2024年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)試卷含答案

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2024年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)是正確的.

1．（3分）2024的相反數(shù)是（）

A．2024 B．﹣2024 C． D．

2．（3分）計(jì)算（1﹣3）0的結(jié)果是（）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4

3．（3分）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）

A． B． C． D．

4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A．a(chǎn)+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．a(chǎn)5÷a＝a4

5．（3分）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）

A．55° B．45° C．35° D．30°

6．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）

A．

B．

C．

D．

7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（1，﹣1）向右平移2個(gè)單位后，得到的點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）

8．（3分）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（）

A．4 B． C．6 D．

9．（3分）某校開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽，其中8名同學(xué)的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）

A．眾數(shù)是92 B．中位數(shù)是84.5

C．平均數(shù)是84 D．方差是13

10．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．則＝（）

A． B．1 C．2 D．3

11．（3分）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房CD的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為30°，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（）

A．25米 B．25米 C．25米 D．50米

12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩實(shí)根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，則下列結(jié)論中正確的有（）

①2a+b＝0；

②拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；

③a＜0；

④若m（am+b）＜4a+2b，則0＜m＜1．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上。

13．（3分）使式子有意義的x的取值范圍是．

14．（3分）將﹣2，，π，0，，3.14這6個(gè)數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是．

15．（3分）如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綡＝．

①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)；

②杯口直徑D；

③杯底直徑d；

④杯沿高a．

16．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)AD∥BC時(shí)，∠BAE的度數(shù)是．

17．（3分）如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F，若AB＝6，BC＝8，則cos∠ABF的值是．

三、解答題（本大題共7個(gè)小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.

18．（12分）（1）計(jì)算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；

（2）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．

19．（8分）某中學(xué)對(duì)八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)，隨機(jī)抽取了參加15米折返跑的部分學(xué)生成績（成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí)），并繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

（1）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（2）若該校八年級(jí)學(xué)生有300人，試估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生15米折返跑成績不合格的人數(shù)；

（3）從所抽取的優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生A、B、C、D、E中，隨機(jī)選取兩人去參加即將舉辦的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學(xué)的概率．

20．（8分）如圖，點(diǎn)O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）求證：△ODE≌△OBF；

（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，DE＝15cm，分別連接BE，DF．求此時(shí)四邊形BEDF的周長．

21．（9分）某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%，結(jié)果提前15天完成鋪設(shè)任務(wù)．

（1）求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？

（2）負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元．該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？

22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M（，4），N（n，1）兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△OMN的面積；

（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN．當(dāng)PM+PN的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是BA延長線上的一點(diǎn)，連接AC，∠PCA＝∠B．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若sin∠B＝，求證：AC＝AP；

（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的長．

24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖①，若點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PQ的長度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且∠CQD＝2∠OCQ．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得△BDE為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2024年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題3分，共36分）每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且僅有一個(gè)是正確的.

1．（3分）2024的相反數(shù)是（）

A．2024 B．﹣2024 C． D．

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得．

【解答】解：2024的相反數(shù)是﹣2024，

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

2．（3分）計(jì)算（1﹣3）0的結(jié)果是（）

A．﹣2 B．0 C．1 D．4

【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】解：原式＝（﹣2）0＝1．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查零指數(shù)冪，掌握“任何不為零的零次冪等于1”是正確解答的關(guān)鍵．

3．（3分）下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）

A． B． C． D．

【分析】根據(jù)主視圖的特點(diǎn)解答即可．

【解答】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、圓柱的主視圖是矩形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、三棱柱的主視圖是長方形，中間還有一條虛線，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、正方體的主視圖為正方形，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關(guān)鍵是掌握主視圖所看的位置．

4．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）

A．a(chǎn)+3b＝4ab B．（a2）3＝a5 C．a(chǎn)3?a2＝a6 D．a(chǎn)5÷a＝a4

【分析】根據(jù)同類項(xiàng)的定義，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪乘除法的計(jì)算方法逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：A．a(chǎn)與3b不是同類項(xiàng)，不能合并運(yùn)算，因此選項(xiàng)A不符合題意；

