線性代數(shù)復(fù)旦版課后習(xí)題標(biāo)準(zhǔn)答案

線性代數(shù)復(fù)旦版課后習(xí)題標(biāo)準(zhǔn)答案

線性代數(shù)習(xí)題及答案

習(xí)題?

1.求下列各排列的逆序數(shù).

(1)341782659；(2)987654321；

(3)n(n1)-321；(4)13-(2n1)(2n)(2n2)-2.【解】

(1)T(341782659)=11;(2)T(987654321)=36;

22

(3)T(n(n1)-321)=0+1+2+-+(n1)=

n(n1)2

(4)T(13—(2n1)(2n)(2n2)…2)=0+1+…+(nl)+(nl)+(n2)+…+l+0=n(n1).

5x

1x21

21x2

3232x

xlx

4.本行列式D4

的展開式中包含x3和x4的項(xiàng).

解：設(shè)D4

ili2i3i4

(1)

(ili2i3i4)

aillai22ai33ai44，其中il,i2,i3,i4分別為不同列中對(duì)應(yīng)元素

的行下標(biāo)，則D4展開式中含x3項(xiàng)有

(1)

4

(2134)

x1x2x(1)

(4231)

xxx32x(3x)5x

333

D4展開式中含x項(xiàng)有

(1)

(1234)

2xxx2x10x.

4

5.用定義計(jì)算下列各行列式.

2000

0100

T

0004

(2314)

12000

3240

0051

⑴

030

;(2)

030

【解】⑴D=(1)4!二24;D=12.

6.計(jì)算下列各行列式.

21120IblO

42360lcl5

112200IdO120

6236

2122

0;

(1)

315a

abaccdcf2341

3412

4123

aede；ef

;(2)bd

bfl

(3)

100

(4)

234

【解】⑴D

rlr2

315

1111

1

14abcdef;11

2

(2)Dabcdef1

1

b

(3)Dal

lei

lei

1(l)Od

c

lab

1

d

Id

10

1

cd1

d

abedabadcd1;

clc2

2341

3412

4123

r2rlr3rl

r4rl

10

000

2121

3121

4321

r32r2r4r2

000

2100

3140

4344

160.

(4)D

clc3clc4

7.證明下列各式.

a

2

ababl

b

2

2

(1)2a

1

2b(ab)；1

2222

a

2222

(a1)(b1)(c1)(d1)

abc

222

(a2)(b2)(c2)(d2)

2222

(a3)(b3)(c3)(d3)

2222

⑵

bed

0；

abc

333

abc

abc

222

(3)(abbeca)a

00

b

(4)D2n

00

c

ac

bd

00

(adbe)；

n

OOd

al

11a2

1

111an

1

n

(5)

11

i1

1n

ai.aii1

【證明】(D

clc3

(ab)(ab)2(ab)

b(ab)abO

b

2

左端

c2c3

2b1

2

bl

a

c3-2c2c43c2

2222

(ab)(ab)2(ab)

a

2222

b(ab)ab

(ab)

ab2

(ab)右端.

3

2a12b12c12d1

4a44b44c44d4

6a96b96c96d9

2a12b12c12d1

2222

6666

0右端.

⑵左端

c2-cl

bed

bed

c3clc4cl

(3)首先考慮4階范德蒙行列式：

f(x)

xabc

xabc

2222

xabc

3333

(xa)(xb)(xc)(ab)(ac)(bc)(*)

從上面的4階范德蒙行列式知，多項(xiàng)式f(x)的x的系數(shù)為

(abbeac)(ab)(ac)(bc)(abbeac)abc

a

2

2

b,

c

2

但對(duì)(*)式右端行列式按第一行展開知x的系數(shù)為兩者應(yīng)相等，故

(1)

11

abc

222

a

3

3

b,

c

3

(4)對(duì)D2n按第一行展開，得a

a

D2na

cO

c

bd

bOOa

a

bd

b

dO

Od

Oc

cO

c

dO

adD2(n1)beD2(n1)(adbe)D2(n1),

據(jù)此遞推下去，可得

D2n(adbc)D2(n1)(adbc)D2(n2)

(adbe)(adbe)

D2n(adbe),

n

n1

D2(adbe)

n1

(adbe)

n

(5)對(duì)行列式的階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)n二2時(shí);可直接驗(yàn)算結(jié)論成立，假定對(duì)這樣的n1階行列式結(jié)論成立，進(jìn)而證明階

數(shù)為n時(shí)結(jié)論也成立.

