2024版新高考新教材版高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)1-9

2024版新高考新教材版.高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第九章平

面解析幾何

9.1直線與圓

考點(diǎn)1直線的方程

1.(2014四川文,9,5分)設(shè)meR,過定點(diǎn)A的動直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P(x,y),

則PAI+IPB的取值范圍是()

A.[V5,2V5]B.[V1O,25/5]

C.[V1O,4V5]D.[2V5,4V5]

答案B直線x+my=0過定點(diǎn).■\(0,0),直線11?-廣(11+3=0過定點(diǎn)13(1,3).

①當(dāng)m=0時(shí),過定點(diǎn)A的直線方程為x=0,過定點(diǎn)B的直線方程為y=3,兩條直線互相垂直，此時(shí)P(0.3),/.

PA|+|PB|=4.

②當(dāng)M片0時(shí),直線x+my=O的斜率為二,直線mx-y-m+3=0的斜率為m.;」xm=T,.?.兩條直線互相垂直,即點(diǎn)

mm

P可視為以AB為直徑的圓上的點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，PA|+PB有最小值08.當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A,

點(diǎn)B重合時(shí),APAB為直角三角形,且IPA|2+PB12=IAB|2=10.由不等式性質(zhì)知IPA|+1PB|W

Z

2J|P4|+|PB|^2^..JPA|+1PBIe[Vio,2V5].

綜合①②得IPA+1PBIe[Vio,2V5].

評析本題考查直線的方程、兩直線垂直及不等式的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)P的軌跡.屬中檔題.

2.(2013湖南理,8,5分)在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=4,點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn).光線從點(diǎn)P出

發(fā),經(jīng)BC,CA反射后又回到點(diǎn)P(如圖).若光線QRSHAABC的重心,則AP等于()

84

A.2B.1C.-D.—

33

答案D以AB為x軸,AC為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系,由題可知B(4,0),C(0,4),A(0,0),則直線BC的方

程為x+y-4=0.

設(shè)l>(t,0)(0<t<4),由對稱知識可得點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P,的坐標(biāo)為(4,4-t),點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)

已的坐標(biāo)為(-t,0),根據(jù)反射定理可知PR就是光線RQ所在直線.由匕、匕兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線PE的方程為

y=^(xn),SAABC的重心為G,易知.因?yàn)橹匦腉6，9在光線RQ上,所以有+君C+)即

3t--4t-0.

444

所以t=o或t=",因?yàn)?<t<4,所以t=-,即AP=§,故選I).

3.(2012浙江理,3,5分)設(shè)碼&則k=1"是"直線l」:ax+2yT=0與直線L：x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A由L〃h,得費(fèi)=島，解得a=l或a=-2,代入檢驗(yàn)符合,即"a=l"是"L〃L"的充分不必要條件,

故選A.

評析本題考查兩直線平行和充要條件的判斷,考查運(yùn)算求解能力.

4.(2011浙江文，12,4分)若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直,則實(shí)數(shù)m=.

答案1

解析依題意m^O,所以由(-A)xg=-1,得m=l.

評析本題考查兩條直線垂直的充要條件,屬容易題.注意與平行的區(qū)別.

考點(diǎn)2圓的方程

L(2015課標(biāo)n理,7,5分)過三點(diǎn)人(1,3)述(4,2),(：(1,-7)的圓交丫軸于比1^兩點(diǎn),則|扉|=()

A.2&B.8C.4&D.10

答案C設(shè)圓心為P(a,b),由點(diǎn)A(1,3),C(1,-7)在圓上,知b-=-2.再由IPA|=|PB|,得a=l.則

P(1,-2),PA|=J(1-1)2+(3+2)2=5,于是圓P的方程為(x-l)“(y+2)J25.令x=0,得y=-2±2&，貝U

|MN|=!(-2+276)-(-2-2V6)I=4加.

2.(2015課標(biāo)II文,7,5分)已知三點(diǎn)A(l,0),B(0,<3),C(2,V3)，則4ABC外接圓的圓心至嫄點(diǎn)的距離為

)

答案B在平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出△ABC,易知AABC是邊長為2的正三角形，其外接圓的圓心為

1)(1,釣.因此101)1小+(第=1等.轆B-

3.(2015北京文,2,5分)圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()

A.(x-l)2+(y-l)2=iB.(x+l)2+(y+l)2=l

C.(x+l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y-l)2=2

答案D由題意得圓的半徑為血,故該圓的方程為(x-l)2+(y-l)2=2,故選D.

4.(2022全國乙，理14,文15,5分)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程

為.

