高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)

姓名:年級:學(xué)號(hào):

題型選擇題填空題解答題判斷題計(jì)算題附加題總分

得分

評卷人得分

一、選擇題(共8題，共40分)

1、設(shè)函數(shù)f(x)=ax+bx+cx,其中c>a>0,c>b>0,若a,b,c是△ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正

確的是()①對任意xd(-8,1),都有f(x)<0；

②存在xdR,使ax,bx,ex不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長；

③若aABC為鈍角三角形，存在xe(1,2),使f(x)=0.

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③

【考點(diǎn)】

【答案】B

a

【解析】解：在①中,-.-a,b,c是4ABC的三條邊長，.?.a+b>c,,.■C>a>0,c>b>0,0

b

<C<1,

當(dāng)xd(-8,1)時(shí)，f(x)=ax+bx-cx=cx[()x+()x-1]

a+b—c

>cx(+-1)=cxa>0,故①錯(cuò)誤.

在②中，令a=2,b=3,c=4,則a.b.c可以構(gòu)成三角形，

但a2=4,b2=9,c2=16卻不能構(gòu)成三角形，故②正確.

在③中，■.■c>a>0,c>b>0,若aABC為鈍角三角形，.'.a2+b2-c2<0,

,/f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0,

，根據(jù)根的存在性定理可知在區(qū)間(1,2)上存在零點(diǎn)，即mxW(1,2),使f(x)=0,故③正確.

故選：B.

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的值的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；

②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法才能正確解答此題.

2、等比數(shù)列｛an｝中a1+a2+…+a5=15,a12+a22+—+a52=30,則a1-a2+a3-a4+a5=()

A.4

B.3

C.2

D.1

【考點(diǎn)】

【答案】C

%(14)

【解析】解：設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q,且q/1,則a1+a2+a3+a4+a5==15①，且

ajQ-qlO)

a12+a22+a32+a42+a52=1-<?：=30②.

%(1+母5)

.?.②+①得1+q=2,.'.al-a2+a3-a4+a5==2,

故選：C.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，需要了解前作項(xiàng)和公式：

1-g1-q才能得出正確答案.

3、已知函數(shù)千(x)=-x5-3x3-5x+3,若千(a)+f(a-2)>6,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-8,3)

B.(3,+8)

C.(1,+8)

D.(-8,1)

【考點(diǎn)】

【答案】D

【解析】解：*-'f(x)=-x5-3x3-5x+3,.*.f(-x)=x5+3x3+5x+3,可得千(-x)+千(x)=6對任意的

x均成立.

因此不等式千(a)+千(a-2)>6,即f(a-2)>6-f(a),

等價(jià)于千(a-2)>f(-a)

'.'f5(x)二一5x4-9x2-5Vol亙成立，

「?千(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)，

所以由千(a-2)>f(-a)得到a-2V-a,即aV1

故選：D【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握一般的，函

數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間值仍內(nèi)，(1)如果/⑸〉那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)

間單調(diào)遞增；(2)如果/’5)<0,那么函數(shù)，在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.

x+y>4

(x~yW2y

4、已知實(shí)數(shù)x,y滿足3y-X<4,則F的最小值為()

A.1

1

B.3

3

c.s

1

D.4

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】解：由題意作平面區(qū)域如下，z=x的幾何意義是點(diǎn)B(x,y)與點(diǎn)0(0,0)連線的直線的斜率，

產(chǎn)+y=4

由1無一y=2,解得B(3,1),

1

Z=有最小值為：3,

故選：B.

V

-5-4-3-2-13

-3-

-4-

-5L

X\120*120/2

5、如圖，四邊形ABCD中，ZB=ZC=120°,AB=4,BC=CD=2,則該四邊形的面積等于()

A.事

B.5

C.6

D.7

【考點(diǎn)】

【答案】B

【解析】解：連接BD,在ZkBCD中,BC=CD=2,ZBCD=120°,/.ZCBD=30°,BD=2叔

1

SABCD=2X2X2Xsin120°=.

在AABD中，ZABD=120°-30°=90°,

AB=4,BD=2,

.,.SAABD=AB-BD=X4X2=4,

二四邊形ABCD的面積是5.

故選B

6、為大力提倡“厲行節(jié)約，反對浪費(fèi)”，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否做到“光盤”行動(dòng),

2n(ad—兒產(chǎn)

得到如下列聯(lián)表及附表：經(jīng)計(jì)算：X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)3。3

參照附表，得到的正確結(jié)論是()A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市民能否做到‘光

盤’行動(dòng)與性別有關(guān)”B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市民能否做到‘光盤'行動(dòng)與性別

無關(guān)”C.有90%以上的把握認(rèn)為“該市民能否做到‘光盤'行動(dòng)與性別有關(guān)”D.有90%以上的把握認(rèn)為“該

市民能否做到‘光盤'行動(dòng)與性別無關(guān)”

【考點(diǎn)】

【答案】C

【解析】解：由K2七3.03,參考附表,■,■2.706<3,0300.841.

