曾謹言量子力學教程第3版考研練習題

1練習題

一、選擇題

1.光子和電子的波長都為5.0埃，光子的動量與電子的動量之比是

多少？（）［中南大學2009研］

A.1

B.3xlO10

C.3.3x10-"

D.8.7x10-21

【答案】A

【解析】由德布羅意波長公式好士,波長相同則二者動量大小必定相

Z

同，選A。

2.考慮如圖的電子干涉實驗，電子從距屏為L的電子槍發(fā)射，屏上

有兩個特別窄的狹縫（縫寬為電子的德布羅意波長數(shù)量級），觀察干涉

圖樣的探測器置于屏的另一側(cè)L處.如果電子槍向上移動（沿y方向）距

離d,則干涉圖樣（）。［中南大學2009研］

圖1-1

A.向上移動距離d

B.向下移動距離d

C.向上移動距離d/2

D.向下移動距離d/2

【答案】B

【解析】分析未移動前位于屏幕正中間的點，令偏上的光線為a,偏

下的光線為b,未移動前，a和b的光程相等，電子槍上移后，a在狹縫左

邊光程減小，b在狹縫右邊光程增加，為保證a和b光程再次相等，應(yīng)該

使a在狹縫右邊光程相對于b在狹縫右邊光程增加，于是干涉圖樣只能下

移.再考慮到狹縫與電子槍和屏幕距離相等，于是整個裝置具有對稱

性，為保證a和b的光程相等，干涉圖樣只能向下移動距離d.

3.上題中，如果電子槍開始以較太的能量向屏發(fā)射電子，則

()o［中南大學2009研］

A.干涉圖樣中相鄰最大值之間的距離減小

B.干涉圖樣向上移動

C.干涉圖樣變藍

D.干涉圖樣消失

【答案】A

【解析】A項，由德布羅意波長公式/.，以及可知，當

P

能量E增加后，動量p增加，導(dǎo)致電子的德布羅意波長幺減小，而干涉條

紋間距AxxZ，因而增加電子能量將導(dǎo)致干涉條紋間距減小.B項，電

子能量增加并不會對光程產(chǎn)生影響，故不影響干涉圖像位置.C項，電

子能量增加并不會改變屏的特征光譜，不會變藍.D項，題中提到狹縫

間距尺寸在德布羅意波長數(shù)量級，在電子能量變化不是很大時，電子波

長應(yīng)該仍與狹縫間距相當，干涉圖樣不會消失.

4.題2中，如果兩縫之間距離加倍，則干涉圖樣中相鄰最大值之間

距離（）。［中南大學2009研］

A.加倍

B.為原來的四倍

C.為原來的二分之一

D.不變

【答案】C

【解析】設(shè)狹縫間距為d,則由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距

Ax=^z,則顯然當d加倍時，必定導(dǎo)致條紋間距變?yōu)樵瓉淼亩种弧?/p>

d

5.題2中，如果每個縫寬度加倍.則干涉圖樣中相鄰最大值之間距

離（）。［中南大學2009研］

A.加倍

B.為原來的四倍

C.為原來的二分之一

D.不變

【答案】D

【解析?】設(shè)狹縫間距為d,則由雙縫干涉條紋間距公式有條紋間距

Ax=^z,則顯然條紋間距與縫的寬度無關(guān)，即條紋間距不變。

6.題2中，如果只有一個縫的寬度加倍（原來兩縫寬度相同），則

（）o［中南大學2009研］

A.干涉圖樣消失

B.干涉圖樣中相鄰最大值之間距離改變

C.干涉圖樣向變寬狹縫移動

D.干涉圖樣的最大強度與最小強度之差減小

【答案】D

【解析】A項，縫寬度的變化并不會影響產(chǎn)生干涉圖樣的條件——

電子波長與縫的間距相近，干涉條紋不會消失.B項，同樣由條紋間距

=可知，條紋間距也不會有變化.C項，縫寬度變化也不會影響光

d

程，干涉圖樣位置也不會因此發(fā)生變化.D項，只改變一個縫的寬度將

導(dǎo)致從縫射出的兩列光波振幅不同，因而最小強度無法變?yōu)?,最終導(dǎo)

致干涉圖樣的最大強度與最小強度之差減小.

7.題2中，如果探測器置于某一狹縫的旁邊，由此可確定某一電子

是否通過該狹縫，則（）。［中南大學2009研］

A.干涉圖樣向裝探測器的狹縫移動

B.干涉圖樣中相鄰最大值之間距離改變

C.干涉圖樣消失

D.干涉圖樣變?nèi)?/p>

【答案】C

【解析】由題意，通過該狹縫的電子位置將會由于測不準原理導(dǎo)致

光子動量尸不確定，以至于電子波長和頻率會受到極大干擾，從狹縫

射出的光波將不再是相干光，而干涉圖樣產(chǎn)生的重要條件之一就是參與

干涉的光必須是相干光，因而干涉圖樣消失.