答案Cr-2)2+(y-1)2=51或/+產(chǎn)4工-6)=0或f+:y2Tx-y>-0或x—2y—募=0

解析選取(0,0),(4,0),(4,2)時(shí),不妨設(shè)這三點(diǎn)分別為O,A,B,則線段QA的垂直平分線的方程為42,

線段AB的垂直平分線的方程為尸1,所以經(jīng)過這三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為(2,1),記為C,圓的半徑

r-\CO\=y/22+I2=V5,所以所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.

(F=0,

選取(0,0),(4,0),(?1,1)時(shí)，設(shè)所求圓的方程為f+V+DT+Ey+FRCD+EMQO),則16+4D+F=0,

[1+1-D+E+F=O,

(D=-4,

解得E=-6,所以所求圓的方程為小+9-4r6產(chǎn)0.

(F=0.

選取(0,0),(-1,1),(4,2)吐設(shè)所求圓的方程為9+丫2+6+&+辰0(02+￡2_4￡>0),則

8

(F=0,lD=-3一

1-4

1+1-D+E+F=O,解得＜E=_3

(16+4+4。+2E+F=0,

\F=0.

所以所求圓的方程為/+瀉％-yy=0.

選取(4,0),(-1,1),(4,2)時(shí)，設(shè)所求圓的方程為/+y2+Qx+E)，+F=o(D2+區(qū)4F>0),則

n16

°=一g，

E=-2,所以所求圓的方程為9+產(chǎn)芻-2y-y=0.

(F=一竺.

5.(2022全國甲文，14,5分)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+yA=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在OM上,則OM的方程

為

答案(x-l)2+(y+l)2=5

2Q+b-1=0,

解析解法一:設(shè)oM的方程為(x-a)2+()，而2=3(rX)),貝(3-a)2+(0-b)2=產(chǎn),解得|b=-1,

1(0-a)2+(1—b)2=r2,r=V5,

所以O(shè)M的方程為G-l)2+(y+i)2=5.

解法二：易得過(3,0)和(0,1)的直線方程為升產(chǎn)1,即x+3y-3=0.

以⑶0)和(0,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線的方程為3.r-y-4=0,聯(lián)立；二;二;'解得［二所以圓

心為(1,-1),則所求圓的半徑，=,(1-3產(chǎn)+(-1_0)2=V5,所以O(shè)M的方程為31尸+(}+1)2=5.

6.(2016天津文，⑵5分)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上,點(diǎn)M(0,遙)在圓C上,且圓心到直線2x-y=0

的距離為4早V5,則圓C的方程為.

答案(x-2)”=9

解析設(shè)圓C的方程為(x-a)2+y2=r2(a>0),

12al

由題意可得底解得所以圓C的方程為(x-2)2+y,;=9.

方法總結(jié)待定系數(shù)法是求解圓方程的常用方法,一般步驟為①設(shè)出圓的方程;②列出關(guān)于系數(shù)的方程組，

并求出各系數(shù)的值:③檢驗(yàn)各值是否符合題意,并寫出滿足題意的圓的方程.有時(shí)也可利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)

行求解.

評析本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的方程的求法，考查方程思想方法的應(yīng)

用，注意圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵.

7.(2?！?課標(biāo)I理,14,5分)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓而七二1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程為.

答案(.

解析由已知得該圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知線段AB的垂直平分線的方程為

2x-y-3=0.令y=0,得x=之所以圓心坐標(biāo)為仔,0),則半徑曰］］.故該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4+/號.

Z\Z/ZZ\Z/4

評析本題考查圓和橢圓的方程,求出圓心坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

8.(2014陜西理,12,5分)若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

答案x2+(y-l)2=l

解析根據(jù)題意得點(diǎn)(1,0)關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)(0,1)為圓心，又半徑r=l,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2+(y-l)2=l.

考點(diǎn)3直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1.(2023課標(biāo)1,6試點(diǎn)(0,—2)與圓V+y2-4x-l=0相切的兩條直線的夾角為a，則sina=()

