線性代數(shù)歷年真題經(jīng)管類

全國2008年1月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題答案

課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

1.設(shè)A為三階方陣且141=-2則13Azi=(D)

A.-108B.-12C.12D.108

13A‘A1=331Al2=27x(-2)2=108.

3X1+kx2-x3=0

2.如果方程組，4X2-X3=0有非零解，則左二(B)

4X2+kx3=0

A.-2B.-1C.1D.2

3k—I

4-1

04-1=3=12(A+l)=0,k=—T.

4k

04攵

3.設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是(D)

A.AB=BAB.(A+5)-1=A-1+B-'

C.IA+8I=I4I+IBID.(A+B)T=AT+BT

4.設(shè)A為四階矩陣，且|力|=2,貝”A*I=(C)

A.2B.4C.8D.12

A*|=|4|"T=|A|3=23=8.

5.設(shè)夕可由向量%=(1,0,0),%=(0,0,1)線性表示,則下列向量中力只能是(B)

A.(2,1,1)B.(-3,0,2)C.(1,1,0)D.(0,-1,0)

p=kial+女2a2=(%i，°，%2).

6.向量組名,%，…，4的秩不為$(sN2)的充分必要條件是(C)

A.%,…,全是非零向量

B.%全是零向量

C.%…,見中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表出

D.%,夕2,…,。，中至少有一個(gè)零向量

％的秩不為S=C]4線性相關(guān).

7.設(shè)A為機(jī)X”矩陣，方程AX=O僅有零解的充分必要條件是（C）

A.A的行向量組線性無關(guān)B.A的行向量組線性相關(guān)

C.A的列向量組線性無關(guān)D.A的列向量組線性相關(guān)

AX=Q僅有零解or（A）=”O(jiān)A的列向量組線性無關(guān).

8.設(shè)A與B是兩個(gè)相似”階矩陣，則下列說法里誤的是（D）

A.141=131B.秩(A)=秩(B)

C.存在可逆陣P,使P'AP=BD.AE-A=AE-B

'10o'

9.與矩陣A=010相似的是（A）

002

100110100101

A.020B.010C.110D.020

001002j|_002j|_001

有相同特征值的同階對稱矩陣一定（正交）相似.

10.設(shè)有二次型/（巧,々,匕）=寸一君+4，JUlJf（Xl,x2,x3）（C）

A.正定B.負(fù)定C.不定D.半正定

當(dāng)X1=1,々=0,=0時(shí)，/>0；當(dāng)X1=0,=1,》3=0時(shí)/<0.總之，f有正有負(fù).

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

L11

11.若=0,則

122

k11

=2k—1=0?k=—.

122

~32-326-

-1021nr

12.設(shè)人=01,B=,貝ljAB=010?

010

14142

'326"

F102

AB=|_010=010.

用142

200--1/200-

13.設(shè)A=010，則AT=010?

0220-11/2_

-200100--200100一■1001/200-

010010T010010->010010.

0220010020-210010-11/2_

14.設(shè)A為3x3矩陣，且方程組4x=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量，則秩(4)=1

秩(A)=??-r=3-2=I.

15.已知A有一個(gè)特征值-2,則8=A?+2￡必有一個(gè)特征-6

4=—2是A的特征值，則A2+2=(-2)2+2=6是8=A2+2E的特征值.

16.方程組X]+—*3=0的通解是k\(-1,1,0)7+&2(1，0，1)丁?

X]=-x2+x3r-n

x=x,通解是k、1+心3°

22to；■

X3=X3

17.向量組/=(1,0,0),?2=(1,1,0),=(-5,2,0)的秩是__2_

00](\00、

110-010,秩是2.

2oj10

「500,

200'

18.矩陣A=020的全部特征向量是

002

&(1,0,0)7+%(0,1,0),+"0,0,1)，(占/2,&3不全為零)?

jo0o)xl=xl3

4=4=4=2,AE—A=000,,，基礎(chǔ)解系為0,1,0.

