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文檔簡介
習題二
一、填空題
1.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為
若X€[O,1]
/(x)=q,若xw[3,6]
.0,其它
2
若女使得「(X2k)=§,則k的取植范圍是.
解:P(X>k)=f(x)dx
當左<0時,P(X2&)=「fMdx=f()dx+1~dx+「0公=1
當04左<1時,P(X>k)=^dx+^0dx+^-dx+["0dx=^^
當14人43時,P(X>k)=/(Wx+f2dx+pOJx=|
(62iH-x12-2k
當3<%<6忖,P(X>k)=^-dx+J0dx=―-—
當女26時,P(XNA)=「0dx=0
2
綜上,若k使得P(X2&)=§,則k的取植范圍是[1,3].
2.設隨機變量X服從參數(shù)為(2,p)的二項分布,隨機變量y服從參數(shù)為(3,P)的二項分布.若
p(x>1)=|,則p(y>i)=.
5,
解:因為X~B(2,p),所以己=P(XN1)=1—P(X=0)=1—(l-p)2,從而有
9
1
p=-
3
又丫~8(3,p),故所求為P(YN1)=1—P(V=0)=1-(1—p)3=19/27
3.?實習生用同一臺機器接連獨立地制造3個同種零件,第i個零件是不合格品的概率p,=£
3=1,2,3),以X表示3個零件中合格品的個數(shù),則P{X=2}=.
解:設4表示“第i個零件是合格品"(i=l,2,3),則由題設知事件A”>!?,A3相互獨立,且
111213
P(A1)=l-pl=l--=-,P(A2)=l-p2=l--=-,P(A3)=l-p3=l--=-
故所求概率為
P(X=2)=P(4A2A3+AA2A3+A1A2A3)
=P(AlA2A3)+P(AXA2A3)+P(AtA2A3)
=尸(4)P(A2)P(4)+P(AJP(A2)P(4)+P(4)P(A?)P(4)
I2;342<3j423L4J24
,,f2x,0cx<1”,,.
4.設隨機變量x的概率密度為/(x)=《,以丫表示對x的三次獨立重復觀察中
0,其匕
事件{XW;}出現(xiàn)的次數(shù),則尸(丫=2)=.
解:一次觀察中事件{X4;}出現(xiàn)的該率為
1]H/2H/21
P<X<—>=yf(x)dx=J2xdx=—
則由題設知y?8(3,1/4),故所求概率為
5.若隨機變量X服從參數(shù)為(2,。2)的正態(tài)分布,且P(2<X<4)=0.3,則
P(X<0)=__________
解:因為X~'(2,。2),所以
<2)=①(2)_(D(O)=①(2)-0.5
0.3=尸(2<X<4)=P0<
0,若x<—1
0.4,若一1<尤W1
6.設隨機變量X的分布函數(shù)為夕(x)=P(XWx)=<
0.8,若1<x<3
1,若x>3
則X的概率分布為.
解:由題設知X的所有可能取值為-1,1,3,且
P{X=-l}=0.4,P{X=0=0.8-0.4=O4,P{X=3}=1-0.8=0.2
從而得X的概率分布為
X-113
Pk0.40.40.2
QA
7.一射手對同一目標獨立地進行四次射擊,若至少命中一次的概率為絲,則該射手的命中率
81
為
解:設該射手的命中率為p,X表示四次射擊中的命中次數(shù),則由題設知X~B(4,p),從而有
—=P(X>1)=1-=0)=1-(1-p)4
81
故所求為〃=:2
8.設隨機變量X服從正態(tài)分布N(〃,cr2)(er>0),且二次方程V+4y+X=0無實根的概率為
0.5,則〃=.