AlB而CMDV6

444

【答案】B

【解析】方法一：因?yàn)閐+-4x-1=0,即(X-2)2+丁=5,可得圓心C(2,0),半徑r=百，

過點(diǎn)P(O,—2)作圓C的切線，切點(diǎn)、為A,B,

因?yàn)閨PC|="2+(—2『=2V2，則伊川=J\PCf-r2=6，

可得sinNAPC=￡=如j。/G_V6

一,cos/-A.PC=—=—，

2V242及4

。./A/4D廠OV10瓜V15

則sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x-----x——=------，

444

:0s2ZAPC-sin2ZAPC=-[乎）=-；<0,

cosZAPB=cos2ZAPC=<

即/APB為鈍角，

所以sina-sin（71-NAPB）=sinZAPB=-；

4

0的圓心C(2,0),半徑

過點(diǎn)P（0,—2）作圓C的切線，切點(diǎn)為A5,連接AB，

可得|PC|=,22+（-2）2=7ly[2，則|PA|=|P5|=yj\PCf一/=百，

22

因?yàn)?PA?.PBcosZAPB=C4+CB|-2C4|-CBcosZACB

且NACB=7t—NAF5,則3+3-6cosZAPB=5+5-lOcos（兀一ZAPB）,

；ZAPB-解得COSZAPB=—L<0,

即3-cosZAP5=5+5cos

4

即/APB為鈍角，則cosa=cos（兀一NAPB）=-cos/APB=；，

且。為銳角，所以sina=廬嬴幾*

4

方法三：圓燈+丁-4》一1=0的圓心。（2,0）,半徑r=J5，

若切線斜率不存在，則切線方程為y=0,則圓心到切點(diǎn)的距離d=2>r，不合題意;

若切線斜率存在，設(shè)切線方程為丁="一2,即"一y-2=0,

則?，整理得%2+8左+1=0，且△=64—4=60>0

Vv+i

設(shè)兩切線斜率分別為K,則匕+女2=-8,女*2=1，

可得"_七|=J（匕+&）2-4秘2=2V15，

~|匕一幺|ersinaZ-T,sina

所以tanauL5——^=<15,即------=<15,可得cosa=-

1+火水2cosaV15

則sin?a+cos2a-sin2a+"=1,

15

則解得

且a0,-1，sina>0,sina=^5-

4

故選：B.

2.（2023全國乙文，11）已知實(shí)數(shù)憶y滿足x2+y2-4x-2y-4=o,則尤一y的最大值是（）

A1430

兒1H---------B.4C-1+3夜D.7

2

【答案】C

【解析】法一：令x-y=k,則x=A:+y,代入原式化簡得2y?+（2%—6）y+Z?—4左一4=0,

因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)y，則△*（）,即（2%—6）2—4乂2（上2一44一4）20,

化簡得人2一2人一17?0,解得1一304氏41+3夜，故x—V的最大值是3五+1，

法二：x2+y2-4x-2y-4=Q,整理得（x-2『+（y-l『=9,

令x=3cos（9+2，y=3sin8+l,其中（9e[0,27r],

則x-y=3cos。一3sin8+1=3A/2COS[8+；]+1,

兀7C97rjr7JT

6e[0,24I，所以S+，則。+1=2兀，即。=7-時(shí)，％一丁取得最大值30+1,

法三：由彳2+,2_4彳_2,_4=0可得(x—2)2+(y_l)2=9,

12-1-A：I

設(shè)x-y=k,則圓心到直線x-y=A的距離d=-萬一＜3,解得1-3&＜氏41+3淄

故選：c.

3.（2023全國乙理，12）已知，。的半徑為1,直線PA與。相切于點(diǎn)A,直線PB與：，。交于B,C

兩點(diǎn)，。為BC的中點(diǎn)，若|PO|=J5,則9."的最大值為（）

,1+V2R1+2忘

22

c.1+V2D.2+72

【答案】A

【解析】如圖所示，|。4|=1,|。耳=J5,則由題意可知:NAPO=45，

由勾股定理可得=yjop2-OAr=1

則：PAPD=\PA\-\P￡)|cosa+—=lxV2COS6ZCOS6Z+—

【4

=5/2COS(旦。S”①Sina

=cos2"sin-匕啜」sin2a」-立sin(2a/]

2222L4j

冗冗八7C71

0<a<—,則一—<2a-----<—

4444

-7T

當(dāng)點(diǎn)A。位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)AOPC=a,0<a<-

4t

71n

則PA.P￡)=1PAI，I2°Icosa1x72cosacosa---

44

=5/2cos(2—COS6Z+—sin。

I22

21+cos2al1V2.吟

=cos"a+smacosa=-------+—sinLa=—+——sin2a+一

222214)

71717TTT

0<a<~,則土<2?+生<2

4442

*'?當(dāng)2a+1=2時(shí)，PA.PD有最大值1-

綜上可得，的最大值為巨yi.

故選：A.

4.(2022北京,3,4分)若直線2x+y-l=0是圓(x-tz)2+y2=l的一條對稱軸，則e

A.iB.-iC.lD.-l

22

答案A由題意可知圓心(4,0)在直線2￥+y-l=0上,故2a+0-l=0,解得.故選A.

