2023高考北京卷數(shù)學(xué)真題附答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）

數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分.考試時間120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在

試卷上作答無效.考雌束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇^本題共10小禹每小題4分，共40分.在每小題列出的四個

選項中，選出符合題目要求的一項.

A.{xI—2<x<1}B.{xl—2<x<l}

C.{xlx>-2}D.{x!x<l}

【答案】A

【解析】

【分析】先化簡集合然后根據(jù)交集的定義計算.

【詳解】由題意，M={MX+2N0}={X|XN-2},N={TX-1<0}={X|X<1},

根據(jù)交集的運(yùn)算可知，時C!N={x|-2Sx<l}.

故選：A

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)二對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（-LW）,貝k的共筑復(fù)數(shù)二=<）

A1+6B.1-^i

C.-1+梅D.一1一曲

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義先求出復(fù)數(shù)二，然后利用共筑復(fù)數(shù)的定義計算.

【詳解】二在復(fù)平面對應(yīng)的點是（-L0）,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，二=-1+追，

由共施復(fù)數(shù)的定義可知，==-1-后.

故選：D

3.已知向量五3滿足值+5=(2,"萬一1=(—2]),則|由2—仍『=()

A.-2B.-1C.0D.

1

【答案】B

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.

【詳解】向量色5滿足萬+5=(2,3),d一B=(-2,1),

所以|才一|W=Q+?Q一力=2x(-2)+3xl=-L

故選：B

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+。。)上單調(diào)遞熠的是()

A./(x)=-lnxB./(x)=3

C.f(x)=--D.f(x)=3x-x

X

【答案】c

【解析】

【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC,舉反例排

除D即可.

【詳解】對于A,因為J=lnx在(0,+”)上單調(diào)遞增，.】，=一'在(0,+8)上單調(diào)遞

城，

所以=-Inx在(0,+夕)上單調(diào)遞減，故A錯誤；

對于B,因為丁=2*在(。+“)上單調(diào)遞熠，在(0,+。)上單調(diào)遞減，

所以X）=:在（0,+3）上單調(diào)遞減，故B錯誤；

對于C,因為丁=：在（0，+e）上單調(diào)遞減，丁=一、在（0：+力）上單調(diào)遞減，

所以/（刈=-4在（0：+8）上單調(diào)遞增，故C正確；

X

H0I：1|

對于D,因為/]'；=3肘=3；=W,/（1）=3=3=15/（2）=3-=3,

顯然/（x）=3向在（Q+功上不單調(diào)，D錯誤.

故選：C.

5.的展開式中》的系數(shù)為（）.

A.-80B.-40C.40D.

80

【答案】D

【解析】

t分析】寫出j的展開式的通項即可

【詳解】；2x—的展開式的通項為&]=G（2x「；—

令5—2/=1得八=2

所以;2x—：j的展開式中x的系數(shù)為（T/25"C；=80

故選：D

【點睛】本題考查的是二項式展開式通項的運(yùn)用，較簡單.

6.已知拋物線Uy、'的焦點為尸，點時在C上.若正到直線x=-3的距離

為5,貝()

A.7B.6C.5D.

4

【答案】D

【解析】

【分析】利用拋物線的定義求解即可.

【詳解】因為拋物線C：/=8x的焦點廠20)，準(zhǔn)線方程為x=-2,點"在。上,

所以￡到準(zhǔn)線x=-2的距離為|卬|,

又罰到直線x=-3的距離為5,

所以幽刊+1=5,故|MF|=4.

故選：D.

7-在dlBC中，S+cXsinX-sinC)=Z<sinH-sin3),貝ij/c=<)

7iK2n

A.-B.—C.—D.

633

57t

~6

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理的邊角變換與余弦定理即可得解.

【詳解】因為S+cXsinM-sinC)=NsinH-sin3),

222

所以由正弦定理得(。+cX。-c)=b(a-b),^a-c=ab-b,

貝U+b，—c，=06,故cosC-?—+----=,

lablab2

又0<C<兀，所以C=g.