二、填空題

1.普朗克的量子假說揭示了微觀粒子特性，愛因斯坦的光

量子假說揭示了光的性。［中南大學2010研］

【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克為解釋黑體輻射規(guī)律而提出量子假說Ejy,愛因斯

坦后來將此應(yīng)用到了光電效應(yīng)上，并因此獲得諾貝爾獎，二人為解釋微

觀粒子的波粒二象性作出了重大貢獻，這位量子力學的誕生奠定了基

礎(chǔ).

2.對一個量子體系進行某一物理量的測量時，所得到的測量值肯

定是—當中的某一個，測量結(jié)果一般來說是不確定的.除非體系處于.

。［中南大學2010研］

【答案】本征值；定態(tài)

【解析】物理量的測量值應(yīng)該對應(yīng)其本征值，對于非定態(tài)，由于它

是各個本征態(tài)的混合態(tài)，這就導(dǎo)致物理量的測量值可以是它的各個本征

值，測得各個本征值滿足一定概率分布，只有當體系處于定態(tài)，即位于

該物理量對應(yīng)的本征態(tài)，測得值才有可能為確定值.

三、簡答題

1.什么是定態(tài)？若系統(tǒng)的波函數(shù)的形式為

小/）=相）步+雙X）/，問+（X，t）是否處于定態(tài)?［湖南大學

2009研］

答：體系能量有確定的不隨時間變化的狀態(tài)叫定態(tài)，定態(tài)的概率密

度和概率流密度均不隨時間變化.不是，體系能量有E和-E兩個值，體

系能量滿足一定概率分布而并非確定值.

2.試表述量子態(tài)的疊加原理并說明疊加系數(shù)是否依賴于時空變量

及其理由。［南京大學2009研］

答：量子態(tài)的疊加原理：若％外外…0.為粒子可能處于的態(tài)，那么

這些態(tài)的任意線性組合仍然為粒子可能處于的態(tài).

疊加系數(shù)不依賴于時空變量.因為量子態(tài)的疊加原理已經(jīng)明確說明

了是任意線性組合，即表明了疊加系數(shù)不依賴于任何變量。

四、計算題

設(shè)一維諧振子的初態(tài)為Mx.OhcosgaaHsin/u）,即基態(tài)與第一激發(fā)態(tài)

疊加，其中e為實參數(shù)。

（1）求t時刻的波函數(shù)\|/（x,0。

（2）求t時刻處于基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的概率。

（3）求演化成呷（X,t）所需的最短時間tmin。［中科院2010研］

解：（1）一維諧振子定態(tài)能量和波函數(shù)：紇

①1t(x)X1g)M=0.1.2,-5A；

任意時刻t的波函數(shù)可表示為歡=zq包

n

已知t=0時刻的波函數(shù)是以占0)=cosy0c(x)+sii)q電(x)

由q=j/(2吠40)公得，G=COSy9G=siny

在n=0」的本征態(tài)的相應(yīng)能量分別為：旦=:方0,片

則任意時刻t的波函數(shù)可以表示為

=cosyO0(x)e%+sinqa(x)e-

(2)t時刻處于基態(tài)的幾率為C『=cW3處于第一激發(fā)態(tài)的幾率

.0

=sin2'—?

2

(3)設(shè)〃時刻粒子的波函數(shù)是以與力=，(*4),即

e=，、72

cos5①0(x)e(n=1,2,3,—)

弓包Q

=gT2u[cos(x)e%+sin]電(x)

可得把=1竺T(2“_i)兀，解得&=2(2“T)兀

22co

所以當n=l時有最小時間，即〃=空.

2練習題

一、選擇題

一維自由電子被限制在x和x+Ax處兩個不可穿透壁之間，Ax=0.5

埃，如果E。是電子最低能態(tài)的能量，則電子的較高一級能態(tài)的能量是多

少？（）［中南大學2009研］

A.2E（）

B.3E0

C.4E0

D.8EQ

【答案】C

【解析】一維無限深方勢阱中能級公式為瓦=小￡,則可知，較高

Ipa'

級能量與基態(tài)能量比值為

/=［1=4，由題意，基態(tài)能量為其=耳，則第一激發(fā)態(tài)能量為

￡;=4￡0

二、填空題

1.自由粒子被限制在x和x+1處兩個不可穿透壁之間，按照經(jīng)典物

理.如果沒有給出其他資料，則粒子在X和x+1/3之間的概率是

o［中南大學2010研］

A.025

B.033

c.on

D.067

【答案】B

【解析】按照經(jīng)典力學，粒子處于空間的概率密度為常數(shù)，故概率

與體積成正比，即所求概率為

~1--3

2.上題中，按照量子力學.處于最低能態(tài)的粒子在x和x+1/3之間被

找到的概率是。［中南大學2010研］

A.019

B.072

C.033

D.050

【答案】A

【解析】取X為原點，則有波函數(shù)為軟x)=、Fsin至

yaa

所求概率即P=j網(wǎng)成=j；血與書一—血竿/0.19

三、計算題

1.在一維情況下，若用Pab(t)表示時亥！Jt在aVxVb區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒

子的幾率.

(a)從薛定謬方程出發(fā)，證明”=J(a,t)-J(b,t),其中J(x,t)

dt

是幾率流密度.

