1.4.5.1 【教案+測評】2019人教A版 必修 第一冊 第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 第五節(jié) 函數(shù)的應用 第一課時 函數(shù)的零點與方程的解

教材考點學習目標核心素養(yǎng)函數(shù)零點的概念及求法理解函數(shù)零點的定義，會求函數(shù)的零點數(shù)學抽象、數(shù)學運算函數(shù)零點的推斷把握函數(shù)零點的推斷方法，會推斷函數(shù)零點的個數(shù)及其所在區(qū)間規(guī)律推理、直觀想象函數(shù)零點的應用會依據(jù)函數(shù)零點的狀況求參數(shù)數(shù)學運算、直觀想象問題導學預習教材P142－P144，并思考以下問題：1．函數(shù)零點的概念是什么？2．如何推斷函數(shù)的零點？3．方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的聯(lián)系是什么？1．函數(shù)的零點(1)概念：對于一般函數(shù)f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．(2)方程的根、函數(shù)的圖象與x軸的交點、函數(shù)的零點三者之間的聯(lián)系■微思考1(1)函數(shù)的零點是點嗎？提示：函數(shù)的零點不是一個點，而是一個實數(shù)，當自變量取該值時，其函數(shù)值等于零．(2)函數(shù)的零點個數(shù)、函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)、方程f(x)＝0根的個數(shù)有什么關系？提示：相等．(3)結合所學的基本初等函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù))，思考是否全部的函數(shù)都有零點？并說明理由．提示：不肯定．由于函數(shù)的零點就是方程的根，但不是全部的方程都有根，所以說不是全部的函數(shù)都有零點．如：指數(shù)函數(shù)，其圖象都在x軸的上方，與x軸沒有交點，故指數(shù)函數(shù)沒有零點．2．函數(shù)零點的推斷條件(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．(2)f(a)·f(b)＜0結論函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根■微思考2(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，f(a)·f(b)<0時，能否推斷函數(shù)在區(qū)間(a，b)上的零點個數(shù)？提示：不能．(2)在零點存在定理中，若f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)內存在零點．則滿足什么條件時f(x)在(a，b)上有唯一零點？提示：f(x)在(a，b)內為單調函數(shù)．(3)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，是不是肯定有f(a)·f(b)<0?提示：不肯定，如f(x)＝x2在區(qū)間(－1，1)上有零點0，但是f(－1)·f(1)＝1×1＝1>0.1．推斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)函數(shù)y＝2x－1的零點是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)).()(2)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋1有零點．()(3)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上滿足f(a)·f(b)>0，則在區(qū)間(a，b)上肯定沒有零點．()答案：(1)×(2)×(3)×2．函數(shù)f(x)＝log2(2x－1)的零點是()A．1 B．2C．(1，0) D．(2，1)答案：A3．函數(shù)f(x)＝x3－3x－3有零點的區(qū)間是()A．(－1，0) B．(0，1)C．(1，2) D．(2，3)解析：選D.由于f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0，所以f(2)·f(3)<0，所以D正確．4．已知函數(shù)f(x)＝－2x＋m的零點為4，則實數(shù)m的值為________．解析：f(x)＝－2x＋m的零點為4，所以－2×4＋m＝0，m＝8.答案：85．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，圖象連續(xù)不斷，若計算得f(1)<0，f(1.25)<0，f(1.5)>0，則可以確定零點所在區(qū)間為________．答案：(1.25，1.5)探究點1求函數(shù)的零點推斷下列函數(shù)是否存在零點，假如存在，懇求出．(1)f(x)＝eq\f(x＋3,x)；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3;(4)f(x)＝1－log3x.【解】(1)令eq\f(x＋3,x)＝0，解得x＝－3，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋3,x)的零點是－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0無解，所以函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋4不存在零點．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23，所以函數(shù)f(x)＝2x－3的零點是log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函數(shù)f(x)＝1－log3x的零點是3.