故選：B.

yX

8,若學(xué)工0,則“x+j，=O”是“二+-=一2”的()

xy

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】解法一：由工+工=-2化簡得到x+］，=0即可判斷；解法二：證明充分性

yx

可由x+.r=。得到、=一丁，代入二+三化簡即可，證明必要性可由士-工=-2去分

yxyx

XV

母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由一+二通分后用配湊法得到

yx

XV

完全平方公式，再把x+J'=O代入即可，證明必要性可由一+二通分后用配湊法得

yx

到完全平方公式，再把'+.1'=0代入，解方程即可.

【詳解】解法一：

因為R'H。，且TV=-2，

所以X2+=-2xy;,即X：-丁+2xy=0,即(x+丁廠=0,所以x+y=Q.

所以y+丁=0”是一"+?=一2"的充要條件.

解法二：

充分性：因為早'工0,且x+F=0,所以x=-F,

所以充分性成立；

必要性：因為孫=0,且三+工=-2,

yx

所以A-2+J2=-Zxv,即A-+1-+2iy=0,即ix+y）"=0,所以x+y=0.

所以必要性成立一

所以“x+y=0”是一的充要條件.

解法三：

充分性:因為歲。0,且X+F=0,

心x1+j-+2x.r-2取=(x+yV-2x),_-2AT

所以IX一二V=——A'-—1-

yx邛'般，邛，邛，

所以充分性成立；

必要性：因為個H。，且：-三=-2,

所以*=qR+P+2X.T-2、T(x+if-2xi'(x+3'f、、

邛'邛，邛，

所以士U=0,所以（x+?=0,所以x+.y=o,

JH,

所以必要性成立.

所以“x+y=0”是“J工=-2”的充要條件.

yx

故選：c

9.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒出

建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等

的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若-宓=25m,3C=HD=10m,且等腰

梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面.傷。的夾角的正切值均為理，

則該五面體的所有棱長之和為（）

AH

A.102mB.112m

C.117mD.125m

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)線面角的定義求得tanAEMO=tanNEG。=羋,從而依次求EO,

EG,EB,EF,再把所有棱長相加即可得解.

【詳解】如圖，過E做EO,平面■曲8,垂足為O,過E分別做EG_8C,

EM_AB,垂足分別為G,￡,連接OG,OM,

由題意得等腰梯形所在的面'等腰三角形所在的面與底面夾角分別為NEMO和

乙EGO,

./]A

所以tanAEMO=tanNEG。=力.

5

因為石。一平面.四CD,3。u平面一加8,所以EO_BC,

因為EG_BC,EQEGu平面HOG,EOcEG=E,

所以3cx平面EOG,因為。Gu平面EOG,所以8C_L0G,.

同理：又.BMLBG,故四邊形。MBG是矩形，

所以由3C=10得OM=5,所以上。=困，所以O(shè)G=5,

所以在直角三角形EOG中，EG=&EO-OG：=小何：-5：=回

在直角三角形EBG中，BG=OM=5,EB=JEG、BG-=J（屈j>5：=8）

又因為EF=.43-5-5=25-5-5=15,

所有棱長之和為2x25+2xlO-15-4x8=117m.

故選：C

10-已知數(shù)列｛卬｝滿足aa=3q-6廣+6G7=L23…），則（）

4

A當(dāng)。1=3時，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)就40,使得a恒成立

B.當(dāng)q=5日寸，｛q｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)"46,使得恒成立

C.當(dāng)q=7B寸，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)M>6,使得。>期恒成立

D.當(dāng)q=9時，｛4｝為遞熠數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得％恒成立

【答案】B

【解析】

【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故

可判斷B的正誤一

法2：構(gòu)造/（X）=：（X-6『+6-X,利用導(dǎo)數(shù)求得了（X）的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)

歸納法判斷得各選項4所在區(qū)間，從而判斷｛%｝的單調(diào)性；對于A,構(gòu)造

h（x）=^x3-|x2+26x-47（x<3）,判斷得見“<卬一1,進(jìn)而取僧=-[M]+4

推得不恒成立；對于B,證明4所在區(qū)間同時證得后續(xù)結(jié)論；對于C,記

%=logs210gl（河-6）+1,取〃?=卜與]+1推得a>」H不恒成立：對于D,構(gòu)

-4-

1Q

造83=7：3-/2+26尸49（近9）,判斷得4”>%+1,進(jìn)而取切=[切+1

42

推得小<M不恒成立.