(b)對于定態(tài)，證明幾率流密度與時間無關(guān).［華南理工大2009研］

解：(a)設(shè)t時刻粒子的波函數(shù)以&t),波函數(shù)滿足薛定謬方程：

gCjk2、

ih—y^x,t)=Hi^x,t)=--V2+F(x,r)以x“)(1)

aCtI2〃J

對(1)兩端取復(fù)共朝得,

方、

22

一訪:/(x,t)=Hy/\x,t)=V+F(x；nw(x,t)(2)

Ct,2"J

做運算v/,(xj)x(1)-必xJ)x(2)得

ih

方2

上式兩邊同除以訪移項得,

e訪

—(X,o^x,o]--V?(v/(x,r)V叭x,t)2x,tW/(x,r))=0

則幾率流密度公式為j(xj)=jMx,t)V碇x,t)-^*(x,t)V歡x,t)j，

上式可表示為2|/@,，)歡3)]-V?玄，t)=0,兩端積分得：

.J：”(""Mx")]—fV?j(x,t)=0

又由于t時刻在區(qū)間(a,b)內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率為：

代入上式可得，

dt

(b)對于定態(tài)波函數(shù)以x,t)=dx)/%，代入幾率流密度方程

j(x,t)=-^-\以x,t)v/(x,t)-v/(x,t)V〃x,t)|可倚，

2w

J(X)=d(x)-%x)V奴x)]

是一個與t無關(guān)的量，故定態(tài)的幾率流密度與時間無關(guān).

2.證明v(x)=A(2a2x2-l)j#/是線性諧振子的本征波函數(shù)，并

求此本征態(tài)對應(yīng)的本征能量.式中A為歸一化常數(shù)，。=瘋而「華南理

工大2009研]

解：已知線性諧振子的定態(tài)波函數(shù)和本征能量為

心（2=N”L凡（心），旦=（"+掙0,?=0,1,2,-,.V,

2

H^ax^l.H^ax)=2ax,H2(ax)=4crx-2,…

本題中波函數(shù)Mx)=-4(2aV_])e=*4aV-2)e*2

=』H2(ax)eH2(x)

所以Mx)是線性諧振子的本征波函數(shù)，對應(yīng)量子數(shù)n=2,因此容易

得到其，本征能量為馬=3方0

3.質(zhì)量為m的粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動.

(a)建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗龉茴D算符，求解定態(tài)薛定謬方程.

(b)當粒子處于狀態(tài)v(x)(x)+\紳2(X)時，求測量粒子

能量時的可能取得及相應(yīng)的概率.其中％(x)和股(X)分別是基態(tài)和

第一激發(fā)態(tài).

(C)若上式的V(x)是t=0時刻的波函數(shù)，求粒子在其后任意時刻

的波函數(shù).［華南理工大學2010研］

解：(a)如圖建立坐標系，

，=8V=CO

0ax

圖2-1

設(shè)，哈密頓算符育?互二+9）

co,x<0,x>aIp,dx^

波函數(shù)Mx）滿足薛定謂方程上V2+尸（xJ歡x）=E吸X、

當x<0.x>a時,奴工）二0;

［I0<x<a時9—----=Ei//（x）

”dx-

令卜=匡,則+A*(x)=O的通解可表示為

\方-dx-

叭x)=-4sinkx+Bcoskx

利用邊界條件加0)=0,M。)=0得，5=0,k=—,?=1,2.3,...歡x)=Asin匕

a，

由歸一化可解得M：，定態(tài)薛定謂方程的解為

—2si?n〃——萬x,c0<x<a

弘（x）=<aa

0.x<0,x>a

對應(yīng)的定態(tài)能量為"”=L2,…

Ipa

（b）當粒子處于態(tài)Mx）=g%（x）+冬%（x）時，能量的可能值及幾率

為：

瑪=喜，幾率1/4；凡=江，幾率3/4

Ipa.

（C）任意時刻t的波函數(shù)可以表示為下面形式

W（x,r）=ZCM（x）e'

其中G=_[/”（1加（黑0）公，在此題中G=；，G邛

故任意時亥的波函數(shù)y（x"）=g巳（X）e*%+*外（X）「正弘,

苴中r/始F2后方2

lpa-pa~

4.粒子的一維運動滿足薛定謂方程…*$含5

（1）若W（x,t）和％（X,t）是薛定謂方程的兩個解，證明

j'P；（二/）匕（xJ）去與時間無關(guān).

（2）若勢能V不顯含時間3用分離變數(shù)法導(dǎo)出不含時的薛定謂方

程，并寫出含時薛定詩方程的通解形式.［華南理工大學2011研］

解：

法二巴=（一里V'+O的一……⑴，

（1）證：ct2m

a方？

洗丁巴=（一「V’+O%………（2）

ct2m

取式⑴之復(fù)共輾，得-洗￡以=（一土力+/武……

ct2m

啊x@-［x（喃

Jyt

d-闞=_—（碎;_常的

it"h''

舲3M

-浙張巾硼（小士［郵物帆呷;叫）-網(wǎng)側(cè)）+（%'）.（叫）］

=-Ljd泅MV1-而1^1）］=--k^V［；-機）d

=耽瓶婀,%-Q）

即

=0

所以與時間無關(guān).

