微積分05導數(shù)應用市公開課一等獎百校聯(lián)賽特等獎課件

高等數(shù)學微積分西南財經(jīng)大學經(jīng)濟數(shù)學系孫疆明市精光第1頁第十講微分中值定理一、費爾馬(Fermat)定理二、羅爾(Rolle)定理三、拉格朗日(Lagrange)定理四、柯西(Cauchy)定理第2頁一、費爾馬(Fermat)定理（一）極值定義：第3頁極值研究是微積分產(chǎn)生主要動力之一第4頁（二）費爾馬定理(極值必要條件)第5頁第6頁[證]第7頁第8頁微分中值定理引入(((第9頁第10頁第11頁

第12頁二、羅爾(Rolle)定理第13頁三、拉格朗日(Lagrange)定理第14頁四、柯西(Cauchy)定理第15頁怎樣證實羅爾定理？先利用形象思維去找出一個C點來！想到利用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最大最小值定理！第16頁羅爾定理證實：第17頁第18頁怎樣證實拉格朗日定理？拉格朗日定理若添加條件:則收縮為羅爾定理；羅爾定理若放棄條件:則推廣為拉格朗日定理。知識擴張所遵照規(guī)律之一就是將欲探索新問題轉(zhuǎn)化為已掌握老問題。即尋求未知事物通向已知領(lǐng)域“橋”！所以想到利用羅爾定理！第19頁滿足羅爾定理條件橋第20頁拉格朗日定理證實：結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)拉格朗日中值公式第21頁拉格朗日公式各種形式第22頁第23頁推論1：[證]第24頁推論2：推論3：推論4：第25頁柯西中值定理證實：結(jié)構(gòu)輔助函數(shù)第26頁費爾馬定理羅爾定理拉格朗日定理柯西定理第27頁零點問題以下證實恰好有三個根該方程實根個數(shù)就是兩條曲線第28頁首先證實最少有三個根計算表明依據(jù)介值定理所以方程最少有三個根然后證實方程最多有三個根用反證法第29頁依據(jù)洛爾定理矛盾！總而言之，方程恰好有三個實根第30頁直觀觀察能夠啟發(fā)思緒在第一個情形,都不是最小值所以最小值一定在區(qū)間內(nèi)部到達第31頁[證]第32頁第33頁證實思緒直觀分析例第34頁[證]依據(jù)連續(xù)函數(shù)最大最小值定理第35頁[證]第36頁第37頁[證]第38頁第39頁[證]第40頁第41頁第42頁[證]第43頁第44頁[證]第45頁第46頁第47頁[證]第48頁第49頁第50頁第51頁第52頁第53頁第54頁第55頁第56頁第57頁第58頁第59頁第60頁第61頁第62頁極值與凸性函數(shù)極值函數(shù)凸性漸近線函數(shù)作圖最值曲率第63頁一、極值與最值第64頁極值第一充分條件(導數(shù)形式)定理1：第65頁（二）極值第二充分條件定理2：[證](1)第66頁第67頁第68頁（二）函數(shù)最大、最小值第69頁第70頁(B)最大、最小值應用問題第71頁解第72頁一個可口可樂飲料罐詳細測量一下:它頂蓋直徑和從頂蓋到底部高(約為6厘米和12厘米),胖部分直徑約為6.6厘米,胖部分高約為10.2厘米.怎樣測量比較簡捷？(用一條窄薄紙條,繞飲料罐相關(guān)部分一圈測得周長,再換算得半徑和直徑).可口可樂飲料罐上標明凈含量為355毫升(即355立方厘米)。飲料罐中數(shù)學第73頁唯一駐點第74頁第75頁第76頁第77頁第78頁第79頁返回第80頁返回第81頁返回第82頁返回第83頁返回第84頁第85頁第86頁第87頁[解]第88頁第89頁[解]第90頁第91頁第92頁第93頁二、函數(shù)凸性何謂凸函數(shù)？第94頁第95頁（一）凸性定義：第96頁（二）凸性判定定理1：(用一階導數(shù)判定函數(shù)凸性)[證]必要性第97頁返回第98頁第99頁返回定理2：(用二階導數(shù)判定函數(shù)凸性)定理3：(用切線位置判定函數(shù)凸性)切線位于曲線下方第100頁（三）拐點定理：（拐點必要條件）第101頁x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)-0+0-y∩拐點∪拐點∩第102頁三、曲線漸近線第103頁曲線漸近線求法第104頁第105頁定理：第106頁[證]必要性第107頁第108頁[證]充分性

假設(shè)以下兩個條件同時成立第109頁四、函數(shù)作圖第110頁[解]第111頁∪∪∩∩拐點拐點極大第112頁第113頁x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)y’+無-0+y”-定+++y⌒↑義∪↓極小值e∪↑第114頁第115頁第116頁第117頁第118頁第119頁第120頁第121頁第122頁第123頁第124頁第125頁返回第126頁x(-∞,-1)-1(-1,0)(0,1)1(-∞,-1)y’+0--0+y↑極大↓↓極小↑返回第127頁x(-∞,0)(0,1)1(1,+∞)y’+-0