解:因為X~N(〃Q2),所以由題設知
0.5=2(△20)=尸(16—4X20)=P(X<4)=V=①
則有
j=o
a
故所求為
〃=4
9.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為
0,若x<0
f(x)=<Asinx,若04x4)/2
1,x>71/2
則4=___________尸{因<看卜-------
解:因為X為連續(xù)型隨機變量,故其分布函數(shù)F(x)連續(xù),所以
’71
=A=limAsinx=limRx)=liF(x)=Hl=1
5mm
即
從而
iJL
10.設隨機變量X服從參數(shù)為(10,0.022)的正態(tài)分布.已知①(x)=r7=e2加,
J72兀
①(2.5)=0.9938,則X落在區(qū)間(9.95,10.05)內的概率為.
解:因為X~N(10,0.022),所以則x落在區(qū)間(9.95,10.05)內的概率為
X-10
F(9.95<X<10.05)=P-2.5<<2.5=0>(2.5)_①(-2.5)
0.02
=2①(2.5)-1=0.9938x2-1=0.9876
二、單項選擇題
1.設片(x)與工(x)分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù),為使F(x)片(x)-AB(x)是某一隨
機變量的分布函數(shù),在下列給定的各組數(shù)值中應取[]
,、3,222
(A)a=—,b=——(B)a--,b=—
5533
,、1,313
(C)a=——,b=—(D)a=—,b=—
2222
解:根據(jù)分布函數(shù)的性質:產(+oo)=limF(x)=1,于是有
,r->+oo
1=limF(x)=alimF](x)-blimF(x)=a-b
XT+8X->+002
即a—b=l.
對比四個選項知,只有(A)中的a和6值滿足a-6=1,故正確選項為(A).
2.設隨機變量X服從正態(tài)分布則隨的增大,概率P{|X—“<可,則[]
(A)單調增大(B)單調減a(C)保持不變(D)增減不定
解:由于X~N(〃,a2),因此丫=三二幺~N(0,1),于是有
(7
P\\x一“<b}=P{|y|<1}=20)(1)-1=0.6826
可見所求概率不隨〃和b的變化而變化,故正確選項為(C).
3.設隨機變量X的密度函數(shù)為/(x),且/(—x)=/(x),尸(x)是X的分布函數(shù),則對任意實數(shù)a,
有[]
(A)F(-a)=1-Jf(x)dx(B)F(-a)=0.5-Jf(x)dx
(C)F(-a)=F(a)(D)F(~a)=2F(a)-1
解:要想最快速度作出選擇,首先設法找出隨機變量X的分布函數(shù)滿足哪條性質.而其密度函數(shù)
/(x)滿足/(-X)=/(x),即/(X)為偶函數(shù).為此,先將X退到一個特殊位置——把X想象成服從標
如圖,圖2—1(1)中陰影部分的面積為歹(-a),圖2—1(2)中陰影部分的面積為尸伍),據(jù)此很容易選
出(B)為正確答案.下面給出證明:
證由分布函數(shù)的定義得
產(一。)=「/(x)dx
利用積分的可加性,有
ar-a
f(x)dx=AJ)f(x)dx+£f(x)dx(2.2.1)
而由密度函數(shù)性質r
£=1
又因為/(-x)=/(x),所以
1=Vf{x}dx=2ff(x)dx=>「f(x)dx=0.5(2.2.2)
J-QOJ-COJ-00
在積分「/(x)dx中作變量替換,令X=-t,則
「/(x)dx=j/(T)?(―力)==一ff(x)dx(2.2.3)
將(222)與(2.2.3)式代入(2.2.1)式,得
F(-a)-0.5—Jf(x)dx
故正確選項為(B).
注:這種轉化過程,其實利用的就是由“一般”退到“特殊”以利于尋求答案,待得到答案后再完
成由“特殊”進到“一般”的嚴格推導的辯證思維.這一思想,尤其是在解決選擇題上最常用.