按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個(gè)n階行列式相加：

al

Dn

11

11a21

111

111al

111

11a211

111an1

1

00Oan

ala2an1anDn1.

但由歸納假設(shè)

Dn1

ala2an11

n1

i1

1,ai

從而有

Dnala2an1

anala2an11

n

n1

iIn

1ai1

ai.aii1

n

ala2anlan1

i1

11ai

i1

8.計(jì)算下列n階行列式.

xlxlyx00

12100

11

12

2222

2232

222；n

(1)Dn

11x0

(2)Dn2

2

00xO

00012

Oy00

01200

x

00021

00

.(4)Dnaij其中aijij(i,j1,2,,n)；yx

(3)Dn

Oy

21

(5)Dn

000

【解】(1)各行都加到第一行，再?gòu)牡?行提出x+(n1),得

Dn[x(n1)]

lx1

11x,

將第一行乘(1)后分別加到其余各行，得

1

DnEx(n1)]

10

r2rl

110

(xn1)(x1)

n1

x10

x1

20

2100

2020

200n2

2(n2)!.

20000

20100

20020

按第二行展開

2000

(2)Dn

r3rlrnrl

0

n(3)行列式按第一列展開后，得x0

Dnx

Oyxx

n

yx00

(n1)

Oy00

00xO

(n1)

00

y(l)yxy

(n1)

n1

yxO0

Oyx0

OOy0

000

000y

x

y(1)

n1

X(l)y.

n

(4)由題意，知

al

11

aa

1222

aa

nln2

101n2

21111

210n3

n21111

nIn2n3

Dn

a2

1

2n1

anlan2

ann

01

n11111

111lln11000

后一行減去前一行

111

第三行起后一行減去前一行

01000

11200

21000

n21002

12

按第一列展開0

0

2020

n2002

n1000

2

按第n-1列展開(1)

n1

020

000

00(1)

n1

(n1)

00

(n1)2

n2

00012

2

01000

12100

01200

00021

00012

21

12100

01200

000

00012

21000

02100

01200

⑸Dn

000

21

21

2Dn1Dn2.

即有DnDn1Dn1Dn2

由DnDn1Dn1Dn2

D2DI1

In得

D2DI

DnDIn1,Dnn19.計(jì)算n階行列式.

al

Dn

alal

a21a2

a2

n

2n.1

anan1an

【解】各列都加到第一列，再?gòu)牡?列提出1ai,得

i1

Dn1

n

a2a2a2a2100

a3010

a3a31a3

a3

ananan1an

i1

ai

1a2

將第一行乘（1）后加到其余各行，得

1

Dn1

n

anOO1

n

i1

ai0

a.

i

i1

1

10.計(jì)算n階行列式（其中ai0,i1,2,,n）.

alal

Dn

n1

a2

n1

a3

n1

an

n1

n2

bla2b2

a2b2b2

n2n1

n2

a3b3

a3b3b3

n2

n2

anbn

n2

alblbl

n2n1

n2

anbnbn

nIn1

【解】行列式的各列提取因子aj(j1,2,,n),然后應(yīng)用范德蒙行列式.

n1

Iblal

Dn(ala2an)

n1

2

Ib2a2b2a2

n1

2

Ib3a3b3a3

n1

2

Ibnanbnan

2

blalblal

n1

bnan

n1

b2a2b3a3

(ala2an)

n1

bibjaa.1jinij

11.已知4階行列式

1D4

311

2351

3462

4472

試求A41A42與A43A44,其中A4j為行列式D4的第4行第j個(gè)元素的代數(shù)余子式.

【解】

2

A41A42(1)

41

346

44(1)7

42

131

346

4

43912.7

35

同理A43A441569.12.用克萊姆法則解方程組.

xlx2x3

2x1x2x3x4

(1)

xl2x2x3x4x2x3x

234

5x16x21,

5,

xl5x26x30,1,

(2)x25x36x40,2,x5x6x0,

345

3.

x45x51.