B．（a2）3＝a6，因此選項(xiàng)B不符合題意；

C．a(chǎn)3?a2＝a5，因此選項(xiàng)C不符合題意；

D．a(chǎn)5÷a＝a4，因此選項(xiàng)D符合題意；

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪乘除法，掌握同類項(xiàng)的定義，冪的乘方與積的乘方，同底數(shù)冪乘除法的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．

5．（3分）如圖，直線AB，CD交于點(diǎn)O，OE⊥AB于O，若∠1＝35°，則∠2的度數(shù)是（）

A．55° B．45° C．35° D．30°

【分析】已知OE⊥AB，∠1＝35°，可得∠AOC的度數(shù)，因?yàn)閷?duì)頂角∠2＝∠AOC，即得∠2的度數(shù)．

【解答】解：∵OE⊥AB，∠1＝35°，

∴∠AOC＝55°，

∴∠2＝∠AOC＝55°，

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線、對(duì)頂角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握垂線、對(duì)頂角的性質(zhì)．

6．（3分）不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）

A．

B．

C．

D．

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．

【解答】解：解不等式3x﹣2≥4，得：x≥2，

解不等式2x＜x+6，得：x＜6，

則不等式組的解集為2≤x＜6，

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

7．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（1，﹣1）向右平移2個(gè)單位后，得到的點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（1，1） B．（3，1） C．（3，﹣1） D．（1，﹣1）

【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．

【解答】解：∵將點(diǎn)P（1，﹣1）向右平移2個(gè)單位后，

∴平移后的坐標(biāo)為（3，﹣1），

∴得到的點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（3，1）．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

8．（3分）如圖，⊙O的周長為8π，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O．則△OAB的面積為（）

A．4 B． C．6 D．

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．

【解答】解：設(shè)半徑為r，由題意得，2πr＝8π，

解得r＝4，

∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，

∴∠AOB＝＝60°，

∵OA＝OB，

∴△AOB是正三角形，

∴弦AB所對(duì)應(yīng)的弦心距為OA＝2，

∴S△AOB＝×4×2＝4．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質(zhì)，直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．

9．（3分）某校開展了紅色經(jīng)典故事演講比賽，其中8名同學(xué)的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關(guān)于這組數(shù)據(jù)，下列說法中正確的是（）

A．眾數(shù)是92 B．中位數(shù)是84.5

C．平均數(shù)是84 D．方差是13

【分析】找出這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的即為眾數(shù)，這組數(shù)據(jù)排列后找出最中間的兩個(gè)數(shù)求出平均數(shù)即為中位數(shù)，求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用方差公式求出方差，判斷即可．

【解答】解：排列得：81，82，82，83，85，86，89，92，

出現(xiàn)次數(shù)最多是82，即眾數(shù)為82；

最中間的兩個(gè)數(shù)為83和85，平均數(shù)為84，即中位數(shù)為84；

（81+82+82+83+85+86+89+92）÷8＝85，即平均數(shù)為85；

×[（81﹣85）2+2（82﹣85）2+（83﹣85）2+（85﹣85）2+（86﹣85）2+（89﹣85）2+（92﹣85）2]

＝×（16+18+4+1+16+49）

＝13，即方差為13．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了方差，算術(shù)平均數(shù)，中位數(shù)，以及眾數(shù)，熟練掌握各自的計(jì)算方法是解本題的關(guān)鍵．

10．（3分）已知+＝1（a+b≠0）．則＝（）

A． B．1 C．2 D．3

【分析】由已知條件可得a+2b＝ab，將其代入中計(jì)算即可．

【解答】解：∵+＝1（a+b≠0），

∴＝1，

∴a+2b＝ab，

∴

＝

＝

＝2，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式的加減，分式的值，結(jié)合已知條件求得a+2b＝ab是解題的關(guān)鍵．

