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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.過圓外一點引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程是().A. B. C. D.2.已知等差數(shù)列的前項和為,若,則等差數(shù)列公差()A.2 B. C.3 D.43.已知定義在R上的函數(shù)(m為實數(shù))為偶函數(shù),記,,則a,b,c的大小關(guān)系為()A. B. C. D.4.已知為圓:上任意一點,,若線段的垂直平分線交直線于點,則點的軌跡方程為()A. B.C.() D.()5.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有勾六步,股八步,問勾中容圓,徑幾何?”其意思為:“已知直角三角形兩直角邊長分別為6步和8步,問其內(nèi)切圓的直徑為多少步?”現(xiàn)從該三角形內(nèi)隨機取一點,則此點取自內(nèi)切圓的概率是()A. B. C. D.6.近年來,隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機的更新?lián)Q代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途,隨機抽取了名大學(xué)生進行調(diào)查,各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如圖所示,現(xiàn)有如下說法:①可以估計使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);②可以估計不足的大學(xué)生使用主要玩游戲;③可以估計使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為()A. B. C. D.7.框圖與程序是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段,實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學(xué)模型之后,可以制作框圖,編寫程序,得到解決,例如,為了計算一組數(shù)據(jù)的方差,設(shè)計了如圖所示的程序框圖,其中輸入,,,,,,,則圖中空白框中應(yīng)填入()A., B. C., D.,8.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.9.如圖是二次函數(shù)的部分圖象,則函數(shù)的零點所在的區(qū)間是()A. B. C. D.10.在中,角的對邊分別為,若.則角的大小為()A. B. C. D.11.若復(fù)數(shù)滿足,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,則()A.1 B.0 C. D.12.的展開式中的項的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.40二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.直線與拋物線交于兩點,若,則弦的中點到直線的距離等于________.14.定義在上的奇函數(shù)滿足,并且當(dāng)時,則___15.已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的焦距為2c,過C外一點P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.16.已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,底面為正方形,、分別為、的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個內(nèi)角、、所對邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)曲線在點處的切線斜率為.(i)求;(ii)若,求整數(shù)的最大值.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6,求的取值范圍.21.(12分)如圖,四棱錐中,底面是菱形,對角線交于點為棱的中點,.求證:(1)平面;(2)平面平面.22.(10分)已知函數(shù),.(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,且函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的值;(2)求證:(,且).
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】過圓外一點,引圓的兩條切線,則經(jīng)過兩切點的直線方程為,故選.2.C【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可得出.【詳解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故選C.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的求和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.3.B【解析】
根據(jù)f(x)為偶函數(shù)便可求出m=0,從而f(x)=﹣1,根據(jù)此函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可作出判斷.【詳解】解:∵f(x)為偶函數(shù);∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故選B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的定義,指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對于偶函數(shù)比較函數(shù)值大小的方法就是將自變量的值變到區(qū)間[0,+∞)上,根據(jù)單調(diào)性去比較函數(shù)值大小.4.B【解析】
如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,,故軌跡為雙曲線,計算得到答案.【詳解】如圖所示:連接,根據(jù)垂直平分線知,故,故軌跡為雙曲線,,,,故,故軌跡方程為.故選:.【點睛】本題考查了軌跡方程,確定軌跡方程為雙曲線是解題的關(guān)鍵.5.C【解析】
利用直角三角形三邊與內(nèi)切圓半徑的關(guān)系求出半徑,再分別求出三角形和內(nèi)切圓的面積,根據(jù)幾何概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】由題意,直角三角形的斜邊長為,利用等面積法,可得其內(nèi)切圓的半徑為,所以向次三角形內(nèi)投擲豆子,則落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率為.故選:C.【點睛】本題主要考查了面積比的幾何概型的概率的計算問題,其中解答中熟練應(yīng)用直角三角形的性質(zhì),求得其內(nèi)切圓的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力.6.C【解析】
根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較,可判斷①的正誤;計算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例,可判斷②的正誤;計算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例,可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為,使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為,所以①正確;使用主要玩游戲的人數(shù)為,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為,,故超過的大學(xué)生使用主要玩游戲,所以②錯誤;使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為,因為,所以③正確.故選:C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關(guān)命題真假的判斷,計算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.7.A【解析】