【解】方程組的系數(shù)行列式為

ID

210

1121

1112

01131000

1111

1322

0113

111

322

1

1

351

1

2180;4103

5D1

1231D3

210

11211121

11125123

0113011336;

D4

18;

D2

12101210

51231121

11121112

0113512318.36;

故原方程組有惟一解，為

xl

DID1,

x2

D2D2,

x3

D3D2,

x4

D4D1.

2)D665,DI1507,D21145,D3703,D4395,D5212.xl

1507665

,x2

229133

,x3

3735,x4

79133

,x5

212665

13.入和u為何值時(shí)，齊次方程組

xlx2x30,

xlx2x30,x2xx0

231

有非零解？

【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數(shù)行列式

11

1110,1

2

即

(1)0.

故0或1時(shí)，方程組有非零解.14.問(wèn)：齊次線性方程組

xlx2x3ax40,

xl2x2x3x40,

xx3xx0,2341

xxaxbx0

2341

有非零解時(shí)，a,b必須滿足什么條件？

【解】該齊次線性方程組有非零解，a,b需滿足1211

113a

allb0,

即(a+l)2=4b.

15.求三次多項(xiàng)式f(x)a0alxa2x2a3x3,使得

f(1)0,f(l)4,f(2)3,f(3)16.

【解】根據(jù)題意，得

f(1)a0ala2a30;f(1)aOala2a34;f(2)aO2al4a28a33

;f(3)aO3al9a227a316.

這是關(guān)于四個(gè)未知數(shù)aO,al,a2,a3的一個(gè)線性方程組，由于

D48,DO336,DI0,D2240,D396.

故得aO7,al0,a25,a32于是所求的多項(xiàng)式為

f(x)75x2x

2

3

16.求出使一平面上三個(gè)點(diǎn)(xl,yl),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直線上的充分必要條件.

【解】設(shè)平面上的直線方程為

ax+by+c=O(a,b不同時(shí)為0)

按題設(shè)有

axlbylc0,

ax2by2c0,axbyc0,

33

則以a,b,c為未知數(shù)的?:元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為

xlx2x3

yly2y3

1101

上式即為三點(diǎn)(xl,yl),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直線上的充分必要條件.

習(xí)題二

1.計(jì)算下列矩陣的乘積.

11

(1)=3

23

21

5

0；(2)0

0

032

01

12；13

(3)1

23

3

2

4(4)10

xl

x2

allx3a21

a311020

01101030

al2a22a320100

al3xla23x2；a33x33220

1

1.33

all

(5)a21

a31

al2a22a32al31

a230a330

010

0

1；(6)1

1

000

2100

【解】33⑴69

2111

2246

1123

22

0

5

;(2)3;(3)(10);

0

1

0

3

3

ij

23

(4)axa22xa33x(al2a21)xlx2(al3a31)xlx3(a23a32)x2x3

1

al2al3

0

a22a23;(6)

0

a32a33

0

2100

5240

24.39

a

i1

J1

xixj

all(5)a21

a31

al2a22a32

1

2.設(shè)A1

111

11,B1

112

1231

1

1,4

2

2

求(1)AB2A;(2)ABBA；(3)(A+B)(AB)AB嗎？2

【解】⑴AB2A4

0

402

24

0;(2)ABBA5

43

431

0

1；1

(3)由于ABWBA,故(A+B)(AB)WA2B2.

3.舉例說(shuō)明下列命題是錯(cuò)誤的.

(1)若A20,則A0；(2)若A2A,則A0或AE；(3)若AX=AY,0,

則乂=丫.【解】

0

(1)以三階矩陣為例，取A0

01

⑵令A(yù)0

01

⑶令A(yù)0

1

100110

000

1

2

0,A0,但AWO0

0

2

0,貝IJA=A,但A#0且AWE1

0211O,Y=1,X2

11?

則AX=AY,但XNY.1

4.設(shè)A

0

23k

,求A,A,…，A.1

【解】A

5.A=0

0

2

10213

,A103Ik

,,A1Ok

1

1

0

023

1,求A,A并證明:

k

k

A二

00

k

k1

k(kl)2k

k2

kkIk

3

2

22

【解】A:0

0

2

2

12,2

3

3

A=0

0

3

323.3

今歸納假設(shè)

k

k

A=

00

k

k1

k(kl)2k

k2

kklk

0

那么

A

k1

AAk0Ok

k1

k

k(kl)2k

k2

kkIk

0

001

001

klk(kl)k1

(k1)

k

2

0

k1

(k1)

k

00

k1

所以，對(duì)于一切自然數(shù)k,都有

k

k

k1

k(k1)Ak

2

k2

0

kk

k1.