5.(多選)(2021新高考511,5分)已知點(diǎn)P在圓5-5)2+。_5)2=16上，點(diǎn)A(4,0),5(0,2),則()

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)。到直線A8的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí)，|PB|=3企

D.當(dāng)NP8A最大時(shí),伊用二3四

答案ACD由題意可知直線AB的方程為?+即x+2y-4=0,

則圓心⑸5)到直線AB的距離M省詈!=亨>4,

VI2+225

；?直線AB與圓(x-5)2+(>-5)2=16相離，

.?.點(diǎn)P到直線AB的距離的取值范圍為[竽一4,竽+4}

?.?噂4e(0,1),i^+4e(8,9),

工選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤.

過點(diǎn)B作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為Pi,2,如圖，當(dāng)點(diǎn)P在切點(diǎn)Pi的位置時(shí)，NPBA最小，當(dāng)點(diǎn)P在切點(diǎn)Pi

的位置時(shí)，NPBA最大，易知|P山|=|%B|,圓心⑸5)到點(diǎn)B的距離為舊，圓的半徑為4,所以

\PtB\=\PiB\=y/34-16=舊=3近,故選項(xiàng)C,D均正確.故選ACD.

方法點(diǎn)撥：1.當(dāng)直線與圓C相離時(shí)，圓上的點(diǎn)P到直線的距離的取值范圍為M-r,"+r],其中r為半徑，"為圓

12

心到直線的距離2從圓外一點(diǎn)Q(w,yo)向圓x+y+DX+Ey+F=0(D+EMQO)引切線,切點(diǎn)為4,則

\QA\=^x1+y^+Dx0+Ey0+F.

6.(2015廣東理,5,5分)平行于直線2x+y+l=0且與圓x2+y==5相切的直線的方程是()

A.2x+y+5=0或2x+y-5=0

B.2x+y+V5=0或2x+y-V5=0

C.2x-y+5=0或2x-y-5=0

D.2x-y+V5=0或2x-y-Vs=0

答案A切線平行于直線2x+y+l=0,故可設(shè)切線方程為2x+y+c=0(cK1),結(jié)合題意可得"二返，解得c=±5.

故選A.

7.(2015山東理,9,5分)一條光線從點(diǎn)(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3尸+(y-2)?=l相切,則反射光線所

在直線的斜率為()

A］或18.［或《

C.3或3D.—或一：

答案D由題意可知反射光線所在直線過點(diǎn)⑵-3),設(shè)反射光線所在直線方程為y+3=k(x-2),即

kx-y-2k-3=0.

3fe22fe3

,.反射光線所在直線與圓相切,,J----l解得k=［或k=2

同=li34

評析本題主要考查直績口圓的位置關(guān)系.

8.(2015重慶理,8,5分)已知直線1。+@丫-1=0匕￡2是圓C:x2+yMx-2y+l=0的對稱軸.過點(diǎn)A(-4,a)作圓C

的T切線,切點(diǎn)為B,則|AB|=()

A.2B.4讓C.6D.2>/10

答案C圓(:的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)*yT尸=21圓心為C(2,1),半徑r=2,由直線I是圓C的對稱軸,知直線I

過點(diǎn)C,所以2+ax1-1=0,a=-l，所以A(-4,-l),于是|AC|2=40,所以|AB|=而二聲=屈"二J=6.故選C.

9.(2014課標(biāo)11文12,5分)設(shè)點(diǎn)玳刈,1),若在圓04+丫2=1上存在點(diǎn)凡使得/(?=45°,則右的取值范圍是

()

A.1,1］1得

C.［-72,近］D.-皇，孝

答案A過M作圓。的兩條切線MA、MB,切點(diǎn)分別為A、B,若在圓0上存在點(diǎn)N,使N0MN=45°,則N0MB2

Z0MN=45°,所以NAMB，90。,所以T這x°W1,故選A.

評析本題考查直線與圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法.

10.(2014浙江文,5,5分)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實(shí)數(shù)a的值是()

A.-2B.-4C.-6D.-8

答案B將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1尸+(yT)2=2-a,所以圓心為(T,1),半徑r=42-a,圓心到直線

x+y+2=0的距離d』T?+2]=.,故「2-才=4,即2-a-2=4,所以a=-4,故選B.

V2

11.(2014安徽文,6,5分)過點(diǎn)P(-W,T)的直線1與圓x>y2=l有公共點(diǎn),則直線1的傾斜角的取值范圍是

()

dC.[o,=]D.[o,=]

答案I)過P點(diǎn)作圓的切線PA、PB,連接OP,如圖所示.

