電磁場與電磁波（王家禮 西電第三版）第三章 恒定電流的電場和磁場

第三章恒定電流的電場和磁場3.1恒定電流的電場3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度3.3恒定磁場的根本方程3.4矢量磁位3.5磁偶極子3.6磁介質(zhì)中的場方程3.7恒定磁場的邊界條件3.8標(biāo)量磁位3.9互感和自感3.10磁場能量3.11磁場力小結(jié)3.1恒定電流的電場

3.1.1電流密度

我們知道，導(dǎo)體內(nèi)的自由電子在電場的作用下，會沿著與電場相反的方向運(yùn)動，這樣就形成電流。習(xí)慣上，規(guī)定正電荷運(yùn)動的方向為電流的方向，用電流強(qiáng)度描述一根導(dǎo)線上電流的強(qiáng)弱(電流強(qiáng)度定義為單位時間內(nèi)通過某導(dǎo)線截面的電荷量)。電流強(qiáng)度只能描述一根導(dǎo)線上總電流的強(qiáng)弱。為了描述電荷在空間的流動情況(即考慮導(dǎo)體截面的大小)，要引入電流密度的概念。電流密度是一個矢量，它的方向與導(dǎo)體中某點(diǎn)的正電荷運(yùn)動方向相同〔實際上是自由電子移動方向的反方向〕，大小等于與正電荷運(yùn)動方向垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度。假設(shè)用n表示某點(diǎn)處的正電荷運(yùn)動方向，取與n相互垂直的面積元ΔS，如圖3-1所示。設(shè)通過ΔS的電流為ΔI，那么該點(diǎn)處的電流密度J為(3-1)電流密度的單位是安培/米2(A/m2)。導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個電流密度，因而構(gòu)成一個矢量場。我們稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫做電流線。圖3-1電流密度可以從電流密度J求出流過任意面積S的電流強(qiáng)度。一般情況下，電流密度J和面積元dS的方向并不相同。此時，通過面積S的電流就等于電流密度J在S上的通量，即(3-2)有時電流僅僅分布在導(dǎo)體外表的一個薄層內(nèi)，為此，需要引入面電流密度的概念?？臻g任一點(diǎn)面電流密度的方向是該點(diǎn)正電荷運(yùn)動的方向，大小等于通過垂直于電流方向的單位長度上的電流。假設(shè)用n表示某點(diǎn)處的正電荷運(yùn)動方向，取與n相互垂直的線元Δl，如圖3-2所示。設(shè)通過Δl的電流為ΔI，那么該點(diǎn)處的面電流密度JS為(3-3)電流可以分為傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流。傳導(dǎo)電流是指導(dǎo)體中的自由電子或半導(dǎo)體中的自由電荷在電場作用下作定向運(yùn)動所形成的電流，如金屬中的電流、電解液中的電流均是傳導(dǎo)電流。電荷在真空中或者氣體中，由于電場的作用而產(chǎn)生運(yùn)動時，形成的電流稱為運(yùn)流電流。如電真空管中的電流是運(yùn)流電流。運(yùn)流電流和傳導(dǎo)電流的顯著不同在于，運(yùn)流電流不服從我們后面將要介紹的歐姆定律。就是說，運(yùn)流電流的電流密度不與電場強(qiáng)度成正比，有時候，二者的方向可能不一致。同樣，運(yùn)流電流也不服從焦耳定律。電場對運(yùn)流電流所做的功，不會變化為熱量，而是使得電荷加速。

當(dāng)體密度為ρ的帶電粒子以速度v運(yùn)動時，運(yùn)流電流密度為

J=ρv(3-4)3.1.2電荷守恒定律

電荷守恒定律說明，任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變。也就是說，任意一個體積V內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個體積的電荷量。因而，在體電流密度為J的空間內(nèi)，任取一個封閉的曲面S，通過S面流出的電流應(yīng)該等于以S為邊界的體積V內(nèi)單位時間內(nèi)電荷減少的量，即(3-5)式中V是邊界S所限定的體積。因積分是在固定體積內(nèi)進(jìn)行的,即積分限與時間無關(guān)，所以上式微分可以移到積分內(nèi)。一般情況下J是空間點(diǎn)r和時間t的函數(shù)，故而要寫成求偏導(dǎo)的形式，從而有(3-6)上式是電荷守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式，亦稱為電流連續(xù)性方程的積分形式。對其應(yīng)用散度定理，那么有(3-7)要使這個積分對任意的體積V均成立,必須使被積函數(shù)為零,即此式是電流連續(xù)性方程的微分形式。在恒定電流的情況下，雖然帶電粒子不斷地運(yùn)動，但是從宏觀上看，可認(rèn)為某點(diǎn)的帶電粒子離開以后，立即由相鄰的帶電粒子來補(bǔ)償，以便保證電流的恒定。也就是說，導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)，任意點(diǎn)的電荷分布不隨時間變化，即(3-8)因此，恒定電流場的電流連續(xù)性方程變?yōu)?/p>