00

k

6.已知AP=PB,其中

1001

00

B=0

00,P二

2100

12

1

1

求A及A5.

【解】因?yàn)镮因1W0,故由AP二PB,得

1

00

APBP

1

200,6

1

1

而

A5

(PBP

1)5

P(B)5P1

1

001001

001

0210000210202

1100

14

1

16

1

abed

7.設(shè)A二

b

adc

edab,求A|.d

c

b

a

解：由一知條件，A的伴隨矩陣為

0

0A.1

ab2222

A=(abcd)

cd

badc

edab

dc

(a2b2c2d2)Aba

又因?yàn)锳A二AE,所以有

(abcd)A=AE,且A0,

2

即(a2b2c2d)A

2

22222

=(abcd)2

2

2

22224

4

E

2

2

于是有

J(/+獷++d?)”

A(abcd).8.已知線性變換

xl2yly2,yl3zlz2,

x22yl3y22y3,y22zlz3,x4yy5y;yz3z,

1232333

利用矩陣乘法求從zl,z2,z3到xl,x2,x3的線性變換.【解】已知

xl2Xx22

4x3yl3Yy22

0y3

131101

0yl

2y2AY,5y30zl

lz2Bz,3z3241

1

9z,16

4

XAYABzl2

10

從而由zl,z2,z3到xl,x2,x3的線性變換為

xl4zl2z2z3,

x212zl4z29z3,xlOzz16z.

1233

9.設(shè)A,B為n階方陣，且A為對(duì)稱陣，證明：BAB也是對(duì)稱陣.【證明】因?yàn)閚階

方陣A為對(duì)稱陣，即A'=A,所以(B'AB)'=B'A'B=B,AB,

故BAB也為對(duì)稱陣.

10.設(shè)A,B為n階對(duì)稱方陣，證明：AB為對(duì)稱陣的充分必要條件是AB=BA.【證明】

已知A'=A,B，=B,若AB是對(duì)稱陣，即(AB)，=AB.

則AB=(AB)/=B'A'=BA,

反之，因AB=BA,則

(AB)'=B'A'=BA=AB,

所以，AB為對(duì)稱陣.

11.A為n階對(duì)稱矩陣，B為n階反對(duì)稱矩陣，證明：

(1)B2是對(duì)稱矩陣.

(2)ABBA是對(duì)稱矩陣，AB+BA是反對(duì)稱矩陣.

【證明】

因A'=A,B'=B,故

(B2)'=BZ2BZ=B2(B)=B2;

(ABBA)，=(AB)'(BA”=B'A'AzB'

=BAA2(B)=ABBA;

(AB+BA)'=(AB)'+(BA)'=B'A'+A'Bz

=BA+A2(B)=(AB+BA).

所以B2是對(duì)稱矩陣，ABBA是對(duì)稱矩陣，AB+BA是反對(duì)稱矩陣.

12,求與A=11

01可交換的全體二階矩陣.

【解】設(shè)與A可交換的方陣為ab

cd,則由

11abab11

01cd

cd01

得

acbdaab

cd

ccd.

由對(duì)應(yīng)元素相等得c=0,d=a,即與A可交換的方陣為一切形如a

0

為任意數(shù).

100

13.求與A=

012

可交換的全體三階矩陣.

012

【解】由于

000

A=E+

002

013

而且由ba的方陣，其中a,bala2a3

blb2b3

cl0

c20c30

001

00

203

001

0al

a2

23a3

blb2b3

cl

c2,c3

可得

0

00

clc2c3

2b13cl0

2b23c22a3

2b33c3a23a3

02b3b23b3

2c3.

c23c30

由此又可得

cl0,2b13cl0,2a30,a23a30,c22b3,c3b23b3,2b22c3,2b33

c3c23c3,

所以

a2a3blcl0,

c22b3,c3b23b3.

al

即與A可交換的一切方陣為0

0

0b2b3

2b3其中al,b2,b3為任意數(shù).

b23b3

14.求下列矩陣的逆矩陣.

