2024-2025學年湖南省衡陽市二十六中校高三第五次月考數學試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2024-2025學年湖南省衡陽市二十六中校高三第五次月考數學試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線的左、右焦點分別為,,點P是C的右支上一點,連接與y軸交于點M,若(O為坐標原點),,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.2.已知函數,,且,則()A.3 B.3或7 C.5 D.5或83.已知定點,,是圓上的任意一點,點關于點的對稱點為,線段的垂直平分線與直線相交于點,則點的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓4.已知函數是偶函數,當時,函數單調遞減,設,,,則的大小關系為()A. B. C. D.5.已知集合A,則集合()A. B. C. D.6.若函數f(x)=x3+x2-在區(qū)間(a,a+5)上存在最小值,則實數a的取值范圍是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)7.已知定義在上的函數滿足,且當時,,則方程的最小實根的值為()A. B. C. D.8.把滿足條件(1),,(2),,使得的函數稱為“D函數”,下列函數是“D函數”的個數為()①②③④⑤A.1個 B.2個 C.3個 D.4個9.直三棱柱中,,,則直線與所成的角的余弦值為()A. B. C. D.10.,則與位置關系是()A.平行 B.異面C.相交 D.平行或異面或相交11.已知集合A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},則下列結論正確的是()A.﹣3∈AB.3BC.A∩B=BD.A∪B=B12.設,均為非零的平面向量,則“存在負數,使得”是“”的A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,則最小值為__________.14.已知數列的各項均為正數,記為數列的前項和,若,,則______.15.展開式的第5項的系數為_____.16.春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā),為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn),我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生,6名護士到湖北、兩地參加疫情防控工作,每地一名醫(yī)生,3名護士,其中甲乙兩名護士不到同一地,共有__________種選派方法.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)等差數列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數,且其中的任何兩個數不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數,使得,,成等比數列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.18.(12分)設函數,是函數的導數.(1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;(2)在上恒成立,求的取值范圍.19.(12分)已知函數,.(1)當時,求不等式的解集;(2)當時,不等式恒成立,求實數的取值范圍.20.(12分)求函數的最大值.21.(12分)數列滿足,,其前n項和為,數列的前n項積為.(1)求和數列的通項公式;(2)設,求的前n項和,并證明:對任意的正整數m、k,均有.22.(10分)為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研,力爭有效地改良玉米品種,為農民提供技術支援,現對已選出的一組玉米的莖高進行統計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數;(2)根據莖葉圖的數據,完成下面的列聯表:抗倒伏易倒伏矮莖高莖(3)根據(2)中的列聯表,是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關?附:,0.0500.0100.0013.8416.63510.828

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

利用三角形與相似得,結合雙曲線的定義求得的關系,從而求得雙曲線的漸近線方程?!驹斀狻吭O,,由,與相似,所以,即,又因為,所以,,所以,即,,所以雙曲線C的漸近線方程為.故選:C.本題考查雙曲線幾何性質、漸近線方程求解,考查數形結合思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力。2.B【解析】

根據函數的對稱軸以及函數值,可得結果.【詳解】函數,若,則的圖象關于對稱,又,所以或,所以的值是7或3.故選:B.本題考查的是三角函數的概念及性質和函數的對稱性問題,屬基礎題3.B【解析】

根據線段垂直平分線的性質,結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點,如下圖所示:所以有,而是中點,連接,故,因此當在如下圖所示位置時有,所以有,而是中點,連接,故,因此,綜上所述:有,所以點的軌跡是雙曲線.故選:B本題考查了雙曲線的定義,考查了數學運算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.4.A【解析】

根據圖象關于軸對稱可知關于對稱,從而得到在上單調遞增且;再根據自變量的大小關系得到函數值的大小關系.【詳解】為偶函數圖象關于軸對稱圖象關于對稱時,單調遞減時,單調遞增又且,即本題正確選項:本題考查利用函數奇偶性、對稱性和單調性比較函數值的大小關系問題,關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數的單調性,通過自變量的大小關系求得結果.5.A【解析】

化簡集合,,按交集定義,即可求解.【詳解】集合,,則.故選:A.本題考查集合間的運算,屬于基礎題.6.C【解析】

求函數導數,分析函數單調性得到函數的簡圖,得到a滿足的不等式組,從而得解.【詳解】由題意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函數,在(-2,0)上是減函數,作出其圖象如圖所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,則結合圖象可知,解得a∈[-3,0),故選C.本題主要考查了利用函數導數研究函數的單調性,進而研究函數的最值,屬于??碱}型.7.C【解析】

先確定解析式求出的函數值,然后判斷出方程的最小實根的范圍結合此時的,通過計算即可得到答案.【詳解】當時,,所以,故當時,,所以,而,所以,又當時,的極大值為1,所以當時,的極大值為,設方程的最小實根為,,則,即,此時令,得,所以最小實根為411.故選:C.本題考查函數與方程的根的最小值問題,涉及函數極大值、函數解析式的求法等知識,本題有一定的難度及高度,是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.8.B【解析】

滿足(1)(2)的函數是偶函數且值域關于原點對稱,分別對所給函數進行驗證.【詳解】滿足(1)(2)的函數是偶函數且值域關于原點對稱,①不滿足(2);②不滿足(1);③不滿足(2);④⑤均滿足(1)(2).故選:B.本題考查新定義函數的問題,涉及到函數的性質,考查學生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.9.A【解析】

設,延長至,使得,連,可證,得到(或補角)為所求的角,分別求出,解即可.【詳解】設,延長至,使得,連,在直三棱柱中,,,四邊形為平行四邊形,,(或補角)為直線與所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.