4.設隨機變量X與丫均服從正態(tài)分布,X~N(出42),y~N(〃,52)Hdp1=P{X4〃-4},
p2=P[Y>//+5],則[1
(A)對任何實數(shù)〃,都有P1=p2(B)對任何實數(shù)〃,都有p[<p2
(C)只對"個別值,才有P1=p2(B)對任何實數(shù)〃,都有P|>p2
解:由于X~N(〃,42),Y~N(〃,52),因此土2.~N(0,1),匕幺~N(O,1),于是有
45
P1=P{^^<-1}=O(-1)
P2=P{^->1}=P{^-<-1)=①(-1)
所以對任何實數(shù)〃,都有P1=p2,故正確選項為(A).
5.設隨機變量X服從正態(tài)分布N(O,1),對給定的ae(o,1),數(shù)%滿足P{X>%}=a,若
P{|X|<x}=a,則x等于[]
(A)(B)a士(C)々£(D)u}_a
2~r-2
解:由于X~N(O,1),因此
a=P{|X|<x}=2O(x)-l
于是有
①(x)=^―2
從而
1—a
P{X>x}=l-O(x)=;-
又P{X>(}=£,所以X=〃「a,故正確選項為(B).
~2~
6.設隨機變量X服從正態(tài)分布隨機變量丫服從正態(tài)分布N(〃2,b;),且
P{|x-〃,|<i}>p{|y-A2|<i}
則必有[]
,
(A)a1<a2(B)>cr2(C)Al<〃2①)>〃2
~N(〃2,。;),因此上必一N(O,1),上二"~N(O,1),于是有
解:由于X~N卬㈤),Y
P[\X-^2\<\}=
)
又
P{|x—聞<1}>P{?—聞<1}
所以
2of—kl>2of—'一1
\a2>
從而、
①國>①
即
\1
—>—
CT]<72
所以<71<。2,故正確選項為(A).
7.某人向同?目標獨立重復射擊,每次射擊命中目標的概率為p(O<p<l),則此人第4次射擊恰
好是他第2次命中目標的概率為[]
(A)3/?(1-p)2(B)6p(l-p)2(C)3P“l(fā)-p):(D)6/?2(l-p)2
解:此人第4次射擊恰好是他第2次命中目標,即此人前三次射擊中只有一次命中且第四次命中目標,
設X表示“此人前三次射擊中的命中次數(shù)”,則X~8(3,p).另設A表示“此人前三次射擊中只有一次
命中",8表示''第四次命中目標”,于是有
P(A)=尸{X=1}=C;p(l—pl=3p(l-p)2,P(B)=p
因此所求為
P(A8)=P(A)P(B)=3p2(l—p)?
故正確選項為(C).
8.隨機變量x的概率密度為/(x)=—L廠(―8<x<+8),則y=2x的概率密度為f]
萬(1+1)
(A)----——7-(B)-------—(C)----?——(D)-arctanx
1(1+4尤2)萬(4+/)萬(1+/)JI
解:Y=2X的分布函數(shù)
y
Fy(y)=P(Y<y)=PQXKy)=P(XW斗=ff(x)dx
yJ-<x>
所以y=2x的概率密度為
川)=k(y)=(嗎)=二屆高
T+M
也可以寫成
4(%)=^477]
故正確選項為(B).
9.設隨機變量X的分布函數(shù)尸(x)=--一,xe(-oo,+oo),則k=[1
1+e
(A)1(B)e~'(C)e~2(D)e
解:根據(jù)分布函數(shù)的性質:F(+oo)=limF(x)=1,于是有
XT+8
1=limF(x)=lim-------=k
XT+XXT+81+eI
即々=1,故正確選項為(A).
10.設隨機變量X的概率分布是
X-2-1012
p1/502/51/51/5
則y=x2的概率分布是()
Y=X241014
(A)
P1/502/51/51/5
Y^X2014
(B)
P4/250+1/251/25+1/25
Y=X241014
p1/2504/251/251/25
Y^X2014
(D)---------------------------------
P2/51/52/5
解:由題設知y=x2的所有可能取值為o,i,4,且
叩=0}=pX2=O}=P{X=0}=2/5
P{y=1}=P{X2=l}=p{x=1}+P{X=—l}=(+0=1/5
,11
P{y=4}=P{X?=4}=P{X=2}+P{X=-2}=-+-=2/5
從而得y=x?的概率分布為
y|oi4
Pk2/51/52/5
故正確選項為(A).
