考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷2（共208題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷2（共9套）（共208題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)則f(x)有()．A、兩個(gè)可去間斷點(diǎn)B、兩個(gè)無窮間斷點(diǎn)C、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)跳躍間斷點(diǎn)D、一個(gè)可去間斷點(diǎn)，一個(gè)無窮間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：顯然x=0，x=1為f(x)的間斷點(diǎn)．由f(0+0)=f(0－0)=0，得x=0為f(x)的可去間斷點(diǎn)；由f(1－0)≠f(1+0)，得x=1為f(x)的跳躍間斷點(diǎn)，應(yīng)選C．2、設(shè)f(x)滿足：xf"(x)－x2f＇2(x)=1－e-2x且f(x)二階連續(xù)可導(dǎo)，則()．A、x=0為f(x)的極小值點(diǎn)B、x=0為f(x)的極大值點(diǎn)C、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)D、(0，f(0))是y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：3、設(shè)為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：選C．4、設(shè)f(x)在x0的鄰域內(nèi)三階連續(xù)可導(dǎo)，且f＇(x0)=f"(x0)=0，f"＇(x0)＞0，則下列結(jié)論正確的是()．A、x=x0為f(x)的極大值點(diǎn)B、x=x0為f(x)的極小值點(diǎn)C、(x0，f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、(x0，f(x0))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由極限的保號(hào)性，存在δ＞0，當(dāng)0＜1｜x－x0｜＜δ＜時(shí)，當(dāng)x∈(x0－δ，x0)時(shí)，f"(x)＜0；當(dāng)x∈(x0，x0+δ)時(shí)，f"(x)＞0，則(x0，f(x0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，選C.5、設(shè)A，B及A*都是n(n≥3)階非零矩陣，且AB=O，則r(B)=()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由B為非零矩陣得r(A)＜n，從而r(A*)=0或r(A*)=1，因?yàn)锳*為非零矩陣，所以r(A*)=1，于是r(A)=n－1，又由AB=O得r(A)+r(B)≤n，從而r(B)≤1，再由B為非零矩陣得r(B)≥1，故r(B)=1，選B．6、設(shè)A，B為三階矩陣且A不可逆，又AB+2B=O且r(B)=2，則｜A+4E｜=()．A、8B、16C、2D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令B=(α1，α2，α3)，由AB+2B=O得Aαi=－2αi(i=1，2，3)，由r(B)=2得λ=－2至少為A的二重特征值，又由r(A)＜3得λ3=0，故λ1=λ2=－2，λ3=0，A+4E的特征值為λ1=λ2=2，λ3=4，故｜A+4E｜=16，應(yīng)選B．7、設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為則k為()．A、2B、4C、6D、8標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由得k=6，選C．8、已知E(X)=1，E(X2)=3，用切比雪夫不等式估計(jì)P{－1＜X＜4}≥a，則a的最大值為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：D(X)=2，由切比雪夫不等式得選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、冪級數(shù)的和函數(shù)為_____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)矩陣不可對角化，則a______________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0或4知識(shí)點(diǎn)解析：由得λ1=0,λ2=a，λ3=4．因?yàn)锳不可對角化，所以A的特征值一定有重根，從而a=0或a=4．當(dāng)a=0時(shí)，由r(0E－A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，則A不可對角化，a=0合題意；由r(4E－A)=2得λ2=λ3=4只有一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A不可對角化，a=4合題意．14、10件產(chǎn)品中有3件產(chǎn)品為次品，從中任取2件，已知所取的2件產(chǎn)品中至少有一件是次品，則另一件也為次品的概率為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令事件A={所取兩件產(chǎn)品中至少有一件次品}，B={兩件產(chǎn)品都是次品}，三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y＇－Y=(4－6x)e－x的一個(gè)解，且(I)求y(x)，并求y=y(x)到x軸的最大距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)2y"+y＇－y=(4—6x)e－x的特征方程為2λ2+λ－1=0，特征值為λ1=－1，λ2=2y"+y＇－y=0的通解為令2y"+y＇－y=(4－6x)e－x的特解為y0=(ax2+bx)e－x，代入得a=1，b=0，原方程的通解為由得y(0)=0，y＇(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=x2e－x，由y＇=(2x－x2)e－x=0得x=2，當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，y＇＞0；當(dāng)x＞2時(shí)，y＇＜0，則x=2為y(x)的最大值點(diǎn)，故最大距離為dmax=y(2)=4e－2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在[0,1]上二階連續(xù)可導(dǎo)，且f＇(0)=f(1)，證明：存在ξ∈(0,1)，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒"(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f"∥(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)(1)討論f(x)在x=0處的連續(xù)性．(2)求f(x)的極值點(diǎn)與極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(0－0)=f(0+0)=f(0)=1，所以f(x)在x=0處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、某商品產(chǎn)量關(guān)于價(jià)格p的函數(shù)為Q=75－p2，求：(I)當(dāng)p=4時(shí)的邊際需求，說明其經(jīng)濟(jì)意義；(Ⅱ)當(dāng)p=4時(shí)的需求價(jià)格彈性，說明其經(jīng)濟(jì)意義；(Ⅲ)當(dāng)p=4時(shí)，若價(jià)格提高1％，總收益是增加還是減少?收益變化率是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)邊際需求函數(shù)為其經(jīng)濟(jì)意義在于，在價(jià)格為p=4時(shí)，若價(jià)格提高一個(gè)單位，則需求量減少8個(gè)單位．(Ⅱ)需求價(jià)格彈性函數(shù)為當(dāng)P=4時(shí)，需求價(jià)格彈性為其經(jīng)濟(jì)意義在于，在價(jià)格p=4的基礎(chǔ)上，若價(jià)格提高1％，則產(chǎn)品的需求量就減少0．54％．(Ⅲ)當(dāng)p=4時(shí)，若價(jià)格提高1％，因?yàn)樵撋唐啡狈椥裕髽I(yè)的收益是增加的．故當(dāng)價(jià)格提高1％后，企業(yè)的收益增加0．46％．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、現(xiàn)有兩只桶分別盛有10L濃度為15g／L的鹽水，現(xiàn)同時(shí)以2L／min的速度向第一只桶中注入清水，攪拌均勻后以2L／min的速度注入第二只桶中，然后以2L／min的速度從第二只桶中排出，問5min后第二只桶中含鹽多少克?標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)t時(shí)刻第一、二只桶中所含鹽的質(zhì)量分別為m1(t)，m2(t)，則有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、就a，b的不同取值情況討論方程組何時(shí)無解、何時(shí)只有唯一解、何時(shí)有無數(shù)個(gè)解?在有無數(shù)個(gè)解時(shí)求其通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)當(dāng)a≠－1，a≠6時(shí)，方程組只有唯一解；2)當(dāng)a=－1時(shí)，當(dāng)a=－1，b≠36時(shí)，方程組無解；當(dāng)a=－1，b=36時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解，方程組的通解為3)當(dāng)a=6，b為任意取值時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)α=(1，1，－1)T是的一個(gè)特征向量．(I)確定參數(shù)a，b的值及特征向量α所對應(yīng)的特征值；(Ⅱ)問A是否可以對角化?說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)由Aα=λα，得解得a=－3，b=0，λ=－1．(Ⅱ)由｜λE－A｜=(λ+1)3=0，得λ=－1是三重特征值．因?yàn)閞(－E－A)=2，所以λ=－1對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量只有一個(gè)，所以A不可以對角化．