11．（3分）在數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中，某小組測(cè)量一棟樓房CD的高度（如圖），他們?cè)贏處仰望樓頂，測(cè)得仰角為30°，再往樓的方向前進(jìn)50米至B處，測(cè)得仰角為60°，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計(jì)）（）

A．25米 B．25米 C．25米 D．50米

【分析】設(shè)DC＝x米，在Rt△ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出AC，在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出BC，再由AC﹣BC＝AB＝50列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值即可．

【解答】解：設(shè)DC＝x米，

在Rt△ACD中，∠A＝30°，

tanA＝，即tan30°＝＝，

整理得：AC＝x米，

在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，

tan∠DBC＝，即tan60°＝＝，

整理得：BC＝x米，

∵AB＝50米，

∴AC﹣BC＝50，即x﹣x＝50，

解得：x＝25，

則這棟樓的高度為25米．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．

12．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0有兩實(shí)根x1＝﹣1，x2＝3，且abc＞0，則下列結(jié)論中正確的有（）

①2a+b＝0；

②拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，）；

③a＜0；

④若m（am+b）＜4a+2b，則0＜m＜1．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

【分析】依據(jù)題意，由ax2+bx+c＝0有兩實(shí)根x1＝﹣1，x2＝3，可得，從而可得8a+4b＝0，即2a+b＝0，故可判斷①；又拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝﹣＝1，進(jìn)而拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（1，a+b+c），再結(jié)合a＝﹣，b＝﹣2a＝c，可得a+b+c＝c，故可判斷②；依據(jù)題意可得c＝﹣3a，又b＝﹣2a，abc＞0，進(jìn)而可得abc＝a?（﹣2a）?（﹣3a）＝6a3＞0，從而可以判斷③；由m（am+b）＜4a+2b，故am2+bm+c＜4a+2b+c，即對(duì)于函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝m時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值，再結(jié)合a＞0，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，從而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷④．

【解答】解：由題意，∵ax2+bx+c＝0有兩實(shí)根x1＝﹣1，x2＝3，

∴．

∴②﹣①得，8a+4b＝0．

∴2a+b＝0，故①正確．

∴b＝﹣2a．

∴拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣＝﹣＝1．

∴拋物線y＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)為（1，a+b+c）．

又b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，

∴3a+c＝0，即a＝﹣．

∴b＝﹣2a＝c．

∴a+b+c＝c．

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，c），故②正確．

∵3a+c＝0，

∴c＝﹣3a．

又b＝﹣2a，abc＞0，

∴abc＝a?（﹣2a）?（﹣3a）＝6a3＞0．

∴a＞0，故③錯(cuò)誤．

∵m（am+b）＜4a+2b，

∴am2+bm+c＜4a+2b+c．

∴對(duì)于函數(shù)y＝ax2+bx+c，當(dāng)x＝m時(shí)的函數(shù)值小于當(dāng)x＝2時(shí)的函數(shù)值．

∵a＞0，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，

又此時(shí)拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越小，

∴|m﹣1|＜2﹣1．

∴﹣1＜m﹣1＜1．

∴0＜m＜2，故④錯(cuò)誤．

綜上，正確的有①②共2個(gè)．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．

二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的橫線上。

13．（3分）使式子有意義的x的取值范圍是x≥1．

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．

【解答】解：∵式子有意義，

∴x﹣1≥0，

解得x≥1．

故答案為：x≥1．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．

14．（3分）將﹣2，，π，0，，3.14這6個(gè)數(shù)分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機(jī)抽取1張，卡片上的數(shù)為有理數(shù)的概率是．