【詳解】法1：因為/.1=:（4一6廣+6,故小“一6=:4一6）3,

對于A,若。1=3,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：64-3即/43,

證明：當(dāng)〃=1時，-6=-3<-3,此時不等關(guān)系a”W3成立;

設(shè)當(dāng)”=左時，%-63-3成立，

則生+1-6=｛%一6『ej-54.---；,故g+i-6&-3成立，

由數(shù)學(xué)歸納法可得4W3成立.

13「12

而。1-?！?7(0"_6)'_(q_6)=(%—6)~(a-6)-1,

4L4n

1、95

￡4—6)-1>--1=->0,?！耙?<0,故能+]-4<0,故。斕*:%，

444

故｛q｝為減數(shù)列，注意/7-64-3<0

故％.1-6=：(4-6『=(q-6)x-6『W-6),結(jié)合^+1-6<0,

444

所以6—用[(6-4),故6-1后30「，故4+146-3弓廣，

若存在常數(shù)M<0,使得。恒成立，貝"6-3弓；>M,

6-U,QY**-1,.6-3/

故土/>《；，故〃<1+1安—,故a,>A/恒成立僅對部分〃成立，

故A不成立一

對于B,若。】=5,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：-134一6<0即544<6,

證明：當(dāng)〃=1時，-1<^-6=-1<0,此時不等關(guān)系5Kq<6成立；

設(shè)當(dāng)〃=左時，54at<6成立，

則一6=；(小一6『e；-?0；,故一14%-6<0成立即

由數(shù)學(xué)歸納法可得5<%<6成立.

4L4

：

i(a?-6)-l<0,%-6<0,故%.i-%>0,故a6>an,故｛4｝為增數(shù)列,

4

若初'=6,貝|」外<6恒成立，故B正確.

對于C,當(dāng)。1=7時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：0<4-6K1即6<qK7,

證明：當(dāng)〃=1B寸，0<^-6<1,此時不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)〃=左時，6<a*W7成立,

則%,1-6=才/-6)%；0：小，故0<g+「641成立即6</+]?7

由數(shù)學(xué)歸納法可得6<&W7成立.

而%+1-4=(4-6)-(a?-6)*-l<0,故%一〈a”，故｛%｝為減數(shù)列，

_4

121

又。.I-6=(4-6)x/%—6)<-(^-6),結(jié)合%「6>0可得：

44

6smi-6)百，所以%+146+；j；，

若名.1?6+；弓，，若存在常數(shù)河>6,使得。恒成立，

則M-6￡；；恒成立，故〃§08；如一6),〃的個數(shù)有限，矛盾，故c錯誤.

對于D,當(dāng)。]=9時，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：%-623即/29,

證明：當(dāng)〃=1時，4—6=323,此時不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)〃=用時，%之9成立,

1.）一

則小.1一6=:（仁一69之與>3,故生［29成立

44

由數(shù)學(xué)歸納法可得之9成立.

而4.1—4=(%-6)>0,故…a,［，故｛q｝為增數(shù)列,

1oQ

又仆--6戶z*-6）結(jié)合卬-6>。可得:

《廣，所以26+3

*一6>(q一6)

若存在常數(shù)M>0,使得%<M恒成立，則”>6+3標(biāo)；，

..,；M-6

故M>6+3故"I*一+1,這與〃的個數(shù)有限矛盾，故D錯誤一

7\5

故選：B.

法2：因為小-勺力與一69+6—a*=￥；-|a；+26%-48,

1Q3

令〃幻土一行+2618,則…）丁。+26,

空或x>6+更

令外》）>0,得0<x<6

33

"（小。，得6寺—事

所以/（X）在|T\6+j

上單調(diào)遞增，在

,2426

0------.OH------上單調(diào)遞減,

3'3

1N97

令/(x)=0,貝一1廣+26t-48=0,即;(x-4)(x—6)(x—8)=0,解得

424

x=4或A；=6或x=8>

注意到4<6—范<5,7<6+當(dāng)<8,

33

所以結(jié)合的單調(diào)性可知在(Y\4)和電8)上/(x)<0,在(46)和(&+x)