三、解答題
1.分別用隨機變量表示下列事件
(1)觀察某電話總機每分鐘內收到的呼喚次數(shù),試用隨機變量表示事件“收到呼喚3次”、“收到呼喚次
數(shù)不多于6次”:
(2)抽查一批產品,任取一件檢查其長度,試用隨機變量表示事件“長度等于10cm”、“長度在10cm到
10.1cm之間”;
(3)檢查產品5件,設A為至少有一件次品,B為次品不少于兩件,試用隨機變量表示事件
A,B,B,A+B,AB
6
解:(1)事件“收到呼喚3次”表示為{X=3},“收到呼喚次數(shù)不多于6次”表示為{XW6}=U(X=身;
k=0
(2)事件“長度等于10cm”表示為{X=10};"長度在10cm到10.1cm之間”表示為{10<X<10.1}
(3)事件N={沒有次品}={X=0}
吊={次品少于兩件}={X<2}
6={次品不少于兩件}={X22}
A+8={至少有一件次品}={%>1)
AB={次品數(shù)不到兩件}={X<2}
2.一袋中裝有5只球,編號為1,2,3,4,5,在袋中同時取3只,以X表示取出的3只球中的最大號
碼,寫出X的分布律及分布函數(shù).
解:由題設得
P{x=3}=與=-J-,P{X=4}=與=2,P{x=5}=與=9
C:1010C;10
從而得X的分布律為
X345
136
Pk
101010
X的分布函數(shù)為
0,x<3
1
3<x<4
F(x)=<
4<x<5
5
1,x>5
3.汽車需要通過有4盞紅綠信號燈的道路才能到達目的地.設汽車在每盞紅綠燈前通過(即遇到綠燈)
的概率都是0.6;停止前進(即遇到紅燈)的概率為0.4,求汽車首次停止前進(即遇到紅燈,或到達目的地)
時,已通過的信號燈的個數(shù)的分布律.
解:設X表示“汽車在停止前進時已通過的信號燈數(shù)”,則隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,4,
又設A,表示事件“汽車將通過時第i盞信號燈開綠燈”(i=1,2,3,4),則由題意尸(AJ=0.6,P(Ai)=0.4
{X=0}表示{已通過的信號燈數(shù)是0(即第一盞信號燈是紅燈)},故
P{X=0}=2國}=0.4
{X=1}表示{已通過的信號燈數(shù)是1(即第一盞信號燈是綠燈,而第二盞是紅燈),故
P{X=1}=P(A1A2)=P(A1)P(^2)=0.6X0.4
同理P{X=2]=P(A]&入3)=P(AJP(4)P(吊)=06x0.4
P{X=3]=P(A]A2A3N4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(3)=0.63X0.4
4
P{X=4}=P(A,A2A3A4)=P(A,)P(A2)P(A3)P(A4)=0.6
于是X的分布律為
06x0.4,*=0,l,2,3
P{X=k}=
0.64,A=4
即
X01234
0.40.240.1440.08640.1296
Pk
4.假設隨機變量X的概率密度為
2x,0<x<1
/*)={n甘加
[0,其他
現(xiàn)在對X進行〃次獨立重復觀測,以匕表示觀測值不大于0.1的次數(shù).試求隨機變量匕的概率分布.
解:事件“觀測值不大于0.1",即事件{X40.1}的概率為
p=P{x<0.1}=/(x)dx-2xdx=0.01
每次觀測所得觀測值不大于0.1為成功,則匕作為幾次獨立重復試驗成功的次數(shù),服從參數(shù)為(〃,0.01)的
二項分布,即匕的概率分布為
P(y?=k)=C(0.0—(0.99)"-"(k=0,1,2,…,〃)
5.假設一大型設備在任何長為,的時間內發(fā)生故障的次數(shù)N(f)服從參數(shù)為力的泊松分布.(1)求相
繼兩次故障之間時間間隔T的概率分布;(2)求在設備已經無故障工作8小時的情形下,再無故障運行8
小時的概率6.