【分析】找出6張卡片中有理數(shù)的個(gè)數(shù)，除以6即可確定出所求事件的概率．

【解答】解：在﹣2，，π，0，，3.14這6個(gè)數(shù)中，

有理數(shù)為：﹣2，，0，3.14，共4個(gè)數(shù)，

則P（卡片上的數(shù)為有理數(shù)）＝＝．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了概率公式，實(shí)數(shù)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．解題的關(guān)鍵是找到6個(gè)數(shù)中有理數(shù)的情況數(shù)．

15．（3分）如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母），請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綡＝h+an．

①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)；

②杯口直徑D；

③杯底直徑d；

④杯沿高a．

【分析】如圖可知，紙杯疊放在一起后的總高度H＝杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)+杯子數(shù)量n×杯沿高a，列式即可．

【解答】解：如圖可知，紙杯疊放在一起后的總高度H＝杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)+杯子數(shù)量n×杯沿高a，

∴H＝h+an，

故答案為：h+an．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是數(shù)字的變化規(guī)律，熟練找出題目中字母間的變量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

16．（3分）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝40°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，當(dāng)AD∥BC時(shí)，∠BAE的度數(shù)是30°或150°．

【分析】當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC＝65°，由平行線的性質(zhì)可求出∠BAD＝70°，則可求出答案；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，根據(jù)∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE可求出答案．

【解答】解：當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖1所示．

∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝70°．

∵AD∥BC，

∴∠BAD＝∠ABC＝70°，

∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝70°﹣40°＝30°．

當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖2所示．

∵AB＝AC，∠BAC＝40°，

∴∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝70°．

∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝70°，

∴∠BAE＝∠BAC+∠DAC+∠DAE＝40°+70°+40°＝150°．

∴當(dāng)AD∥BC時(shí)，∠BAE的度數(shù)為30°或150°．

故答案為：30°或150°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

17．（3分）如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F，若AB＝6，BC＝8，則cos∠ABF的值是．

【分析】折疊問題優(yōu)先考慮利用勾股定理列方程，易證BF＝DF，再利用Rt△ABF求出邊長，從而求解即可．

【解答】解：∵折疊，

∴∠DBC＝∠DBF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠DBC，

∴∠DBF＝∠ADB，

∴BF＝DF，

∴AF＝AD﹣DF＝8﹣BF，

在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，

∴62+（8﹣BF）2＝BF2，

解得BF＝，

∴cos∠ABF＝＝．

故答案為：．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、折疊問題等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．

三、解答題（本大題共7個(gè)小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程.

18．（12分）（1）計(jì)算：﹣（）﹣1+（﹣5）×|﹣|；

（2）先化簡，再求值：（1﹣）÷，其中a＝2．

【分析】（1）先化簡二次根式、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和絕對(duì)值，然后根據(jù)有理數(shù)的加減法計(jì)算即可；

（2）先計(jì)算分式的減法，再計(jì)算分式的除法進(jìn)行化簡，最后代入求出答案即可．

【解答】解：（1）原式＝3﹣2+（﹣5）×

＝3﹣2﹣1

＝0；

（2）原式＝?

＝?

＝，

當(dāng)a＝2時(shí)，

原式＝＝．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，分式的化簡求值等知識(shí)點(diǎn)，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．

19．（8分）某中學(xué)對(duì)八年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)，隨機(jī)抽取了參加15米折返跑的部分學(xué)生成績（成績劃分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí)），并繪制了不完整的統(tǒng)計(jì)圖（如圖所示）．根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：

（1）請(qǐng)把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（2）若該校八年級(jí)學(xué)生有300人，試估計(jì)該校八年級(jí)學(xué)生15米折返跑成績不合格的人數(shù)；

（3）從所抽取的優(yōu)秀等級(jí)的學(xué)生A、B、C、D、E中，隨機(jī)選取兩人去參加即將舉辦的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，請(qǐng)利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學(xué)的概率．

【分析】（1）根據(jù)成績?yōu)榱己玫娜藬?shù)除以占的百分比求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出不合格的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；