10ojioj

0X3=X3

19.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似，則1281=-16

-200

1281=23010=8x(-2)=-16.

001

121

20.矩陣2-10所對應(yīng)的二次型是/（X],工2，/）二一+4/工2+2天巧.

103

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1200

012°的值.

21.計(jì)算四階行列式

0012

2001

120()120012001200

0120012001200120

解:=-15.

0012001200120012

20010-4010081000-15

321

22.設(shè)4=111求

101

321100101001101001

解：111010fill010-0I001-1

10100132110oj02-210-3

1010012020021[2001-21

f01001-1—>01001一1f01001-1

00-21-2-100-21-2-100-21-2-1

，001/2-11/2-1/2-11/2

T01001-1，A^=01-1

001-1/211/2-1/211/2

-1iolFi10

23.設(shè)A=002,B=022，且4,8,X滿足3-5一?。┒》蕘V=石，求X,X，

002j003

解：由（七一8-丁）丁5/乂=石，得[夕七一⑶一以升丁乂二七，B|J（BE-BB]A）TX=E,

T

'200-~200~-1/20O-

(B-A)TX=E,X-1=(B-A)020=020,X=01/20

001_001001

求向量組%

24.=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2)，a3=(3,0,7,14),a4=(2,1,5,6)，%=(1-1,2,0)

的一個(gè)極大線性無關(guān)組.

-124、,1-124、q-124、T-124、

0312031203120312

解:30714T0312T0000—0000

2156031-2000-4000-4

J-12o><000-4>00-4;200

%,%，%是一個(gè)極大線性無關(guān)組?

xx+x2+x3+X4+X5=7

3^|+2%2+X3+X4—3%=—2

25.求非齊次方程組的通解.

x2+2X3+2X4+6元5=23

5X1+4X2-3/+3X4-x5-12

111117111117

3211-3-20-1-2-2-6-23

解:A=f

0226230122623

54-33-1120-1-8-2-6-23

11111117

0-1-2-2-6-2-2-6-23

00000-6000

00-6000000

111117110117100-1-5-16

012262301026230102623

->

001000001000001000

000000000000000000

(

匹=-16+X4+5%仁16]「5

匕=23-2X4-6X523-2-6

彳3=。,通解為00+k.20

X4=工4010

%=<0，J,7

2-20

26.設(shè)A=-21-2求「使P」AP為對角矩陣.

0-20

2-220

解：UE—Al=22-12=2(2-1)(A-2)-4(A-2)-4Z=萬-3/12-6Z+8

02A

=(23+8)-32(2+2)=(2+2)(22-22+4)-32(2+2)

=(/+2)(1-54+4)=(2+2)(2-1)(2—4),

特征值4=—2,22=1,4=4.

對于4=-2,解齊次線性方程組(2E-A)x=0：

420、2-10、2-10、2-1o'

在一A=2-322-320-220-22

,02一2,2一2,02一2,03

1

(2-10，20-1、f\0-1/2、xi=2X3(1/2、

->->

—>01-101-101-1X2=x3，基礎(chǔ)解系為%=

000(00X1

、°7、°°,0>3=17

對于人2=1，解齊次線性方程組(4E-A)x=0：

-120、'-120\20、r-l20、'-10-p

ZE-A=202—>101021021021

,02、02b、021>、000>、000>

!\01一巧(-1、

1

->基礎(chǔ)解系為的=

011/2X2=一//3，-1/2

、0007、17

對于4=4,解齊次線性方程組(2￡-A)x=0：

220、(220}(220、(110、0-2、

AE-A=232->012f012012->012

02%、024,、000,、00、00°，

X1=、

2X3'2

3=-2

<x2=一2/，基礎(chǔ)解系為。

X3~X3

口/2-12、-200、

令「1-1/2-2，則P是可逆矩陣，使P^APu010

、1111°04,

四、證明題（本大題6分）

27.設(shè)%,%，%是齊次方程組的基礎(chǔ)解系，證明%,。］+%，為+%+。3也是Ax二。

的基礎(chǔ)解系.

iiE：（1）440的基礎(chǔ)解系由3個(gè)線性無關(guān)的解向量組成.