·J=0(3-9)

上式是保證恒定電流場的條件，也叫做恒定電流場的方程。其積分形式是(3-10)上述方程說明，恒定電流J的矢量線總是無起始點(diǎn)無終點(diǎn)的閉合曲線。3.1.3歐姆定律的微分形式

導(dǎo)體中由于存在自由電子，在電場的作用下，這些自由電子作定向運(yùn)動，就形成了電流。實驗說明，對于線性各向同性的導(dǎo)體，任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場強(qiáng)度成正比，即

J=σE(3-11)

上式叫做歐姆定律的微分形式，σ是電導(dǎo)率，其單位是西門子/米(S/m)。表3-1列出了幾種材料在常溫(20℃)下的電導(dǎo)率。我們將非靜電力對電荷的影響等效為一個非保守電場(也叫非庫侖場)，其電場強(qiáng)度E′只存在于電源內(nèi)部。在電源外部只存在由恒定分布的電荷產(chǎn)生的電場，稱為庫侖場，以E表示。在電源內(nèi)部既有庫侖場E，也有非保守電場E′，二者方向相反。為了定量描述電源的特性，引入電動勢這個物理量。其定義是：在電源內(nèi)部搬運(yùn)單位正電荷從負(fù)極到正極時非靜電力所做的功，用E表示(見圖3-3)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-12)對于恒定電流而言，與之相應(yīng)的庫侖電場E是不隨時間變化的恒定電場，它是由不隨時間變化的電荷產(chǎn)生的，因而，其性質(zhì)與由靜止電荷產(chǎn)生的靜電場相同，即圖3-3電動勢式中積分路徑l是電源之內(nèi)或之外的導(dǎo)體中的任意閉合回路。式中的電場表示由庫侖場和非保守場疊加而成的總電場。

我們可以將電動勢用總電場(庫侖場與非庫侖場之和)的回路積分表示：(3-13)式中的積分是沿整個電流回路進(jìn)行的。3.1.4焦耳定律

當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U，流過的電流為I時，那么在單位時間內(nèi)電場力對電荷所做的功，即功率是

P=UI

在導(dǎo)體中，沿電流線方向取一長度為Δl、截面為ΔS的體積元，該體積元內(nèi)消耗的功率為當(dāng)ΔV→0時，取ΔP/ΔV的極限，就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度，表示為(3-14)或p=J·E(3-15)此式就是焦耳定律的微分形式。

應(yīng)該指出，焦耳定律不適應(yīng)于運(yùn)流電流。因為對于運(yùn)流電流而言，電場力對電荷所做的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭幽?，而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。3.1.5恒定電流場的根本方程

我們將電源外部導(dǎo)體中恒定電場的根本方程歸納如下：(3-16)(3-17)與其相應(yīng)的積分形式為(3-18)(3-19)電流密度J與電場強(qiáng)度E之間滿足歐姆定律J=σE。以上的電場是指庫侖場，因為在電源外的導(dǎo)體中，非庫侖場為零。由于恒定電場的旋度為零，因而可以引入電位j，E=

－j。在均勻?qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率σ為常數(shù))，有3.1.6恒定電流場的邊界條件

將恒定電流場根本方程的積分形式應(yīng)用到兩種不同導(dǎo)體的界面上(如圖3-4所示)，可得出恒定電流場的邊界條件為n×(E2－E1)=0

(3-20)n·(J2－J1)=0

(3-21)或J1n=J2n(3-22)E1t=E2t(3-23)這說明，電流密度J在通過界面時其法向分量連續(xù)，電場強(qiáng)度E的切向分量連續(xù)。在恒定電場中，用電位j表示的邊界條件為(3-24)圖3-4邊界條件

例3-1設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì)，如圖3-5所示，求同軸線單位長度的漏電導(dǎo)。

