2023人教版新教材高中數學B選擇性必修第一冊同步練習-11空間向量及其運算

2023人教版新教材高中數學B選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運算

1.1.1空間向量及其運算

基礎過關練

題組一空間向量概念的理解

1.如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,下列說法正確的是（）

AR

A.A^=CB

B.\AA\=\AD\

C.向量而與而共線

D.向量而與而共面

2.下列關于空間向量的命題中,正確的個數是（）

①在同一條直線上的單位向量都相等;②只有零向量的模等于0；③在正方體

ABCD-ABCD中,福與國是相等向量;④在空間四邊形ABCD中,而與方是相反

向量;⑤在三棱柱ABC-AiBC中,與同的模一定相等的向量一共有3個.

A.2B.3

C.4D.5

3.（2020遼寧東北育才中學月考）給出下列命題:①若將空間中所有單位向量的起

點移到同一個點,則它們的終點構成一個圓;②若空間向量”,匕滿足I〃I=，則

44；③若空間向量八,p滿足144=八,八=?,則3=?；④空間中任意兩個單位向

量必相等；⑤零向量沒有方向.其中真命題為（填序號）.

題組二空間向量的線性運算

4.（多選）（2020山東聊城模擬）已知正方體ABCD-ABCD,則下列各式運算結果是

褊的為（）

A.AB+AD+AA^B.力力;+&8；+力道；

C.AB+BC+CCiD.AB+AC+CC1

5.(2021福建廈門海滄實驗中學期中)如圖,在平行六面體ABCD-ABCD中,M為

AC與BD的父點,右力/1=4,A-^D-^-b,4]A=c,則B]M=()

A.-1+為+cB.ga+gb+c

C.^a-^b+cD.

6.(2021江蘇南京期中)在平行六面體ABCD-ABCD中,AA^=a,AB=b,而=。，點P

在A.C上,且A.P：PC=2:3,則而=()

A.|4+|b+|cB.|〃+|b+|c

c-|〃+l以|cD-

7.化簡:1S+2b-3c)+5(|*b+1c>3(a-22)=.

8.如圖,ISE六棱柱ABCDEF—ABCDEE中：(1)化簡研一加一曲+配+5+初,

并在圖中標出化簡結果對應的向量；

⑵化簡反+瓦耳+麗+西+無瓦,并在圖中標出化簡結果對應的向量.

9.如圖,在長方體ABCD-ABCD中,0為AC的中點.

⑴化簡:時-觀弓而；

⑵設E是棱DDi上的點且屁=|DD；,^'Ed=xAB+yAD+zAAi，試求實數x,y,z的

值.

題組三空間向量的數量積

10.(2022河北石家莊一中期末)在空間四邊形ABCD

AB?W+AC-DB+AD?BC=()

A.-lB.0

C.1D.不確定

11.（2020河南鄭州外國語學校模擬）如圖,空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長

都等于1,F,G分別是AD,CD的中點,則麗?荏=（）

A11

B.4-2-

12.（2020吉林一中階段測試）在平行六面體ABCD-ABCD中,向量荏,AD,痂兩

兩的夾角均為60。，且|荏|=1,|而|=2,|麗|=3,則|斯|等于（）

A.5B.6

C.4D.8

13.（2022北京理工大附中開學考試）已知空間向量紅若㈤=1,Ib|=2,c=a+b,

且〃，則向量〃與S的夾角為（）

A.30°B.60°

C.120°D.150°

14.（2020山西大同高級中學模擬）在長方體ABCD-ABCD中，下列計算結果一定

不等于。的是（）

A.河.瓦弓B.西?AC

C.DC?河D.麗;?瓦工；

能力提升練

題組一空間向量的線性運算

1.在空間四邊形ABCD中,連接AC,BD,若4BCD是正三角形,且E為其重心,則

AB+^BC-l尻-血的化簡結果是（）

A.ABB.2BD

C.0D.2DE

2.在正三棱柱ABC-ABG中，M為△ABC的重心,若荏=〃,AC=b,AA^=c,則

CM=.