(2)是Ax=0的解向量,則%,+。2,%++%也是4尤=°的解向量.

(3)設(shè)+后2（%+%）+后3（%+。2+。3）=。，則

2+(%2+3a3

(攵|+攵+自)。|k3)a2+攵=0，

片+女2+23=0111

由%,%，。3線性無關(guān)，得,g+左3=0，系數(shù)行列式011二1w0,只有零解

%3=。001

=攵2=自=0，所以外+02，4+。2+出線性無關(guān)，

由（1）（2）（3）可知，%,%+。2,%+。2+。3也是4工=0的基礎(chǔ)解系.

全國2008年4月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

a

\2。13a\\+2a12a\3

1.設(shè)行列式。=一a=3,￡)|=aa，則小的1為（C）

22。232\5a2i+2a2223

aa“33

3\325a3i+2a32。33

A.-15B.-6C.6D.15

5aliai3a

?！?%]2《2i3

。］二5a2i+a2a=0+2D=6?

。21。232122。23

5a3i2〃32

。31。33。31。33

2.設(shè)矩陣（"j:Ri則（C）

A.a=3,/?=一l,c=l,d=3B.a=-\,b=3,c=\,d=3

C.a=3,h=-l,c=0,d=3D.a=-l,b=39c=0,d=3

a+b=2,a-b=4,c=0,d=3=>a=3,/?=-l,c=0,d=3.

3.設(shè)3階方陣4的秩為2,則與4等價(jià)的矩陣為（B）

’111、(1P11P'111、

A.000B.011C.222D.222

、000,、000,eoo,、333>

4.設(shè)A為〃階方陣,n>2,貝?-5AI=(A）

A.(一5)〃141B.-5IAIC.51AlD.5"1X1

(\2)

,則IA*I=(

5.設(shè)A=(34)B)

A.-4B.-2C.2D.4

12

IA*\=\A\n-'=\A\2-'==-2.

34

6.向量組內(nèi)（s>2）線性無關(guān)的充分必要條件是（D）

A.%,&均不為零向量

B.&中任意兩個(gè)向量不成比例

C.中任意s-1個(gè)向量線性無關(guān)

D.%,%,…,凡中任意一個(gè)向量均不能由其余$-1個(gè)向量線性表示

7.設(shè)3元線性方程組Ax=人，A的秩為2,彷，%，小為方程組的解，7+/=(2,0,4),，

/+%=（1,-2,1）7,則對任意常數(shù)鼠方程組Ax=8的通解為（D）

A.(1,0,2)7+%(1,—21)B.(1,一2,1),+攵(2,0,4尸

C.（2,0,4）,+女（1,一2,1）「D.（10,2）7+女（1,2,3）r

取Ar=b的特解：〃=；（%+%）=（1,0,2）7；

Ax=0的基礎(chǔ)解系含一個(gè)解向量：a=%-%=（/+〃2）-（/+%）=（1，2,3）,.

8.設(shè)3階方陣A的特征值為1,-1,2,則下列矩陣中為可逆矩陣的是（D）

A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A

-2不是A的特征值，所以I-2E-AIHO,-2E-A可逆.

9.設(shè)義=2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣（42廣必有一個(gè)特征值等于（A）

A.-B.-C.2D.4

42

4=2是A的特征值，則（萬『=_L是（42）T的特征值.

4

10.二次型/（修,工2，工3,無4）=X；+X；+無；+X：+2巧九4的秩為（C）

A.1B.2C.3D.4

」000)q000、

01000100

A=—>,秩為3.

00110011

k0011)10000,

二、填空題(本大題共10小題每小題2分，共20分）

。向a}b3

11.行列式a2bla2b2a2b3=_0_.

a3bla3b2a3b3

行成比例值為零.