12

2

5

(1)

1

;(2)0

01

2；10085

0

0

;(6)32

1121

2100212

32；10031

0

0

；04

1(3)3552(5)

00

2442100

al

a2

a,a,,a0,

12nan

未寫出的元素都是0(以下均同，不另注).【解】

5(1)

2

1

2;(2)01

0

210

12;1

121

7(3)632

6414

0

12

1

12

；(4)1

2181a1

；(6)

01216524

00131120

0;014

12(5)

00

2500

0025

0038

la2

,1an

15.利用逆矩陣，解線性方程組

xlx2x31,

2x22x31,xx2.

12

1

【解】因0

1

121

1xl11

2x21,而0012x3

121

1200

故

xl1x021x3

121

1

20

1

110

21

1212

1

10

12

.13

12212

16.證明下列命題：

(1)若A,B是同階可逆矩陣，貝I」(AB)*=B*A*.(2)若A可逆，則A*可逆且(A*)

1=(A1)*.(3)若AA'=E,則(A*)'=(A*)1.

【證明】(1)因?qū)θ我夥疥嘽,均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同階，故可得

|A|2|B|2BA=|AB|E(BA)

二(AB)*AB(B*A*)=(AB)*A(BB*)A*

=(AB)A|B|EA=|A|2|B|(AB).

???A|WO,B|WO,

???(AB)*=B*A*.

(2)由于AA*=IA|E,故A*=|A|A1,從而(A1)*=|A11(A1)1=|A|1A.于是

*

*

*

*

*

**

A*(A1)*=|A|AI2|A|1A=E,

所以

(A1)*=(A*)1.

1

(3)因AA'二E,故A可逆且A二A'.由(2)(A*)1=(A1)*，得

(A*)1=(A')*=(A*)'.

17.已知線性變換

xl2yl2y2y3,

x23yly25y3,x3y2y3y,

1233

求從變量xl,x2,x3到變量yl,y2,y3的線性變換.【解】已知

xl2

Xx23

3x3

212

1yi

5y2AY,3y3

且|A|二IWO,故A可逆，因而

7

1

YAX6

3

432

9

7X,4

所以從變量xl,x2,x3到變量yl,y2,y3的線性變換為

yl7x14x29x3,

y26x13x27x3,y3x2x4x,

1233

18.解下列矩陣方程.

(1)

11

24

X=32

6

1

2(2)X2

111

12

021

111

1

0；1

1;1

(3)

1142X2103

二10

0(4)1

0

100

01

0X010

001

00

120

402

31.0

【解】(1)令A(yù)二

1124;B=32631

,由于A112

1

故原方程的惟一解為

3

XAB

1

1

2412681220

,7

同理1(2)X=0

0

010

01

0;(3)X=114

21

；(4)X=0

0

1

130

0

4.2

19.若Ak=O(k為正整數(shù))，證明:

(EA)

1

=E+A+A++A

2k1

【證明】作乘法

(EA)(E+A+A++AE+A+A++AEAE,

k

2

k12

k1

)

2

k1

AAAA

k

從而EA可逆，且

(EA)

1

=E+A+A++A

2k1

20.設(shè)方陣A滿足A2—A—2E=0,證明A及A+2E都可逆，并求A1及(A+2E)1.

【證】因?yàn)锳2A2E=0,

故

AA2E

2

12

(AE)AE.

由此可知，A可逆，且

A

1

12

(AE).

同樣地

AA2E0,AA6E4E,(A3E)(A2E)4E,14

(A3E)(A2E)E.

22

由此知,A+2E可逆，且

(A2E)

1

14

(A3E)

14

(AE).

2

4

21.設(shè)A=1

1

212

3

0,AB=A+2B,求B.3

【解】由AB=A+2B得(A2E)B=A.

而

2

A2E1

1

212

3

010,1

即A2E可逆，故

21

B(A2E)A1

11

11

456

34

3141

212212

3

01

1

4

11

2128912

3

036

6.9

33

0232

22.設(shè)P

1

1

AP=.其中P=

1

1

41,=10010

,求A.2

【解】因p1，且P得

A

10

113141

，故由A二PP1

(PP11

110

)P()P

02

10

101

4110

13134

3134313

1364

,340

114110

10

10

21

3

12

112

3121012

421365

10

42341

mm

23.設(shè)m次多項(xiàng)式f(x)a0alxamx,記f(A)aOEalAamA,f(A)

稱為方陣A的m次多項(xiàng)式.