???有90%以上的把握認(rèn)為“該市民能否做到‘光盤'行動(dòng)與性別有關(guān)”，

故選C.

7、數(shù)列1,3,6,10,…的通項(xiàng)公式是()

2

Aan=n-(n-l)

n(n+1)

C.an=^—

z

Dan=n4-1

【考點(diǎn)】

【答案】c

n(n+1)

［解析］解：a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10=1+2+3+4,■■■,，an=1+2+3+…+n=-2~,

故選：C.

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的定義和表示，掌握數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).記作an,在

數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，在第二個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)為n的項(xiàng)叫第n項(xiàng)(也

叫通項(xiàng))記作an即可以解答此題.

一a

8、(病+齊)5展開式的常數(shù)項(xiàng)為80,則a的值為()

A.1

B.2

D.4

【考點(diǎn)】

【答案】B

ar15-5尸15-5r

【解析】解：(行+齊)5展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=W?ar?X&,令6=0,求得尸3,可得展開

式的常數(shù)項(xiàng)為Cg?a3=80,

解得a=2,

故選：B.

二、填空題（共3題，共15分）

12

9、已知f(x)=-%+X,X<°,則不等式f(x2-x+1)<12解集是

【考點(diǎn)】

【答案】(-1,2)

x2+x,x>0

{f2

【解析】解：Tf(x)=T+V0,,f(_x)=-f(x)恒成立，

???函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，

再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：

f（x）在（0,+8）上是增函數(shù)，f（0I【解析】解：這個(gè)三元組正好是鈍角三角形的三個(gè)邊，應(yīng)滿足

'x+y>l

x2+y2<l

|-s,對應(yīng)的區(qū)域如圖，

1

則圓面積的工為，

直線和區(qū)域圍城的面積是，

則這個(gè)三元組正好是鈍角三角形的三個(gè)邊的概率p=-.

所以答案是：

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用幾何概型的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握幾何概

型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.

11、已知隨機(jī)變量&的分布列為（如表所示）：設(shè)n=2&+1,則口的數(shù)學(xué)期望En的值是.

【考點(diǎn)】

2

【答案】3

111111

【解析】解：E^=-1X2+°*6+1x3=-6..'.ET|=E（2&+1）=2E4+1=2X3）+仁.

所以答案是：.

三、解答題（共5題，共25分）

12、某市為響應(yīng)國家節(jié)能減排建設(shè)的號(hào)召，喚起人們從自己身邊的小事做起，開展了以“再小的力量也是

一種支持”為主題的宣傳教育活動(dòng)，其中有兩則公益廣告：①80部手機(jī)，一年就會(huì)增加一噸二氧化氮的排

放.②人們在享受汽車帶了的便捷舒適的同時(shí)，卻不得不呼吸汽車排放的尾氣.活動(dòng)組織者為了解是市民

對這兩則廣告的宣傳效果，隨機(jī)對10-60歲的人群抽查了n人，并就兩個(gè)問題對選取的市民進(jìn)行提問，其

抽樣人數(shù)頻率分布直方圖如圖所示，宣傳效果調(diào)查結(jié)果如表所示.宣傳效果調(diào)查表

抽樣人數(shù)領(lǐng)率分布I,1方圖

3

0.035卜.......?

0.025卜...r-

0.020^…-------1?

0.015[1~~|

0.0051?…卜…|I?…I…),

」；，、，，“.(1)分別寫出n,a,b,c,d的值.⑵若將表中的頻率近似看作

各年齡組正確回答廣告內(nèi)容的概率，規(guī)定正確回答廣告一的內(nèi)容得30元，廣告二的內(nèi)容得60元.組織者

隨機(jī)請一家庭的兩成員(大人45歲，孩子17歲)，指定大人回答廣告一的內(nèi)容，孩子回答廣告二的內(nèi)容,

求該家庭獲得獎(jiǎng)金數(shù)&的分布列及期望.

【考點(diǎn)】

【答案】(1)解：由題意知，[10,20)歲中抽查人數(shù)為9090.5=180人，

[10,20)歲中抽查人數(shù)的頻率為0.015X10=0為5,

.".n=180-?0.15=1200.

451

.■.3=180=4,b=(252+0.6)X0.9=378.

