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文檔簡(jiǎn)介

第2課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六

區(qū)課前自主預(yù)習(xí)■________________________

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.借助單位圓及三角函數(shù)定義理解公式五、六的推導(dǎo)過程.

2.運(yùn)用公式五、六進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明.

3.掌握六組誘導(dǎo)公式并能靈活運(yùn)用.

1.在△/回中,角3與角等的三角函數(shù)值滿足哪些等量關(guān)系?

[答案]

?AB+c

?'2=~2~~2~9

AB+C\B+C

sin-=sinl^—2尸cos2,

AB±C\.B+C

cos-=cos|j^-2J=sin2

2.判斷正誤(正確的打“J”,錯(cuò)誤的打“X”)

⑴誘導(dǎo)公式五、六中的角??梢允侨我饨?()

(2)sin(90°+<7)=—cosa.()

<3Ji>

(3)sinl-a尸cosa.()

⑷若a+£=90°,貝1Jsin。=cos£.()

[答案]⑴V(2)X(3)X(4)V

區(qū)課堂互動(dòng)探究■…_____________________________________

題型一利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【典例1]⑴已知cos仔+a)=—|,且。是第二象限角,則sin]a一答)的結(jié)果

sin(2兀+<7)cos(?!猑)cosl——a

⑵化簡(jiǎn):----------------------------

cos(?!猶)sin(3兀一a)sin(一

[思路導(dǎo)引]利用誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn)再求值.

[解析](1),?飛05e+&)=-sina=-?

3

Asina=-,且a是第二象限角

5

cosCL=—qi—sir?Q=

0

,r3吟<3H

而sinla---l=—sinl—a

=—(—cos。)=cosa=

5

sina?(—cosa)?sina?cos|

(2)原式=

—cosa?sina?[—sin(?!猘)]sin[j^-+Q

sina?(—sin□)

[答案](DB(2)tan。

名師提醒A

用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)

(1)化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少.

(2)函數(shù)的種類盡可能的少.

(3)分母不含三角函數(shù)的符號(hào).

⑷能求值的一定要求值.

⑸含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式,多用因式分解、約分等.

針對(duì)訓(xùn)練

3

1已e

XCOS-5-

[解析]sin(8+萬)=cose=—

[答案]一三

5

2.化簡(jiǎn):cos);~?sinfa—|^cosfy+

sin(n—<7)〈2,12)

[解]原co式sf(?!D-°sin[「—匕,兀―。J'I(—sina)

—cosa.

—:----?(—cosa)(—sina)=—cos2a.

sinQ

題型二利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式

(3兀)

tan(2兀—a)cosl-alcos(6n—a}

[典例2]求證:7—3吟(一再=—tana.

sin^+—Jcos^+—J

[思路導(dǎo)引]應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)較復(fù)雜的左邊的式子,使其等于右邊.

(3兀、

tan(2JI—a)cosl--alcos(6幾一a)

[證明]左邊=---------7—占~/2-----

_tan(—a)(—sina)cosQ

—cosQsinQ

—tanasinQcosa

tana=右邊,

cosQsinQ

所以原等式成立.

名師提醒A

三角式恒等證明的原則

對(duì)于恒等式的證明,應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則,從左邊推到右邊或從右邊推到左邊,也可

以用左右歸一、變更論證的方法.常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公

式變形法,要熟練掌握基本公式,善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法.

[針對(duì)訓(xùn)練]

3n

sin^+cos92sl\°cos

3.求證:

sin?!猚os°l-2sin2(Ji+

-2sin|(—sin。)一1

[證明]右邊=------

1—2sin2。

2sE卜+(>則

sin—1

1—2sin29

—2sin^夕Jsin

1—2sin2。

—2cossin9-1

cos2+sin29—2sin28

(sin?+cosOpsin?+cos9

sin28-cos28sin9—cos9'

所以原等式成立.

題型三誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

【典例3](1)已知cosj^—a)=5,求cos?兀+口)?sin^--的值.

4

⑵已知cos,且Q為第三象限角.求f(Q)=

5

tan(兀—a)?sin(兀一口)?2的值.

cos(兀+。)

[思路導(dǎo)引]⑴[石+"

(JI、兀

仁一.可利用以上互余、互補(bǔ)關(guān)系求解;(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.