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)X的概率密度為(I)求a，b的值；(Ⅱ)求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)；(Ⅲ)求Y=X3的密度函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅲ)FY(y)=P{X3≤y}，當(dāng)y＜－8時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0；知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，且總體X的密度函數(shù)為(I)求θ的矩估計(jì)量；(Ⅱ)求θ的極大似然估計(jì)量．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、若f"(x)在(0，2)上連續(xù)，則()．A、點(diǎn)(1，f(1))是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)B、f(1)是函數(shù)y=f(x)的極小值C、f(1)是函數(shù)y=f(x)的極大值D、點(diǎn)(1，f(1))不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，f(1)也不是函數(shù)y=f(x)的極值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x∈(1－δ，1)時(shí)，f＇(x)＞0；當(dāng)x∈(1，1+δ)時(shí)，f＇(x)＜0，從而x=1為f(x)的極大值點(diǎn)；從而f"(x)＜0，即(1，f(1))不是y=f(x)的拐點(diǎn)，應(yīng)選C．2、的根的個(gè)數(shù)為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由f＇(x)=(x+1)ex+1=0得x=－1，3、設(shè)f(x)連續(xù)，且滿足則關(guān)于f(x)的極值問題有()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)δ＞0，f(x)在(－δ，δ)內(nèi)恒有f"(x)>0，且｜f(x)｜≤x2，記則有()．A、I=0B、I＞0C、I＜0D、不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋黤(x)｜≤x2，所以f(0)=0，由｜f(x)｜≤x2，得由夾逼定理得f＇(0)=0．5、已知四維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，若向量βi(i=1，2，3，4)是非零向量且與向量α1，α2，α3均正交，則向量組β1，β2，β3，β1的秩為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)αi=(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i=1，2，3)，由已知條件有βiTαj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)．即βi(i=1，2，3，4)為方程組的非零解．由于αi，α2，α3線性無關(guān)，所以方程組系數(shù)矩陣的秩為3，所以其基礎(chǔ)解系含1個(gè)解向量，從而向量組β1，β2，β3，β4的秩為1，選A．6、設(shè)A=(α1，α2，α3，α4)為四階方陣，且α1，α2，α3，α4為非零向量組，設(shè)AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為(1，0，－4，0)T，則方程組A*X=0的基礎(chǔ)解系為()．A、α1，α2，α3B、α2，α3，α1+α3C、α1，α3，α4D、α1+α2，α2+2α4，α1標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由r(A)=3得r(A*)=1，則A*X=0的基礎(chǔ)解系由3個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成．由α1－4α3=0得α1，α3成比例，顯然A、B、C不對，選D．7、設(shè)X～N(1，4)，Y～N(3，16)，P{Y=aX+b}=1，且ρXY=－1，則()．A、a=2，b=5B、a=－2，b=－5C、a=－2，b=5D、a=2，b=－5標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由EY=aEX+b得a+b=3，再由DY=a2DX得4a2=16，因?yàn)棣裍Y=－1，所以a<0，于是a=－2，b=5，選C．8、設(shè)總體X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，(X1，X2，…，Xn)為總體的簡單樣本，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：交換積分次序得11、設(shè)f(x，y)滿足f(x，1)=0，f＇y(x，0)=sinx，f"yy(x，y)=2x，則f(x，y)=__________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：xy2+ysinx－x－sinx知識(shí)點(diǎn)解析：由f"xy(x，y)=2x得f＇y(x，y)=2xy+φ(x)，因?yàn)閒＇y(x，0)=sinx，所以φ(x)=sinx，即f＇y(x，y)=2xy+sinx，再由f＇y(x，y)=2xy+sinx得f(x，y)=xy2+ysinx+ψ(x)，因?yàn)閒(x，1)=0，所以ψ(x)=－x－sinx，故f(x，y)=zy2+ysinx－x－sinx．12、過曲線(x≥0)上的一點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的平面區(qū)域的面積為，所圍區(qū)域繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的體積為__________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：切線與x軸的交點(diǎn)為(－2a，0)，所求的面積為13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锽=AE12(2)E13所以｜B｜=｜A｜｜E12(2)｜｜E13｜=－3，又因?yàn)锽*=｜B｜B－1，所以B*=－3E13－1E12－1(2)A－1=－3E13E12(－2)A－1，故14、設(shè)X～E(λ)，Y～E(λ)且X，Y相互獨(dú)立，Z=min{X，Y}，則P{Z＞E(Z))=___________________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)為Z的分布函數(shù)為FZ(z)=P{Z≤z}=1－P{Z＞z}=1－P{X＞z，Y＞z}=1－P{X＞z}P{Y＞z}=1－[1－F(z)-][1－F(z)]即Z～E(2λ)，則三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)y=y(x)由x3+3x2y－2y2=2確定，求y=y(x)的極值．標(biāo)準(zhǔn)答案：x3+3x2y－2y3=2兩邊對x求導(dǎo)得3x2+6xy+3x2y＇=6y2y＇=0。兩邊再對x求導(dǎo)得6x+6y+12xy＇+3x2y"－12yy＇2－6y2y"=0，x=0時(shí)，y"(0)=－1，x=0為極大值點(diǎn)，極大值為y=－1；x=－2時(shí)，y"(－2)=－1，為y=y(x)的極小值點(diǎn)，極小值為y=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、討論方程lnx=kx的根的個(gè)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：情形一：當(dāng)k=0時(shí)，方程只有唯一實(shí)根x=1；情形二：當(dāng)k＞0時(shí)，令f(x)=lnx－kx(x＞0)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、計(jì)算其中D是由x2+y2=4與x2+(y+1)2=1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對稱性得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、已知微分方程作變換u=x2+y2，ω=lnz一(x+y)確定函數(shù)ω=ω(u，v)，求經(jīng)過變換后原方程化成的關(guān)于ω，u，v的微分方程的形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)討論當(dāng)a，b取何值時(shí)，方程組AX=b無解、有唯一解、有無數(shù)個(gè)解，有無數(shù)個(gè)解時(shí)求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：情形一：a≠0當(dāng)a≠0且a－b+1≠0時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng)a≠0且a－b+1=0時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解，當(dāng)b≠1時(shí)，方程組無解；當(dāng)b=1時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)A為三階矩陣，α1，α2，α3是三維線性無關(guān)的向量組，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1－α2，Aα3=α1－α2+4α3．(I)求矩陣A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩陣Q，使得Q－1叫AQ為對角矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)令P=(α1，α2，α3)，因?yàn)棣?，α2，α3線性無關(guān)，所以P可逆．因?yàn)锳α1=α1+3α2，Aα2=5α1一α2，Aα3=α1－α2+4α3，所以(Aα1，Aα2，Aα3)－(α1+3α2，5α1－α2，α1－α2+4α3)，得A的特征值為λ1=－4，λ2=λ3=4．(Ⅱ)因?yàn)锳～B，所以B的特征值為λ1=－4，λ2=λ3=4．因?yàn)镻－1AP=B，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λA的指數(shù)分布，令求：(I)P{X+Y=0}；(Ⅱ)隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)；(Ⅲ)E(Y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(I)P{X+Y=0}=P{Y=－X}=P{｜X｜＞1}=1－P{X≤1}=1－(1－e－λ)=e－λ．(Ⅱ)FY(y)=P{Y≤y}=P{Y≤y，0＜X≤1}+P{Y≤y，X＞1}=P{X≤y，0＜X≤1}+P{X≥－y，X＞1}．