’12、

12.設(shè)矩陣4='p=,則APr=

、34,K：)K2,

F3q0、’32、

=

JbJ4,

’00r'0-1r

13.設(shè)矩陣4=011,則A-1=-110

J1lJ。叼

’001100、’111001、’110-101、‘1000-11、

011010―011010-^010-110^010-110

001100001100

J11001;k;\/{Oil00,

’122、

14.設(shè)矩陣A=2r3,若齊次線性方程組Ax=O有非零解，則數(shù)u2

、345)

12212

t-4-1

\A\=2t3=0t-4—1==2—f=0>t=2.

-2-1

3450-2

已知向量組％=的秩為2,則數(shù)三-2

<11］、(11t}riif：

1-21—>0-31-tT0-3l-t,秩為2,則r=-2.

(032,+1；

<-21I<00z+2；

7

16.已知向量a=(2,1,0,3)7,夕=(1,_2,1,幻1a與戶的內(nèi)積為2,則數(shù)

(a、0)=2,即2—2+0+3左=2,k=2/3.

T

17.設(shè)向量。=I為單位向量，則數(shù)任0.

Ial=加+4+)=〃2+1=1,b=O.

V22

‘0-2-2、

18.已知4=0為矩陣A=22-2的2重特征值，則A的另一特征值為4.

、一2-22,

4=22=0，4+4)+%3=°+2+2,所以4=4.

‘1-20、

19.二次型/(片,尤2，尤3)=%；+24-5尤;一4/小+2.2巧的矩陣為-221

、。1一"

20.已知二次型/(占》2?3)=/+1)6+(%—l)x；+也一2)x；正定，則數(shù)％的取值范圍為

k>2.

pt+l>0k>一1

?k—1〉0,<k>1,k>2.

[jl-2>0

k>2

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1111

1200

21.計(jì)算行列式列=的值.

1030

1004

1111111111111111

120001-1-101-1-101-1-1

解：====-2

10300-12-1001-2001-2

10040-1-1300-22000-2

q0P<301、

22.已知矩陣4=-10，I?=110

、012>1%

(1)求A的逆矩陣A-、(2)解矩陣方程AX=8.

'101100、rl01100、'10100、

解⑴1-10010->0-1-1-110->0-1-110

12001,、012001,、00T1L

<1002-1-p’1002-1-P'2-1-1、

->0-10-221T0102-2-1A-l=2-2-1

^001-11001-1、一11

,2-1-1W301、'5-2-2、

(2)X=A"=2-2-11104-3-2

「111八01

4,、-2

23.設(shè)向量a=(l,-1,一1,1),/?=(-1,1,1,-1),求(1)矩陣A=a%；(2)A2.

，1](~\11-1、

-11--11

解(1)A=aTp=(-1,1,1,-1)-

—11―-1I

JJl-l1

1-b

piii-nr-iii-0(4-4

(2)A2=1-i-iii-i-i1_-444-4

1-i-iii-i-i1--444-4

ii-ijlk-ii-JI4-4

Ci-44

24.設(shè)向量組％=(1,—1,2,4)J%=(031,2)7,%=(3,0,7,14)7,%-卜口⑨丁，求向

量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.

(1031、U031、‘1031、

-130-103300110

解：(%,%，。3，。4)=T->

217201100110

42140?1022-4?,011-27

(1031、u031、(i031、

011001100110

—>

000000000001

<000-2><00017<0000>

向量組的秩為3,%,%,%是一個(gè)極大線性無關(guān)組，%=3al+%+0%-

+2X3=-1

25.已知線性方程組一修+工2-3%=2，(1)求當(dāng)。為何值時(shí)，方程組無解、有解;

2xt-x2+5X3=a

(2)當(dāng)方程組有解時(shí),求出其全部解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).