（2）設(shè)必匕。=33）〃。

代入薛定謂方程，分離變量后，得上逝=，?［一生/+/⑺M〃）=E

f（t）dt叭r）2w

E為既不依賴3也不依賴r的常數(shù).這樣，lin/(0=--

dth

所以/(O-exp(-z￡r方)

因此，通解可以表示為3(，。=%⑺exp(-兇力)

其中，心。)是滿足不含時的薛定i等方程+r(r?(r)=￡^(r)

5.考慮一維雙3勢阱：V(x)=-V0[8(x+a)+5(x-a)],其中

V0>0,a>0.

(1)推導(dǎo)在x=a處波函數(shù)的連接條件.

(2)對于偶宇稱的解，即w(-x)=v(x),求束縛態(tài)能量本征值

滿足的方程，并用圖解法說明本征值的數(shù)目.[華南理工大學2011研]

解：(1)薛定謂方程可表示為

-=[E+%6(x+a)+心6(x-初弘m為粒子質(zhì)量，

2max*

x=如為方程的奇點，在x=a點處w不存在，表現(xiàn)為w不連續(xù)。

對上述方程積分示至￡-0,得出

"-),(丁)=一尸&火。)

n

(2)由題意知當x>a時,〃_二〃=0：其中左=L等考慮到束縛態(tài),因此

解為3=a產(chǎn)

當-a<x〈a時，w-k'w=0,其中k=1-翳考慮到偶宇稱,因此解為

〃=s+Ce”

結(jié)合x=a處的邊界條件和此處的波函數(shù)連續(xù)條件，可得

，一kA”一（Ot”-。雙士）=-患降炎士

化去A,C后可得，k產(chǎn)=*%（產(chǎn)+1）45等此即能量本征值所需

要滿足的方程.

圖2-2

所以滿足此方程的本征值只有一個.

6.驗證球面波打（。）=森*-切滿足自由粒子的薛定謂方程：

dt2m

（注：—勢嗎）+/.，其中立代表僅與角度有關(guān)的微分算符）［北

京航空航天大學2008加］

解：G.：)=±忖=_粵一(27)

ctrhh

故(;#=川(1)

27ct

2_/：(jr-a>2c.i(pr-Et\2^

3H力)=—=e-^+d.A絲與一L-W1+絲斗

dr廠rhrh

則

1

AI16,‘di1".ipr-In.1..1.iph1、/zr-4jipr'-In.1,/z>-2x...

AU=——(r*—*=_—(_心+----2)=-rr[3-r(--M>+———M>)+-----M>+J------(--3+￡——)]

r*drcrr*drht*rhhhrh

p:-4j:

=-i-_；-M)

h?

故AU=￡1U(2)

8k加2m

￡=E(3)

2m

由(1)(2)(3)式可得i24H；j)=一工△"=—此即

2ndt8km2取(2Q-

所需證明方程.

7.一粒子在一維無限深勢阱“咻,之片中運動，求粒子的能級

和對應(yīng)的波函數(shù).［湖南大學2009研］

解：由一維定態(tài)薛定謂方程有

---^■<p(x)=E(p(x)(0<x<2a)

2//改

又在邊界處應(yīng)該滿足連續(xù)條件加，八

丁0)=<p(2a)=0n

故0<x)=Msin—x9OVxV2a

2a

由歸一化條件有加工)同動=1

故弘(x)=*嗯"E<2a

10sx<05x>2a

—方:「〃乃丫_n2^2

對應(yīng)能量為L/1五：一8廟

n=1：23…

8.設(shè)一維簡諧振子的初始(t=0)波函數(shù)為

嶺,0)=尢跖⑺++?、?飽(x),其中5(X)為簡諧振子的三個

(n=0,1,2)最低能量的定態(tài)波函數(shù).試求

(1)系數(shù)A=?

(2)t時刻的波函數(shù)(p(x,t)；

(3)t時刻的能量平均值.［南京大學2009研］

解：(1)由波函數(shù)的正交歸一化條件有

田+El

故”=檢

(2)一維諧振子能量為耳=(〃+1)方?

故E；=:方0石=彳方外E；=三方0

t時刻波函數(shù)為

1.曳]-&

中(xj)=下痣(x)e,丁+f(x)cF

二忑由(/e~+~^(.x)e'丁+后包他，丁.

(3).=：方口用=：3鳥=V。各自對應(yīng)概率為

“心看二斗匕"):=卜-下=：'上(心導(dǎo)r/

均與時間無關(guān)，故t時刻粒子能量平均值為

?=%(講—+出現(xiàn)％+"?)|￡

上.

I3

9.設(shè)無外勢場時，質(zhì)量為p能量為E>0的粒子的狀態(tài)用球面波描

寫.試

(1)導(dǎo)出決定S波(1=0)波函數(shù)的常微分方程；

(2)求出所有S波的球面波波函數(shù)；

(3)計算對應(yīng)于S波解的速度流矢量并作出圖示.［南京大學2009

研］

解：(1)無外勢場可看做有心勢場的特殊情況。

則粒子在球坐標系中薛定謂方程為

方21d、dZ2

---r—(r*-)+z-^-75&0)=腰56。)

Ip.8rdr2/jr

在s波情況下，1=0,小p（za@）=o,

令中56M=g】、（6M，左、障

r▼方2

則u（r）+k2u（r）=0?