解：漏電電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導(dǎo)體到外導(dǎo)體，如令沿軸向方向單位長度(L=1)從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I，那么在媒質(zhì)內(nèi)(a<r<b)，電流密度為(3-25)電場強(qiáng)度為圖3-5同軸線橫截面兩導(dǎo)體間的電位差為這樣，可求出單位長度的漏電導(dǎo)為例3-2一個同心球電容器的內(nèi)、外半徑為a、b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ，求該電容器的漏電導(dǎo)。解：媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體，設(shè)流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I，那么媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場為內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為漏電導(dǎo)為我們也可以通過計算媒質(zhì)內(nèi)的焦耳損耗功率，并由P=I2R求出漏電阻R：3.1.7恒定電流場與靜電場的比較

如果我們把導(dǎo)電媒質(zhì)中電源外部的恒定電場與不存在體電荷區(qū)域的靜電場加以比較,那么會發(fā)現(xiàn)兩者有許多相似之處,如表3-2。

可見，恒定電場中的E、j、J、I和σ分別與靜電場中的E、j、D、q和ε相互對應(yīng)，它們在方程和邊界中處于相同的地位，因而它們是對偶量。由于二者的電位都滿足拉普拉斯方程，只要兩種情況下的邊界條件相同，二者的電位必定是相同的。因此，當(dāng)某一特定的靜電問題的解時，與其相應(yīng)的恒定電場的解可以通過對偶量的代換(將靜電場中的D、q和ε換為J、I和σ)直接得出。這種方法稱為靜電比較法。例如，將金屬導(dǎo)體1、2作為正、負(fù)極板置于無限大電介質(zhì)或無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中，如圖3-6所示，可以用靜電比較法從電容計算極板間的電導(dǎo)。因為電容為圖3-6兩極板間的電場式中的面積分是沿正極板進(jìn)行的，線積分從正極到負(fù)極。極板間的電導(dǎo)為也就是說，恒定電場中的電導(dǎo)G和靜電場中的電容C也是對偶量。如對于線間距為d，線半徑為a的平行雙導(dǎo)線，周圍媒質(zhì)的介電常數(shù)為ε，電導(dǎo)率為σ，可從其電容直接寫出其電導(dǎo)為同理，由同軸線的單位長度電容公式可以直接得出同軸線單位長度的漏電導(dǎo)為例3-3計算深埋地下半徑為a的導(dǎo)體半球的接地電阻(如圖3-7所示)。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為σ；接地半球的電導(dǎo)率為無窮大。圖3-7半球形接地器解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看作等位體。在土壤內(nèi)，半徑r等于常數(shù)的半球面是等位面。假設(shè)從接地線流入大地的總電流為I，可以容易地求出，在土壤內(nèi)任意點(diǎn)處的電流密度，等于電流I均勻分布在半個球面上。即：這樣，就得到土壤內(nèi)的電場為例3-4求一條形狀均勻，但電導(dǎo)率非均勻的導(dǎo)線的電阻。設(shè)導(dǎo)線的橫截面為A，長度為L，電導(dǎo)率沿長度方向的分布為

，其中σ0為常數(shù)。

解：我們先計算位于x和x+Δx之間的這一小段導(dǎo)線的電阻，并用dR來表示它，很容易求得這個小段的電阻為同時我們能夠判別出各個小段的電阻是相互串聯(lián)關(guān)系。這樣就得到整個導(dǎo)線的電阻為：

例3-5一個導(dǎo)體的形狀為內(nèi)半徑a，外半徑b，高度為h的同心圓環(huán)柱狀結(jié)構(gòu)的1/4，如圖3-8所示。在以下三種情形下，求導(dǎo)體的電阻〔設(shè)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為常數(shù)〕。

(1)以頂面和底面為正負(fù)極；

(2)以內(nèi)外半徑為正負(fù)極；

(3)以左右側(cè)面為正負(fù)極。

解：〔1〕當(dāng)以上下面為正負(fù)極時，電阻器的幾何形狀與電導(dǎo)率都是均勻的，因而可以方便地算出電阻為圖3-8局部同心圓環(huán)電阻〔2〕當(dāng)以內(nèi)外半徑為正負(fù)極時，從內(nèi)半徑出發(fā)的電力線全部終止在外半徑上。此時不能采用均勻電阻器的公式計算。但是我們考慮在半徑r和半徑等于r+Δr之間的電阻，然后用電阻的串聯(lián)公式，就可以得出電阻為：〔3〕當(dāng)以左右兩個側(cè)面為正負(fù)極時，可以判定電力線是一個同心圓環(huán)形狀。我們把要計算的導(dǎo)體劃分為一系列的同心圓環(huán)，可以看出，每個圓環(huán)的電阻是并聯(lián)關(guān)系。我們先求出一個小圓環(huán)的電導(dǎo)值，并且把這個小的電導(dǎo)記作dG，使用電導(dǎo)的公式，即電導(dǎo)與電導(dǎo)率成正比，與面積成正比，與長度成反比，就有