函數(shù)零點的求法求函數(shù)y＝f(x)的零點通常有兩種方法：一是令f(x)＝0，依據(jù)解方程f(x)＝0的根求得函數(shù)的零點；二是畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點．eq\a\vs4\al()1．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤0，,log2x，x>0))的全部零點構成的集合為()A．{1} B．{－1}C．{－1，1} D．{－1，0，1}解析：選C.當x≤0時，f(x)＝x＋1＝0?x＝－1；當x>0時，f(x)＝log2x＝0?x＝1，所以函數(shù)f(x)的全部零點構成的集合為{－1，1}．2．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋b的兩個零點是2和3，則函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點是()A．－1和eq\f(1,6)B．1和－eq\f(1,6)C.eq\f(1,2)和eq\f(1,3)D．－eq\f(1,2)和－eq\f(1,3)解析：選B.由于f(x)＝x2－ax＋b有兩個零點2和3，所以a＝5，b＝6，所以g(x)＝6x2－5x－1有兩個零點1和－eq\f(1,6).探究點2推斷函數(shù)零點所在的區(qū)間或個數(shù)(1)函數(shù)f(x)＝lnx－eq\f(2,x)的零點所在的大致區(qū)間是()A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(e，＋∞)(2)推斷函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－3的零點的個數(shù)．【解】(1)選B.由于f(1)＝－2<0，f(2)＝ln2－1<0，所以在(1，2)內f(x)無零點，A錯；又f(3)＝ln3－eq\f(2,3)>0，所以f(2)·f(3)<0，所以f(x)在(2，3)內有零點．(2)法一：函數(shù)對應的方程為lnx＋x2－3＝0，所以原函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)y＝lnx與y＝3－x2的圖象交點個數(shù)．在同一平面直角坐標系下，作出兩函數(shù)的圖象(如圖)．由圖象知，函數(shù)y＝3－x2與y＝lnx的圖象只有一個交點．從而lnx＋x2－3＝0有一個根，即函數(shù)f(x)＝lnx＋x2－3有一個零點．法二：由于f(1)＝－2，f(2)＝ln2＋1＞0.所以f(1)·f(2)＜0，又f(x)＝lnx＋x2－3的圖象在(1，2)上是不間斷的，所以f(x)在(1，2)上必有零點，又f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增的，所以零點只有一個．(1)推斷函數(shù)零點所在區(qū)間的3個步驟①代入：將區(qū)間端點值代入函數(shù)解析式求出相應的函數(shù)值．②推斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進行符號推斷．③結論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內是單調函數(shù)，則在該區(qū)間內無零點，若符號為負且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內至少有一個零點．(2)推斷函數(shù)存在零點的2種方法①方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能推斷解的個數(shù)，可通過方程的解來推斷函數(shù)是否存在零點或判定零點的個數(shù)．②圖象法：由f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一平面直角坐標系內作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的圖象，依據(jù)兩個圖象交點的個數(shù)來判定函數(shù)零點的個數(shù)．eq\a\vs4\al()1．依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以判定方程ex－2x－5＝0的一個根所在的區(qū)間是()x01234ex12.727.3920.0954.602x＋55791113A.(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)解析：選C.設f(x)＝ex－2x－5，此函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，f(3)＝20.09－11＝9.09＞0，f(4)＝54.60－13＝41.60>0，所以f(2)·f(3)<0，所以函數(shù)f(x)的一個零點，即方程ex－2x－5＝0的一個根所在的區(qū)間為(2，3)．2．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x＞0))的零點個數(shù)為()A．3 B．2C．1 D．0解析：選B.當x≤0時，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；當x＞0時，由f(x)＝－2＋lnx＝0得x＝e2.所以函數(shù)的零點個數(shù)為2.探究點3依據(jù)函數(shù)的零點求參數(shù)的值已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函數(shù)y＝f(x)有且僅有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】函數(shù)f(x)＝2|x－1|＋x－a有且僅有兩個零點，即函數(shù)y＝2|x－1|＋x與y＝a有且僅有兩個交點．