（2）〃&故對應(yīng)波函數(shù)為

%(匕d°)=4

其中A為歸一化系數(shù).

（3）概率概率流密度公式為3=-3（可。?-中W）

球坐標系中三〃;+」^二

當（'仇°）=4一

r

明顯與角度無關(guān)，故對應(yīng)概率流密度的三個分量為

沈2國一流

2〃r:

r

Jel==°

而生=v,故工1=比=0

同理兒=-V/:=L:=0?3=1

rI3

10.設(shè)粒子從x=-oo入射，進入一維階躍勢場：當x<0時，V(x)

=0；而當x>0時，V(x)=V0(V0>0).如果粒子能量E>V(),試

(1)寫出波動方程式并求解；

(2)求透射系數(shù)；

(3)求反射系數(shù)并求與透射系數(shù)之和.［南京大學2009研］

解：(1)粒子波動方程為

令=盧守

則方程的解為

!ix!ix

<p1(x)=e+Ae',x<0

<p,(j^=eM,x>0

，其中第一部分為入射波，第二部分為反射波

外3=8。Hx>0

,此即透射波函數(shù).

由波函數(shù)連續(xù)及波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)有

孰(。)=0式。)即j1+工=B

［外(0)=仍<0)'''砥1-J)=aB

.a-k

A=----

解得Ia+k

B=^-

a+k

例(x)=e出+紀七d近，x<0

則波函數(shù)為'a^k,其中人庠卬檔守

(2)由概率流密度公式”-2皿”-中口^可知

2"

入射波函數(shù)概率流密度為；一加

Jin~~

4

反射波函數(shù)概率流密度為九=世|『

透射波函數(shù)概率流密度為力=心呼

4

透射系數(shù)即7=五=區(qū)『=日至:4依、.

?II7-1yvI7—(?、1_1*

(3)反射系數(shù)即T=五=|』=巴士'Ja一圻

加11a+k(a+kY

顯然R+T=l.

11.一質(zhì)量為m的粒子，可在寬為a無限深勢阱當中自由運動.在

t=0的初始時刻其波函數(shù)為

如⑼子喉上尋得心疝閣

其中A為實常數(shù).

(1)求A使*(x,0)滿足歸一化條件.

(2)如果進行能量測量，則能得到哪些能量值?相應(yīng)取這些能量值

的概率又是多少?再計算能量的平均值？

(3)求t時刻的波函數(shù)w(x,t).［中南大學2010研］

解：(1)無限深方勢阱中粒子的本征波函數(shù)為％(x)=gsin?

初始時刻波函數(shù)可化為

由歸一化條件有噲j+焉,+|叫［=1解得A=

⑵無限深方勢阱中粒子的本征能量為匕:零.故粒子可能測得

能量即

E廣答,對應(yīng)概率K=A3

42=5

E；=^X,對應(yīng)概率P」

2ga*二局磊

E5=^^,對應(yīng)概率R

2ga-嚅|vio|工10

測得能量的平均值為m=EB+E；R+EE="

lO^la

(3)t時刻波函數(shù)為

3練習題

一、選擇題

1.量子諧振子的能量是()［中南大學2010研］

A.En—h(o(n+1/2)

B.En=hco(n+1/2)

C.En=hv(n+1/2)

D.En=hv(n+1/2)

【答案】A

【解析】由于諧振子的哈密頓算符為方=6+：)方◎，而用本征值為n,

于是諧振子能量為邑=(〃+()方0.

2.下面關(guān)于厄米算符的定義式中.正確的為()［中南大學

2010研］

A.(匕1,)=(加”)

B.w,孤)=(,iw).

伽/⑼=(“/，)，

c.

D.

【答案】A

【解析】量子力學中力學量對應(yīng)的算符必須為厄米算符，這是因為

力學量算符的本征值必須為實數(shù).厄米算符定義式為(上.物)=.

二、填空題

1.力學量算符必須是算符，以保證它的本征值為_

.［中南大學2010研］

【答案】厄米；實數(shù)

【解析】力學量的測量值必須為實數(shù)，即力學量算符的本征值必須

為實數(shù)，而厄米算符的本征值為實數(shù)，于是量子力學中就有了一條基本

假設(shè)——量子力學中所有力學量算符都是厄米算符.

2.在量子力學原理中.體系的量子態(tài)用希爾伯特空間中的

來描述.而力學量用描述.力學量算符必為算符，以保證

其為實數(shù).［中南大學2010研］

【答案】函數(shù)矢量；張量（一般是二階張量，即矩陣）；厄米；本

征值

【解析】希爾伯特空間中的函數(shù)矢量對應(yīng)體系的量子態(tài)，力學量對

應(yīng)張量，一般情況下力學量對應(yīng)二階張量，也就是矩陣.力學量算符必

須保證其厄米性，否則將導(dǎo)致測量值即其本征值不是實數(shù)，這顯然不符

合事實.