顯然,直線PA的傾斜角為0,又0P=J(-a2+(_I)2=2,p=V3,0A=l,因此NOPA=g由對稱性知，直線PB

AO

的傾斜角為今若直線I與圓有公共點(diǎn),由圖形知其傾斜角的取值范圍是[o(]故選I).

12.(2016山東文,7,5分)已知圓M:x2+yJ2ay=0(a>0)截直線x+y=O所得線段的長度是26.則圓M與圓

N:(x-l)2+(y-l)2=l的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.相離

答案B由題意知圓M的圓心為(0,a),半徑R=a,因?yàn)閳AM截直線x+y=O所得線段的長度為20,所以圓心

M到直線x+y=O的距離d=裳=〃F(a>0).解得a=2,又知圓、的圓心為(1,1),半徑r=l,所以【MN\=近,則

R-r<>/2<R+r,所以兩圓的位置關(guān)系為相交，故選B.

思路分析利用直線被圓所截得的線段的長度構(gòu)造關(guān)于a的方程,從而求出圓M的圓心及半徑,根據(jù)兩圓圓

心11巨及兩圓半徑和與差的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.

13.(2014北京文,7,5分)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=l和兩點(diǎn)A(-m,O),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點(diǎn)P,使得

NAPB=90°,則m的最大值為()

A.7B.6C.5D.4

答案B若NAPB=90。,則點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓，其方程為xz+y"=m；由題意知圓C:(x-3)、(y-4)2=l

與圓0:X，+產(chǎn)Hi，有公共點(diǎn),所以|OCWm+1,易知0C|=5,所以4WmW6,故m的最大值為6.選B.

22

14.(2013重慶理,7,5分)已知圓&：(x-2)2+(y-3)2=l,圓C2:(x-3)+(y-4)=9,M,N分別是圓G,C。上的動點(diǎn),P

為x軸上的動點(diǎn)，則小\1|+忸用的最小值為()

A.5近-4B.V17-1C.6-2近D.-717

設(shè)P是x軸上任意一點(diǎn)，則,PM的最小值為PG-1,同理可得IPN的最小值為PC/-3,則;PM+IPN的最小值

為IPGI+1PG|-4.作。關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C\(2,-3),連接C,C2,與x軸交于點(diǎn)P,連接PC,根據(jù)三角形兩邊之

和大于第三邊可知PC,?+|PC』的最小值為IC'C|,則PM|+1PN的最小值為5V2-4.選A.

評析本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的幾何性質(zhì)等知識，同時(shí)又考查了數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想.把折線段

長的和轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)間的距離是本題的關(guān)鍵.

15.(2016課標(biāo)11,4,5分)圓x,+yJ2x-8y+13=0的圓心到直線ax+yT=0的距離為1,則a=()

43/—

A.fB.C.v3D.2

答案A圓的方程可化為(x-l)2+(y-4)?=4,則圓心坐標(biāo)為(1,4),圓心到直線ax+y-l=0的距離為喘皂11,

Va2+1

4

解得a=-§.故選A.

思路分析將圓的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程,從而得出圓心坐標(biāo),進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程,

解方程即可求得a的值.

16.(2016北京,5,5分)圓(x+l)2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為()

A.1B.20.5/2D.2近

答案C由題知圓心坐標(biāo)為(-1,0),將直線y=x+3化成一般形式為x-y+3=0,故圓心到直線的距離

d車上膽二e故選(、

Jl2+(-l)2

易錯警示在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式d-小粵此時(shí),一定要將直線方程化成一般形式,正確寫出

A,B,C的值,此處符號易出現(xiàn)錯誤.

17.（2023課標(biāo)II,15）已知直線/：1-/孫+1=0與UC：（x—l）2+y2=4交于A,5兩點(diǎn)，寫出

8

滿足“ABC面積為一”的，"的一個(gè)值

5

【答案】2（2,—2,1,一,中任意一個(gè)皆可以）

22

【解析】設(shè)點(diǎn)C到直線AB的距離為d，由弦長公式得|AB|=2,4-儲,

所以S^ABC=3Xdx2y14—=w,解得：d=生￡?或d=名叵，

,|1+1|224行j2275

由d=7）=i；,所以］_==----或/==-----,解得：加=±2或

y/l+m2W+〃/yjl+m25yjl+jn25

m=±-.

2

18.（2016課標(biāo)1.15,5分）設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點(diǎn)，若AB=2則圓C的面

積為.

答案4n

解析把圓C的方程化為x2+（y-a）J2+a1則圓心為（0,a）,半徑片向圓心到直線x-y+2a=0的距離

d卷由r三十+（殍）:得/+2與3,解得￡=2,則/=4,所以圓的面積S=n?=4n.