故選:A.本題考查異面直線所成的角,要注意幾何法求空間角的步驟“做”“證”“算”缺一不可,屬于中檔題.10.D【解析】結合圖(1),(2),(3)所示的情況,可得a與b的關系分別是平行、異面或相交.選D.11.C【解析】試題分析:集合考點:集合間的關系12.B【解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論.【詳解】因為,均為非零的平面向量,存在負數,使得,所以向量,共線且方向相反,所以,即充分性成立;反之,當向量,的夾角為鈍角時,滿足,但此時,不共線且反向,所以必要性不成立.所以“存在負數,使得”是“”的充分不必要條件.故選B.判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由條件p能否推得條件q;二是由條件q能否推得條件p,定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法,解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

首先整理所給的代數式,然后結合均值不等式的結論即可求得其最小值.【詳解】,結合可知原式,且,當且僅當時等號成立.即最小值為.在應用基本不等式求最值時,要把握不等式成立的三個條件,就是“一正——各項均為正;二定——積或和為定值;三相等——等號能否取得”,若忽略了某個條件,就會出現錯誤.14.63【解析】

對進行化簡,可得,再根據等比數列前項和公式進行求解即可【詳解】由數列為首項為,公比的等比數列,所以63本題考查等比數列基本量的求法,當處理復雜因式時,常用基本方法為:因式分解,約分。但解題本質還是圍繞等差和等比的基本性質15.70【解析】

根據二項式定理的通項公式,可得結果.【詳解】由題可知:第5項為故第5項的的系數為故答案為:70.本題考查的是二項式定理,屬基礎題。16.24【解析】

先求出每地一名醫(yī)生,3名護士的選派方法的種數,再減去甲乙兩名護士到同一地的種數即可.【詳解】解:每地一名醫(yī)生,3名護士的選派方法的種數有,若甲乙兩名護士到同一地的種數有,則甲乙兩名護士不到同一地的種數有.故答案為:.本題考查利用間接法求排列組合問題,正難則反,是基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】

(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設存在正整數,使得,,成等比數列,即,解方程是否存在正整數解即可.【詳解】(1)由題意可知:有兩種組合滿足條件:①,,,此時等差數列,,,所以其通項公式為.②,,,此時等差數列,,,所以其通項公式為.(2)若選擇①,.則.若,,成等比數列,則,即,整理,得,即,此方程無正整數解,故不存在正整數,使,,成等比數列.若選則②,,則,若,,成等比數列,則,即,整理得,因為為正整數,所以.故存在正整數,使,,成等比數列.本題考查等差數列的通項公式及前n項和,涉及到等比數列的性質,是一道中檔題.18.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)先利用導數的四則運算法則和導數公式求出,再由函數的導數可知,函數在上單調遞增,在上單調遞減,而,,可知在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上沒有零點;(2)由題意可將轉化為,構造函數,利用導數討論研究其在上的單調性,由,即可求出的取值范圍.【詳解】(1)若,則,,設,則,,,故函數是奇函數.當時,,,這時,又函數是奇函數,所以當時,.綜上,當時,函數單調遞增;當時,函數單調遞減.又,,故在區(qū)間上恒成立,所以在區(qū)間上沒有零點.(2),由,所以恒成立,若,則,設,.故當時,,又,所以當時,,滿足題意;當時,有,與條件矛盾,舍去;當時,令,則,又,故在區(qū)間上有無窮多個零點,設最小的零點為,則當時,,因此在上單調遞增.,所以.于是,當時,,得,與條件矛盾.故的取值范圍是.本題主要考查導數的四則運算法則和導數公式的應用,以及利用導數研究函數的單調性和最值,涉及分類討論思想和放縮法的應用,難度較大,意在考查學生的數學建模能力,數學運算能力和邏輯推理能力,屬于較難題.19.(1)(2)【解析】

(1)當時,,當或時,,所以可轉化為,解得,所以不等式的解集為.(2)因為,所以,所以,即,即.當時,因為,所以,不符合題意.當時,解可得,因為當時,不等式恒成立,所以,所以,解得,所以實數的取值范圍為.20.【解析】

試題分析:由柯西不等式得試題解析:因為,所以.等號當且僅當,即時成立.所以的最大值為.考點:柯西不等式求最值21.(1),;(2),證明見解析【解析】

(1)利用已知條件建立等量關系求出數列的通項公式.(2)利用裂項相消法求出數列的和,進一步利用放縮法求出結論.【詳解】(1),,得是公比為的等比數列,,,當時,數列的前項積為,則,兩式相除得,得,又得,;(2),故.本題考查

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