分別作出函數(shù)y＝2|x－1|＋x與y＝a的圖象，如圖所示．由圖易知，當a>1時，兩函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，故實數(shù)a的取值范圍是(1，＋∞)．【答案】(1，＋∞)依據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)值(范圍)的方法已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍的方法：(1)直接法：直接依據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，通過解不等式確定參數(shù)的取值范圍．(2)分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，然后轉化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．eq\a\vs4\al()函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋1，若y＝f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))內有零點，則實數(shù)a的取值范圍為________．解析：f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\s\up12(2)＋1.若f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))內有零點，則f(x)＝0在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))內有解，當－eq\f(1,2)≤x<0或0<x≤eq\f(1,2)時，可得a＝－eq\f(1,x2)＋eq\f(2,x)≤0.所以實數(shù)a的取值范圍為(－∞，0]．答案：(－∞，0]1．(多選)下列圖象表示的函數(shù)中有兩個零點的有()解析：選CD.有兩個零點就是函數(shù)圖象與x軸有兩個交點，故選CD.2．函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點是()A．－eq\f(1,2)，－1 B.eq\f(1,2)，1C.eq\f(1,2)，－1 D．－eq\f(1,2)，1解析：選B.方程2x2－3x＋1＝0的兩根分別為x1＝1，x2＝eq\f(1,2)，所以函數(shù)f(x)＝2x2－3x＋1的零點是eq\f(1,2)，1.3．函數(shù)y＝x2－bx＋1有一個零點，則b的值為()A．2 B．－2C．±2 D．3解析：選C.由于函數(shù)有一個零點，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.4．函數(shù)f(x)＝ex＋x－2的零點所在的一個區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析：選C.易知f(x)＝ex＋x－2在R內單調遞增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(x)的零點所在區(qū)間為(0，1)．5．函數(shù)f(x)＝2x＋x－2有________個零點．解析：在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)y＝2x，y＝－x＋2的圖象，由圖可知函數(shù)f(x)有1個零點．答案：1[A基礎達標]1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對應值表：x123f(x)3.42.6－3.7則函數(shù)f(x)肯定存在零點的區(qū)間是()A．(－∞，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，＋∞)解析：選C.若f(x)在[a，b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a，b)上肯定存在零點．由于f(2)>0，f(3)<0，所以f(x)在(2，3)上肯定存在零點．2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－1，x≤1，,1＋log2x，x>1，))則函數(shù)f(x)的零點為()A.eq\f(1,2)，0 B．－2，0C.eq\f(1,2) D．0解析：選D.當x≤1時，由f(x)＝0，得2x－1＝0，所以x＝0.當x>1時，由f(x)＝0，得1＋log2x＝0，所以x＝eq\f(1,2)，不成立，所以函數(shù)的零點為0.3．若函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，則y＝f(x)有唯一零點需滿足的條件是()A．f(3)<0B．函數(shù)f(x)在定義域內是增函數(shù)C．f(3)>0D．函數(shù)f(x)在定義域內是減函數(shù)解析：選D.由于f(1)>0，f(2)<0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，2)上肯定有零點．若要保證只有一個零點，則函數(shù)f(x)在定義域內必需是減函數(shù)．4．函數(shù)f(x)＝x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的零點個數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．很多個解析：選B.作出y＝x3與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)的圖象只有一個交點，所以函數(shù)f(x)只有一個零點．故選B.5．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)在區(qū)間(1，2)上有零點，則a的值可能是()A．