（2）由樣本中成績不合格的百分比估計(jì)總體中成績不合格的百分比，乘以300即可得到結(jié)果；

（3）列出得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好抽到A、B兩位同學(xué)的情況數(shù)，即可求出恰好抽到A、B兩位同學(xué)的概率．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：12÷40%＝30（人），

∴不合格的為：30﹣（5+12+10）＝3（人），

補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：

（2）根據(jù)題意得：300×＝30（人），

則該校八年級(jí)學(xué)生15米折返跑成績不合格的人數(shù)約為30人；

（3）列表如下：

A

B

C

D

E

A

﹣﹣﹣

（A，B）

（A，C）

（A，D）

（A，E）

B

（B，A）

﹣﹣﹣

（B，C）

（B，D）

（B，E）

C

（C，A）

（C，B）

﹣﹣﹣

（C，D）

（C，E）

D

（D，A）

（D，B）

（D，C）

﹣﹣﹣

（D，E）

E

（E，A）

（E，B）

（E，C）

（E，D）

﹣﹣﹣

所有等可能的情況有20種，其中恰好抽到A、B兩位同學(xué)的情況數(shù)為2種，

則P（恰好抽到A、B兩位同學(xué)）＝＝．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹狀圖法，用樣本估計(jì)總體，以及條形統(tǒng)計(jì)圖，弄清題中的數(shù)據(jù)是解本題的關(guān)鍵．

20．（8分）如圖，點(diǎn)O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）求證：△ODE≌△OBF；

（2）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，DE＝15cm，分別連接BE，DF．求此時(shí)四邊形BEDF的周長．

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥CB，則∠OED＝∠OFB，而∠DOE＝∠BOF，OD＝OB，即可根據(jù)“AAS”證明△ODE≌△OBF；

（2）由△ODE≌△OBF，得DE＝BF，而DE∥BF，所以四邊形BEDF是平行四邊形，因?yàn)镋F⊥BD，所以四邊形BEDF是菱形，則DF+BF+BE+DE＝4DE＝60cm，于是得到問題的答案．

【解答】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD∥CB，

∴∠OED＝∠OFB，

∵點(diǎn)O是?ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，

∴OD＝OB，

在△ODE和△OBF中，

，

∴△ODE≌△OBF（AAS）．

（2）解：連接BE，DF，

由（1）得△ODE≌△OBF，

∴DE＝BF，

∵DE∥BF，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，

∵EF⊥BD，

∴四邊形BEDF是菱形，

∴DF＝BF＝BE＝DE＝15cm，

∴DF+BF+BE+DE＝4DE＝4×15＝60（cm），

∴四邊形BEDF的周長為60cm．

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，推導(dǎo)出∠OED＝∠OFB，OD＝OB，進(jìn)而證明△ODE≌△OBF是解題的關(guān)鍵．

21．（9分）某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%，結(jié)果提前15天完成鋪設(shè)任務(wù)．

（1）求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？

（2）負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元．該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？

【分析】（1）設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道（1+25%）x，根據(jù)原計(jì)劃的時(shí)間＝實(shí)際的時(shí)間+15列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

（2）設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排y名工人施工，根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率計(jì)算出原計(jì)劃的工作天數(shù)，進(jìn)而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可．

【解答】解：（1）設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道（1+25%）x＝1.25x米，

根據(jù)題意得：+15＝，

解得：x＝40，

經(jīng)檢驗(yàn)x＝40是分式方程的解，且符合題意，

∴1.25x＝50，

則原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米；

（2）設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排y名工人施工，3000÷40＝75（天），

根據(jù)題意得：300×75y≤180000，

解得：y≤8，

∴不等式的最大整數(shù)解為8，

則該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．

22．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象l與反比例函數(shù)y＝的圖象交于M（，4），N（n，1）兩點(diǎn)．

（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求△OMN的面積；

（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM，PN．當(dāng)PM+PN的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【分析】（1）依據(jù)題意，由M（，4）在反比例函數(shù)y＝上，可得k的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)，再將N代入求出N的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式；