解:(1)由題設可知
P[N(t)=k}=^-e-A,,k=0,1,2,-
k!
同時易見T是只取非負值的隨機變量,當”0時,尸⑺=尸(7q)=0;當f20時,事件{7>f}
與{N(f)=O}等價.于是有
F(t)=I一尸(7>力=1-P{N(t)=0}=l-e―
故T的分布函數(shù)為
即T服從參數(shù)為2的指數(shù)分布.
(2)由于指數(shù)分布具有“無記憶”性,因此
e=P[T>16p>8}=P{T>8}=e⑹
0_4{7W16,T28}_尸{T216}_.一
P{T>8}—-P{T>8}—e*
6.假設測量的隨機誤差X~/V(0,102),試求在100次獨立重復測量中,至少有三次誤差絕對值大于
19.6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值(要求a數(shù)點后取兩位有效數(shù)字).
解:設p為每次測量誤差的絕對值大于19.6的概率,則
p=p{x|>19.6}=24>1.96>=2[1—①(1.96)J=2[1-0.975]=0.05
設y為io。次獨立重復測量中事件{|x|>i9.6}出現(xiàn)的次數(shù),則y服從二項分布,參數(shù)為
〃=100,p=0.05,所以
a=P(yN3)=1-(O.95)100-*
k=Q
山泊松定理知,y近似服從參數(shù)為4=〃p=100x0.05=5的泊松分布,故所求為
25A
a^]-Y—e-5=0.875
一人!
7.某商品的次品率是0.01.現(xiàn)從一大批該商品中任取500個,問次品數(shù)X不超過5個的概率.要求:
(1)寫出二項分布計算公式;(2)用泊松分布計算結果.
解:由題設知X?8(500,0.01),即
P(X=A)=C;00goi)“0.99)50°-*女=0,1,???,500
所以
(1)次品數(shù)X不超過5個的概率為
55
A5(X,-A
P(X?5)=Z「(X=火)=^C500(0.01)(0.99)
k=0&=0
(2)由泊松定理知,X近似服從參數(shù)為2=500x0.01=5的泊松分布,故所求為
k
55
P(X45)。Z—eT=0.616
*=ok!
8.在電源電壓不超過200伏、在200-240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分
別為0.1,0.001和0.2.假設電源電壓X服從正態(tài)分布N(220,252),試求:⑴該電子元件損壞的概率a;
(2)該電子元件損壞時,電源電壓在200—240伏的概率夕.
解:設A表示“電壓不超過200伏”,A2表示“電壓在200—240伏”,&表示“電壓超過240伏”;
8表示“電子元件損壞”.
又乂~N(220,25?),所以
Y_220、
(———<-0.81=①(-0.8)=1-①(0.8)=0.212
v_22()、
[-0.8<---<0.81=2①(0.8)-1=0.576
X—220、
(———>0.8)=1-①(0.8)=0.212
⑴由題設可知:=O.I,P(B|A2)=o.ooi,F(B|A3)=0.2,于是由全概率公式有
3
a=P(B)=ZP(A,)尸(⑼4)=0.212x0.1+0.576x0.001+0.212x0.2=0.0642
/=1
(2)由條件概率公式(或貝葉斯公式)得所求為
P(4)P(豳)=
”尸㈤⑻
P(B)0.0642
9.設電流/是一個隨機變量,它均勻分布在9安~11安之間.若此電流通過2歐姆的電阻,在其上消
耗的功率為W=2〃,求卬的概率密度.
