2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)誘導(dǎo)公式五六學(xué)案新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六

區(qū)課前自主預(yù)習(xí)■________________________

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.借助單位圓及三角函數(shù)定義理解公式五、六的推導(dǎo)過程.

2.運(yùn)用公式五、六進(jìn)行有關(guān)計(jì)算與證明.

3.掌握六組誘導(dǎo)公式并能靈活運(yùn)用.

1.在△/回中，角3與角等的三角函數(shù)值滿足哪些等量關(guān)系？

［答案］

?AB+c

?'2=~2~~2~9

AB+C\B+C

sin-=sinl^—2尸cos2,

AB±C\.B+C

cos-=cos|j^-2J=sin2

2.判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

⑴誘導(dǎo)公式五、六中的角?？梢允侨我饨?()

(2)sin(90°+<7)=—cosa.()

<3Ji>

(3)sinl-a尸cosa.()

⑷若a+￡=90°,貝1Jsin。=cos￡.()

［答案］⑴V(2)X(3)X(4)V

區(qū)課堂互動(dòng)探究■…_____________________________________

題型一利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值

【典例1］⑴已知cos仔+a)=—|,且。是第二象限角，則sin］a一答)的結(jié)果

sin(2兀+<7)cos(?！猑)cosl——a

⑵化簡(jiǎn)：----------------------------

cos(?！猶)sin(3兀一a)sin(一

［思路導(dǎo)引］利用誘導(dǎo)公式先化簡(jiǎn)再求值.

［解析］(1),?飛05e+&)=-sina=-?

3

Asina=-,且a是第二象限角

5

cosCL=—qi—sir?Q=

0

,r3吟<3H

而sinla---l=—sinl—a

=—(—cos。)=cosa=

5

sina?(—cosa)?sina?cos|

(2)原式=

—cosa?sina?[—sin(?！猘)]sin[j^-+Q

sina?(—sin□)

[答案](DB(2)tan。

名師提醒A

用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)的注意點(diǎn)

(1)化簡(jiǎn)后項(xiàng)數(shù)盡可能的少.

(2)函數(shù)的種類盡可能的少.

(3)分母不含三角函數(shù)的符號(hào).

⑷能求值的一定要求值.

⑸含有較高次數(shù)的三角函數(shù)式，多用因式分解、約分等.

針對(duì)訓(xùn)練

3

知

1已e

XCOS-5-

［解析］sin(8+萬)=cose=—

［答案］一三

5

2.化簡(jiǎn):cos)；~?sinfa—|^cosfy+

sin(n—<7)〈2,12)

—

［解］原co式sf(?！D-°sin［「—匕，兀―。J'I(—sina)

—cosa.

—:----?(—cosa)(—sina)=—cos2a.

sinQ

題型二利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式

(3兀)

tan(2兀—a)cosl-alcos(6n—a}

［典例2］求證：7—3吟(一再=—tana.

sin^+—Jcos^+—J

［思路導(dǎo)引］應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)較復(fù)雜的左邊的式子，使其等于右邊.

(3兀、

tan(2JI—a)cosl--alcos(6幾一a)

［證明］左邊=---------7—占~/2-----

_tan(—a)(—sina)cosQ

—cosQsinQ

—tanasinQcosa

tana=右邊,

cosQsinQ

所以原等式成立.

名師提醒A

三角式恒等證明的原則

對(duì)于恒等式的證明，應(yīng)遵循化繁為簡(jiǎn)的原則，從左邊推到右邊或從右邊推到左邊，也可

以用左右歸一、變更論證的方法.常用定義法、化弦法、拆項(xiàng)拆角法、“1”的代換法、公

式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡(jiǎn)捷的方法.

［針對(duì)訓(xùn)練］

3n

sin^+cos92sl\°cos

3.求證:

sin?！猚os°l-2sin2（Ji+

-2sin|（—sin。）一1

［證明］右邊=------

1—2sin2。

2sE卜+（＞則

sin—1

1—2sin29

—2sin^夕Jsin

1—2sin2。

—2cossin9-1

cos2+sin29—2sin28

（sin?+cosOpsin?+cos9

sin28-cos28sin9—cos9'

所以原等式成立.

題型三誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用

【典例3］（1）已知cosj^—a）=5，求cos?兀+口）?sin^--的值.

4

⑵已知cos,且Q為第三象限角.求f（Q）=

5

tan（兀—a）?sin（兀一口）?2的值.

cos（兀+。）

［思路導(dǎo)引］⑴［石+"

(JI、兀

仁一.可利用以上互余、互補(bǔ)關(guān)系求解；(2)利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.