當(dāng)y＜－1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{X≥－y}=1－P{X≤－y}=eλy；當(dāng)－1≤y<0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{X>1}=e－λ；當(dāng)0≤y＜1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{0－λy+e－λ；當(dāng)y≥1時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P{0＜X≤1}+P{X＞1}=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)有n臺(tái)儀器，已知用第i臺(tái)儀器測量時(shí)，測定值總體的標(biāo)準(zhǔn)差為σi(i=1，2，…，n)．用這些儀器獨(dú)立地對某一物理量θ各觀察一次，分別得到X1，X2，…，Xn．設(shè)E(Xi)=θ(i=1，2，…，n)，問k1，k2，…，kn應(yīng)取何值，才能在使用標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)镋(Xi)=θ(i=1，2，…，n)，所以的無偏性要求是這就是約束條件，而目標(biāo)函數(shù)為由拉格朗日乘數(shù)法，作函數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)在x=x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在該鄰域內(nèi)x≠x0處f’(x)存在，則“”的()A、充分必要條件．B、必要條件而非充分條件．C、充分條件而非必要條件．D、既非充分又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：在所說前提及條件“”下，由洛必達(dá)法則：所以f’(x0)”的充分條件．但不是必要條件，反例如下：設(shè)本例滿足本題所說的前提(其中x0=0)，f’(x)=2xsinf’(x)不存在，而卻是存在的．所以“”的必要條件．2、設(shè)g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且．又設(shè)f(x)在該鄰域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)且滿足x2f"(x)一[f’(x)]2=xg(x)．則()A、f(0)是f(x)的極大值．B、f(0)是f(x)的極小值．C、f(0)不是f(x)的極值．D、f(0)是否為f(x)的極值要由具體的g(x)決定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x≠0時(shí)，g(x)=，由于g(x)在x=0處連續(xù)，所以[f’(0)]2=02．f"(0)一0．g(0)=0，即f’(0)=0．所以f(0)為f(x)的一個(gè)極小值．3、設(shè)數(shù)列{an}單調(diào)增加且有上界，θ為常數(shù)，則級數(shù)(an一an+1)sinnθ()A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對收斂．D、斂散性與θ有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于數(shù)列{an}單調(diào)增加且有上界，故另一方面，｜(an一an+1)sinnθ｜≤｜an一an+1｜=an+1一an，而已證(an+1一an)收斂，所以由比較判別法知，(an—an+1)sinnθ絕對收斂，選C．4、設(shè)g(x)在(一∞，+∞)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且g"(x)＜0．令f(x)=g(x)+g(一x)，則當(dāng)x≠0時(shí)()A、f’(x)＞0．B、f’(x)＜0．C、f’(x)與x同號(hào)．D、f’(x)與x異號(hào)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)=g(x)+g(—x)，有f’(x)=g’(x)一g’(一x)，f"(x)=g"(x)+g"(—x)＜0，f’(0)=0．再由拉格朗日中值定理有f’(x)=f’(0)+f"(ξ)x=f"(ξ)x，ξ介于0與x之間，所以當(dāng)x≠0時(shí)，f’(x)與x異號(hào)，選D．5、設(shè)A是n階矩陣，則下列說法錯(cuò)誤的是()A、對任意的n維列向量ξ，有Aξ=0，則A=O．B、對任意的n維列向量ξ，有ξTAξ=0，則A=O．C、對任意的n階矩陣B，有AB=O，則A=O．D、對任意的n階矩陣B，有BTAB=O，則A=O．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：法一選項(xiàng)(A)對任意的n維列向量ξ，有Aξ=0．分別取ξ1=(1，0，…，0)T，ξ2=(0，1，…，0)T，…，ξn=(0，0，…，1)T代入，即得Aij=0(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)．故A=O．選項(xiàng)(C)，(D)對任意的n階矩陣B，有AB=O及BTAB=O．只要取B=E，即可得出A=0．故由排除法，應(yīng)選B．法二對選項(xiàng)(B)，只要A是非零反對稱矩陣，即AT=一A≠O時(shí)，則對任意的n維列向量ξ，因ξTAξ是數(shù)，故有ξTAξ=(ξTAξ)T=ξTATξ=一ξTAξ，則2ξTAξ=0，即ξTAξ=0，但A≠O．故選項(xiàng)(B)是錯(cuò)誤的，應(yīng)選B．6、設(shè)α1，α2，α3，α4，α5均是4維列向量．記A=(α1，α2，α3，α4)，B=(α1，α2，α3，α4，α5)．已知方程AX=α5有通解k(1，一1，2，0)T+(2，1，0，1)T，其中k是任意常數(shù)，則下列向量不是方程BX=0的解的是()A、(2，1，0，1，一1)T．B、(3．0．2．1，一1)T．C、(1，一2，一2，0，一1)T．D、(0，3，一4，1，一1)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由AX=α5的通解k(1，一1，2，0)T+(2，1，0，1)T知α5可由α1，α2，α3，α4表出為α5=(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4，即(k+2)α1+(一k+1)α2+2kα3+α4—α5=0，即BX=(α1，α2，α3，α4，α5)x=(α1，α2，α3，α4，α5)=0，其中k是任意常數(shù)．因?yàn)锽X=0的解中，無論k為何值，x4，x5不可能為0，故(C)是錯(cuò)誤的．7、設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，均服從[0，3]上的均勻分布，則P{1＜max{X，Y)≤2}=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：法一f(x，y)=f(x)．f(y)=因?yàn)閧max{X，Y)≤2}→{X≤2}∩{Y≤2)，{1＜max{X，Y}}→{X＞1}∪{Y＞1}，故P{1＜max{X，Y}≤2)=P{{1＜X≤2，X≥Y}∪{1＜y≤2，Y≥x}}=．法二令U=max{X，Y}，分布函數(shù)為FU(u)=P{U≤u}=P{max{X，Y}≤U)=P{X≤u，Y≤u}．又X，Y相互獨(dú)立且同分布，則FU(u)=P{X≤u，Y≤u}=P{X≤u}P{Y≤u}=FX(u)FY(u)=[FX(u)]2，故U的概率密度為fU(u)=F’U(u)=ZFX(u)fX(u)=u(0≤u≤3)．所以P{1＜U≤2}=．8、設(shè)X1，X2，…，Xn是總體X～N(μ，σ2)的簡單隨機(jī)樣本．樣本均值，當(dāng)樣本量n＞2時(shí)，下列正確的是()A、D(S12)＞D(S02)＞D(S2)．B、D(S02)＞D(S2)＞D(S12)．C、D(S2)＞D(S12)＞D(S02)．D、D(S2)＞D(S02)＞D(S12)．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：X1，X2，…，Xn是總體X～N(μ，σ)的簡單隨機(jī)樣本，則當(dāng)樣本量n＞2時(shí)，因?yàn)椋訢(S2)＞D(S02)＞D(S12)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e2知識(shí)點(diǎn)解析：令x一1=u，則所以原式=e2．10、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2ln(1+)知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)y=y(x)是由y3+(x+1)y+x2=0及y(0)=0所確定，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：此極限為“”型．求導(dǎo)中要用到y(tǒng)’(0)，y"(0)等，先求出備用．由y3+(x+1)y+x2=0，有3y2y’+(x+1)y’+y+2x=0，將y(0)=0代入，得0+y’(0)=0，有y’(0)=0．再求導(dǎo)，6y(y’)2+3y2y"+y’+(x+1)y"+y’+2=0．將y(0)=0，y’(0)=0代入，得0+0+0+y"+0+2=0，有y"(0)=一2．12、已知y=u(x)x是微分方程(y2+4x2)的解，則在初始條件y｜x=2=0下，上述微分方程的特解是y=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2xtan(x一2)知識(shí)點(diǎn)解析：由y=u(x)x，有+u(x)，于是原方程化為x2x2(u2+4)，由于初值為x=2，所以在x=2的鄰域不包含x=0在內(nèi)的區(qū)間上，上述方程可改寫成(u2+4)，分離變量將x=2，y=0代入，得u=0，C=一2．從而得特解y=u(x)x=2xtan(x一2)．13、設(shè)A=，且已知A相似于B，則b=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：法一相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式．故｜λE一A｜==λ2一1=｜λE一B｜==(λ—b)(λ+1)=λ2+(1一b)λ一b，得b=1．法二｜λE一A｜=λ2一1=(λ一1)(λ+1)=0，A有特征值λ1=1，λ2=一1．B是實(shí)對稱陣，其特征值為l1=b，l2=一1．由相似矩陣有相同的特征值知b=1．14、設(shè)A與B是兩隨機(jī)事件，P(A)=0．6且=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0．2知識(shí)點(diǎn)解析：由=0．5，且P(A)=0．6，得P()=0．2．P()=1一P(A∪B)=1一[P(A)+P(B)一P(AB)]=1一[P(A)+P()]=0．2．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、(Ⅰ)求定積分an=∫02x(2x—x2)ndx，n=1，2，…；(Ⅱ)對于(Ⅰ)中的an，求冪級數(shù)anxn的收斂半徑及收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)an=∫02x(2x一x)dx=∫02x[1一(1一x)2]ndx，作積分變量代換，令1一x=t，于是an=∫1-1(1一t)(1一t2)n(一dt)=∫1-1(1一t2)ndt一∫1-1t(1一t2)ndt=∫1-1(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)ndt．