解:由題意/的概率密度為
-,9<x<ll
/(%)=2
0,其它
卬=2〃,卬=2-,x=±欄,當9<x<ll時,162<卬<242
co
對于卬〉0,Fw(w)=P[w<co]=-1<<£}=
2
由于wNO,所以當w<0時,其分布函數(shù)式w(M=。,故/(w)=K;(w)=」=
綜上,
—^--=—^,162<w<242
>0
=s2v2w24v2w
<00其它
10.設隨機變量X在[2,5]上服從均勻分布.現(xiàn)在對X進行三次獨立觀測,試求至少有兩次觀測值大
于3的概率.
解:由題設知,X的分布函數(shù)為
0,x<2
x-2
F(x)=〈2<x<5
1,x>5
設p為每次觀測中觀測值大于3的概率,則
P=P{X>3}=1-F(3)=1-1=|
設y為3次獨立觀測中事件{X>3}出現(xiàn)的次數(shù),則y服從二項分布,參數(shù)為〃=3,p=4/5,故所
求為
1£3T20
p(y>2)=1-^^
-
k=0327
11.設隨機變量X的分布律為
X012345
111121
Pi
12631299
求y=2(X—2)2的分布律.
1]_12j_
解:Pi
12631299
X012345
y=2(X-2)28202818
從而有
p(y=8)=^+|=ii/36,p(r=2)=1+^=i/4,p(y=o)=1,p(y=i8)=1
故V=2(X—2)2的分布律為
r02818
11111
Pi
34369
12.設隨機變量X的概率密度函數(shù)為/x(x)=――,求隨機變量y=i-齊的概率密度函數(shù)
萬(1+X)
fy(y)-
解:對任意實數(shù)y,根據(jù)定義隨機變量y的分布函數(shù)為
4(y)=P(yWy)=P(1-VFVy)=P{X2(1-y)3}=^}fx(x)dx
則有
fy(J)=PM=fx[(1-y)3]-3(1-y)2
即隨機變量y=i-VM的概率密度函數(shù)
川)=…
乃[l+(l-y)6]
13.假設隨機變量X在區(qū)間(1,2)上服從均勻分布,試求隨機變量V=e?x的概率密度/(y).
解:由題設知,X的密度函數(shù)為
1,1<x<2
fx(x)='
0,其它
對任意實數(shù)y,根據(jù)定義隨機變量V的分布函數(shù)為
2X
FY(y)=P(Y<y)=P(e<y)
⑴當yKO時,Fy(y)=O,則/(y)=F,(y)=()
(2)當y>0時,F(xiàn)(y)=P(X<-\ny)=f(x)dx,則
Y2x
/(y)=Fj(y)=/x(]”>4
22y
所以
1)當1<—Iny<2即e-<y<e"時,f{y}=—?
22y
2)當0<y<e?或y2/時,/(,)=()
綜上可得,隨機變量Y=e?x的概率密度為
[124
—,e<y<e
/(y)=J2y
0,其它
14.假設隨機變量X的絕對值不大于1;P{X=-1)=1,P{X=1}=1;在事件{-1<X<1}出現(xiàn)
的條件下,X在(-1,1)內的任一子空間上取值的條件概率與該子空間的長度成正比.試求X的分布函數(shù)
FCx)=P{X<x}.
解:由題設可知
F(-l<X<1)=1-P(X=-1)-P(X=1)=1」-』=3
848
1=P(-l<X<1卜1<X<1)=2knk=g
所以有
(1)當x<-l時,F(xiàn)(x)=0
(2)當一14為<1時
F(x)=P(X<-l)+P(X=-l)+P(-l<X<x)
=0+1+P(-l<X<x-1<X<1)
=-+P(-l<X<1)P(-1<X<x\-l<X<1)
8
15x+15x+7
=—i------=-----
88216
(3)當時,F(xiàn)(x)=1
綜上可得,隨機變量X的分布函數(shù)為
0,x<—1
F(x)=J^±Z,-1<X<1
16
1,x>1
—f=r,xe[1,8]
is.設隨機變量x的概率密度為,/^(幻為x的分布函數(shù),求y=F(X)的
0,其它
分布函數(shù).