19.（2016課標(biāo)HI,15,5分）已知直線l:x-V3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過A,B分別作1的垂線與x

軸交于C,D兩點(diǎn).則|CD|=.

答案4

解析圓心(0,0)到直線x-V3y+6=0的距離d=vm=3>ABI=2V12-32=2^3,過C作CE±BD于E,因?yàn)橹?/p>

|CE|_|/1B|_2冉一4

線1的傾斜角為30。,所以［CD|=

cos300cos30°苧

20.（2016課標(biāo)111理，16,5分）已知直線1：1^+丫+3111-舊=0與圓*2+寸=12交于人,1｝兩點(diǎn),過八,8分別作1的垂

線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB=2百,則CDI=

答案4

解析由題意可知直線1過定點(diǎn)(-3,V3),該定點(diǎn)在圓x2+y2=12上,不妨設(shè)點(diǎn)A(-3,百),由于

AB|=2A/3,r=2舊,所以圓心到直線AB的距離為d=V(2V3)2-(V3)2=3,又由點(diǎn)到直線的距離公式可得

電3,解得所以直線1的斜率k=-m=f,即直線1的傾斜角為30°.如圖，過點(diǎn)C作CH±BD,垂

Vm2+133

足為H,所以|CH|=2百，在RtZ\CHD中,NHCD=3O。,所以Cl)|=-^-=4.

cos30°

解后反思涉及直線與圓的位置關(guān)系的問題要充分利用圓的性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解.

21.(2015江蘇,10,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn)(1,0)為圓心且與直線mx-y-2mT=0(meR)相切的所

有圓中,半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案(x-l)2+y2=2

解析由mx-y-2m-l=0可得m(x-2)=y+l,由m《R知該直線過定點(diǎn)(2,T),從而點(diǎn)(1,0)與直線wx-y-2mT=0

的距離的最大值為J(2-1)2+(-1-0戶近,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-l)：'+y2=2.

22.(2014重慶理，13,5分)已知直線ax+y-2=0與圓心為。的圓(x-l)2+(y-a)2=4相交于A,B兩點(diǎn),且4ABC為

等邊三角形,則實(shí)數(shù)a=.

答案4±V15

解析易知aABC是邊長為2的等邊三角形，故圓心C(La)到直線AB的距離為百,即早等0,解得a=4

Va2+1

±V15.經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，則a=4±V15.

評析本題考查過定點(diǎn)的直線與圓相交的弦長問題,以及數(shù)形結(jié)合的思想方法,對綜合能力要求較高.

23.(2022新高考〃，15,5分)設(shè)點(diǎn)A(-2,3),8(0,加，若直線AB關(guān)于產(chǎn)a對稱的直線與圓(x+3)2+()>+2)2=l有

公共點(diǎn),則a的取值范圍是.

答案［羽

解析設(shè)直線AB關(guān)于產(chǎn)a對稱的直線為,心產(chǎn)等一二k-等.

顯然點(diǎn)B(0,a)在直線I上，J.直線/的方程為y~x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.1?/與圓有公共點(diǎn)，

二圓心(-3,-2)到直線/的距離dWr,

即i與3+警二22衛(wèi)<］即6a211°+3co.

V(a-3)2+4—

解得岸a與.?.實(shí)數(shù)a的取值范圍為停,I］.

24.(2022全國甲理，14,5分)若雙曲線產(chǎn)今=1(，">°)的漸近線與圓/+產(chǎn)4.計(jì)3=0相切，則m=.

答案與

解析易得雙曲線的漸近線方程為｝=4("，>0),

圓的方程可化為N+(尸2)2=I,其半徑/-I,

?.?漸近線與圓相切".圓心(0,2)到漸近線的距離等于r,...—=于1".浮W，又,”>0,."=容

陽33

25.(2022新高考/,14,5分)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程.

答案x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)

解析:兩圓Ci:x2+y2=\,Ci：(#3)2+0-4)2=16的圓心分別為Ci(0,0),。2(3,4),n=l,n=4,/.

|℃2|=5=門+2則兩圓外切，如圖所示均與直線Zi：x=-1相切，兩圓圓心連線GC2所在直線的方程為尸%記

為/,1\與/交于點(diǎn)P(-1,一由兩圓另一外公切線〃過點(diǎn)P,設(shè)/2：y+-=^(x+l),由，2與圓。:爐+盧1相切，

得盤=1，求出弓，則直線h的方程為7x-24y-25=0,由內(nèi)公切線人與，垂直，設(shè)h的方程為產(chǎn)季+加，由h

與圓Ci:2+)1M相切得〒㈣=f=i,《或［.當(dāng)用=［時(shí),尸--5與圓ci不相切,不符合題意,舍去.故

44444

，"=右則直線h的方程為3x+4y-5=0.