1

⑴的

,證明2

1k

A=

kf(1),f(A)k2

;f(2)

(2)設(shè)A=PIBP,證明Bk二PAkP1,f(B)Pf(A)P1.【證明】12

(DA

0

2

1303

,A220

0

即k=2和心3時(shí)?，結(jié)論成立.32

今假設(shè)

1k

A

0

k

0

,k2

那么

A

k1

Ik

AA=

0

kOIk200Ik1

20

0

,k12

所以，對(duì)一切自然數(shù)k,都有

Ik

A

0

k

0

,k2

而

f(A)aOE+alA++amA

1aO

1al1

m

Im

++am2

m2

aOal1++amlm

0f(1)

.f(2)

m

aOal2++am2

(2)由(1)與A二PIBP,得

B=PAP1.

且

Bk=(PAPl)k=PAkP1,

又

f(B)aOEalBamB

aOEalPAP

1

m

m

1

amPAP

m

1

P(aOEalA+amA)PPf(A)P.

ac

1

24.A=

b2

x(ad)xadbe0.,證明矩陣滿足方程d

【證明】將A代入式子x2(ad)xadbe得

A(ad)A(adbc)Eac

ba(ad)dc

2

2

b1

(adbe)d00

1

adbe0

a2be

accd00

2

abbdaad

2

cbdaccd

abbdadbe

2Oadd

0

0.0

故A滿足方程x2(ad)xadbe0.25.設(shè)n階方陣A的伴隨矩陣為A,

證明：⑴若IAI=0,則IA1=0；

(2)AAn1.

【證明】(1)若|A|=0,則必有|A|=0,因若IA|W0,則有A(A)1=E，由此又得

A=AE=AA(A)1=|A|(A)=O,

這與IA|N0是矛盾的，故當(dāng)|A=0,則必有A|=0.(2)由AA*=A|E,兩邊取行列

式,得

|A|)A*|=A|n,

若|A|W0,貝IJ|A*=|A|n1若|A|=0,由(1)知也有

IA*|=|AIn1.

26.設(shè)

52A=

00

2100

0075

k

*

*

*

*

*1

*

*

*

*

0304,B

03

20

2500

0046

0

012

求⑴AB;(2)BA;(3)A1；(4)IAI(k為正整數(shù)).【解】2310

⑴AB二

00

20900

004632

019030;(2)BA=

013

90

81300

003352

0

0;1422(3)A1

12=00

2500002000

2500

0025

00

；(4)A37

k

k

(1).

27.用矩陣分塊的方法，證明下列矩陣可逆，并求其逆矩陣.

12(1)0

0020(3)0

00

0030010100

0001001010

0

0

000；(2)

2

0

2

1230.01

0013

3200

1

1

;00

Al

【解】(D對(duì)A做如下分塊A

00A2

其中

1A1

2

Al,A2的逆矩陣分別為

2;5

3A20

0

010

0

0,1

51

Al

22;1

A2

1

1300

010

0,01

所以A可逆，且

5

201A2

00

21000

001300

00010

000.01

A

1

Al1

同理(2)

A

1

A2A1

1

1

Al

001

A2

1

525

001535

381400

1814.00

(3)

120000

012000

12

012

13

2001

A

1

0100

010

習(xí)題三

1.略.見教材習(xí)題參考答案.2.略.見教材習(xí)題參考答案.3.略.見教材習(xí)題參考答案.

4.略.見教材習(xí)題參考答案.

5.112,223,334,441,證明向量組

1,2,3,4線性相關(guān).

【證明】因?yàn)?/p>

12342(1234)

12342(13)12340

所以向量組1,2,3,4線性相關(guān).

6.設(shè)向量組1,2,r線性無(wú)關(guān)，證明向量組1,2,r也線性無(wú)關(guān)，這里

i12i.

【證明】設(shè)向量組1,2,r線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)kl,k2,,kr,使得

kl1k22krr0.

把i12i代入上式，得

(klk2kr)1(k2k3kr)2krr0.

又已知1,2,,r線性無(wú)關(guān)，故

klk2kr0,

k2kr0,

kr0.

該方程組只有惟一零解klk2kr0,這與題設(shè)矛盾，故向量組1,2,,r

線性無(wú)關(guān).