下面用分部積分計(jì)算：an=2∫01(1一t2)ndt=2∫01(1一t2)(1一t2)n—1dt=an—1—2∫01t(1一t2)n—1tdt知收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)平面區(qū)域D用極坐標(biāo)表示為標(biāo)準(zhǔn)答案：區(qū)域D如圖陰影部分所示．為清楚起見，4個(gè)圓只畫出有關(guān)的4個(gè)半圓．D關(guān)于直線y=x對稱，交點(diǎn)A，B，C的極坐標(biāo)分別為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域，并求收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令u=x2，化為u的冪級數(shù)．易知所以收斂半徑R=1，收斂區(qū)間為(一1，1)．回到原給冪級數(shù)，收斂半徑也是1，收斂區(qū)間也是(一1，1)，當(dāng)x=±1時(shí)，易知原冪級數(shù)收斂，所以收斂域?yàn)閇一1，1]．在收斂域[一1，1]上，令其和函數(shù)為為了進(jìn)行逐項(xiàng)積分與逐項(xiàng)求導(dǎo)，所以在收斂區(qū)間內(nèi)考慮計(jì)算．在區(qū)間(一1，1)內(nèi)，令知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、過橢圓=1(a＞b＞0)第一象限上的點(diǎn)(ξ，η)作切線，使此切線與橢圓以及兩坐標(biāo)軸正向圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小，并求該旋轉(zhuǎn)體的最小體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：由=0．橢圓上點(diǎn)(ξ，η)處的切線方程為y一η=一(x一ξ)，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為三角形OAB繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為橢圓=1與兩坐標(biāo)軸正向圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為由于V2為常數(shù)，所以求V的最小值，只要求V1的最小值或ξη2的最大值即可．令由于駐點(diǎn)唯一，且Vmin必存在，所以當(dāng)(*)式成立時(shí)，(**)式即為Vmin．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)x與y均大于0且x≠y，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：不妨設(shè)y＞x＞0(因若x＞y＞0，則變換所給式子左邊的x與y，由行列式性質(zhì)知，左邊值不變)，則由柯西中值定理有，存在一點(diǎn)ξ∈(x，y)，使得上式==eξ一ξeξ．令f(u)=eu—ueu(u>o)，有f(0)=1，f’(u)=一ueξ＜0，所以當(dāng)u＞0時(shí)，f(u)＜1，從而知eξ一ξeξ＜1，于是得證知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)3階矩陣A，B滿足關(guān)系式AB=A—B且A有三個(gè)不同的特征值．證明：(Ⅰ)AB=BA：(Ⅱ)存在可逆陣P，使得P-1AP，P-1BP同時(shí)為對角陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)AB=A—B，①知AB—A+B—E=一E，A(B—E)+(B—E)=一E，(A+E)(E一B)=E．②即A+E，E一B互為逆矩陣，且(E—B)(A+E)=E，③從而得A—B一BA=O，④由①，④式得證AB=BA．(Ⅱ)A有三個(gè)不同的特征值，故有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，設(shè)為ξ1，ξ2，ξ3．則有A(ξ1，ξ2，ξ3)=(λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)，兩端左邊乘B，BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)．由(Ⅰ)AB=BA，得AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)=B(λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3)，得A(Bξi)=λi(Bξi)，i=1，2，3．若Bξi≠0，則Bξi是A的屬于特征值λi的特征向量，因λi是單根，故對應(yīng)相同的特征值的特征向量成比例．故Bξi=μiξi．若Bξi=0，則ξi是B的屬于特征值0的特征向量．無論何種情況，B都有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量ξi(i=1，2，3)．故A，B同時(shí)存在可逆陣P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得P—1AP=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、(Ⅰ)設(shè)α1=(a1，a2，a3，a4)，α2=(a2，一a1，a4，一a3)，α3=(a3，一a4，一a1，a2)，其中ai(i=1，2，3，4)不全為零．證明α1，α2，α3線性無關(guān)；(Ⅱ)記A=，證明AAT是正定矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)用反證法．假設(shè)α1，α2，α3線性相關(guān)，則由定義，存在不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0．(*)因α1α2T=(a1，a2，a3，a4)=0，α1α3T=(a1，a2，a3，a4)=0，α2α3T=(a2，—a1，a4，—a3)=0．又αjαj=aj2≠0，j=1，2，3．故將式(*)兩端右邊乘αjT，j=1，2，3，得kjαjαjT=0，αjαjT≠0kj=0，j=1，2，3，這和假設(shè)矛盾，得證α1，α2，α3線性無關(guān)．(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，α2，α3線性無關(guān)，則r(A)==3，且AAT是實(shí)對稱矩陣．則齊次方程組ATx=(α1T，α2T，α3T)x=0僅有唯一零解，則對任給的x≠0，ATx=(α1T，α2T，α3T)x≠0，兩端左邊乘(ATx)T，得(ATx)T(ATx)=xTAATx＞0，得證，AAT是正定矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度為f(x，y)=(Ⅰ)求fX(x)，fY(y)，判斷X與Y是否獨(dú)立?(Ⅱ)記U=X，V=Y—X，求(U，V)的分布函數(shù)F(u，v)，并判斷U，V是否獨(dú)立?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由隨機(jī)變量(X，Y)的概率密度得因?yàn)閒(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X與Y不獨(dú)立．(Ⅱ)F(u，v)=P{U≤u，V≤v}=P{X≤u，Y—X≤v}=f(x，y)dxdy(一∞＜u，v＜+∞)，若u≤0或v≤0，如下圖所示，則F(u，v)=0，若u＞0，v＞0，如下圖所示，因?yàn)镕(u，v)=FU(u)．FV(v)，所以U與V獨(dú)立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=X1，X2，…，Xn為X的簡單隨機(jī)樣本．(Ⅰ)求未知參數(shù)α的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量；(Ⅱ)求α的矩估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)先求α的矩估計(jì)量．設(shè)，再求α的最大似然估計(jì)量．當(dāng)xi＞0(i=1，2，…，n)時(shí)，似然函數(shù)兩邊取對數(shù)，得lnL(α)=nln4+2ln(x1x2…xn)一3nlnα一知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)若f(x)在x=0處可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，則k為()．A、3B、4C、5D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在x=0處可導(dǎo)，所以k一2=3，即k=5，選C．2、曲線的漸近線條數(shù)為()．A、3條B、2條C、1條D、0條標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：3、下列命題正確的是()．A、若收斂B、設(shè)收斂C、若收斂D、設(shè)an＞0，bn＞0，且收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：4、設(shè)f(x，y)在(0，0)處連續(xù)，且，則()．A、f(x，y)在(0，0)處不可偏導(dǎo)B、f(x，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)但不可微C、fx’(0，0)=fy’(0，0)=4且f(x，y)在(0，0)處可微分D、fx’(0，0)=fy’(0，0)=0且f(x，y)在(0，0)處可微分標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)A為三階矩陣的解，則()．A、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=1B、當(dāng)t≠2時(shí)，r(A)=2C、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=1D、當(dāng)t=2時(shí)，r(A)=2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t≠2時(shí),為AX=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，從而3一r(A)≥2，r(A)≤1，又由A≠0得r(A)≥1，即r(A)=1，應(yīng)選A．6、設(shè)α，β為四維非零的正交向量，且A=αβT，則A的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為()．A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)X=λX，則A2X=λ2X，因?yàn)棣粒抡?，所以αTβ=βTα=0，A2=αβT.