綜上，可知三條切線方程分別為x=-\,3x+4y-5=0,7x-24y-25=0.

綜上，可知三條切線方程分別為x=-1,3x+4.y-5=0,7x-24y-25=0.

26.(2021全國甲理,20,12分)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線/:%=)交C于P,Q兩點(diǎn),

且。P_LOQ.已知點(diǎn)M(2,0),且OM與/相切.

(1)求C,OM的方程;

⑵設(shè)Ai,4,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線AIA2,A&均與。M相切.判斷直線A2A3與。例的位置關(guān)系，并說明理

由.

解析⑴由題意可設(shè)拋物線C的方程為）2=2px（p>0）,則P,Q的坐標(biāo)為（1,,

?：OPYOQ,：.0POQ=\-2p=0,

：.p弓，二拋物線C的方程為）2=x.

YOM的圓心為（2,0）,OM與直線41相切，...O”的半徑為1,

二0M的方程為（x-2）2+y2=l.

（2）直線A2A3與OM相切.理由如下：

設(shè)Ai（Xo,"），A2（*,yi）,A3（yf，"），:直線A1A2,A1A3均與。M相切，，演

由Ai,4的坐標(biāo)可得直線AiAi的方程為廣加=箋臺（%?羽），整理，得x-1）y+yoy1=0,由于直線4/2與OM

y。-英

相切，...M到直線A1A2的距離總/:為%1],整理得（據(jù)⑴討+2yoy1+3-評=0,①

v1+（yo+yi）

同理可得，（犬-1）犬+2yoy24-3-詔=0,②

觀察①②,得y\,yi是關(guān)于上的一元二次方程（詔-1）3+2和x+3-弁=0的兩根,

2yo

71+”=一羽t'

(*)

3-M

5y2ypi

同理，得直線4見的方程為x-（.yi+j2）y+yiy2=0,

把（*）代入,得公，"斌?=，洸-羽|

則點(diǎn)M（2,0）到直線A2A3的距離d'=」2+乃為1|2(-1)+3

>/1+81+%)2]%-1)2+(-2%)2

?國+“=喏t1....直線A2A3與OM相切.

拓訴展+u

解后反思本題第（1）問較為基礎(chǔ),熟練掌握拋物線和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)鍵;第（2）問涉及的條件較多，其中

直線44與圓相切,是最重要的一個(gè)條件，由此條件可求出直線44的方程,進(jìn)而直線AIA3,A2A3的方程就

可同理求得,可大大簡化運(yùn)算過程,而由①②歸納出》,戶是方程（據(jù)“）/+2）仙+3-據(jù)=0的兩根,則需要有較

深的數(shù)學(xué)功底和知識儲備,需要同學(xué)們平時(shí)不斷積累.

27.（2015課標(biāo)I文,20,12分）已知過點(diǎn)A（0,1）且斜率為k的直線1與圓C:（x-2）”（y-3尸=1交于M,N兩點(diǎn)

⑴求k的取值范圍；

⑵若麗?而=12,其中（）為坐標(biāo)原點(diǎn),求IMNI.

解析⑴由題設(shè)，可知直線1的方程為y=kx+l.

因?yàn)?與C交于兩點(diǎn),所以咤型<1.

解得4三-VM7k〈竺44-廠V7.

所以k的取值范圍為(竽，芋).(5分)

⑵設(shè)M(x”y),N(x“y2).

將y=kx+l代入方程(x-2)，(y-3)2=L整理得

(l+k2)x-4(l+k)x+7=0.

所以Xi+X2,X,X=^2.(7分)

=：；：?2

OM?O/V=X]X2+yiy2

2

=(l+k)XiXj+k(xi+x2)+l

4k(1+k)

+8.

-l+F

由題設(shè)可彳理署―+8=12,解得k=l,

所以I的方程為y=x+L

故圓心C在1上,所以|MN|=2.(12分)

28.(2015廣東理,20,14分)已知過原點(diǎn)的動直線1與圓C,:x2+y2-6x+5=0相交于不同的兩點(diǎn)A,B.

⑴求圓3的圓心坐標(biāo)；

(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡(；的方程；

⑶是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線L:y=k(x-4)與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說

明理由.

解析(1)圓C的方程x2+y2-6x+5=0可化為(x-3)、yz=4,所以圓心坐標(biāo)為(3,0).