7.略.見教材習(xí)題參考答案.

8.i(il,i2,,in),i1,2,,n.證明：如果aij0,那么1,2,,n

線性無(wú)關(guān).【證明】已知Aaij。，故R(A)=n,而A是由n個(gè)n維向量

i(il,i2,,in),

i1,2,,。組成的，所以1,2,,n線性無(wú)關(guān).

n1

9.設(shè),tr,是互不相同的數(shù)，rWn.證明：i(1,ti,,ti),i1,2,是

線性無(wú)關(guān)

的.

【證明】任取nr個(gè)數(shù)tr+1,??-,tn使tl,???,tr,tr+1,???,tn互不相同，于是n階范德

蒙行列式

tltrtr1tn

ttl

2

tl

n1

trtn

22

nInlr1

2r1

0,

tn

n1

從而其n個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，由此知其部分行向量1,2,,r也線性無(wú)關(guān).

10.設(shè)1,2,,s的秩為r且其中每個(gè)向量都可經(jīng)1,2,,r線性表出.證

明：1,2,,r為1,2,,s的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

【證明】若1,2,,r(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)1,2,,t(t<r)(2)

是⑴的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，則顯然(2)是1,2,,s的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，這與

1,2,,s的秩為r矛盾，故1,2,,r必線性無(wú)關(guān)且為1,2,,s的一

個(gè)極大無(wú)關(guān)組.11.求向量組1=(1,1,1,k),2=(1,l,k,1),3=(1,2,1,1)的秩和一個(gè)

極大無(wú)關(guān)組.【解】把1,2,3按列排成矩陣A,并對(duì)其施行初等變換.

1

1A

1k

llkl

1120

0110

11

010

Ok10

1klk01

11

010

Ok10

01k01

Ik100

1

010

當(dāng)k=l時(shí)，1,2,3的秩為2,1,3為其一極大無(wú)關(guān)組.當(dāng)kWl時(shí)，

1,2,3線性無(wú)關(guān)，秩為3,極大無(wú)關(guān)組為其本身.

12.確定向量3(2,a,b),使向量組1(1,1,0),2(1,1,1),3與向量組

1=(0,1,1),2=(1,2,1),3=(1,0,1)的秩相同，且3可由1,2,3線性表出.

【解】由于

0

A(1,2,3)1

11

B(1,2,3)1

0

121111

11

00

1021a0

b0

110210

0

I；0

2,ba2

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a2=0,即a=2,又

0

c(1,2,3,3)1

1

121

101

21

a0

b0

210

010

,2

ba2

a

要使3可由1,2,3線性表出，需ba+2=0,故a=2,b=0時(shí)滿足題設(shè)要求，即

3二(2,2,0).1,2,,n線性無(wú)關(guān)的充要條件是任一n維向13.設(shè)1,2,,n

為一組n維向量.證明：

量都可經(jīng)它們線性表出.

【證明】充分性：設(shè)任意n維向量都可由1,2,,n線性表示，則單位向量

1,2,,n,當(dāng)然可由它線性表示，從而這兩組向量等價(jià)，且有相同的秩，所以向量

組1,2,,n的秩為n,因此線性無(wú)關(guān).

必要性：設(shè)1,2,,n線性無(wú)關(guān)，任取一個(gè)n維向量，則1,2,,n線性相

關(guān)，所以能由1,2,,n線性表示.

14.若向量組(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量組a1,a2,a3線

性表出，也可由向量組61,B2,B3,B4線性表出，則向量組a1,a2,a3與向量

組等價(jià).

1

證明：由已知條件，R1

1

011

0

03,且向量組(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)1

可由向量組a1,a2,a3線性表出，即兩向量組等價(jià)，且

R(1,2,3)3,

又，向量組(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)可由向量組B1,B2,B3,B4

線性表出，即兩向

量組等價(jià)，且

R(1,2,3,4)3,

所以向量組a1,a2,a3與向量組61,82,83,84等價(jià).

15.略.見教材習(xí)題參考答案.

16.設(shè)向量組1,2,,m與1,2,,s秩相同且1,2,,m能經(jīng)

1,2,,s線性表出.證明1,2,,m與1,2,,s等價(jià).