依題意問題是,然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差,即輸出的,觀察程序框圖可知,應(yīng)填入,,故選:A.【點睛】本題考查算法與程序框圖,考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】
作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,由目標函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點時,取得最大值.由得:,故選:D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.9.B【解析】
根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出范圍,軸截距,求出的范圍,判斷在區(qū)間端點函數(shù)值正負,即可求出結(jié)論.【詳解】∵,結(jié)合函數(shù)的圖象可知,二次函數(shù)的對稱軸為,,,∵,所以在上單調(diào)遞增.又因為,所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間是.故選:B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
由正弦定理化簡已知等式可得,結(jié)合,可得,結(jié)合范圍,可得,可得,即可得解的值.【詳解】解:∵,∴由正弦定理可得:,∵,∴,∵,,∴,∴.故選A.【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】解:∵,∴,則,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】
化簡得到,再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選:【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學(xué)生的計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由已知可知直線過拋物線的焦點,求出弦的中點到拋物線準線的距離,進一步得到弦的中點到直線的距離.【詳解】解:如圖,直線過定點,,而拋物線的焦點為,,弦的中點到準線的距離為,則弦的中點到直線的距離等于.故答案為:.【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì),考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.14.【解析】
根據(jù)所給表達式,結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì),即可確定函數(shù)對稱軸及周期性,進而由的解析式求得的值.【詳解】滿足,由函數(shù)對稱性可知關(guān)于對稱,且令,代入可得,由奇函數(shù)性質(zhì)可知,所以令,代入可得,所以是以4為周期的周期函數(shù),則當(dāng)時,所以,所以,故答案為:.【點睛】本題考查了函數(shù)奇偶性與對稱性的綜合應(yīng)用,周期函數(shù)的判斷及應(yīng)用,屬于中檔題.15.【解析】
根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,從而得到點A為橢圓上頂點,則有b=c,解出B的坐標即可得到比值.【詳解】因為|PA|=|AF1|,所以點A是線段PF1的中點,又因為點O為線段F1F2的中點,所以O(shè)A∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因為點P(c,2c),所以PF2⊥x軸,則|PF2|=2c,所以O(shè)A⊥x軸,則點A為橢圓上頂點,所以|OA|=b,則2b=2c,所以b=c,ac,設(shè)B(c,m)(m>0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查直線位置關(guān)系的判斷,方程思想,屬于中檔題.16.(或?qū)懗桑窘馕觥?/p>
設(shè)與的夾角為,通過,可得,化簡整理可求出,從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得,故,將代入可得得到,于是與的夾角為.故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運算,向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力,分析能力及計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)見解析;(2).【解析】
(1)利用中位線的性質(zhì)得出,然后利用線面平行的判定定理可證明出平面;(2)以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,設(shè),利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)因為、分別為、的中點,所以.又因為平面,平面,所以平面;(2)以點為坐標原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系,設(shè),則,,,,,,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則,,所以.設(shè)直線與平面所成角為,所以.因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,同時也考查了利用空間向量法計算直線與平面所成的角,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.18.(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以,的面積.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積取值范圍的計算,涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.19.(1)在上增;在上減;(2)(i);(ii)2【解析】
(1)求導(dǎo)求出,對分類討論,求出的解,即可得出結(jié)論;(2)(i)由,求出的值;(ii)由(i)得所求問題轉(zhuǎn)化為,恒成立,設(shè),,只需,根據(jù)的單調(diào)性,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時,,即在上增;當(dāng)時,,,,,即在上增;在上減;(2)(i),.(ⅱ),即,即,只需.當(dāng)時,,在單調(diào)遞增,所以滿足題意;當(dāng)時,,,,所以在上減,在上增,令,..在單調(diào)遞減,所以所以在上單調(diào)遞減,,綜上可知,整數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值、不等式恒成立,考查分類討論思想,屬于中檔題.20.(Ⅰ)(Ⅱ)(2,+∞)【解析】試題分析:(Ⅰ)由題意零點分段即可確定不等式的解集為;(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為,求解不等式可得實數(shù)a的取值范圍為試題解析:(I)當(dāng)時,化為,當(dāng)時,不等式化為,無解;當(dāng)時,不等式化為,解得;當(dāng)時,不等式化為,解得.所以的解集為.(II)由題設(shè)可得,所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為,,,的面積為.由題設(shè)得,故.所以a的取值范圍為21.(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)連結(jié)根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解:證明:連結(jié)是菱形對角線的交點,為的中點,是棱的中點,平面平面平面解:
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