(2)設(shè)A(xi,y),B(xz,y?)(xi,M(x0,y?),

則x產(chǎn)鬻,y產(chǎn)空.

由題意可知直線I的斜率必存在,設(shè)直線1的方程為y=tx.

將上述方程代入圓3的方程，化簡得(1+釣x2-6x+5=0.

由題意,可得△=36-20(1+釣〉0(*),xi+x；尸會

所以x小備，代入直線1的方程,得y后券.

因?yàn)檎f吼號+了滂彳需=七=3乂.，

所以(與-5)+疥*

由(*)解得總又t>O,所以|<x?W3.

所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為(X-丁+y](|<x<3).

⑶由⑵知，曲線C是在區(qū)間(1,31上的一段圓弧.

如圖,D(|，竽),E(|,-誓)F⑶0),直線L過定點(diǎn)G(4,0).

聯(lián)立直線L的方程與曲線C的方程，消去y整理得(l+k2)xJ(3+8k2)x+16ky).

令判別式A=0,解得:k=士/由求根公式解得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x?.,=ye(|,3],由圖可知:要使直線1.與曲線C

只有一交點(diǎn)則ke[km,kaJU{kc“,kci},即keuf-p2l-

77I44J

29.(2014課標(biāo)I文,20,12分)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點(diǎn)l>的動直線1與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段

AB的中點(diǎn)為M,0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求M的軌跡方程；

⑵當(dāng)0P=I0M時(shí)，求1的方程及aPOM的面積.

解析(D圓C的方程可化為/+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.

設(shè)M(x,y),則由=(X,y-4),MP=(2-x,2-y).由題設(shè)知麗?MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即

(x-l)2+(y-3)2=2.

由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(xT)z+(y-3尸=2.

(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(l,3)為圓心,也為半徑的圓.

由于|OP=10M|,故0在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ON1PM.

[1R

因?yàn)镺N的斜率為3,所以I的斜率為-右故I的方程為y=^x+1

XIOM]=|OI>|=2V2,0到I的距離為胃，，PM二等，所以△POM的面積為9

評析本題考查軌跡方程的求法,直線與圓的位置關(guān)系,在解決直線與圓的相關(guān)問題時(shí),利用圖形的幾何性

質(zhì)可簡化運(yùn)算.

30.(2013江蘇,17,14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(0,3),直線l:y=2x-4.

設(shè)圓C的半徑為1,圓心在1上.

(1)若圓心(:也在直線y=x-l±,過點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;

解析(D由題意知，圓心C是直線y=2x-4和y=x-l的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3,2)，于是切線的斜率必存在.設(shè)過

A(0,3)的圓C的切線方程為y=kx+3,

由題意得,董叢1，解得k=?；?，

故所求切線方程為y=3或3x+4y-12=0.

⑵因?yàn)閳A心在直線y=2x-4上,所以圓C的方程為(x-a)、[y-2(a-2)]!=l.

z2

設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)镸A=2M0,所以江爐+(y-3)2=2,/+y2,化簡得x+y+2y-3=0,即^(y+DM,所以點(diǎn)M

在以【)(0,T)為圓心,2為半徑的圓上.

由題意,點(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則12-11WCDW2+1,即1《a2+(2a-3yW3.

由5aJ12a+8>0,得aGR;

12

由5a2T2a<0,得0<@《三.

所以點(diǎn)c的橫坐標(biāo)a的取值范圍為"^].

評析本題考查直線與圓的方程,直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識和基本技能，考查

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的能力.

第九章平面解析幾何

9.1直線和圓

五年高考

考點(diǎn)1直線的方程

1.(2012浙江,3,5分，易)設(shè)@臥,則，=1”是“直線h:ax+2y-l=0與直線L:x+(a+l)y+4=0平行”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

2.(2020課標(biāo)HI文,8,5分，中)點(diǎn)(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為()

A.lB.V2C,V3D.2

答案B

考點(diǎn)2圓的方程

1.(2020北京,5,4分，易)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3,4),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為()

A.4B.5C.6D.7

答案A

2.(2018天津文,12,5分，易)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,)(2,0)的圓的方程為

答案x2+y2-2x=0

3.(2022全國甲文,14,5分，易)設(shè)點(diǎn)M在直線2x+y-l=0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在OM上，則OM的方程

為.

答案(x-l)2+(y+l)』5

4.(2022全國乙，文15,理14,5分，中)過四點(diǎn)(0,0),(4,0),(-1,1*4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程

為.

答案(x-2/+(y-1)2=51或x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-1x—竽y=0或x2