青海省西寧市2024屆高三下學(xué)期一模文科數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年青海省西寧市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集定義計(jì)算．【詳解】由題意，故選：C．2.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則（）A. B.2 C. D.5【答案】C【解析】【分析】直接利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式求解．【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)所以故選：C3.已知向量，，若，則（）A. B.1C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故選：B4.下列命題中，正確的是（）A.若且，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法和不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，令，則，所以不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則，所以不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，令，則，所以不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由及不等式的可加性可得，故D正確.故選：D.5.已知直線m，n和平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】結(jié)合直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義求解.【詳解】若，則或直線m與直線n異面，故不充分；若，則或，故不必要；所以“”是“”的既不充分也不必要條件．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯條件的判斷以及直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，是第四象限角，則（）A. B.429 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角公式及二倍角的正弦公式計(jì)算即得.【詳解】由，得，即，由是第四象限角，得，所以.故選：A7.已知實(shí)數(shù)，，，則，，這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的單調(diào)性求出，，的取值范圍即可求得.【詳解】由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且，所以，所以.故選：C8.甲、乙兩人玩一個(gè)傳紙牌的游戲，每個(gè)回合，兩人同時(shí)隨機(jī)從自己的紙牌中選一張給對(duì)方．游戲開始時(shí)，甲手中的兩張紙牌數(shù)字分別為1，3，乙手中的兩張紙牌數(shù)字分別為2，4．則一個(gè)回合之后，甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】用列舉法，結(jié)合古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】甲手中的兩張紙牌數(shù)字用表示，乙手中的兩張紙牌數(shù)字用表示，一個(gè)回合之后，甲、乙兩人手中的兩張紙牌數(shù)字分別為：（1）；（2）；（3）：（4）共4種情況，其中甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和共有一種情況，所以甲手中的紙牌數(shù)字之和大于乙手中的紙牌數(shù)字之和的概率為，故選：B9.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn).若為直角三角形，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出漸近線方程，為直角三角形，則只可能或者，不妨取，在中，求出，在中，求出AB，即可得解.【詳解】該雙曲線的漸近線方程為，則，若為直角三角形，則只可能或者，這兩種情況對(duì)稱，面積相同，只研究一種情況即可，如圖所示，，在中，有，在中，，，所以.故選：C.10.已知底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的外接球的表面積為（）A. B.21π C. D.25π【答案】D【解析】【分析】先由圓錐的側(cè)面積和底面圓半徑求出母線長(zhǎng)，借助于軸截面求得圓錐的高，通過列出方程求解即得.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，由圓錐的側(cè)面積公式，得，解得，所以圓錐的高為．設(shè)圓錐的外接球半徑為，則在中，由勾股定理，，解得，所以該圓錐的外接球的表面積為．故選：D．11.如圖，公園里有一處扇形花壇，小明同學(xué)從點(diǎn)出發(fā)，沿花壇外側(cè)的小路順時(shí)針方向勻速走了一圈(路線為，則小明到點(diǎn)的直線距離與他從點(diǎn)出發(fā)后運(yùn)動(dòng)的時(shí)間之間的函數(shù)圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)扇形的特點(diǎn)結(jié)合路程關(guān)系進(jìn)行判斷即可.【詳解】小明沿走時(shí)，與點(diǎn)的直線距離保持不變，沿走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)的距離越來越小，沿走時(shí)，隨時(shí)間增加與點(diǎn)的距離越來越大.故D選項(xiàng)的函數(shù)圖象符合題意.故選：D12.北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個(gè)貨物，第二層比第一層多2個(gè)，第三層比第二層多3個(gè)，以此類推，記第n層貨物的個(gè)數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)及累加可得，應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及已知不等關(guān)系求n范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由題意，，且，累加可得，所以，∴，得，即．故選：C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)，則在處的切線方程為________．【答案】【解析】【分析】先求導(dǎo)，再求斜率，進(jìn)而可得直線方程.【詳解】依題知切點(diǎn)為，則，則f'0則切線方程：，即.故答案為：14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn)，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為________.【答案】2【解析】【分析】由拋物線的方程可得，結(jié)合拋物線的定義以及焦半徑可得答案．【詳解】由拋物線方程可得，即，則，解得.故答案為：2.15.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則實(shí)數(shù)________．