±/(x)>0,

對于A,因為q,+i=:(%-6)3+6,貝ij4+]-6=：(an-6『，

當(dāng)“=[時，q=3,a?-6=：(q—6)'<-3,貝ija?<3,

假設(shè)當(dāng)〃=工時,&<3,

當(dāng)〃=H1時，-6=i(^-6)3<i(3-6f<-3,貝也一<3,

44

綜上：an<3,即&e(T\4),

因為在(一E4)上/(x)<0,所以a””<an,則｛0｝為遞減數(shù)列，

因為-%+1=：(凡-61+6-。*+1=:”：-￡；+264-47，

442

]90

令方(x)=—.V3—x'+26x—47(x43),則"(x)=—x2—9x+26,

424

—9/

因為修X)開口向上，對稱軸為-3~,

幺X-

4

所以"⑴在(一與3]上單調(diào)遞減，故“⑴N"3)=：X3、9X3+26>0,

此時,取河=6〉滿足題意,故B正確；

131

對于C,因為=?。╝—6）'+6>貝gz-6=］（%一6）\

44

注意到當(dāng)q=7時,%=：（7-6>+6=1+6,%=?1+6-6卜6=（：）+6,

猜想當(dāng)時，2=/弓1、;押f+6,

當(dāng)〃=2與〃=3時，生=：+6與%=(1)+6滿足/.+6,

假設(shè)當(dāng)?7=上時，仆三:；+6,

當(dāng)77=上+1時，所以

所以％16萬，

因為在(6,8)上/(x)<0,所以44V卬，則｛q｝為遞減數(shù)列,

假設(shè)存在常數(shù)M>6,使得。>A/恒成立,

記叫=log3210gl（3/-6）+1,^w=[w0]+l,其中

W0-1<[W0]<?M0!W0eN\

則3m>3?=21og](M—6)+1,

4

故3(3"-1)>呵(河-6),所以仁『<M-6,即(5)‘)+6<M，

所以a<M>故a>A」不恒成立,故C錯誤：

對于D,因為。i=9,

當(dāng)”=1時，q-6=:3-6)3=：>3,則%>9,

44

假設(shè)當(dāng)》=上時，生23,

33

當(dāng)〃=H+1時，?i+1-6=i(^-6)>l(9-6)>3,則%]>9,

44

綜上：a?>9,

因為在(&+口上/(刈>0,所以所以｛4｝為遞增數(shù)列，

131O

因為1一凡一1=—(凡一6|+6—小-1二—4：一一a；+26q2-49)

441

103

^,g(x)=—A*3--x2+26.V-49(x>9)>貝ijg'(x)=—大，-9.丫+26)

424

X=-_ZL=6

因為g'(x)開口向上，對稱軸為一一)乂3一，

/X-

4

所以？(幻在[幺+8)上單調(diào)遞增，故g'(x)Ng'(9)=：x92-9x9+26>0,

4

10

^g(x)>g(9)=-x93--x9:+26x9-49>0,

42

故4+i-%-1>0,即4+i>4+1,

假設(shè)存在常數(shù)-V>o,使得3<M恒成立，

取次+其中且[M]eZ,

因為%+i>q+1,所以的>q+Lq>%+L…勺叼1

上式相加得，”"網(wǎng)>q+也］>9+M-1>M,

則冊=與"卜1>M，與0”<河恒成立矛盾，故D錯誤.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項給出與通項性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題,

再根據(jù)所得命題結(jié)合放縮法得到通項所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界

或下界是否成立.

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分.

11.已知函數(shù)/Cr)=4'+log2X,則/：j=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，把x代入，利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算計算作答.

2

【詳解】函數(shù)/(x)=41+log2X,所以/(b=4'+log==2-1=1-

故答案為：1

12.已知雙曲線C的焦點為(-2,0)和QP),離心率為0,則C的方程為

【答案】^-11=1

22

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線。的實半軸、虛半軸長，再寫出C的方程作答.

【詳解】令雙曲線。的實半軸、虛半軸長分別為。石，顯然雙曲線C的中心為原點,

焦點在x軸上，其半焦距「=2,

由雙曲線。的離心率為0,得：=&，解得［=&，則》=廬/=#，

所以雙曲線C的方程為工-二=L

22

故答案為：￡-21=1

22

13.已知命題P:若生夕為第一象限角，且a>月，貝ijtana>tan夕.能說明p為假

命題的一組名￡的值為a=,月=.

【答案】0.—-

43

【解析】

【分析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性以及任意角的定義分析求解.