02-1U02-1、[102-1、

解：(4力)-i1-32->01-11->01-11

J-15k0-11Q+2.、°00a+3,

(1)a工一3時(shí)，方程組無解,a=—3時(shí)，方程組有解；

02-PX]=-1-2X3-n「2、

J

(2)a=—3時(shí),(4,b)f01-11x2=1+x3全部解為+k1

,000o;0J

87\

26.設(shè)矩陣A=,(1)求矩陣A的特征值與對應(yīng)的全部特征向量;

127

(2)判定A是否可以與對角陣相似，若可以，求可逆陣尸和對角陣A,使得尸-kP=A.

A—8—7

解：I花一Al==A2-102+9=(A-l)(2-9),特征值4=1,A=9.

—1A—22

對于4=1,解齊次線性方程組（/lE-A）x=O：

AE-A=f-7一”—"卜?=一'％,基礎(chǔ)解系為Q卜1，對應(yīng)的全部特征

1-1-VI。Oj[x2=x2UJ

向量為占%（占是任意非零常數(shù)）;

對于4=9,解齊次線性方程組（4E-A）x=0：

A￡-A=f1一1—[-7],=7",基礎(chǔ)解系為對應(yīng)的全部特征

1-17J^0Oj[x2=x2⑴

向量為k2a2（七是任意非零常數(shù)）.

令尸=（-11，A=[。],則尸是可逆矩陣，使得尸-/「=人.

I11J1。9J

四、證明題（本題6分）

27.設(shè)〃階矩陣A滿足A?=A,證明E-2A可逆，且（E—2A）-=E-2A.

Iffi由A?=A,得(E-2A)(E-2A)=￡-4A+4A2=E-4A+4A=E，闞E-24可逆,

且(E-2A)T=E-2A.

全國自考2008年7月線性代數(shù)（經(jīng)管類）試卷答案

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1.設(shè)3階方陣A=La"a2>a3],其中%3=1,2,3）為A的列向量，且IAI=2,則

a3aaa

|BI=|[l+2?2>3]|=（C）

A.-2B.0

C.2D.6

\Xj+x2=0

2.若方程組[kx「X2=°有非零解，則女二（A）

A.-1B.0

C.lD.2

3.設(shè)A,B為同階可逆方陣，則下列等式中錯(cuò)誤的是（C）

A.IABI=IAIIBIB.(AB)-1=B-1A-1

C.(A+B)-1=A-1+B-1D.(AB)T=BTAT

4.設(shè)A為三階矩陣，且IAI=2,則I(A*)-11=(D)

A.4B.l

C.2D.4

5.已知向量組A：a”a2，ct3，a4中。2,a?,線性相關(guān)，那么(B)

A.%，a2，a3，a4線性無關(guān)B%,a2,CC3,a4線性相關(guān)

C.%可由。2，&3，。4線性表示口.。3,014線性無關(guān)

6.向量組叫，。2,…as的秩為r,且r<s,則（C）

A.四，。2,…外線性無關(guān)B.%,a?,…a,中任意「個(gè)向量線性無關(guān)

C.%，。2,…a,中任意計(jì)1個(gè)向量線性相關(guān)

D.%，。2一?5中任意個(gè)向量線性無關(guān)

7.若A與B相似，則（D）

A.A,B都和同一對角矩陣相似B.A,B有相同的特征向量

C.A-XE=B-XED.IAI=IBI

8.設(shè)%，是Ax=b的解，n是對應(yīng)齊次方程Ax=O的解，則（B）

A.n+%是Ax=O的解B.n+（a-a2）是Ax=O的解

C.%是Ax=b的解D.是Ax=b的解

9.下列向量中與&=（1,1,-1）正交的向量是（D）

A.%=（1,1,1）B.a2=（-1,1,1）

C.a3=（1,-1,1）D,a4=（0,1,1）

--11-

10.設(shè)A=U"J,則二次型f（xl,4內(nèi)1人*是（B）

A.正定B.負(fù)定

C.半正定D.不定

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

11.設(shè)A為三階方陣且IAI=3,則12Al=_24.

12已知a=(1,2,3),貝小叮昨0

ci「6—40]

120

030020

0

13.設(shè)A』。2_l,則A*=[°。3_

14.設(shè)A為4X5的矩陣，且秩(A)=2,則齊次方程Ax=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)

是3.