解:F(x)=f(t)dt
當x<l時,F(xiàn)(x)=0
當l〈x<8時,F(xiàn)(x)==
J3肝
當無28時,F(xiàn)(x)=1
綜上可得,隨機變量X的分布函數(shù)為
0,x<1
F(x)=<Vx-1,1<x<8
1,x>8
對任意實數(shù)y,根據(jù)定義隨機變量y的分布函數(shù)為
Fr(y)=P(y<y)=P{F(X)<y)
當y<0時,F(xiàn)y(y)=O
當0Wy<1時
K(y)=P(VF—14y)=P{XW(y+1)3}=尸[(y+l)3]=y
當y21時,4(y)=l
于是,y=F(X)的分布函數(shù)為
0,y<0
^y(y)=,y,0<y<l
i,yNi
16.假設一廠家生產的每臺儀器,以概率0.7可以直接出廠,以概率0.3需進一步調試,終調試后以
概率0.8可以出廠,以概率0.2定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產了“522)臺儀器(假設各臺儀器
的生產過程相互獨立).求:(1)全部能出廠的概率a;(2)其中恰好有兩臺不能出廠的概率/?;(3)其
中至少有兩臺不能出廠的概率。.
解:對于新生產的每臺儀器,設A表示“儀器需進一步調試”,8表示“儀器能出廠”,則才表示“儀
器需進一步調試”,A8表示“儀器經調試后能出廠”.
由題設可知,B=A+AB,P(A)=0.30,=0.80,從而有
P(AB)=P(A)P(B\A)=0.30x0.80=0.24
P(B)=P(I)+P(AB)=0.70+0.24=0.94
設X表示“所生產的〃臺儀器中能出廠的臺數(shù)”,則X作為〃次獨立試驗成功(儀器能出廠)
的次數(shù),服從參數(shù)為5,0.94)的二項分布,因此
⑴a=P(X=〃)=0.94”
(2),=P(X=〃—2)=C;?0.94'T.0.062
(3)6=尸(XW〃-2)=1-P(X=〃-1)-P(X=n)
=1—C:-0.94"T?0.06—0.94”
17.某種型號的電子管的壽命X的分布密度函數(shù)為
fl000…八
,%>1000
/(x)=jx2
0,x<1000
現(xiàn)從一大批中任取5只,問其中至少有兩只壽命大于1500小時的概率.
M(H-X10001000件8
解:P(X>1500)=r/(x)dx=「rdx=2/3
2
J5004500xx4500
設y表示“壽命大于1500小時的電子管只數(shù)”,則y?8(5,2/3),從而所求為
p(y>2)=1-p(y<2)=1-P(Y=o)-p(y=i)
=>立舟《嚴=23%3
k=0JJ
18.設顧客在某銀行窗口等待服務的時間X(單位:分)服從參數(shù)為工的指數(shù)分布.該顧客在窗口
5
等待服務超過io分鐘則離開.他一個月到銀行5次.以y表示未等到服務的次數(shù),試求
(1)Y的概率分布;
(2)P(Y>1).
Z_5
解:P(X〉10)=fx(x)dx=£1e=-e|=e=
(1)由題設y~B(5,e<),即y的概率分布為
p(y=A)=C;(e-2)"(l—e-)5YZ=0,1,…5
(2)p(y>1)=i-p(y<1)=i-p(y=o)=i-(i-e"y
19.設隨機變量K在[0,5]上服從均勻分布,試求一元二次方程4/+4Kx+K+2=0有實根的概
ye(0,5)
解:由題設知K~{5)''從而所求為
0,其它
P(ANO)=P{16公一16伏+2)20}=P伙2—左一220)
=(kW—1)+P(ZN2)=£'/,(y)dy+「/(y)dy
=0+「dy+「0dy=%
20.設隨機變量X在[0J上服從均勻分布,試求:(1)丫=”;(2)Y=-21nX的概率密度函數(shù).
解:由題設可知
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