（2）依據(jù)題意，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，由直線l為y＝﹣2x+5，可得A（，0），B（0，5），故OA＝，OB＝5，再由S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO?yN﹣×BO×xM，進(jìn)而計(jì)算可以得解；

（3）依據(jù)題意，作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接M'N交y軸于點(diǎn)P，則PM+PN的最小值等于M'N的長，結(jié)合M（，4）與M'關(guān)于y軸對(duì)稱，故M'為（﹣，4），又N（2，1），可得直線M′N為y＝﹣x+，再令x＝0，則y＝，進(jìn)而可以得解．

【解答】解：（1）由題意，∵M(jìn)（，4）在反比例函數(shù)y＝上，

∴k＝×4＝2．

∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y＝．

又N（n，1）在反比例函數(shù)y＝上，

∴n＝2．

∴N（2，1）．

設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax+b，

∴．

∴a＝﹣2，b＝5．

∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣2x+5．

（2）由題意，如圖，設(shè)直線l交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，

又直線l為y＝﹣2x+5，

∴A（，0），B（0，5）．

∴OA＝，OB＝5．

∴S△OMN＝S△AOB﹣S△AON﹣S△BOM＝×AO×BO﹣×AO?yN﹣×BO×xM

＝××5﹣××1﹣×5×

＝．

（3）由題意，如圖，作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)M'，連接M'N交y軸于點(diǎn)P，則PM+PN的最小值等于M'N的長．

∵M(jìn)（，4）與M'關(guān)于y軸對(duì)稱，

∴M'為（﹣，4）．

又N（2，1），

∴直線M′N為y＝﹣x+．

令x＝0，則y＝，

∴P（0，）．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．

23．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，點(diǎn)P是BA延長線上的一點(diǎn)，連接AC，∠PCA＝∠B．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若sin∠B＝，求證：AC＝AP；

（3）若CD⊥AB于D，PA＝4，BD＝6，求AD的長．

【分析】（1）如圖，連接OC，根據(jù)AB是⊙O的直徑，可知∠ACB＝90°，根據(jù)OB＝OC，可得∠B＝∠BCO，再根據(jù)∠PCA＝∠B，可知OC⊥PC，故PC是⊙O的切線；

（2）根據(jù)sin∠B＝，可知∠B＝30°，則∠PCA＝30°，根據(jù)∠ACB＝90°，則∠CAB＝60°，可得∠P＝30°，故∠PCA＝∠P，可證AC＝AP；

（3）設(shè)AD＝x，在Rt△ACB中，CD⊥AB，可得CD2＝AD×BD＝6x，易證△PAC∽△PCB，故PC2＝PA?PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，即（4+x）2+6x＝4（10+x），求解即可．

【解答】（1）證明：如圖，連接OC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠BCO+∠OCA＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠B＝∠BCO，

∵∠PCA＝∠B，

∴∠PCA＝∠BCO，

∴∠PCA+∠OCA＝90°，

∴OC⊥PC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）證明：∵sin∠B＝，

∴∠B＝30°，

∴∠PCA＝∠B＝30°，

由（1）知∠ACB＝90°，

∴∠CAB＝60°，

∴∠P＝∠CAB﹣∠PCA＝30°，

∴∠PCA＝∠P，

∴AC＝AP；

（3）設(shè)AD＝x，

在Rt△ACB中，CD⊥AB，

∴CD2＝AD×BD＝6x，

∵∠P＝∠P，∠PCA＝∠B，

∴△PAC∽△PCB，

∴，

∴PC2＝PA?PB＝4（6+4+x）＝4（10+x），

在Rt△PCD中，由勾股定理得PD2+CD2＝PC2，

即（4+x）2+6x＝4（10+x），

整理得x2+10x﹣24＝0，

解得x1＝2，x2＝﹣12（舍去），

故AD＝2．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)等知識(shí)，熟慮掌握這些數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．