1602

=

c1200x0.23,

120

d=1200x0.2=|二自的分布列為：

1111

.E&=0X4+30X7+60Xjj+90xg=35

【解析】(1)利用頻率分布直方圖和統(tǒng)計(jì)表求解.(2)由題意知，大人正確回答廣告一內(nèi)容的概率為P

(A)=,孩子正確回答廣告二的內(nèi)容的概率為P(B)=,自可能取值為0,30,60,90,分別求出相應(yīng)的概

率，由此能求出該家庭獲得獎(jiǎng)金數(shù)&的分布列及期望.

【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用離散型隨機(jī)變量及其分布列，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)

變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變

量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2............xi...............xn,X取每一個(gè)值

xi(i=1,2............)的概率P(&=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機(jī)變量X的概率分布，簡稱分布列即可以解

答此題.

13、已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿足ak+1=ak+ai(iWk,k=1,2,n-1),數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為

Sn.

(1)比較ai與1的大小關(guān)系，并說明理由；

(2)若數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，求可的值；

(八田工工工n

(3)求證：2'+1')s”"2—1.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)解：丫首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列｛an｝滿足ak+1=ak+ai(iWk,k=1,2,n-1),數(shù)列｛an｝的前n

項(xiàng)和為Sn.

.'.ak+1-ak=ai>0(iWk，k=1,2,3,■,,,n-1),

二數(shù)列｛an｝是遞增數(shù)列，即1Va2Va3V…Van.

.'.ai>1(iWk,k=1,2,3,n-1)

(2)解：二七？-a1=a1,.'.al由上面n個(gè)式子相加，得到：1+2+3+…+nWa1+a2+a3+???+anW

20+21+22+???+2n-1,

n(n+1)

化簡得2<a1+a2+a3+*"+an)<2n-1,

n

.》(n+l)<sn<2-l

【解析】(1)利用數(shù)列的單調(diào)性即可比較ai與1的大小關(guān)系.(2)利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

即可得出的值.(3)利用“累加求和”與不等式的性質(zhì)即可證明：.

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等比數(shù)列的基本性質(zhì)，需要了解｛an｝為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的

對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列；｛an｝既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列=｛an｝是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列才能得出正確答案.

14、如圖，在AABC中，ZB=45°,AC=-5,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求：

(1)邊AB的長；

(2)cosA的值和中線CD的長.

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)解：由cosC=5>0可知，NC是銳角,

廓xf

ACABACsinC—忑—

由正弦定理淅8=布忑得:AB=sinB-T=2

(2)解:-/ZB=45°,.,.A=180o-45°-C,

￡yio

.,,cosA=cos(180°-45°-0)=cos(135°-C)=7(-cosC+sinC)=X(-+)=-而，

由AD=》AB=1,根據(jù)余弦定理得：CD2=AD2+AC2-2AD*ACcosA=1+10-2X1X阿X(-)=13,

則CD='J13.

【解析】(1)由cosC的值大于0,得到C為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，再由

AC,sinC,以及sinB的值，利用正弦定理即可求出AB的長；(2)由B的度數(shù)，利用內(nèi)角和定理表示出A

的度數(shù),求出cosA的值,再由AC,AD,cosA的值，利用余弦定理即可求出CD的長.

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)可以得到問題

===2R

的答案，需要掌握正弦定理：由14面3sinC；余弦定

理：a2=b2+c3-26ccos4；乂=c，—TcacasB；c3=a3+A3—TabcasC.

15、一場晚會(huì)有5個(gè)唱歌節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目，要求排出一個(gè)節(jié)目單

(1)前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？

(2)3個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？

(3)3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？

【考點(diǎn)】

【答案】

(1)解：.；8個(gè)節(jié)目全排列有A88=40320種方法,

若前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個(gè)節(jié)目全是唱歌有A54A44,

...前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈有A88-A54A44=37440

(2)解：Y3個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起，

二可以把三個(gè)舞蹈節(jié)目看做一個(gè)元素和另外5個(gè)元素進(jìn)行全排列，

三個(gè)舞蹈節(jié)目本身也有一個(gè)排列有A66A33=4320

(3)解：3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此要隔開，

可以用插空法來解，

先把5個(gè)唱歌節(jié)目排列，形成6個(gè)位置，選三個(gè)把舞蹈節(jié)目排列，

有A55A63=14400

【解析】(1)先不考慮限制條件，8個(gè)節(jié)目全排列有A88種方法，前4個(gè)節(jié)目中要有舞蹈的否定是前四個(gè)

節(jié)目全是唱歌有A54A44,用所有的排列減去不符合條件的排列，得