【答案】【解析】【分析】由，分別求出，進(jìn)而利用等比中項(xiàng)即可求解.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，有，則，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，則有，即，解可得.故答案為：.16.若函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)，確定的范圍，由不等式求解的取值范圍.【詳解】因，，所以，因函數(shù)在上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以，解得．則的取值范圍是.故答案為：三、解答題：本題共7小題，共82分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.在中，，，．（1）求A的大小；（2）求內(nèi)切圓的半徑．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接代入余弦定理即可得.（2）利用面積相等可得內(nèi)切圓的半徑．【小問1詳解】在中，，，，由余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，于是，解得r=3所以內(nèi)切圓的半徑為.18.如圖，多面體中，四邊形為菱形，，，，．（1）求證：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定證明平面即可；（2）先根據(jù)線面垂直的判定證明平面，再根據(jù)求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以四點(diǎn)共面，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?；【小?詳解】因?yàn)槠矫妫珺F?平面，所以，又因?yàn)椋矫?，故平面，又因?yàn)榛ハ嗥椒郑渣c(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，又因?yàn)椋匀忮F的體積為.19.已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，若一條斜率不為0的直線過點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程，結(jié)合離心率公式，即可利用待定系數(shù)法求橢圓方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理表示，即可求解的值.【小問1詳解】由橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上，可得，所以，又點(diǎn)在該橢圓上，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】證明：設(shè)，由于該直線斜率不為0，可設(shè)，聯(lián)立方程和，得，恒成立，根據(jù)韋達(dá)定理可知，，，，，．20.已知函數(shù)．（1）若，當(dāng)時(shí)，證明：．（2）若，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，即可得到在上單調(diào)遞增，再由，即可證明；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，即在上單調(diào)遞增，再結(jié)合，即可證明.【小問1詳解】證明：因?yàn)椋?，．?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．【小問2詳解】．令，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以恰有一個(gè)零點(diǎn)，則恰有一個(gè)零點(diǎn)．21.某廠近幾年陸續(xù)購(gòu)買了幾臺(tái)型機(jī)床，該型機(jī)床已投入生產(chǎn)的時(shí)間（單位：年）與當(dāng)年所需要支出的維修費(fèi)用（單位：萬元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：234562.23.85.56.57.0已知，，，，（1）計(jì)算與的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.001），并判斷該型機(jī)床的使用年限與所支出的維修費(fèi)用的相關(guān)性強(qiáng)弱（若，則認(rèn)為與相關(guān)性很強(qiáng)，否則不強(qiáng)）.（2）該廠購(gòu)入一臺(tái)新的型機(jī)床，工人們分別使用這臺(tái)機(jī)床（記為）和一臺(tái)已經(jīng)使用多年的型機(jī)床（記為）各制造50個(gè)零件，統(tǒng)計(jì)得出的數(shù)據(jù)如下表：機(jī)床零件合計(jì)合格不合格440合計(jì)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“零件合格情況是否與機(jī)床的使用情況有關(guān)”.附參考公式及數(shù)據(jù)，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；接近，說明型機(jī)床的使用年限與當(dāng)年所支出的維修費(fèi)用之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性．（2）列聯(lián)表見解析；沒有的把握認(rèn)為“零件合格情況是否與機(jī)床的使用情況有關(guān).【解析】【分析】（1）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，即可得到答案；（2）根據(jù)題意完成表格，計(jì)算得到，進(jìn)而可判斷結(jié)果．【小問1詳解】由題可知，，所以，接近，說明型機(jī)床的使用年限與當(dāng)年所支出的維修費(fèi)用之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性．【小問2詳解】補(bǔ)充列聯(lián)表如下：機(jī)床零件合計(jì)合格不合格合計(jì)零假設(shè)為：零件合格情況與機(jī)床的使用情況無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，所以根據(jù)臨界值表，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可認(rèn)為成立，即沒有的把握認(rèn)為“零件合格情況是否與機(jī)床的使用情況有關(guān)”．22.在平面直角坐標(biāo)系中，圓，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓心在直線上．（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）過作兩條互相垂直直線，其中與圓交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到直線直角坐標(biāo)方程，進(jìn)而求得圓的方程，結(jié)合極坐標(biāo)與直角的互化，即可求解；（2）設(shè)直線，，得到，結(jié)合，得到，進(jìn)而求得面積最大值．【小問1詳解】解：由直線，可得直線的直角坐標(biāo)方程為，因?yàn)閳A心