題組二空間向量的數量積

3.（2020江西宜春期末）如圖,空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都為

a,E,F,G分別是AB,AD,DC的中點，則下列向量的數量積等于a?的是（）

A.2BA?XCB.2而?DB

C.2FG?AC\）.iEF?CB

4.（多選）（2022湖北黃石二中月考）在正方體ABCD-ABCD中，有下列結論，其中

正確的有（）

A.（國+而+南尸=3荏2

B.碇?（A^-A^A）=0

C.畫與砸的夾角為60°

D.正方體的體積為\AB-AA[-AD\

5.已知a|=3V2,|^|=4,m=<a+fe,八=〃+入b,<a,b>=135°,若M_1_八，則

X=.

6.如圖,在AABC和4AEF中,B是EF的中點,AB=2,EF=4,CA=CB=3.若

AB?AE+AC?AF=7,則前與玩的夾角的余弦值為

c

E

7.(2021山東德州檢測)已知在平行六面體ABCD-ABCD中,AB=2,AA尸3,AD=1,且

ZDAB=ZBAA1=ZDAAI=^.

⑴求B。的長；

(2)求E與瓦5夾角的余弦值.

答案與分層梯度式解析

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運算

1.1.1空間向量及其運算

基礎過關練

1.P布與方長度相等,方向相反,故和=-函A錯誤;無法確定而，|刀的大小,

故B錯誤;而與會不是共線向量，但可以平移到同一平面上,是共面向量,故C錯

誤,D正確.

2.A①錯誤,在同一條直線上的單位向量,方向可能相同,也可能相反,故它們不

一定相等;②正確,零向量的模等于0,模等于0的向量只有零向量;③正確,何與

西的模相等，方向相同;④錯誤,空間四邊形ABCD中,荏與萬的模不一定相等,方

向一定不相反；⑤錯誤,在三棱柱ABC-ABG中,與可的模一定相等的向量有

基,西,瓦西,*，共5個.故選A.

3.答案③

瓦法①假命題.若將空間中所有單位向量的起點移到同一個點,則它們的終點

將構成一個球面,而不是一個圓.②假命題.根據向量相等的定義,要保證兩個向

量相等，不僅模要相等,而且方向還要相同，但②中向量〃與。的方向不一定相

同.③真命題.向量的相等具有傳遞性.④假命題.空間中任意兩個單位向量的模

均為1,但方向不一定相同，所以不一定相等.⑤假命題.零向量的方向是任意的.

4.ABC選項A中,AB+AD+AA^=AC+AA[=AC[;

選項B中,AA[+A1B[+A1D[=AA[+=可+年；=肅;

選項c中,AB+BC+CCI=AC+CC[=AC^;

選項D中,AB+AC+CCI=AB+(7c+cq)=版+肅H曲.故選ABC.

5.A~B^M=B1A[+A^A+AM=B1A[+A^A+^AC

=BM；+市(AB+AD)=~a+c+^(a+b)

=一例+伊+c.

6.

B如圖,因為AiP:PC=2:3,所以下三砒，所以第=初+南=可+|審討+|(力

初)=|痂+.=|可+|(而+砌=|可+|荏+|福又可=4,AB-b,AD=C,所以

不=|〃+|S+|c.故選B.

7.答案出步+真

解析原式=6+5X|-3)"+6X2-5XT+6)0+RX(-3)+5X|-3X(-1)]片〃+沙+%.

8.解析(1)布，薩瓦+荷+次+帝下方+靛+漏+西+方+虎=族+何+0=標+西=石.

而如圖所示.

（2）反+￡\F；+而+函+&E；=旗+前+而+西+B]D；=赤+而+西=0+西=西.

西如圖所示.