對上述表達(dá)式積分，得到總的電導(dǎo)為。這樣就得到電阻為例3-6一段金屬導(dǎo)線的橫截面為半徑等于a的圓，導(dǎo)線長度為L，電導(dǎo)率非均勻，且其僅僅是半徑r的函數(shù)，其形式為σ=σ0r/a，求這段導(dǎo)線的電阻。解：我們把導(dǎo)線劃分為一系列同心圓環(huán)，先求出每個同心圓環(huán)的電阻，然后采用電阻并聯(lián)公式求總電阻。一個圓環(huán)元的長度是L，面積是2πrdr，電導(dǎo)率為σ=σ0r/a。我們可以容易地得到這個圓環(huán)的電阻為令此式中的Δr趨于零，就可以用dr來近似Δr，再采用電阻并聯(lián)公式，把每一個小電阻對應(yīng)的電導(dǎo)值疊加，并用積分計算這個疊加后的總電導(dǎo)，有最后得到電阻為3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度

運(yùn)動的電荷在它的周圍不但產(chǎn)生電場，同時還產(chǎn)生磁場。由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場不隨時間變化，稱為

恒定磁場，也稱為靜磁場。

恒定磁場的重要定律是安培定律(見圖3-9)。安培定律是法國物理學(xué)家安培根據(jù)實驗結(jié)果總結(jié)出來的一個根本定律。安培定律指出：在真空中載有電流I1的回路C1上任一線元dl1

對另一載有電流I2的回路C2上任一線元dl2的作用力為(3-26)圖3-9安培定律例3-7求載流I的有限長直導(dǎo)線(參見圖3-10)外任一點(diǎn)的磁場。

解：取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，導(dǎo)線和z軸重合，在圓柱坐標(biāo)中計算。將式(3-29)改寫為從對稱關(guān)系能夠看出磁場與坐標(biāo)φ無關(guān)。不失一般性，將場點(diǎn)取在φ=0，即場點(diǎn)坐標(biāo)為(r，0，z)，源點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0,z′)，注意這里的角度α選取逆時針方向為正。r=rer+zez，r′=z′ez，R=r－r′z′=z－rtanα，dz′=－rsec2αdαdl′=ezdz′=－ezrsec2αdαR=rsecα圖3-10例3-7用圖dl‘×R=ezdz’×[rer+(z－z‘)ez]=eφrdz’=－eφr2sec2αdα所以式中：對于無限長直導(dǎo)線(l→∞)，

，其產(chǎn)生的磁場為例3-8求載流的圓形導(dǎo)線回路在圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度〔如圖3-11所示〕。圖3-11圓形導(dǎo)線解：根據(jù)題意，源點(diǎn)在r處，并且r‘=exacosj+eyasinj；場點(diǎn)在r=0；這樣就有：

R=r－r’=－exacosj－eyasinj

R=|R|=a

Idl=eφIadj

我們先求出Idl×R的值。注意到

eφ=eycosj－exsinj

就有

Idl×R=ezIa2dj我們把上述各量代入由線電流產(chǎn)生的磁場公式就有3.3恒定磁場的根本方程

3.3.1磁通連續(xù)性原理

畢奧—薩伐爾定律是恒定磁場的一個根本實驗定律，由它可以導(dǎo)出恒定磁場的其它重要性質(zhì)。先討論恒定磁場的通量特性。

磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量(或磁通)，單位是Wb(韋伯)，用Φ表示：(3-32)如S是一個閉曲面，那么(3-33)現(xiàn)在我們以載流回路C產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為例，來計算恒定磁場在一個閉曲面上的通量。將式(3-29)代入式(3-33)，得上式中，，故可將其改寫為由矢量恒等式那么有而梯度場是無旋的，所以(3-34)使用散度定理，得到由于上式中積分區(qū)域V是任意的，所以對空間的各點(diǎn)，有(3-35)上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，它說明磁感應(yīng)強(qiáng)度B是一個無源(指散度源)場。3.3.2安培環(huán)路定律

以上我們討論了磁場的通量特性和散度特性，現(xiàn)在研究它的環(huán)量特性和旋度特性。考慮載有電流I的回路C′產(chǎn)生的磁場B，研究任意一條閉曲線C上B的環(huán)量。設(shè)P是C上的一點(diǎn)(如圖3-12所示)。