【詳解】因為/（x）=tanx在;；0,；；上單調(diào)遞熠，若,則

tan%<tan片，

取二=藥兀+%.尸=2與兀+注.自.&GZ,

則tan=tan（2^71+^）=131）^.tan/?=tan（2fc,7i+/^）=tan/^,即

tana<tan產(chǎn)，

令椅>曷，則。-￡=（%"+%）-（2月兀+鳳）=2（左-質(zhì)）冗+（%-反），

,JT

因為27L-y<a0-^0<0,則

&-￡=2（后一齡）71+（口0-60）>—3?>0,

即左1>&,則a>J3.

不妨取用=L品=0,=不7，即a="3P—~滿足題意.

4343

故答案為：號（.

43

14.我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于注碼的、用來

測量物體質(zhì)量的??環(huán)權(quán)二已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項數(shù)為9

的數(shù)列｛以｝,該數(shù)列的前3項成等差數(shù)列，后7項成等比數(shù)列，目

q=12,%=192,則出=｝數(shù)列｛q｝所有項的和為

【答案】①一48②.384

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項公式列式求解外夕，進(jìn)而可求

得結(jié)果；方法二：根據(jù)等比中項求在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求

解.

【詳解】方法一：設(shè)前3項的公差為d,后7項公比為q>0,

4192

貝1/=_￡=—=16,且q>0,可得g=2,

a512

則。3=1+〃=即l+2d=3,可得d=l,

q~

空1：可得。3=3.%=改"=48,

空2：q+q+L=1+2+3+3x2+?—b3x2、=3H———--=384

方法二：空1：因為｛4｝,3±747為等比數(shù)列，則/=丹丹=12x192=48，

且例>0,所以=48;

r

又因為片=小。-，則T="=3；

生

空2:設(shè)后7項公比為q>0,則/=些=4,解得q=2,

可得

3(q+用)<a-a^q3-192x2

々1+Q]-a3=--------=6,一。4一"5—一熄彳—Qg-cig=--3-----=381

2'1-g1-2

所以q+a：+L+%=6+381—q=384.

故答案為:48;384.

A'+2,X<-az

15.設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=■--F,-a<x<az,給出下列四個結(jié)論:

->/x-l=x>a.

①/⑶在區(qū)間g—L+8）上單調(diào)遞減；

②當(dāng)。之1時，/⑶存在最大值；

③設(shè)"X[J（M））（再（巧J（巧））（毛>a）,則

④設(shè)尸（2J5））（為<-n）sQ（x4：/（x4））（x4>-a）.若|尸。|存在最小值，則a

的取值范圍是（o：g.

其中所有正確結(jié)論的序號是____________.

【答案】②③

【解析】

【分析】先分析/（X）的圖像，再逐一分析各結(jié)論；對于①，取結(jié)合圖像即

可判斷；對于②，分段討論/（”的取值范圍，從而得以判斷；對于③，結(jié)合圖像可

4

知|孫1的范圍；對于④，取。=,，結(jié)合圖像可知此時|「。|存在最小值，從而得以

判斷.

【詳解】依題意，a>0,

當(dāng)x<-a時，/（x）=x+2,易知其圖像為一條端點取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)—aWxWa時，f（x）=4a2-x2,易知其圖像是，圓心為（0。，半徑為。的圓

在x軸上方的圖像（即半圓）;

當(dāng)時，/（x）=-^-l,易知其圖像是一條端點取不到值的單調(diào)遞減的曲線;

對于①，取。=白則/（X）的圖像如下，

顯然，當(dāng)xe（aT+x）,即衿‘一：田;時，“X）在，：（）'；上單調(diào)遞熠，故

①錯誤；

對于②，當(dāng)4之1時,

當(dāng)*〈一。日寸，/（A;）=x+2<-n4-2<15

當(dāng)一。WxK。時，/（x）=Ja：-f顯然取得最大值"；

當(dāng)x>a時，/（X）=-5^c-l<-7n-l<-2,

綜上：/（X）取得最大值。，故②正確;