3.當對體系進行某一力學量A的測量時.測量結(jié)果一般來說是不

確定的.測量結(jié)果的不確定性來源于.［中南大學2010研］

【答案】測量的干擾

【解析】當我們對物理量進行測量時，不可避免地對體系施加影

響，而這影響將導(dǎo)致體系的波函數(shù)發(fā)生變化，這最終導(dǎo)致對物理量的測

量的不確定性.

三、簡答題

L寫出角動量的三個分量小-嗯-*),…啥壹4…味康

的對易關(guān)系.［湖南大學2009研］

答：這三個算符的對易關(guān)系為

［J?=i區(qū),—］=*,億2］=曬

2.量子力學中的力學量算符有哪些性質(zhì)?為什么需要這些性質(zhì)？［南

京大學2009研］

答：量子力學中力學量算符為厄米算符，因而具有所有厄米算符的

性質(zhì).

量子力學中力學量算符為厄米算符是由力學量算符本征值必須為實

數(shù)決定的，比如，力學量的平均值為實數(shù)，因而對求平均值的式子求共

物后，其值應(yīng)該不變，而求平均值時算符求共軟后式子值不變即要求算

符為厄米算符.

四、計算題

1.對于角動量算符￡=幾/3

(a)在直角坐標系中，推導(dǎo)各分量之間的對易關(guān)系，并歸納出統(tǒng)一

的表達式.

(b)定義升降算符L±=Lx土iLy,利用對易關(guān)系［Lz，L±］和［L2,L±］證

明：若f是L2和Lz的共同本征態(tài)，則L士f也是I?和Lz的本征態(tài).

(c)在球坐標系中，求解Lz的本征方程.［華南理工大學2010研］

解：(a)由Z=：x,得L=jp：-"r，Ly=zpx-xp.，L.=xpy-ypx

A人-**-**-—-*****-A

=〔FPLP「zPx-XRJ=U7：,zpJ+L；p),-xp』=iAZ：

同理可得區(qū)上j=液"電立」=癡，

則完的三個分量之間的關(guān)系通式為：口工/=￡j必，其中J,是

Levi—Civita符號,%旦了=(1?2,3).

(b)

區(qū)上士均用』±他上/=叫士也=

lA，t]=J=1i±h(Lx±iLy)=±nL

八2八八2八八

[L,Z±]=[Z,Lx±iLy]=Q

若/是我和二的共同本征函數(shù)，可設(shè)/=以,

則=限+1擊仁2：外=“方/”，

LL^=Z(Z+l)ft32±^

2工"e=(￡±2：土立士)以=(次±i)方2士以

可見2±%是片和至的共同本征函數(shù)，本征值分別為W+D始和

(”1±1)方.

(c)在球坐標中，￡=T*,代入工的本征方程￡g(w)j①?得

12ML/

①(q)=,4c次

利用周期性邊界條件①3)=①(。+2兀)可得I：=/?方/”=0,±1,±2,…

由歸一化條件可得.4=卷，則2;的本征態(tài)為①(？)=忌

相應(yīng)的本征方程為2必0）=加方穴9）.

2.（1）對于任意的厄米算符，證明其本征值為實數(shù).

（2）證明厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交.

（3）對于角動量算符3-，力§,證明它是厄米算符，并且求解其本征

方程.［華南理工大學2011研］

解：（1）證：對于厄米算符,紜=/“，

|.1弘3=；帆必=應(yīng)彳“）=就么切=aMM因為存在MMHO,所以/.=/

,即本征值為實數(shù)

孤“=4k/仁=4仁

（2）證:因為以“的）=人（外網(wǎng)）必）=4的第）

而所以（鞏弘）=0,即正交

（3）因為相⑼具有周期性，,（0）=〃（27）.

czue

（心（0）上以（功）=一擊3/氫

o沏

（工人（0）,外⑷）=法［（二*（⑼加

而（工少/②八/初-⑹“⑷上以（0））=訪1二（k⑷仁⑼）〃

oe①

=%M1n（2乃）『一洗M<O）R=o

所以（工外/⑼"""））=（上《（9）二出式。）即工為厄米算符。

設(shè)本征方程為

T山=（點尚栩I,上標局點呼il；戰(zhàn)觥的=W,

4w

C為積分常數(shù)，可由歸一化條件決定.又因為波函數(shù)滿足周期性邊

界條件的限制，

貝。+2,叫=穴0)

由此可得乙方=風物=0±L±2：…)，即角動量z分量的本征值為乙，

是量子化的，相應(yīng)本征函數(shù)記為外(0)=?！慵?

再利用歸一化條件可得比(。)=口。皿，即為其本征函數(shù).相應(yīng)的本

征方程為

1比(0)=布/(⑼?