αβT=0，于是λ2X=0，故λ1=λ2=λ3—λ4=0，因?yàn)棣?，β為非零向量，所以A為非零矩陣，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβT)≤r(α)一1，所以r(A)=1．因?yàn)?一r(OE—A)=4一r(A)=3，所以A的線性無關(guān)的特征向量是3個(gè)，選C．7、設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)=0．2F1(x)+0．8F1(2x)，其中F1(y)是服從參數(shù)為1的指數(shù)分布的隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則D(X)為()．A、0．36B、0．44C、0．64D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X1～E(1)，其密度函數(shù)為其分布函數(shù)為F1(x)=且E(X1)=D(X1)=1，則E(X12)=D(X1)+EE(X1)]2=2．8、設(shè)X1，X2，X3，X4，X5是來自總體N(1，4)的簡單隨機(jī)樣本，則a=()A、2B、C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)由x=zey+z確定z=z(x，y)，則dz｜(e,0)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將x=e，y=0代入得z=1．x=zey+z兩邊求微分得dx=zey+zdy+(z+1)ey+zdz，將x=e，y=0，z=1代入得11、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以12、y’’一2y’=e-x的通解為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：特征方程為λ2一2λ－3=0，特征值為λ1=一1，λ2=3，則方程y’’一2y’一3y=0的通解為y=C1e-x+C2e3x．令原方程的特解為y0(x)=Axe-x，代入原方程得，于是原方程的通解為13、設(shè)A為三階實(shí)對稱矩陣，α1=(m，一m，1)T是方程組AX=0的解，α2=(m，1，1一m)T是方程組(A+E)X=0的解，則m=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由AX=0有非零解得r(A)＜3，從而λ=0為A的特征值，α1=(m，一m，1)T為其對應(yīng)的特征向量；由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)＜3，｜A+E｜=0，λ=一1為A的另一個(gè)特征值，其對應(yīng)的特征向量為α2=(m，1，1－m)T，因?yàn)锳為實(shí)對稱矩陣，所以A的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，于是有m=1．14、設(shè)總體X～N(0，σ2)，X1，X2，X3，X4為總體X的簡單隨機(jī)樣本，__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：t(3)知識(shí)點(diǎn)解析：由三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)三階可導(dǎo)，且．證明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)=9．標(biāo)準(zhǔn)答案：作多項(xiàng)式P(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，使得P(0)=0，P’(0)=2，P(1)=1，P(2)=6則φ(x)在[0，2]上連續(xù)，在(0，2)內(nèi)可導(dǎo)，且φ(0)=φ(1)=φp(2)=0．因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都滿足羅爾定理的條件，則存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)，使得φ’(ξ1)=φ’(ξ2)=0．又φ’(0)=0，由羅爾定理，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)u=f(x2+y2，xz)，z=z(x，y)由ex+ey=ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由ex+ey=ez得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)某工廠產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，設(shè)甲、z,N種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x和y(噸)，其收入函數(shù)為R=15x+34y—x2一2xy一4y2一36(萬)，設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品每噸需要支付排污費(fèi)用1萬，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每噸需要支付排污費(fèi)用2萬．17、在不限制排污費(fèi)用的情況下，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各為多少時(shí)總利潤最大?求最大利潤．標(biāo)準(zhǔn)答案：利潤函數(shù)為L=R—C=15x+34y—x2一2xy一4y2一36一x一2y=14x+32y—x2一2xy一4y2一36．因?yàn)橹挥形ㄒ灰粋€(gè)駐點(diǎn)，且該實(shí)際問題一定有最大值，所以當(dāng)時(shí)，利潤達(dá)到最大，最大利潤為L(4，3)=40(萬)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、當(dāng)排污總費(fèi)用為6萬時(shí)，這兩種產(chǎn)品產(chǎn)量各多少時(shí)總利潤最大?求最大利潤．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(x+2y一6)，因?yàn)樵搶?shí)際問題一定有最大值，故當(dāng)時(shí)，總利潤最大，且最大利潤為L(2，2)=28(萬)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求微分方程y’’+y’一2y—xex+sin2x的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2+λ一2=0，特征值為λ=一2，λ=1，y+y一2y=0的通解為y=C1e-2x+C2ex設(shè)y’’+y’一2y=xex，(*)y’’+y’一2y=sin2x．(**)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)，B為三階非零矩陣,的解向量，AX=a3有解．(1)求常數(shù)a，b．(Ⅱ)求BX=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由B為三階非零矩陣得r(B)≥1，從而BX=0的基礎(chǔ)解系最多有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，于是解得a=3b．由AX=α3有解得r(A)=r(A：α3)，b=5，從而a=15．由α1,α2為BX=0的兩個(gè)線性無關(guān)解得3一r(B)≥2，從而r(B)≤1，再由r(B)≥1得r(B)=1，α1,α2為BX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，故BX=0的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3的秩為1，且(0，1，一1)T為二次型的矩陣A的特征向量．(I)求常數(shù)a，b；(II)求正交變換X=QY，使二次型XTAX化為標(biāo)準(zhǔn)形．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為P(X=k)一p(1－p)k-1(k=1，2，…)，y在1～k之間等可能取值，求P{Y=3)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令A(yù)K={X=k)(k=1，2，…)，B={Y=3)，P(B｜A1)=P(B｜A2)=0，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)X1，X2，…，Xn(n＞2)相互獨(dú)立且都服從N(0，1)，Yi=Xi=一X(i=1，2，…，n)．求(I)D(Yi)(i=1，2，…，n)；(Ⅱ)Coy(Y1，Yn)；(Ⅲ)P(Y1+Yn≤0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)是以3為周期的可導(dǎo)函數(shù)，且f’(-1)=1，則I==()。A、-4B、4C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：注意f’(x)也以3為周期，f’(-1)=f’(2)，利用導(dǎo)數(shù)可求得極限故應(yīng)選C。2、函數(shù)f(x)=cosx+xsinx在(-2π，π)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()。A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)為偶函數(shù)，f(0)=1，故只需討論(0，2π)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由又。由此可知，f(x)在無零點(diǎn)，f(x)在均單調(diào)且端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，因而各有唯一零點(diǎn)，所以f(x)在[-2π，2π]內(nèi)共有4個(gè)零點(diǎn)。3、若f(-1，0)為函數(shù)f(x，y)=e-x(ax+b-y2)的極大值，則常數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是()。A、a≥0，b=a+1B、a≥0，b=2aC、a＜0，b=a+1D、a＜0，b=2a標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：應(yīng)用二元函數(shù)取極值的必要條件得f’x(-1，0)=e-x(-ax-b+y2+a)︱(-1，0)=e(2a-b)=0，f’y(-1，0)=-2ye-x︱(-1，0)=0，所以b=2a，由于A=f’’xx(-1，0)=e-x(ax+b-y2-2a)︱(-1，0)=e(-3a+b)=0，B=f’’xy(-1，0)=2ye-x︱(-1，0)=0，C=f’’yy(-1，0)=-2e-x︱(-1，0)=-2e，△=AC-B2=2e2(3a-b)，再由二元函數(shù)極值的必要條件△≥0得3a-b≥0，于是常數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件為a≥0，b=2a。