對于③，結(jié)合圖像，易知在工=。，一與>。且接近于處,

3/（再J（再））（再Wa）,N（巧J（巧））（巧>。）的距離最小，

當(dāng)再=o時，==/（xJ=O,當(dāng)電＞。且接近于x=。處，n=/（均）＜一而一1，

此時，|爾|＞州-心+故③正確；

因為尸（與：/（巧》（為＜一。），。（％：/（M））（羽N-。），

x＜-^:上，點。在

結(jié)合圖像可知,

同時伊。|的最小值為點。到〃x）=x+2；x＜-g；的距離減去半圓的半徑。，

此時，因為/（x）=丁=》+2卜＜一］；的斜率為1,貝肚QP=T,故直線。尸的方

程為.v=-x,

v=-xIx=-1

聯(lián)立.d解得1，貝UP—LI,

■v=x+2■r=l

顯然尸(-U)在〃x)=x+2；x<T；上，滿足I尸到取得最小值,

即a=1■也滿足|尸。|存在最小值，故。的取值范圍不僅僅是,故④錯誤.

故答案為：②③.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵是分析得了(x)的圖像，特別是當(dāng)-aSxS。時,

/(x)=JJ—F的圖像為半圓,解決命題④時，可取特殊值進(jìn)行排除即可.

三、解答題：本題共6小題，共35分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明翊

或演算步驟.

16.如圖，在三棱錐P-ABC中，尸H一平面J5C,上4=一必=3C=1,PC=也.

P

(1)求證：5c1平面R45;

(2)求二面角X-尸C—B的大小.

【答案】3)證明見解析

⑵-

3

【解析】

【分析】3)先由線面垂直的性質(zhì)證得尸a_3C,再利用勾股定理證得3C_P3,

從而利用線面垂直的判定定理即可得證；

(2)結(jié)合3)中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面產(chǎn)HC與平面P3C的

法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.

【小問1詳解】

因為PA一平面."G5C仁平面.曲C,

所以產(chǎn)一4_L3C,同理PA±.1B,

所以AR必為直角三角形，

又因為尸3=，尸/+〃=&，BC=LPC=5

所以尸獷+3C：=PC一則&PBC為直角三角形，故BC—PB,

又因為3C/PT,PACPB=P,

所以3。1平面尸也?.

【小問2詳解】

由(1)3c工平面尸A3,又且Bu平面尸且5,貝

以A為原點，48為x軸，過A旦與3C平行的直線為丁軸，.4?為二軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(Q,050)J?O」)C(LL0):即。0),

所以AP=(0.051):三=QL0),前=0L0)=PC=(11-1),

—m-AP=0=i=0,

設(shè)平面RWC的法向量為物二J,貝力一，即n

m-AC=0I2+川=°，

令甬=1,則M=-1，所以m=(1,-1,0),

-、nBC=0（%=0

設(shè)平面尸5c的法向量為〃=（電,.巧,二2），貝H—，即A

nPC=01毛+%一二2=0

令為=1,則=2=1,所以n=(1,0.1))

所以3何/—力—\=7W麗-W=不1正三1，

又因為二面角A-PC-B為銳二面角，

所以二曲角A—PC—B的大小為—.

…?冗

17.設(shè)函數(shù)/(x)=sin@vcos0+cos0Ksin%0>OJ°|<5

（1）若f⑨=_￡,求。的值.

（2）已知“X）在區(qū)間-泉營上單調(diào)遞增，/；'y）=L再從條件①、條件②、

條件③這三個條件中選擇一個作為已知,使函數(shù)，㈤存在，求磯。的值.

條件①：/

條件②：/=-1

n冗

條件③：/（X）在區(qū)間—彳「行上單調(diào)遞減.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件

分別解答，按第一個解答計分.

【答案】⑴0一+

JT

（2）條件①不能使函數(shù)存在；條件②或條件③可解得0=1,<P=--.

0

【解析】

【分析】（1）把x=0代入/⑶的解析式求出sin。，再由IC即可求出。的值；

（2）若選條件①不合題意；若選條件②，先把“外的解析式化簡，根據(jù)/（x）在

~）一

-1=三］上的單調(diào)性及函數(shù)的最值可求出T,從而求出。的值;把。的值代入/㈤

的解析式，由，（一（）=-1和10Km即可求出。的值；若選條件③：由/（1）的單

調(diào)性可知/?。┰凇?--處取得最小值7,則與條件②所給的條件一樣，解法與條

件②相同.