[解](1)cos管兀+q)?sin(2y--a\

JI\/JI

a.Siny+

11

X1

--3-3-

9,

4

⑵因?yàn)閏os°=一匚,且°為第三象限角,

「aI/、—tana?sina?cosasina

所以Aq)=----------------------=tanasina=-----?sinQ

—cosacosa

3

59

X

420,

5

|名師提醒A

(i)整體代換,尋找角之間的關(guān)系:對(duì)于一些給值(式)求值問題,要注意已知角與未知

角的關(guān)系,即發(fā)現(xiàn)它們之間是否滿足互余或互補(bǔ),若滿足,則可以進(jìn)行整體代換,用誘導(dǎo)公

式求解.

J[J[

①常見的互余關(guān)系有:-^―a與7■+口;方+0與77+0與丁—a等.

363b44

…JI2JI3

②常見的互補(bǔ)關(guān)系有:了+。與勺口一。;。與IR—。等.

(2)對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題,一般遵循誘導(dǎo)公式先行的原則,即先用誘導(dǎo)公式

化簡(jiǎn)變形,達(dá)到角的統(tǒng)一,再進(jìn)行切化弦,以保證三角函數(shù)名最少.

JI

(3)對(duì)于兀土。和萬土a這兩組誘導(dǎo)公式,切記運(yùn)用前一組公式不變名,而運(yùn)用后一

組公式必須變名.

[針對(duì)訓(xùn)練]

4.已知cos(75°+。)=;,則sin(a—15°)+cos(105°一。)的值是()

12

3-3-

12

----

c.3D.3

[解析]sin(a—15°)+cos(105°—a)=sin[(75°+a)—90°]+cos[180°—

2

(75°+a)]=—cos(75°+。)一cos(75°+。)=—2cos(75°+。)=一鼻.故選D.

o

[答案]D

5.已知廣(。)=

(?3兀

sin(兀-Q)cos(2Ji—a)cosl-a~r~^~

coslalsin(—兀一q)

⑴化簡(jiǎn)f(a);

31

⑵若。為第三象限角,且cos(。一求代。)的值;

⑶若。=一迎白,求H。)的值.

O

/、/、sin。cosq(—sin

[解]⑴『(a)=sina[-sit+a)I

cosa(—sin□)

cosa

sina

1

1n4---

a=M'si5

又:a為第三象限角,

5兀5Ji

—cos-6X2n+—=-cos—

it1

-cosy=--

課堂歸納小結(jié)

1.誘導(dǎo)公式五、六反映的是角萬土。與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.可借用口訣”函

數(shù)名改變,符號(hào)看象限”來記憶.

JI

2.誘導(dǎo)公式一?六可歸納為八5±4的形式,可概括為“奇變偶不變,符號(hào)看象

限”

⑴“變”與“不變”是針對(duì)互余關(guān)系的函數(shù)而言的.

JI

(2)“奇”、“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式士a中的整數(shù)次來講的.

JI兀

(3)“象限”指人萬土。中,將??闯射J角時(shí),k--+a所在的象限,根據(jù)“一全

正,二正弦,三正切,四余弦”的符號(hào)規(guī)律確定原函數(shù)值的符號(hào).

曲隨堂鞏固驗(yàn)收■_________________________

1.sinl65°等于()

A.-sinl5°B.cosl5°

C.sin75°D.cos75°

[解析]Vsinl65°=sin(90°+75°)=cos75°.???選D.

[答案]D

弓兀

2.已知sinal=~,那么cos。=()

21

A.-5-民-5-

12

a

5-D.5-

a)=sin(2五十萬+j=sin^~+j=cosa=£.

[解析]

[答案]C

那么sin(5+/)=(

3.如果COS(K+A)—)

11

Bc

A.-2-2-V23

[解析]Yeos(兀+A)=—cosA=-.\cosA=-f

JI1

..sin=COS/=5,故選B.

[答案]B

4.已知sinia則cos七一的值為(

)

1

c

3-

[解析]

.<

sinf-+9)——cos(?!Γ?/p>

5.已知tan8:2,求一"---T-------------的值.

sin(萬——夕)——sin(?!Γ?/p>

sin[—+]—cos(Ji—J)

[解]—%——T-------------

sinf-~一夕J—sin(?!?)

cos9一(—cos。)_____2cos9_________2_______2_

cos。一sin8cos9—sin。1—tan91—2

課后作業(yè)(四十二)

復(fù)習(xí)鞏固

一、選擇題

1.下列各式中,不正確的是()

A.sin(180°—a)=sina

(180°+吟

B.cosl2I—si口萬

<3n)

C.cosl-l=—sina

D.tan(—a)=—tana

[解析]由誘導(dǎo)公式知A、D正確.

cos(l11—〃)=cos(兀+——口)

=—cos^y—sina,故C正確.