【解】設(shè)向量組

1,2,,m（1）

與向量組

1,2,,s（2）

的極大線性無(wú)關(guān)組分別為

1,2,,r（3）

和

1,2,,r（4）

由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由

（4）線性表出，即

r

i

a

j1

ij

j

（i1,2,,r）.

因（4）線性無(wú)關(guān)，故（3）線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是laij|關(guān)0,可由（*）解出

j（j1,2,,r）,即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價(jià)，再由它們分別同（1）,

（2）等價(jià)，所以（1）和（2）等價(jià).

17.設(shè)A為m3n矩陣，B為s3n矩降證明：

A

max{R（A）,R（B）}RR（A）R（B）.

B

【證明】因A,B的列數(shù)相同，故A,B的行向量有相同的維數(shù)，矩陣可視為由矩陣A

擴(kuò)

B

AB

A

充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量線性表示，故

A

R(A)R

B

同理

A

R(B)R

B

故有

A

max(R(A),R(B))R

B

又設(shè)R(A)=r,il,i2,,ir是A的行向量組的極大線性無(wú)關(guān)組,R(B)=k,

jl,

j2

jk

A

是B的行向量組的極大線性無(wú)關(guān)組.設(shè)是中的任?行向量，則若屬于A的行向

B

組，則可由il,i2,,ir表示，若屬于B的行向量組，則它可由只，

A

性表示，故中任一行向量均可由il,i2,,ir,jl,

B

j2

，，

jk

線

j2

，，

jk

線性表示，故

A

RrkR(A)R(B),B

所以有

A

max{R(A),R(B)}RR(A)R(B).

B

18.設(shè)A為s3n矩陣且A的行向量組線性無(wú)關(guān)，K為r3s矩陣.證明：B=KA行無(wú)關(guān)的充

分必要條件是R(K)=r.

【證明】設(shè)

A=(As,Ps3(ns)),

因?yàn)锳為行無(wú)關(guān)的s3n矩陣，故s階方陣As可逆.()當(dāng)8二KA行無(wú)關(guān)時(shí)，B為r3n矩

陣.

r=R(B)=R(KA)^R(K),

又K為ds矩陣R(K)Wr,JR(K)=r.()當(dāng)廠R(K)時(shí)，即K行無(wú)關(guān)，由

B=KA=K(As,Ps3(ns))=(KAs,KPs3(ns))知R(B)=r,即B行無(wú)關(guān).19.略.見教材習(xí)題參

考答案.

20.求下列矩陣的行向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

2575(1)7525

31949432

17535420

431

0132

;(2)

2134

481

1201

2130

2514

1

1.31

12

【解】（1）矩陣的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為1,2,3;

3412

(2)矩陣的行向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為1,2,4.

34

21.略.見教材習(xí)題參考答案.

22.集合Vl={(xl,x2,,xn)Ixl,x2,,xneR且xlx2xn=0}是否構(gòu)成向量

空間？為什么？【

解

1

由

(

0,0,

,0

)

e

VI

知

VI

非

空

設(shè)

(xl,x2,,xn)VI,(yl,y2,,yn)V2,kR)則

(xlyl,x2y2,,xnyn)

k(kxl,kx2,,kxn).

因?yàn)?/p>

(xlyl)(x2y2)(xnyn)

(xlx2xn)(yly2yn)0,

kxlkx2kxnk(xlx2xn)0,

所以VI,kVI,故VI是向量空間.

23.試證：由1(1,1,0),2(1,0,1),3(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.

【證明】把1,2,3排成矩陣A=(1,2,3),則

1A1

101

3

120,1

所以1,2,3線性無(wú)關(guān)，故1,2,3是R的一個(gè)基，因而1,2,3生成的向

量空間恰為R3.

24.求由向量1(1,2,1,0),2(1,1,1,2),3(3,4,3,4),4(1,1,2,1)所生

的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因?yàn)榫仃?/p>

A(1,2,3,4,5)1210

1112

3434

1121

4150

0640

1102

3204

1111

41

30

0240

1100

3200

1110

4

3,20

???1,2,4是一組基，其維數(shù)是3維的.

25.設(shè)1(1,1,0,0),2(1,0,1,1),1(2,1,3,3),2(0,1,1,D,證明:

L(1,2)L(1,2).

【解】因?yàn)榫仃?/p>

A(1,2,1,2)110