【小問1詳解】

.71

因為f(x)=sincoxcos(p+cosoxsin(pzco>OJ^|<—

、"</3

所以/(O)=sin((y-0)cos^+cos(<y-0)sin^=sin^?=---->

2

因為降所以展-千

【小問2詳解】

因為/(x)=sinrvxcos^+cos6)xsin(pzco>O.|^|<-y

所以/（X）=sin（0X+。>OJ01<g,所以/（X）的最大值為1,最小值為-1.

若選條件①:因為/（A）=sin（"v+。I的最大值為1,最小值為-1,所以f\||=V2

無解，故條件①不能使函數(shù)”X）存在；

若選條件②：因為/（X）在—土與上單調(diào)遞增，目/（與）=1,/［一：）=一1

?1S1TInJI?IM2n,

所以5=彳一！1=匕所以T=2n,co=—=l,

所以/(x)=sin(x+0,

又因為/；—g；=-1,所以sin；T+0；=-l

所以一三+0=_1+2版狀eZ,

7TIT7T

所以。=一一+2AJIkeZ,因為|0|<—，所以。=一下.

6:26

所以0=1,0=一$;

0

若選條件③：因為/（工）在一?,老上單調(diào)遞增，在一^「冷上單調(diào)遞減,

3J/3

所以/（力在、=后處取得最小值-】，即/；q;=-L

以下與條件②相同.

18.為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化

數(shù)據(jù)，如下表所示.在描述價格變化時，用表示"上漲”，即當(dāng)天價格比前一天價

格高；用表示"下跌，即當(dāng)天價格比前一天價格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價

格與前一天價格相同.

時段價格變化

第1

天到-++0---.0—0--+-+00+

第20

（1）試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”的概率；

（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的.在未來的日子里任取4天，試估

計該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌工1天“不變”的概率；

（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格變化的影響.判斷第41天該農(nóng)

產(chǎn)品價格“上漲下跌”和“不變”的概率估計值哪個最大.（結(jié)論不要求證明）

【答案】（1）0.4

（2）0.168

（3）不變

【解析】

【分析】（1）計算表格中的+的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計算；

（2）分別計算出表格中上漲，不變，下跌的概率后進(jìn)行計算；

（3）通過統(tǒng)計表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第41天的情況.

【小問1詳解】

根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，40天里，有16個+,也就是有16天是上漲的，

根據(jù)古典概型的計算公式，農(nóng)產(chǎn)品價格上漲的概率為：得=04

【小問2詳解】

在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概

率分別是04,0.35,025,

于是未來任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是

C；X0.42xdx0.35x0.25=0.168

【小問3詳解】

由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲

的有4次，不變的有9次，下跌的有2次，

因此估計第41次不變的概率最大.

19.已知橢圓石:A+:=l(a>b>0)的離心率為正，4C分別是E的上、下

a"b"3

頂點，B,。分別是石的左、右頂點，|HC|=4.

(1)求石的方程；

(2)設(shè)P為第一象限內(nèi)￡上的動點，直線產(chǎn)。與直線交于點“，直線尸H與直

線J=-2交于點N.求證：MN//CD.

【答案】⑴工+二=1

94

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(D結(jié)合題意得到￡=且,21=4,再結(jié)合『-，=配，解之即可；

a3

<2)依題意求得直線3C、尸Z)與24的方程，從而求得點的坐標(biāo)，進(jìn)而求得

,再根據(jù)題意求得《口>得到k\r=^CD)由此得解.

【小問1詳解】

依題意，得e=￡=立，則c=@a,

a33

又WC分別為橢圓上下頂點，|一4。|=4,所以25=4,即b=2,

,5,4,

所以/_J=b]=4,即d=4,貝ij『=9>

所以橢圓E的方程為工+工=1.

94

【小問2詳解】

因為橢圓E的方程為三+二=1,所以d(0,2),C(Q—2)金(一3⑼刀(3,0),

94

因為P為第一象限石上的動點，設(shè)尸(孫〃)(0<加<3,0<〃<2),則為1+*=

0+227

易得%=一二=-三，則直線BC的方程為y=--A-2,

—3—。33

左心===/=，則直線尸。的方程為『=」~；(工一3),

m—3m—3m—3

3(3n—2w+6)