H

9.解析(1)\'AB+AD=AC,

AB~^AD=A^O-^(JB+AD')=*一次=乖一而=承

(2)'.'EO^+DO—D^+I'DB—D^D+^CDA+AB)~A^A+^DA+^AB-AB-^AD-IAA^,

?112

??xjy=-?z=-y

10.B令布=4,AC=b,AD=C,貝！]同?CD+AC?'DB+AD.~BC=a,(c—b)+b.(“一

c)+c,(b-a)=a?c-a?b+b?a-b?c+c?b-c?4=0.

11.13由題意得而帶前，所以記,盛帶前?同三義1X1Xcos60°三.故選B.

12.A

I幅12=(AB+AD+AA1)2=\AB\2+\AD\2+\AA[\2+2AB?AD+2AB*初+2初?^B=l+4+9+2+3

+6=25,.,.扁|=5,故選A.

13.C設向量〃與S的夾角為9.'：c±a,：.c?4=S+b)-4=0,則

|n|2+|a|："cos9=0,Acos9=-p9=120°.

14.P如圖所示：

AR

對于A,當長方體為正方體時,ADi_LBC此時可?季=0,故選項A不符合；

對于B,當長方體的底面ABCD是正方形時,AC±BD,可以推出ACJ_平面BBDD,則

BD」AC,此時西-就=0,故選項B不符合；

對于C,易知DC_LADi,所以反?可=0,故選項C不符合；

對于D,因為B￡〃AD,BDi與AD分別是直角三角形BAD的斜邊和直角邊,二者

不可能垂直，所以Be與BDi不可能垂直,所以西?瓦百W0.故選D.

解題指導判斷兩個向量的數量積的結果與0的關系可轉化為應用立體幾何中相

關定理判斷兩直線是否垂直的問題.

能力提升練

1.C如圖所示,取BC的中點F,則耳=就又E為正三角形BCD的重心,即DF上

靠近F的三等分點,所以|屁=赤,則同+^就一|反一方二潮+方一而一而二不+而一而=前一

AD=0.

2.答案叫子

解析如圖，連接GM并延長，交AB于點D.

R

???在正三棱柱ABC-ABG中,M為△ABG的重

心,AB=a,AC=b,AA[=C,CM=CC\+C\M=C+|C\D=C+1XI(Ci&'+CiB；)=C+g(-b+AB-

AC)=C+i“+〃-勿=C+沙.

3.C由題意可知,＜就就＞=＜而,據＞=(麗方＞=120。，.，.2威?就=2國|宿cos

120°=-a2,2AD-DB=2\AD\\DB\COS120°=-a?.=E,F,G分另!]是AB,AD,DC的中

點...FG〃AC且FG=|AC,EF〃BD且

EF=|BD,/.2rc?^c=xc2=a2,2EF,~CB=BD,CB=|BD||CB|COS120°=-ja2.故選C.

4.AB(JAI+AD+AB')2=(初+4—；+。3；)2=AC^=3AB2,故A正確;

年?(4/；-而)=^c?畫=(^B+BC),詬了碰?AB[+BC?畫=0,故B正確;

可與砧的夾角是“與用夾角的補角,而AACD為正三角形,所以乖與小的夾角

為60°，故石與下的夾角是120。，故C錯誤；

正方體的體積為I同II麗II前I,故D錯誤.

5.答案-|

解析

Va\=3V2,|^|=4,i^\=a+b,in=a+Ab,＜a,b＞=135°,'.w\?n.=(a+b)?(〃+入。)=

儲+(入+1)。?S+入，=(3⑸2+(入+i)*3或X4cos135°+XX42=0,BP4X+6=0,

解得人=-j.

6.答案!

解析由題意得就2=9=(就-砌2=#+/一2就?AB=9+4-2AC?AB,所以無,AB=2.由

AB,AE+AC?AF=7,可得

AB.(而+前)+AC?(AB+JF)=AB2+AB?~BE+AC?AB+AC?BF=4+AB?(-

BF)+2+AC?BF=6+FF,(AC-AB)=6+1EF?BC=7.所以說.BC=2,BP

4X3XCOS<EF,BC>=2,所以COS<FF,BC>~.