<180°+4、乙。"

cosl2l=cosl90+-I

a

=—sin—,故B不正確.

[答案]B

2.若sin(2+夕}0,且cos(萬一夕)>0,貝1J。是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

[解析]由于sinf—+9)=cos。<0,cosf-■一〃=sin”0,所以角夕的終邊落在

第二象限,故選B.

[答案]B

3.若sin(3兀+。)=一a則cos|

等于()

11

R

一--

A.c22

V32

117,

所以

--以cosJI4

因?yàn)閟in(3it+ff)=—sintf=222-

3

JI

cos2=—cosJ=-sina=—

A

4.已知cos31°=m,則sin239°tanl49°的值是()

\~mI----o

AA.----B.A/l—777

mY

1~mI----o

C.—D.—,\/1-m

mY

[解析]sin239°tanl49°=sin(180°+59°)?tan(180°—31°)=—sin59°(—

tan31°)

=-sin(90°—31°),(—tan31°)

=-cos31°,(—tan31°)=sin31°

=yj1—COS231°=yj\—m.

[答案]B

sin(2兀一〃)?cosf-+2ajcos(兀一a)

5

-------;「仆—產(chǎn)()

tan(a—3兀)sinl-+aIsinl----2aI

A.—cosQB.cosQ

C.sinaD.—sina

sin(—a)?cosf-+2a)?(—cosa)

[解析]原式二--------------1

.o

tana?cosa?sin~31—

sinQcosa?cos(9+2a)

=-----------=------石-----Y;=-cosQ.故選A.

tanQcosQ—cosl—+2aI

[答案]A

二、填空題

sin400°sin(-230°)

6.化簡(jiǎn)?的結(jié)果為_________

cos850°tan(-50°)

sin400°sin(-230°)

[解析]cos8500tan(—50°)=

sin(3600+40。)[—sin(1800+50。)]sin40°sin50°

cos(720°+90°+40°)(-tan50°)sin40°tan50°

sin50°

—cos50°.

sin50°

cos50

[答案]cos50°

1

已cos--

7.(73atan(兀一a)=

sin(a—~jcos|3n

[解析]可+°|tan(TI—a)

2

—COSasina(—tana)=sin?。=1—cosa

JI17m

8.若sin.同=于則cosa+冠

3

7nJIJI

[解析]cosl=cos萬十適+a

2

JI_1

-sin~3,

[答案]-1

三、解答題

COS(JI一。)

9.求證:

-j-

cosesin

cos(2JI——夕)2

2

cos(兀+9)sin(5+3sin小

-sm

[證明]左邊=—而-------------------》—7V—7

COSc/(—COSc/-1)-COS"cos,十COS0

_____]]______l—cose+l+cos9

1+cos9l—cos9(1+cos9)(1—cos。)

2__2____

l-cos29sin28,

???原式成立.

10.已知sin。是方程5f—7x—6=0的根,且a是第三象限角,求

(3吟(3兀)

sm(一"―Rcos|^-―

---T-----T---------N-,tanO-q)的值.

[解]原式=

,tan2a

sinacosQ

2

?tanQ

smacosQ

一cosQsina

?tan2a=—tan2a.

sinacosa

33

方程5/—7x―6=°的兩根為xi=—匚,為=2,又0是第三象限角’sin°=一于cos°

4

-5-故原式=—tan"=一五.

綜合運(yùn)用

11.計(jì)算sin"。+sin22°+sin23°4--Fsin289°=()

89

A.89B.90C.yD.45

[解析]Vsin2l°+sin289°=sin2l°+cos2l°=1,sin22°+sin288°=sin22°+

COS22°=1,???

sin2l°+sin22°+sin23°++sin289°=sin2l°+sin22°+sin23°+???+

189

sin244°+sin245°+cos244°+cos243°-\----Fcos230+cos220+cos2l°=44+~=—.

[答案]C

12.在△/阿中,y/3sin(^■—2)=3sin(兀一/),且cosA=—y[3cos(~S),貝!JC=

|\/^cos/=3sin/①

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