15.設(shè)有向量叫=(1,0,-2),a2=(3,0,7),a3=(2,0,6).則叫，。2，。3的秩是

2.

16.方程xl+x2-x3=l的通解是〃=(1,0,。)'+占(T1,0)，+右(1,0,1)，

A-1=-(A-E)

17.設(shè)A滿足3E+A-A2=0,貝U3

18.設(shè)三階方陣A的三個(gè)特征值為1,2,3.貝IJIA+EI124.

19.設(shè)a與B的內(nèi)積(a,B)=2,IIPII=2,則內(nèi)積(2a+B,-B)=__-8.

3-11

02

122

20.矩陣A=所對應(yīng)的二次型是+2%3-2工］%2+2網(wǎng)％3+4々工3

三、計(jì)算題

120000

300000

001002

00000

000010

002001

21.計(jì)算6階行列式=18

25；1221-2-8

X

已知A=U3-35」?jié)M足求1

22.-,B=dC=L-2，xAX+B=C,X,3

23.求向量組內(nèi)=(1,2,1,3),a2=(4,-1,-5,-6),a3=(1,-3,-4,-7)的秩

141141

2-1-3095

T

1-5-4000

和其一個(gè)極大線性無關(guān)組.3-6-7000秩為2,極大無關(guān)組為四，a2

X|+x2+X3=1

X2一X3=1

2X1

24.當(dāng)a,b為何值時(shí)，方程組+3X2+（a+2）X3=b+3有無窮多解?并求出其通解.

a=T，b=O時(shí)有無窮多解。通解是〃=（°，1，°）’+乂一2,1,1）‘

3-1

25.已知A=17"］，求其特征值與特征向量.

特征值幾=4,幾=10,X=4的特征向量乂1,-1）'/=10的特征向量左（1，-7）’

一2An=^+3"1"3""

26.設(shè)A=U2」，求人爪下［-"1+34

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.設(shè)a為Ax=0的非零解，B為Ax=b（bw0）的解，證明a與。線性無關(guān).

&］（1陟：2=

4（女］。即h0=A=

=代k2A

=0+氏2b

k2b=0->e=°

證明：仁a氏呵）=Th=-&|=0

所以a與B線性無關(guān)。

全國2009年1月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)試題及答案

課程代碼：04184

試卷說明：在本卷中，表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位

矩陣，⑷表示方陣A的行列式，4“表示矩陣A的逆矩陣，秩（A）表示矩陣A的秩.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是最符合題目要求的。請將其代碼填寫在題后

的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)A為n階方陣，若則必有（D）

A.A=OB.T=OC.Ar=OD.IAI=O

2.設(shè)A,8都是n階方陣,且設(shè)1=3,圉1=-1,則L4）T=（A）

A.-3B.--C.-D.3

33

3.設(shè)A為5X4矩陣，若秩（4）=4,則秩（541）為（C）

A.2B.3C.4D.5

4.設(shè)向量a=（4,-L2,-2）,則下列向量中是單位向量的是（B）

A.-aB.-aC.-aD.—a

35925

5二次型於g）=5x；+3x；的規(guī)范形是（D）

A.y"y；C.-y^+y^D.y；+*

6.設(shè)A為5階方陣，若秩（A）=3,則齊次線性方程組4x=0的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個(gè)數(shù)

是（A）

A.2B.3C.4D.5

7.向量空間W=｛（（U,y,z）k+y=O｝的維數(shù)是（B）

A.lB.2C.3D.4

8.設(shè)矩陣A==2],則矩陣4的伴隨矩陣A*=（B）

（43）

9.設(shè)矩陣人=0211,則A的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)是（D）

0031

、0003,

A.lB.2C.3D.4

10.設(shè)A,8分別為機(jī)X”和機(jī)義我矩陣，向量組（I）是由A的列向量構(gòu)成的向量組，向量組

（II）是由