξ2-ξ1)，c1，c2任意知識點(diǎn)解析：暫無解析11、設(shè)矩陣A=(α1，α2，α3)，方程組AX=β的通解為ξ+cη，其中ξ=(1，1，-1)T，η=(-3，4，2)T.記B=(α1，α2，α3，α1+α2+β)，方程組BY=β的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，-1，0)T+c1(-3，4，2，0)T+c2(2，2，-1，-1)T，c1，c2任意知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè)ξ1=(2，-1，-1，0)T和ξ2=(t，1-t，0，-1)T是4元齊次方程組(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，方程組(Ⅱ)為已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共的非零解，p=______，t=_______全部公共解_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3；-2；c(3ξ1-2ξ2)，c任意知識點(diǎn)解析：暫無解析三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)13、已知(1，a，2)T，(-1，4，6)T構(gòu)成齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，求a，b，s，t．標(biāo)準(zhǔn)答案：此齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系包含2個(gè)解，未知數(shù)有3個(gè)，則系數(shù)矩陣的秩為1，立刻得到s=2．t=-1．于是方程組為把(1，a，2)T，(-1，4，6)T代入，得a=2，b=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、求此齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系和通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①用初等行變換將系數(shù)矩陣化為階梯形矩陣則系數(shù)矩陣的秩為2，小于未知數(shù)個(gè)數(shù)5，此齊次方程組有非零解．進(jìn)一步把階梯形矩陣化為簡單階梯形矩陣：②選定自由未知量x2，x4，x5，用它們表示出待定未知量，得到同解方程組：(一般情況都把階梯形矩陣的臺角所在列號對應(yīng)的未知量(如本題中的x1，x3)作為待定未知量，其他未知量作為自由未知量．這樣得到的同解方程組直接用自由未知量表示出待定未知量，)③對自由未知量賦值，決定基礎(chǔ)解系．一般做法為讓自由未知量輪流地取值1(其他未知量取值0)，這樣得到的一組解為基礎(chǔ)解系，如本題的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：η1=(-2／3，1，0，0，0)T，η2=(-1／3，0，0，1，0)T，η3=(-2／9，0，-1／3，0，1)T，④寫出通解c1η1+c2η2+c3η3，其中c1，c2，c3可取任意數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、討論p，t為何值時(shí)，方程組無解?有解?有解時(shí)寫出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①用初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣于是，當(dāng)t≠-2時(shí)，有r(A｜β)＞r(A)，此時(shí)方程組無解．當(dāng)t=-2時(shí)(p任意)，r(A｜β)=r(A)≤3＜4，此時(shí)有無窮多解．②當(dāng)t=-2，p=-8時(shí)，得同解方程組令x3=x4=0，得一特解(-1，1，0，0)T．導(dǎo)出組有同解方程組對x3，x4賦值得基礎(chǔ)解系(4，-2，1，0)T，(-1，-2，0，1)T．此時(shí)全部解為(-1，1，0，0)T+c1(4，-2，1，0)T+c2(-1，-2，0，1)T，其中c1，c2可取任何數(shù)．③當(dāng)t=-2，p≠-8時(shí)，得同解方程組令x4=0，得一特解(-1，1，0，0)T．導(dǎo)出組有同解方程組令x4=1，得基礎(chǔ)解系(-1，-2，0，1)T．此時(shí)全部解為(-1，1，0，0)T+c(-1，-2，0，1)T，其中c可取任何數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、A=，已知線性方程組AX=β存在兩個(gè)不同的解．①求λ，a．②求AX=β的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①AX=β存在兩個(gè)不同的解(即有無窮多個(gè)解)r(A｜β)=r(A)＜3．用矩陣消元法：則1-λ2=a-λ+1=0，而λ-1≠0(否則第二個(gè)方程為0=1，無解)．得λ=-1，a=-2．得AX=β的同解方程組求出通解(3／2，-1／2，0)T+c(1，0，1)T，c可取任意數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)A=①計(jì)算行列式｜A｜．②實(shí)數(shù)a為什么值時(shí)方程組AX=β有無窮多解?在此時(shí)求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果順題目要求，先做①，算得｜A｜=1-a4，再做②時(shí)，由無窮多解｜A｜=0，a=1或-1．然后分別就這兩種情況用矩陣消元法進(jìn)行討論和求解．這個(gè)過程工作量大．下面的解法要簡單些．解兩個(gè)小題可以一起進(jìn)行：把增廣矩陣用第3類初等行變換化為階梯形①｜A｜=｜B｜=1-a4．②AX=β有無窮多解的條件是1-a4=-a-a2=0，即a=-1．此時(shí)求出通解(0，-1，0，0)T+c(1，1，1，1)T，c為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)n＞0，n元齊次方程組AX=0的系數(shù)矩陣為(1)討論a為什么數(shù)時(shí)AX=0有非零解?(2)在有非零解時(shí)求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)用矩陣消元法，把第n行除以n移到第一行，其他行往下順移，再第i行減第一行的i倍(i＞1)．a(chǎn)=0時(shí)r(A)=1，有非零解．下面設(shè)a≠0，對右邊的矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行行變換：把第2至n各行都除以a，然后把第1行減下面各行后換到最下面，得于是當(dāng)a=-n(n+1)／2時(shí)r(A)=n-1，有非零解．(2)a=0時(shí)AX=0與x1+x2+…+xn=0同解，通解為c1(1，-1，0，…，0)T+c2(1，0，-1，…，0)T+…+cn-1(1，0，0，…，-1)T，ci任意．a(chǎn)=-n(n+1)／2時(shí)，通解為c(1，2，3，…，n)T，c任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、已知線性方程組有解(1，