故應(yīng)選B。4、反常積分()。A、收斂，且取值為零B、收斂，且取正值C、發(fā)散D、收斂，且取負(fù)值標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：收斂的定義是：與均收斂，且。用分部積分法計(jì)算可得：當(dāng)b＞0時(shí)，有。于是不存在→發(fā)散→原積分發(fā)散。故應(yīng)選C。5、設(shè)η1，η2，η3為3個(gè)n的維向量，AX=0是n元齊次方程組。則()正確。A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且線性無關(guān)，則η1，η2，η3為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n-3，則η1，η2，η3為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系C、如果η1，η2，η3等價(jià)于AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則它也是AX=0的基礎(chǔ)解系D、如果r(A)=n-3，并且AX=0每個(gè)解都可以用η1，η2，η3線性表示，則η1，η2，η3為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：答案A缺少n-r(A)=3的條件。答案B缺少η1，η2，η3線性無關(guān)的條件。答案C例如η1，η2是基礎(chǔ)解系η1+η2=η3，則η1，η2，η3和η1，η2等價(jià)，但是η1，η2，η3不是基礎(chǔ)解系。要說明答案D的正確性，就要證明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且線性無關(guān)，方法如下：設(shè)α1，α2，α3是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則由條件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3線性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)=3，則r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，于是η1，η2，η3線性無關(guān)，并且和α1，α2，α3等價(jià)，從而都是AX=0的解。6、下列矩陣中不相似于對角矩陣的是()。A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：答案A矩陣的3個(gè)特征值兩兩不同。答案D是實(shí)對稱矩陣，因此它們都相似于對角矩陣。答案C矩陣的秩為1，它的特征值都為0，其重?cái)?shù)3＞3-答案C矩陣的秩，因此答案C不相似于對角矩陣。答案B矩陣的秩為1，它的特征值為0，0，6，0的重?cái)?shù)2=3-答案B矩陣的秩，因此相似于對角矩陣。7、設(shè)總體X服從參數(shù)λ=2的指數(shù)分布，X1，X2，…，Xn是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，和S2分別為樣本均值和樣本方差，已知，則a的值為()。A、-1B、1C、D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：依題意有=EX==，ES2=DX==，又由題設(shè)，即，解得a=-1，故選A。8、設(shè)隨機(jī)變量X～F(n，n)，記α=P{X≥1}，β=P{X＜1}，則在下列關(guān)于α與β關(guān)系式①α+β=1，②α=β，③α＜β，④α＞β中正確的是()。A、①B、①②C、①③D、④標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)X的密度函數(shù)為f(x)，x＞0，則α+β=P{X≥1}+P{X＜1}===1。故①正確，又X～F(n，n)，故～F(n，n)，從而，即α=β，故②正確，因此選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)f(x)是[0，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)成立，則f(x)=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因f(x)連續(xù)，且x(1+x)可導(dǎo)，故題設(shè)的變限定積分可導(dǎo)，將恒等式兩端求導(dǎo)，得(2x+1)f[x(1+x)]=2x，即(*)令x(1+x)=t，即x2+x-t=0，解得。當(dāng)x≥0時(shí)可得t=x(1+x)≥0，故應(yīng)取正根，即，從而代入(*)式即得，把t換成x就得出函數(shù)。10、若由曲線及曲線某點(diǎn)處的切線方程與兩條直線x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線方程為_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：圖形如圖所示，過曲線y=上的點(diǎn)處的切線方程為從而由于切線總在曲線的上方，故由曲線、切線及x=1，x=3所圍圖形面積為由此可見，x0=2，面積s最小，此時(shí)切線方程為。11、設(shè)u=，其中z=z(x，y)是由方程3x2+2y2+z2=6確定的隱函數(shù)，且z(1，1)=1，則=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：2e(cos2-sin2)知識(shí)點(diǎn)解析：又所以。12、由于折舊等因素，某機(jī)器轉(zhuǎn)售價(jià)格P(t)是時(shí)間t(周)的減函數(shù)P(t)=，其中A是機(jī)器的最初價(jià)格，在任何時(shí)間t，機(jī)器開動(dòng)就能產(chǎn)生的利潤，則使轉(zhuǎn)售出去總利潤最大時(shí)機(jī)器使用的時(shí)間t=_________________________。(In2≈0.693)標(biāo)準(zhǔn)答案：333知識(shí)點(diǎn)解析：假設(shè)機(jī)器使用了t周后出售，在時(shí)間[t，t+dt]內(nèi)機(jī)器開動(dòng)產(chǎn)生的利潤為，于是總收益為，由，令f’(t)=0，得t=96In32≈333；當(dāng)t＜96In32時(shí)，f’(t)＞0；t＞96In32時(shí)，f’(t)＜0，故機(jī)器使用了333周后轉(zhuǎn)售出去總利潤最大。13、已知，則A-1=_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗杂钟谑恰?4、設(shè)X，Y分別服從參數(shù)為的0-1分布，且它們的相關(guān)系數(shù)，則X與Y的聯(lián)合概率分布為_________________________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：依題意，，設(shè)(X，Y)的聯(lián)合分布與邊緣分布如下表：由于X，Y只取0，1兩個(gè)值，所以，即。再由(X，Y)的聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系，可得。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)=，(Ⅰ)求證：f(x)在[0，+∞)上連續(xù)；(Ⅱ)求f(x)在[0，+∞)的單調(diào)性區(qū)間；(Ⅲ)求f(x)在[0，+∞)的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)x＞0時(shí)f(x)與初等函數(shù)相同，故連續(xù)，又，即f(x)在x=0處右連續(xù)，因此f(x)在[0，+∞)上連續(xù)。(Ⅱ)考察(0，+∞)上f’(x)的符號(hào)，先求，并考察，由g’(x)→g(x)在(0，+∞)單調(diào)上升→→→f(x)在[0，1]單調(diào)下降，在[1，+∞)單調(diào)上升。(Ⅲ)由(Ⅱ)中單調(diào)性分析知，f(x)=f(1)=，又f(0)=1，，因此。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)有拋物線C1：x2=ay和圓C2：x2+y2=2y，(Ⅰ)確定a的取值范圍，使得C1，C2交于三點(diǎn)O，M，P(如圖)；(Ⅱ)求拋物線C1與弦MP所圍平面圖形面積S(a)的最大值；(Ⅲ)求上述具有最大面積的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)得ay+y2=2y，解得y=0，y=2-a，由0＜y=2-a＜2，可得0＜a＜2，此時(shí)C1與C2的三交點(diǎn)是0(0，0)，。(Ⅱ)由定積分的幾何意義及對稱性可得所論平面圖形面積，要使S(a)最大，只要f(a)=a(2-a)3最大(0＜a＜2)，由于是f’(a)=(2-a)3-3a(2-a)2=→a=時(shí)，最大。此時(shí)所求面積的最大值。(Ⅲ)由旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算公式可得所求旋轉(zhuǎn)體的體積(圓柱體體積減去而被拋物旋轉(zhuǎn)體的體積)為。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)z=z(x，y)是由9x2-54xy+90y2-6yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：利用一階全微分形式不變性，將方程求全微分即得18xdx-54(ydx+xdy)+180ydy-6zdy-6ydz-2zdz=0，即(18x+54y)dx+(180y-54x-6z)dy-(6y+2z)dz=0。從而為求隱函數(shù)z=z(x，y)的駐點(diǎn)，應(yīng)解方程組②可化簡得x=3y，由③可得z=30y-9x=3y，代入①可解得兩個(gè)駐點(diǎn)x=3，y=1，z=3與x=-3，y=-1，z=-3。為判定z=z(x，y)在兩個(gè)駐點(diǎn)處是否取得極值，還需求z=z(x，y)在這兩點(diǎn)的二階偏導(dǎo)數(shù)：記P=(3，1，3)，Q=(-3，-1，-3)，即可得出在P點(diǎn)處，故，故在點(diǎn)(3，1)處z=z(x，y)取得極小值z(3，1)=3。類似可知在Q點(diǎn)處，故B2-AC=，且，故在點(diǎn)(-3，-1)處z=z(x，y)取得極大值z(-3，-1)=-3。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：令S(x)=，則其收斂半徑R=1。在(-1，1)內(nèi)有。由于，取x=，因此有，即。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，4]上連續(xù)，且=0，求證：存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。標(biāo)準(zhǔn)答案：方法一：用反證法證明本題，由題設(shè)f(x)在[0，4]上連續(xù)即知f(4-x)在[0，4]上連續(xù)，從而其和f(x)+f(4-x)也在[0，4]上連續(xù)，若不存在ξε(0，4)使f(ξ)+f(4-ξ)=0，則f(x)+f(4-x)或在(0，4)內(nèi)恒正，或在(0，4)內(nèi)恒負(fù)，于是必有。