［解］(1)cos管兀+q)?sin(2y--a\

JI\/JI

a.Siny+

11

X1

--3-3-

9,

4

⑵因?yàn)閏os°=一匚，且°為第三象限角,

「aI/、—tana?sina?cosasina

所以Aq)=----------------------=tanasina=-----?sinQ

—cosacosa

3

59

X

420,

5

|名師提醒A

（i）整體代換，尋找角之間的關(guān)系：對(duì)于一些給值（式）求值問題，要注意已知角與未知

角的關(guān)系，即發(fā)現(xiàn)它們之間是否滿足互余或互補(bǔ)，若滿足，則可以進(jìn)行整體代換，用誘導(dǎo)公

式求解.

J[J[

①常見的互余關(guān)系有：-^―a與7■+口；方+0與77+0與丁—a等.

363b44

…JI2JI3

②常見的互補(bǔ)關(guān)系有：了+。與勺口一。；。與IR—。等.

（2）對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)求值問題，一般遵循誘導(dǎo)公式先行的原則，即先用誘導(dǎo)公式

化簡(jiǎn)變形，達(dá)到角的統(tǒng)一，再進(jìn)行切化弦，以保證三角函數(shù)名最少.

JI

（3）對(duì)于兀土。和萬土a這兩組誘導(dǎo)公式，切記運(yùn)用前一組公式不變名，而運(yùn)用后一

組公式必須變名.

[針對(duì)訓(xùn)練]

4.已知cos（75°+。）=；,則sin（a—15°）+cos（105°一。）的值是（）

12

3-3-

12

----

c.3D.3

［解析］sin(a—15°)+cos(105°—a)=sin［(75°+a)—90°］+cos［180°—

2

(75°+a)］=—cos(75°+。)一cos(75°+。)=—2cos(75°+。)=一鼻.故選D.

o

［答案］D

5.已知廣(。)=

(?3兀

sin(兀-Q)cos(2Ji—a)cosl-a~r~^~

coslalsin(—兀一q)

⑴化簡(jiǎn)f(a);

31

⑵若。為第三象限角，且cos（。一求代。）的值;

⑶若。=一迎白，求H。）的值.

O

/、/、sin。cosq(—sin

［解］⑴『(a)=sina［-sit+a)I

cosa(—sin□)

cosa

sina

1

1n4---

a=M'si5

又：a為第三象限角,

5兀5Ji

—cos-6X2n+—=-cos—

it1

-cosy=--

課堂歸納小結(jié)

兀

1.誘導(dǎo)公式五、六反映的是角萬土。與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.可借用口訣”函

數(shù)名改變，符號(hào)看象限”來記憶.

JI

2.誘導(dǎo)公式一?六可歸納為八5±4的形式，可概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象

限”

⑴“變”與“不變”是針對(duì)互余關(guān)系的函數(shù)而言的.

JI

(2)“奇”、“偶”是對(duì)誘導(dǎo)公式士a中的整數(shù)次來講的.

JI兀

(3)“象限”指人萬土。中，將?？闯射J角時(shí)，k--+a所在的象限，根據(jù)“一全

正，二正弦，三正切，四余弦”的符號(hào)規(guī)律確定原函數(shù)值的符號(hào).

曲隨堂鞏固驗(yàn)收■_________________________

1.sinl65°等于()

A.-sinl5°B.cosl5°

C.sin75°D.cos75°

［解析］Vsinl65°=sin(90°+75°)=cos75°.???選D.

［答案］D

弓兀

2.已知sinal=~,那么cos。=()

21

A.-5-民-5-

12

a

5-D.5-

a)=sin(2五十萬+j=sin^~+j=cosa=￡.

［解析］

［答案］C

那么sin(5+/)=(

3.如果COS(K+A)—)

11

Bc

A.-2-2-V23

［解析］Yeos(兀+A)=—cosA=-.\cosA=-f

JI1

..sin=COS/=5,故選B.

［答案］B

4.已知sinia則cos七一的值為(

)

不

1

c

3-

［解析］

.<

sinf-+9）——cos（?！Γ?/p>

5.已知tan8:2,求一"---T-------------的值.

sin（萬——夕）——sin（?！Γ?/p>

sin[—+]—cos（Ji—J）

[解]—%——T-------------

sinf-~一夕J—sin（?！?）

cos9一（—cos。）_____2cos9_________2_______2_

cos。一sin8cos9—sin。1—tan91—2

課后作業(yè)（四十二）

復(fù)習(xí)鞏固

一、選擇題

1.下列各式中，不正確的是（）

A.sin（180°—a）=sina

（180°+吟

B.cosl2I—si口萬

<3n）

C.cosl-l=—sina

D.tan（—a）=—tana

［解析］由誘導(dǎo)公式知A、D正確.

cos（l11—〃）=cos（兀+——口）

=—cos^y—sina,故C正確.