－2 B．0C．1 D．3解析：選A.f(x)＝x＋eq\f(a,x)(a∈R)的圖象在(1，2)上是連續(xù)不斷的，逐個選項代入驗證，當a＝－2時，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在區(qū)間(1，2)上有零點，同理，其他選項不符合，選A.6．函數(shù)f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零點有________個．解析：由于f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以由f(x)＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.答案：37．已知函數(shù)f(x)＝a＋log2x，且f(a)＝1，則函數(shù)f(x)的零點為________．解析：依題意有a＋log2a＝1，即log2a＝1－a，易知a＝1，所以f(x)＝1＋log2x，令f(x)＝0，得x＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)8．若函數(shù)f(x)＝ax2－x＋2只有一個零點，則實數(shù)a的取值集合是________．解析：當a＝0時，f(x)＝－x＋2，令f(x)＝0，解得x＝2，所以函數(shù)只有一個零點2，符合題意；當a≠0時，由函數(shù)只有一個零點可得Δ＝(－1)2－4×a×2＝0，即1－8a＝0，解得a＝eq\f(1,8).綜上a＝eq\f(1,8)或a＝0.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))9．推斷下列函數(shù)是否存在零點，假如存在，懇求出．(1)f(x)＝x4－x2；(2)f(x)＝4x＋5；(3)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)由于f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0或x＝1或x＝－1，故函數(shù)f(x)＝x4－x2的零點為0，－1和1.(2)令4x＋5＝0，則4x＝－5<0，方程4x＋5＝0無實數(shù)解．所以函數(shù)f(x)＝4x＋5不存在零點．(3)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函數(shù)f(x)＝log3(x＋1)的零點為0.10．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(cx－1,x＋1)(c為常數(shù))，若1為函數(shù)f(x)的零點．(1)求c的值；(2)證明函數(shù)f(x)在[0，2]上是單調增函數(shù)；(3)已知函數(shù)g(x)＝f(ex)－eq\f(1,3)，求函數(shù)g(x)的零點．解：(1)由于1為函數(shù)f(x)的零點，所以f(1)＝0，即c＝1.(2)證明：設0≤x1<x2≤2，則f(x2)－f(x1)＝eq\f(x2－1,x2＋1)－eq\f(x1－1,x1＋1)＝eq\f(2（x2－x1）,（x2＋1）（x1＋1）)，由于0≤x1<x2≤2，所以x2－x1>0，x2＋1>0，x1＋1>0，所以f(x2)>f(x1)，即函數(shù)f(x)在[0，2]上是單調增函數(shù)．(3)令g(x)＝f(ex)－eq\f(1,3)＝eq\f(ex－1,ex＋1)－eq\f(1,3)＝0，所以ex＝2，即x＝ln2，所以函數(shù)g(x)的零點是ln2.[B力量提升]11．(多選)若函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷，且滿足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，則下列說法錯誤的有()A．f(x)在區(qū)間(0，1)上肯定有零點，在區(qū)間(1，2)上肯定沒有零點B．f(x)在區(qū)間(0，1)上肯定沒有零點，在區(qū)間(1，2)上肯定有零點C．f(x)在區(qū)間(0，1)上肯定有零點，在區(qū)間(1，2)上可能有零點D．f(x)在區(qū)間(0，1)上可能有零點，在區(qū)間(1，2)上肯定有零點解析：選ABD.由題知f(0)·f(1)<0，所以依據(jù)函數(shù)零點存在定理可得f(x)在區(qū)間(0，1)上肯定有零點，又f(1)·f(2)>0，因此無法推斷f(x)在區(qū)間(1，2)上是否有零點．12．(一題兩空)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，－2是它的一個零點，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，則該函數(shù)有________個零點，這幾個零點的和等于________．解析：由于函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(0)＝0.又由于f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故該函數(shù)有3個零點，這3個零點之和等于0.答案：3013．(一題兩空)已知函數(shù)f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，則函數(shù)f(x)的零點為________．(2)若函數(shù)f(x)的一個零點大于1，另一個零點小于1，則b的取值范圍為________．解析：(1)由f(0)＝f(4)得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.所以f(x)的零點是1和3.(2)由于f(x)的零點一個大于1，另一個小于1，如圖．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范圍為(4，＋∞)