但是=0用換元x=4-t可得，于是，由此可得出的矛盾表明必存在ξε(0，4)使得f(ξ)+f(4-ξ)=0。方法二：作換元t=4-x，則x：0→4對應(yīng)t：4→0，且dx=-dt，從而，由此即得，于是。利用f(x)+f(4-x)在[0，4]連續(xù)，由連續(xù)函數(shù)的積分中值定理即知存在ξε(0，4)使得。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。(Ⅰ)若α1，α2，α3線性相關(guān)，求a；(Ⅱ)當(dāng)a=3時(shí)，求與α1，α2，α3都正交的非零向量α4；(Ⅲ)設(shè)a=3，α4是與α1，α2，α3都正交的非零向量，證明α1，α2，α3，α4可表示任何一個(gè)4維向量。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)α1，α2，α3線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3)＜3得a=-3。(Ⅱ)與α1，α2，α3都正交的非零項(xiàng)向量即齊次方程組的非零解，解此方程組：解得α4=c(19，-6，0，1)T，c≠0。(Ⅲ)只用證明α1，α2，α3，α4線性相關(guān)，此時(shí)對任何4維向量α，有α1，α2，α3，α4，α線性相關(guān)，從而α可以用α1，α2，α3，α4線性表示。方法一：由①知，a=3時(shí)，α1，α2，α3線性無關(guān)，只用證明α4不能用α1，α2，α3線性表示，用反證法，如果α4能用α1，α2，α3線性表示，設(shè)α4=c1α1+c2α2+c3α3，則(α4，α4)=(α4，c1α1+c2α2+c3α3)=c1(α4，α1)+c2(α4，α2)+c3(α4，α3)=0，得α4=0，與α4是非零向量矛盾。方法二：計(jì)算行列式于是α1，α2，α3，α4線性無關(guān)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、已知三元二次型xTAx的平方項(xiàng)系數(shù)都為0，α=(1，2，-1)T滿足Aα=2α。(Ⅰ)求xTAx的表達(dá)式；(Ⅱ)求作正交變換x=Qy，把xTAx化為標(biāo)準(zhǔn)二次型。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)A=，則條件Aα=2α即得2a-b=2，a-c=4，b+2c=-2，解出a=b=2，c=-2。此二次型為4x1x2+4x1x3-4x2x3。(Ⅱ)先求A的特征值于是A的特征值就是2，2，-4，再求單位正交特征向量組：屬于2的特征向量是(A-2E)x=0的非零解。得(A-2E)x=0的同解方程組：x1-x2-x3=0。顯然β1=(1，1，0)T是一個(gè)解，設(shè)第二個(gè)解為β2=(1，-1，c)T(這樣的設(shè)定保證了兩個(gè)解是正交的！)，代入方程得c=2，得到屬于特征值2的兩個(gè)正交的特征向量β1，β2，再把它們單位化：記，屬于-4的特征向量是(A+4E)x=0的非零解。求出β3=(1，-1，-1)T是一個(gè)解，單位化：記，則η1，η2，η3是A的單位正交特征向量組，特征值依次為2，2，-4。作正交矩陣Q=(η1，η2，η3)，則Q-1AQ是對角矩陣，對角線上的元素為2，2，-4。作正交變換x=Qy，它把f(x1，x2，x3)化為2y12+2y22-4y32。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)離散型二維隨機(jī)變量(X，Y)的取值為(xi，yj)(i，j=1，2)且，試求：(Ⅰ)二維隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合概率分布；(Ⅱ)X與Y的相關(guān)系數(shù)Pxy；(Ⅲ)條件概率P{Y=yj︱X=x1}，j=1，2。標(biāo)準(zhǔn)答案：依題意，隨機(jī)變量X與Y的可能取值分別為x1，x2與y1，y2且，又題設(shè)，于是有，即事件{X=x1}與事件{Y=y1}相互獨(dú)立，因而{X=x1}的對立事件{X=x2}與{Y=y1}獨(dú)立，且{X=x1}與{Y=y1}的對立事件{Y=y2}獨(dú)立；{X=x2}與{Y=y2}獨(dú)立，即X與Y相互獨(dú)立。(Ⅰ)因X與Y獨(dú)立，所以有或。于是(X，Y)的聯(lián)合概率分布為(Ⅱ)由(Ⅰ)知X與Y獨(dú)立，因此它們的相關(guān)系數(shù)PXY=0。(Ⅲ)因X與Y獨(dú)立，所以P{Y=yj︱X=x1}=P{Y=yj}，j=1，2于是有。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)隨機(jī)變量X服從(0，2)上的均勻分布，Y服從參數(shù)λ=2的指數(shù)分布，且X，Y相互獨(dú)立，記隨機(jī)變量Z=X+2Y。(Ⅰ)求Z的概率密度；(Ⅱ)求EZ，DZ。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由題設(shè)X，Y相互獨(dú)立，且故先求Z的分布函數(shù)，當(dāng)Z≤0時(shí)，F(xiàn)Z(Z)=0；當(dāng)0＜Z＜2時(shí)，；當(dāng)Z≥2時(shí)，，于是。(Ⅱ)直接用期望、方差的運(yùn)算性質(zhì)，由于EX=1，DX=，且X，Y相互獨(dú)立，故EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2，。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)三）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則f(x)在x＝0處()A、極限不存在。B、極限存在，但不連續(xù)。C、連續(xù)，但不可導(dǎo)。D、可導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查函數(shù)連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系及可導(dǎo)的定義。首先通過計(jì)算x＝0處的左、右極限判斷函數(shù)在該點(diǎn)是否連續(xù)，再利用可導(dǎo)的充要條件判斷函數(shù)是否可導(dǎo)。因?yàn)橐虼薴(x)在x＝0處連續(xù)。從而f＇＋(0)＝f＇－(0)＝0＝f＇(0)，即f(x)在x＝0處可導(dǎo)。故本題選D。2、設(shè)，則f(x)＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查定積分和原函數(shù)的關(guān)系。題中f(x)的表達(dá)式中含有定積分，因此關(guān)鍵是求出定積分的值。等式兩端同除以x2,令等于某待定系數(shù)，對變形后的等式兩端同時(shí)積分可求得的值。兩端同時(shí)除以x2，得，對上式兩端在[1，e]上積分，可得139，即解得，因此。故本題選C。3、設(shè)，則級數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性。首先化簡已知的通項(xiàng)公式，an是正負(fù)間隔的，因此考慮用萊布尼茨判別法判斷的斂散性；然后利用比較判別法判斷的斂散性。因?yàn)轱@然是一個(gè)交錯(cuò)級數(shù)，滿足萊布尼茨判別法的條件，因此收斂。因?yàn)楫?dāng)n→∞時(shí)，所以此時(shí)是等價(jià)無窮小，且級數(shù)收斂，因此級數(shù)也收斂。故本題選A。4、某產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位的量時(shí)，其邊際收益為，則生產(chǎn)100個(gè)單位的產(chǎn)品時(shí)的平均單位收益為()A、30。B、40。C、49。D、50。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查定積分的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用。利用已知的邊際收益函數(shù)求出總收益函數(shù)，積分上限為100?？偸找婧瘮?shù)R為邊際收益函數(shù)的積分，因此可得總收益為進(jìn)一步可得其平均收益為。故本題選B。5、設(shè)A，B為3階可逆矩陣，且｜A－3E｜＝0，λ1＝1，λ2＝2是矩陣A的兩個(gè)特征值，則｜B-2AB｜＝()A、36。B、－36。C、90。D、－90。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查相似矩陣的性質(zhì)。首先結(jié)合｜A－3E｜＝0可得出矩陣A和B的所有特征值，然后利用矩陣行列式等于矩陣所有特征值乘積的性質(zhì)計(jì)算｜B－2AB｜。根據(jù)｜A-3E｜＝0可知λ＝3是矩陣A的另一個(gè)特征值，因此A的所有特征值為1，2，3。已知A和B相似，因此B的特征值也是1，2，3。E－2A的特征值分別為1－2×1＝－1，1－2×2＝－3，1－2×3＝－5。因此｜E-2A｜＝(－1)×(－3)×(－5)＝－15，｜B｜＝λ1λ2λ3＝1×2×3＝6。故｜B－2AB｜＝｜(E－2A)B｜＝｜E－2A｜·｜B｜＝－15×6＝－90。故本題選D。6、已知，則A－1＝()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查矩陣的冪和逆矩陣的性質(zhì)。該題可以用兩種方法解答，第一種方法先將矩陣A化簡到最終的形式，利用初等變換法求其逆矩陣；第二種方法先將A中的兩個(gè)矩陣的冪算出結(jié)果，再利用(ABC)－1＝C－1B－1A－1求乘積矩陣的逆矩陣。故本題選C。7、已知隨機(jī)變量(X1，X2)的概率密度為f1(x1，x2)，分布函數(shù)為F1(x1，x2)。設(shè)Y1＝3X1，，則隨機(jī)變量(Y1，Y2)的分布函數(shù)F2(y1，y2)和概率密度f2(y1，y2)分別為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，主要利用分布函數(shù)的定義F2(y1，y2)＝P{Y1≤y1，Y2≤y2}以及概率密度的計(jì)算公式。根據(jù)已知可得隨機(jī)變量(Y1，Y2)的分布函數(shù)F2(y1，y2)為進(jìn)一步可得概率密度f2(y1，y2)為故本題選C。8、設(shè)總體X與Y都服從正態(tài)分布N(0，σ2)，已知X1，X2，…，Xm與Y1，Y2，…，Yn均是來自正態(tài)總體X與Y的兩個(gè)相互獨(dú)立的簡單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量服從t(n)分布，則m與n應(yīng)滿足的關(guān)系為()A、n＝m。B、9n＝4m。C、3n＝2m。D、m＝n－1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查t分布的經(jīng)典模型。首先利用已知條件將標(biāo)準(zhǔn)化之后得出t分布的服從正態(tài)分布的分子部分，再利用X2分布的定義湊出分母的形式，從而得出m和n的關(guān)系。根據(jù)t分布的模型，因?yàn)閄i～N(O，σ2)(i＝1，2，…，m)，所以Xi～N(O，mσ2)，進(jìn)一步。