3.(1)設(shè)/石與pauli算符對易,證明("+后于漏)；

(2)試將底上的嚴表示成j區(qū),—的線性疊加.其中為單位算符

［中科院2010研］

(1)證：

B)=(%W+%&+a.A.)(axBx+%鳥+q紇)

=匕44+《4再+￡”；+。烏44

+aaxA)￡x+CF,/斗生+cr.crxA.Bx4-cra,A5,

利用d=《=d=l,?！?依，qq=Tq,

巴q=-a,巴％=%,axaz=~ia)

化簡可得:

(萬--4)(心8)=M方+iq(4紇-A.(A.BX—AXB.)^-ia.(AxBy-AVBX)

=AB^ia-(AxB)

(2)解:

(，+%+呵.)％=1+彳(°;+町)

4.(1)求算符尸…e展和0=*的對易關(guān)系.(2)證明而H.X卜工

以Fm

,其中〃=度+外幻.［北京航空航天大學2008研］

2m

(1)解：

人人人萬

A27TA27TAAA22777T

［￡。］+=三［%⑼4=衛(wèi)［況。-2%］+=不阡+瓦-瓦慳==中

hhhhh

即算符戶與0不對易.

(2)證：用］掙聞7彥］=T；孕=-i；2

2m2m2笈2wL7lm

則［［立功幻=-i2.［亙3=-i二(tA)=-S2_得證?

Inm2nmInm

5.一粒子處于勢場V(x)中，且勢V(x)沒有奇點.假設(shè)Vn(X)

與Ym(X)是束縛態(tài)的波函數(shù)，相應(yīng)的本征能量色EnREm.試證明這兩

個波函數(shù)對應(yīng)的態(tài)矢正交.［武漢大學2008研］

解：由題意

I

T\(x)xl并在方程兩邊同時積分的有|V*(x)^HC=j+；n(x)&'/(x)公

考慮到哈密頓算符的厄米算符性質(zhì)并利用式II有

(心-E“)W；(x)%(x)及=0

又J。七”，則j吟(加式x心=0III

設(shè)粒子本征波函數(shù)完備集為｛團，則由正交歸一化條件有

J(X用(x)ctv=bjv

C2

￥<x)態(tài)矢為C=；,巴(x)態(tài)矢為0=；

V'd.

U)UJ

即5其=v

IV、V代入HI有(承㈤仁4陶一抽=。

止匕即UD=0,亦即兩個波函數(shù)對應(yīng)態(tài)矢正交.

6.一體系初始時刻的態(tài)為

MOM=#,,(&?)+枷的)+也兒⑸夕)

(1)求(W，上+Y)=?其中￡+=￡x+i￡y,

(2)如果對匕測量，能得到哪些結(jié)果？相應(yīng)的概率又是多少？

(3)如果對乙進行了測量，并得到結(jié)果L=一%計算不確定度aLx

和aLy及它們的乘積^LxZXLy.［中南大學2010研］

解：⑴由公式口：工=:(l+l)-m(m±l)；iY1s可得Jw=杼%+梅%

故除3$旨+百加半Q

(2)由題意，m=—1,0,1而工二本征值為mQ故匚可能測得值為

匚=-無概率P-i=J=|

匚=0,概率2=也=|

Lz=無概率P_i=J1=：

⑶易知［“=收Y1+枷-

于是有

匚=(wD=d^方

'15

L/=(￡_w工_w)=：五'

5

L2=(L.\!/=L,V)=1^

5

因此

匚（匚+□二嗎

x2--2V~5

14=1P+L?+2Lj7i=ft2

心=瘧-匚-=（

耳4口：/（口-匚）=。

3手

4練習題

一、選擇題

對力學量A進行測量.要能得到確定結(jié)果的條件是（）［中南大

學2010研］

A.體系可以處于任一態(tài)

B.體系必須處于A宏觀態(tài)

c.力學量A必須是守恒量

D.體系必須處于A的本征態(tài)

【答案】D

【解析】若對力學量的測量得到的是確定結(jié)果，則要求體系必須處

于定態(tài)，而處于定態(tài)的條件即體系處于力學量3對應(yīng)的本征態(tài).

二、簡答題

什么是費米子?什么是玻色子?兩者各自服從什么樣的統(tǒng)計分布規(guī)

律?［湖南大學2009研］

答：費米子是自旋為半奇數(shù)的粒子，玻色子是自旋為整數(shù)的粒子.

費米子遵守費米-狄拉克統(tǒng)計規(guī)律，玻色子遵從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律.

三、計算題

設(shè)限制在邊長為L的立方體中的單粒子的本征能量與本征波函數(shù)是

已知的，其中基態(tài)是非簡并的，而第一激發(fā)態(tài)與第二激發(fā)態(tài)都是3重簡

并的.具體而言，基態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E⑴與吠1.⑺；

第1激發(fā)態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E（2）與W%⑴、4法.⑹與

以工3J）：第2激發(fā)態(tài)的本征能量與軌道波函數(shù)分別為E⑶與M,3（、），

噓心⑴與憶黑,（x）-且前三個單粒子能級是等間隔的.

設(shè)由4個上述單粒子構(gòu)成的全同粒子體系，限制在邊長為L的立方體

中.計算體系的較低的2個本征能量及相應(yīng)的簡并度.［武漢大學2008研］

解：題中并未給出粒子是費米子還是玻色子，故分兩種情況討論.

由題意4+%=2J）I

（1）粒子為費米子

此時粒子應(yīng)該遵守泡利不相容原理，每個波函數(shù)最多容下兩個粒

子.