<180°+4、乙。"

cosl2l=cosl90+-I

a

=—sin—,故B不正確.

［答案］B

2.若sin（2+夕｝0,且cos（萬一夕）>0,貝1J。是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于sinf—+9)=cos。＜0,cosf-■一〃=sin”0,所以角夕的終邊落在

第二象限，故選B.

［答案］B

3.若sin(3兀+。)=一a則cos|

等于()

11

R

一--

A.c22

V32

117,

所

所以

--以cosJI4

因?yàn)閟in(3it+ff)=—sintf=222-

3

JI

cos2=—cosJ=-sina=—

A

4.已知cos31°=m,則sin239°tanl49°的值是()

\~mI----o

AA.----B.A/l—777

mY

1~mI----o

C.—D.—,\/1-m

mY

［解析］sin239°tanl49°=sin(180°+59°)?tan(180°—31°)=—sin59°(—

tan31°)

=-sin(90°—31°),(—tan31°)

=-cos31°,(—tan31°)=sin31°

=yj1—COS231°=yj\—m.

［答案］B

sin(2兀一〃)?cosf-+2ajcos(兀一a)

5

-------;「仆—產(chǎn)()

tan(a—3兀)sinl-+aIsinl----2aI

A.—cosQB.cosQ

C.sinaD.—sina

sin(—a)?cosf-+2a)?(—cosa)

［解析］原式二--------------1

.o

tana?cosa?sin~31—

sinQcosa?cos(9+2a)

=-----------=------石-----Y；=-cosQ.故選A.

tanQcosQ—cosl—+2aI

［答案］A

二、填空題

sin400°sin(-230°)

6.化簡(jiǎn)?的結(jié)果為_________

cos850°tan(-50°)

sin400°sin(-230°)

［解析］cos8500tan(—50°)=

sin(3600+40。)［—sin(1800+50。)］sin40°sin50°

cos(720°+90°+40°)(-tan50°)sin40°tan50°

sin50°

—cos50°.

sin50°

cos50

［答案］cos50°

1

知

已cos--

7.(73atan(兀一a)=

sin(a—~jcos|3n

［解析］可+°|tan(TI—a)

2

—COSasina(—tana)=sin？。=1—cosa

JI17m

8.若sin.同=于則cosa+冠

3

7nJIJI

［解析］cosl=cos萬十適+a

2

JI_1

-sin~3,

［答案］-1

三、解答題

COS（JI一。）

9.求證:

-j-

cosesin

cos(2JI——夕)2

2

cos(兀+9)sin(5+3sin小

-sm

［證明］左邊=—而-------------------》—7V—7

COSc/(—COSc/-1)-COS"cos，十COS0

_____］］______l—cose+l+cos9

1+cos9l—cos9(1+cos9)(1—cos。)

2__2____

l-cos29sin28,

???原式成立.

10.已知sin。是方程5f—7x—6=0的根，且a是第三象限角，求

(3吟(3兀)

sm(一"―Rcos|^-―

---T-----T---------N-,tanO-q)的值.

［解］原式=

,tan2a

sinacosQ

2

?tanQ

smacosQ

一cosQsina

?tan2a=—tan2a.

sinacosa

33

方程5/—7x―6=°的兩根為xi=—匚,為=2,又0是第三象限角’sin°=一于cos°

4

-5-故原式=—tan"=一五.

綜合運(yùn)用

11.計(jì)算sin"。+sin22°+sin23°4--Fsin289°=()

89

A.89B.90C.yD.45

［解析］Vsin2l°+sin289°=sin2l°+cos2l°=1,sin22°+sin288°=sin22°+

COS22°=1,???

sin2l°+sin22°+sin23°++sin289°=sin2l°+sin22°+sin23°+???+

189

sin244°+sin245°+cos244°+cos243°-\----Fcos230+cos220+cos2l°=44+~=—.

［答案］C

12.在△/阿中，y/3sin(^■—2)=3sin(兀一/),且cosA=—y［3cos(~S),貝！JC=

|\/^cos/=3sin/①