而(i＝1，2，…，m)且相互獨(dú)立，則因?yàn)閁和V相互獨(dú)立，所以有可得，因此9n＝4m。故本題選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、設(shè)，其中f(x)＝ln(1＋x)，則y＇(2)＝________。標(biāo)準(zhǔn)答案：－ln4知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。令，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為以z為中間函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，然后利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)求出y＇的表達(dá)式。利用x＝2算出名的值，代入表達(dá)式求出y＇(2)。設(shè)當(dāng)x＝2時(shí)，x＝3，則。10、f(x)的一個(gè)原函數(shù)是xsinx，則∫0－1xf＇(x)dx＝__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：－cos1知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查積分與原函數(shù)的定義及分部積分法。先通過對xsinx求導(dǎo)得出f(x)的表達(dá)式，利用分部積分法求出積分；也可以求出f＇(x)代入后直接求積分。由已知可得f(x)＝(xsinx)＇＝sinx＋xcosx，所以有11、設(shè)函數(shù)z＝z(x，y)由方程2ln(x－2y－z)＝x－2y－z所確定，則＝___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查隱函數(shù)求導(dǎo)公式。先利用已知寫出F(x，y，z)，求出F(x，y，z)對x，y，z的偏導(dǎo)數(shù)，再利用求出結(jié)果。令F(x，y，z)＝21n(x－2y－z)－x＋2y＋z，則12、曲面2＋y2＝25，z＝6－x－y，z＝0所圍成的立體圖形的體積是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：150π知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查二重積分的幾何意義。若函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D上連續(xù)且非負(fù)，則二重積分表示以區(qū)域D為底，曲面z＝f(x，y)為頂?shù)那斨w的體積。令D＝{(x，y)｜x2＋y2≤25}，則根據(jù)二重積分的幾何意義可得13、已知向量組α1＝(1，2，1)T，α2＝(1，1，a)T，α3＝(b，1，2)T的秩為2，則a，b滿足的關(guān)系式為__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a＋b－2ab＋1＝0知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查矩陣秩的求解，向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。向量組的秩為2，即由該向量組構(gòu)成的矩陣的秩也是2。向量組的秩為2，則矩陣的秩也為2，因此a，b滿足(1－2b)(a－1)＋2－b＝a＋b－2ab＋1＝0。14、已知X1，X2，…，X8是來自正態(tài)分布N(0，σ2)的簡單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計(jì)量服從F(n1，n2)分布，其中k為常數(shù)，則k｜n1－n2｜＝__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查統(tǒng)計(jì)量的概念。首先根據(jù)已知統(tǒng)計(jì)量可知分子分母均服從X2分布，然后將Xi標(biāo)準(zhǔn)化，結(jié)合X2分布的特點(diǎn)，得出分子分母服從的X2分布的自由度，并得出k的值，從而計(jì)算出k｜n1－n2｜的值。根據(jù)已知，且它們相互獨(dú)立，因此根據(jù)F分布的定義，有三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(x)在x＝0處具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且已知，試求f(0)，f＇(0)，f＂(0)及極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)重要極限的性質(zhì)，如果，則知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查“l(fā)∞’型極限的求法及極限存在的條件。根據(jù)重要極限，則題干極限式的底數(shù)極限為1，否則極限結(jié)果為0或者∞，據(jù)此可以求出f(0)，根據(jù)e4并結(jié)合指數(shù)形式得出f＇(0)，f＂(0)的值，最后根據(jù)重要極限求出。16、計(jì)算，區(qū)域D由直線y＝x、曲線(y≥0)以及x軸圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：圓x2＋y2＝4將區(qū)域D分成兩部分，圓x2＋y2＝4內(nèi)的部分記作D1，圓外的部分記作D2，則原積分化為采用極坐標(biāo)計(jì)算積分，其中知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二重積分的計(jì)算。根據(jù)被積函數(shù)的形式，當(dāng)時(shí)，去掉絕對值對應(yīng)的被積函數(shù)不同，相應(yīng)選取的積分區(qū)域也有所不同。因此需要分兩部分計(jì)算，然后再相加。17、設(shè)某鋼廠出售甲、乙兩種鋼材，當(dāng)這兩種鋼材的銷量分別為x和Y時(shí)，其總收益與總成本的差值函數(shù)為F(x，y)＝－x2－4y2－2xy＋15x＋34y－36(單位：千元)。此外，出售1噸甲鋼材還需要支付運(yùn)輸費(fèi)1千元，出售1噸乙鋼材還需要支付運(yùn)輸費(fèi)2千元。(Ⅰ)在不限制運(yùn)輸費(fèi)用支出的情況下，這兩種鋼材的銷量各為多少時(shí)總利潤最大?最大利潤是多少?(Ⅱ)當(dāng)在運(yùn)輸費(fèi)用不得超過6千元的條件下，這兩種鋼材的銷量各為多少時(shí)總利潤最大?最大利潤是多少?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)甲、乙兩種鋼材銷量分別為x和y，則總利潤函數(shù)為L(x，y)，則L(x，y)＝F(x，y)－x－2y＝14x＋32y－x2－2xy－4y2－36。令解得x＝4，y＝3。因?yàn)楸卮嬖谧畲罄麧?，故在不限制運(yùn)輸費(fèi)用的情況下，當(dāng)甲、乙兩種鋼材的銷量分別為x＝4，y＝3時(shí)，總利潤最大，且最大利潤為40千元。(Ⅱ)求總利潤函數(shù)L(x，y)在約束條件x＋2y＝6下的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x，y，λ)＝L(x，y)＋λ(x＋2y－6)，并求F(x，y，λ)的駐點(diǎn)，令解得x＝2，y＝2。因此當(dāng)運(yùn)輸費(fèi)用不超過6千元的情況下，兩種鋼材的銷量均為2噸時(shí)總利潤最大，最大利潤為28千元。知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查二元函數(shù)的極值和條件極值。很顯然第一問就是簡單的求解最值問題，且該題為實(shí)際問題，所以駐點(diǎn)即為所求的最大值點(diǎn)；第二問是在一定的約束條件下的條件極值問題，需要利用拉格朗日乘數(shù)法進(jìn)行求解。18、將函數(shù)在區(qū)間(－1，1)上展開成x的冪級數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)變形為因?yàn)閒(0)＝0，將上式由0到x積分得知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查函數(shù)的冪級數(shù)展開。觀察函數(shù)的形式，將其寫成兩個(gè)對數(shù)函數(shù)相加的形式，則函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)是可以根據(jù)公式直接進(jìn)行冪級數(shù)展開的，所以先對f＇(x)進(jìn)行冪級數(shù)展開，然后再對結(jié)果求積分，得到f(x)的冪級數(shù)展開式。19、設(shè)f(x)＝arctanx，ξ為f(x)在區(qū)間[0，t]上滿足拉格朗日中值定理的一個(gè)點(diǎn)，且已知0＜t＜1，求極限。標(biāo)準(zhǔn)答案：函數(shù)f(x)＝arctanx在[0，t]上連續(xù)，在開區(qū)間(0，t)上可導(dǎo)，根據(jù)拉格朗日中值定理，存在一點(diǎn)ξ∈(0，t)，使得知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查拉格朗日中值定理和未定式極限的求解。首先通過拉格朗日中值定理確定題中點(diǎn)ξ所滿足的關(guān)于t的函數(shù)，然后將該函數(shù)代入極限式，通過洛必達(dá)法則和等價(jià)無窮小替換求出最終極限20、設(shè)A4×4是實(shí)對稱矩陣，｜A｜＝－16，A的4個(gè)特征值之和為4，且α＝(1，0，－2，－1)T是方程組(A*－8E)x＝0的一個(gè)解向量，且矩陣A的一個(gè)特征值為2。(Ⅰ)求矩陣A的所有特征值；(Ⅱ)求可逆矩陣P，使得A可以相似對角化；(Ⅲ)求方程組(A*＋8E)x＝0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)α＝(1，0，－2，－1)T是方程組(A*－8E)x＝0的一個(gè)解向量，則(A*－8E)α＝0，即A*α＝8α，又A*A＝AA*＝｜A｜E＝－16E，故AA*α＝8Aα＝－16a，因此Aα＝－2α，所以α＝(1，0，－2，－1)T。是A的對應(yīng)特征值λ3＝－2的特征向量。設(shè)A的除－2和2之外的兩個(gè)特征值為λ1，λ2，則2＋(－2)＋λ1＋λ2＝4，2×(－2)λ1λ2＝｜A｜＝－16，解得λ1＝λ2＝2。因此矩陣A的所有特征值分別為2(三重)和－2。(Ⅱ)設(shè)特征值2(三重)對應(yīng)的特征向量為x＝(x1，x2，x3，x4)T，則它與α＝(1，0，－2，－1)T正交，即x1－23－x4＝0，其基礎(chǔ)解系為α1＝(0，1，0，0)T，α2＝(2，0，1，0)T，α3＝(1，0，0，1)T，(Ⅲ)由(A*＋8E)x＝0可得(AA*＋8A)x＝0，進(jìn)一步有(8A－16E)x＝0，即方程最終化為(A－2E)x＝0，因此方程組(A*＋8E)x＝0的基礎(chǔ)解系即為矩陣4屬于特征值2的三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此可得其通解為x＝k1(0，1，0，0)T＋k2(2，0，1，0)T＋k3(1，0，0，1)T，k1，k2