3?7+2W-6

即

-12/7

11=

3〃+2w-6

：

_3_(3__;7_-_2_W__+_6_)___-_1_2_”__,

、3n+2m-6'3n+2m-6!f

而"?-=三=匕，則直線PH的方程為J==x+2,

w-0mm

令”=-2,則一2=2二24+2,解得》=士，即A；二^

mn-2kn-2

又￡+]=】，則蘇=99/

8/=72—18八

4

grp,卜=3〃+2加-6+2=_______+_______

'M3(3/7—2w+6)-4?w(9/7-6w+18)(?7-2)+4W(3H+2W-6)

3〃+27w-677—2

-6??2+4W?7-8w+24_-6??:4-4w/7-8w4-24

9??"+8w*+6wn-12w—3697廣+72—18??2+6m〃—12tw—36

-6w2+4?wn-8m+24_2(-3w2+Imn-4w+12)_2

一9獷+6如7—12〃7+363(—+2〃?77—4AW+12)3'

又?D=7~~r=三>即=kg>

顯然，MV與CD不重合，所以MVVCZ)-

20.設(shè)函數(shù)/(x)=x—feK+。曲線〕=/>?)在點Q,/(D)處的切線方程為

y=-A+1.

<1)求。力的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(力=f(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求“X)的極值點個數(shù).

【答案】⑴a=-lb=l

(2)答案見解析(3)3個

【解析】

1分析】(D先對/(x)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到/Q)=0,/XD=T,從

而得到關(guān)于。力的方程組，解之即可；

(2)由(1)得g(xl的解析式，從而求得g'(x),利用數(shù)軸穿根法求得g'(x)<。與

g'(x)>0的解，由此求得g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)結(jié)合(2)中結(jié)論，利用零點存在定理，依次分類討論區(qū)間(一力刀)，(0,再)，

(小天)與(X"+X)上f'[X)的零點的情況，從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求

得了(X)的極值點、個數(shù).

【小問1詳解】

因為/(x)=x—/一叱XWR,所以/?)=1-(3/+一)產(chǎn)\

因為/(M在(L/(D)處的切線方程為J=--v+1,

所以/(1)=-1+1=0,八1)=—"

1—F=0o=-1

則［l_(3+a)eA,=-T解得、b=］，

所以a=Tb=L

【小問2詳解】

由⑴得g(x)=/V)=l-(3x-)e3】(xeR),

則g'(x)=-x(R-6x+6)e-x+1,

令—-6x+6=0，解得工=3士/，不妨設(shè)』=3-6>電=3+W，則0<x.<x：>

易知e-x+】>0恒成立，

所以令g'(X)<0,解得0<x<再或x>4;令g'(x)>0,解得x<0或\<-v<x.；

所以g(x)在(O3再),(孫+8)上單調(diào)遞漏在(F⑼,(再多)上單調(diào)遞增,

即g(XI的單調(diào)遞減區(qū)間為何3-布)和(3+/用)，單調(diào)遞增區(qū)間為(T。和

(3-/3+?

【小問3詳解】

由⑴得/(x)=x-x5(xeR),r(x)=l-(3x2-x3)e-I+\

由(2)知/'(刈在(。再)，(受,+8)上單調(diào)遞減，在(一凡0),(西多)上單調(diào)遞

增，

當(dāng)x＜0時，/（-l）=l-4e2＜0,當(dāng)（0）=1＞0,即/*（一1），（0）＜0

所以/'（X）在（一年0）上存在唯一零點，不妨設(shè)為電，則-1＜電＜。，

此時，當(dāng)三時，/⑶＜0,則單調(diào)遞減；當(dāng)七＜4＜。時，/V）＞。，則

/（刈單調(diào)遞增；

所以/（x）在［-n0）上有一個極小值點：

當(dāng)xe（04）時，/'（X）在（。再）上單調(diào)遞減,

則門再）=/'（3-道卜/'⑴=1-2＜0,故，（0）口再）＜0,

所以f\x）在（0,xj上存在唯一零點，不妨設(shè)為。，則0＜毛＜K,

此時，當(dāng)°?！从饡r，外、）＞0,則/（X）單調(diào)遞增；當(dāng)為＜X＜再時，/⑴＜0,

則/（X）單調(diào)遞減；

所以/（X）在（0巧）上有一個極大值點；

當(dāng)xe（&巧）時,/'（%）在（毛，天）上單調(diào)遞增,

則/（巧）=〃3+4）＞〃3）=1＞0,故/'（再）/（巧）