體系最低能量4=再）+24：,

對應(yīng)波函數(shù)有

%（動%為（五）平忠」（工3）若心（五）

處=嗯式動中之㈤德3⑸吟工（五）

小即父⑸嗯您）已3㈤3工3（元）

外T久㈤吟如⑸嗯。㈤吟—后）

處=嗯式動中％⑸必葭痣）藝，式動

處㈤嘿傘）嘮u（動錯3㈤

其簡并度為6.

體系第一激發(fā)態(tài)能量E：=2%「E：-E._

其簡并度為3x3=9

（2）粒子為玻色子

此時粒子不受泡利不相容原理約束

體系最低能量區(qū)=也,，其簡并度為1.

體系第一激發(fā)態(tài)能量為耳=34+%,其簡并度為3.

5練習題

一、選擇題

1.中心力場中，算符￡2和心的共同征函數(shù)為Y］m（0,3），則關(guān)

于這兩個算符的本征值方程正確的式子是（）［中南大學2010研］

A?￡乂（仇伊）=如一帆-。匕=僦。（仇《）

文@,叫=岫M-（4。）Z乂（8"）=/匕（40）

B./工（dn=W7”.（&。）一⑸/）』也⑹6

?心（&?＞）-/（/+WL（ao＞）L.Y^e.v）=仇⑼

c.

D.

【答案】C

【解析】角動量的平方算符以及叫動量算符在z方向分量有著共同本

征波函數(shù)，即球諧函數(shù)，它們滿足如下關(guān)系

二、計算題

1.設(shè)氫原子處于狀態(tài)

IJ3八

叭一夕＞）=Q&0）九（仇⑺--—島上）》」（〃?哈

求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值

出現(xiàn)的幾率和這些力學量的平均值.［華南理工大學2009研］

解：氫原子的定態(tài)能量為旦=,n=l,2,3,...

"lan2

由氫原子所處的態(tài)函數(shù)“-AMIp，WAR石…v*

1應(yīng)

=3/io__亍

所以氫原子能量的取值為E=_d,幾率為1,能量的平均值為

8a8。

角動量平方的取值為2,=(+lW=2方I幾率為1，其平均值為2方0

角動量z分量的取值為：

Lz=，”方=0

,幾率1/4,

Lz=加方=一方

,幾率3/4,

其平均值<工.>=Lo+3x(f)=_^

'444

2.己知氫原子的徑向波函數(shù)4產(chǎn)力5卜服｝其中a為波爾半徑.

(1)求歸一化常數(shù)A。

(2)己知連帶勒讓德函數(shù)P『=cos。，Pj=sin0,求氫原子的歸一化

本征函數(shù)\|/210,\|/211,\|/21—1.

(3)對于本征態(tài)V21—1，其對應(yīng)的能量、角動量、角動量z分量各是多

少?［華南理工大學2011研］

￥；?,rr1

解：(1)I冽sin*6|Y*expG—dr=lTX=-------r.

。。。「㈤2而

(2)本征函數(shù)可以表示為

心鼠（尸）】］（仇0）」=012…m=l,l

所以

（3）對于本征態(tài)叫J其對應(yīng)的能量為七=-±.±=-匚

2a2*8a

角動量r=/（Z+l）ft2=2h2角動量的z分量Z=mh=-h.

3.設(shè)t=0時刻氫原子處于中伉0）;匕］!（八艮3）一?％（八9"）狀態(tài)，其中

+nlm（r，9,tp）是氫原子哈密頓算符的正交歸一化本征波函數(shù)?

求：（1）t=0時刻，體系能量右心）的平均值.

（2）t=0時刻，體系角動量平方L2的平均值.

（3）t=0時刻，體系角動量x分量Lx的平均值.

（4）t=e時刻，體系所處的狀態(tài)中（＞/）.［北京航空航天大學2008研］

解：（1）由題意可知n=2,3

故t=0時，體系能量平均值為

4f3+/⑨

_11AeWt31AeW.

4Shz418h:

7(2T)：

=-96-h--

(2)由題意知1=1,2則品=儀+1)券=卷，區(qū)=二

(2萬廠

N：的平均值為下

444(2靄)

(3)由關(guān)系式邙建=W+l)-m(m±l>,1「Yg

工黑u=0

L-T5：1=2；A

有工％=0仔［％①

—嶼事融

而□=；(1_+「)②

另外，由正交歸一條件有

=60A6=③

故t=0時;工平均值為

匚=(￥60)“G0))

-f'h'r1v忑中、不中小中"中...

\」7Uj/L4L4

=0

(4)t-時刻體系所處的狀態(tài)為

4.設(shè)氫原子處于狀態(tài):

夕(八/&6)幾(伉平)+*凡|卜)丫1(8，9)

(a)測得該原子的能量的可能值為多少?相應(yīng)的概率又為多少？

(b)測得的角動量分量乙的可能值和相應(yīng)概率為多少?［湖南大學

2009研］

解：(a)氫原子能級工=--).a為玻爾半徑.故氫原子可能能量為

2an

瑪=_(，對應(yīng)概率為ej+［立

/對應(yīng)概