先作磁感應(yīng)強(qiáng)度B與線元dl的點(diǎn)積：把其對回路C'積分，就得到P點(diǎn)對回路C'移動dl時所掃過的面積張的立體角，記其為dΩ，那么以上的磁場環(huán)量可以表示為圖3-12環(huán)路定律可以證明，當(dāng)載流回路C'和積分回路C相交鏈時，有當(dāng)載流回路C′和積分回路C不交鏈時，有這樣當(dāng)積分回路C和電流I相交鏈時，可得(3-36)當(dāng)穿過積分回路C的電流是幾個電流時，可以將式(3-36)改寫為一般形式：(3-37)上式就是真空中的安培環(huán)路定律。根據(jù)斯托克斯定理，可以導(dǎo)出安培回路定律的微分形式：由于因而可將式(3-37)寫為因積分區(qū)域S是任意的，因而有(3-38)上式是安培環(huán)路定律的微分形式，它說明磁場的渦旋源是電流。我們可用此式從磁場求電流分布。對于對稱分布的電流，我們可以用安培環(huán)路定律的積分形式，從電流求出磁場。例3-9半徑為a的無限長直導(dǎo)線，載有電流I，計算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解：在圓柱坐標(biāo)系中計算，取導(dǎo)體中軸線和z軸重合(同例3-7的圖示)。由對稱性知道，磁場與z和φ無關(guān)，只是r的函數(shù)，且只有分量，即磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)體中軸線上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為r的積分路徑C，依安培環(huán)路定律得在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布，導(dǎo)線外電流為零，即當(dāng)r>a時，積分回路包圍的電流為I；當(dāng)r≤a時，回路包圍電流為Ir2/a2。所以當(dāng)r≤a時，當(dāng)r>a時，寫成矢量形式為(3-39)3.4矢量磁位

從上節(jié)可知，磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度恒為零。由矢量恒等式我們得知，一個無源(散度源)場B總能表示成為另一個矢量場的旋度，因此可以令

B=×A(3-40)

稱式中的A為矢量磁位(簡稱磁矢位)，其單位是T·m(特斯拉·米)或Wb/m(韋伯/米)。矢量磁位是一個輔助量。式(3-40)僅僅規(guī)定了磁矢位A的旋度，而A的散度可以任意假定。因為假設(shè)B=×A，另一矢量A'=A+Ψ，其中Ψ是一個任意標(biāo)量函數(shù)，那么

×A'=×A+×Ψ=×A=B即A‘和A的旋度都為B，但它們具有不同的散度。指定一個磁矢位的散度，稱為一種標(biāo)準(zhǔn)。在恒定磁場中，選取磁矢位的散度為零較為方便，即

·A=0

上式稱為庫侖標(biāo)準(zhǔn)。

將磁矢位代入式(3-38)，得到

××A=μ0J

使用矢量恒等式××A=－2A+·A，并且代入庫侖標(biāo)準(zhǔn)，有

2A=－μ0J(3-41)上式是磁矢位滿足的微分方程，稱為磁矢位的泊松方程。對無源區(qū)(J=0)，磁矢位滿足矢量拉普拉斯方程，即

2A=0式中，2是矢量拉普拉斯算符。在任意坐標(biāo)系中，其展開較復(fù)雜,但在直角坐標(biāo)系中,其可以寫成對各個分量運(yùn)算，即

2A=ex

2Ax+ey

2Ay+ez

2Az

從而，可得到方程式(3-41)的分量形式：將這三個方程與靜電場中電位的泊松方程比照，可以寫出磁矢位的解：將其寫成矢量形式為(3-42)假設(shè)磁場由面電流JS產(chǎn)生，容易寫出其磁矢位為(3-43)同理，線電流產(chǎn)生的磁矢位為(3-44)磁通的計算也可以通過磁矢位表示：(3-45)其中，C是曲面S的邊界。例3-10求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。

解：取如圖3-13所示的坐標(biāo)系，A只有z分量，場點(diǎn)坐標(biāo)是(r，φ，z)。當(dāng)l>>z時，有上式中，假設(shè)再取l>>r，那么有圖3-13直導(dǎo)線磁矢位例3-11用磁矢位重新計算載流直導(dǎo)線的磁場。

解：坐標(biāo)系如例3-7所示，在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布，導(dǎo)線外電流為零。從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量，而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù)，即A=ezA(r)設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁矢位是A1，導(dǎo)線外磁矢位是A2，那么由式(3-41)，得r<a時，r>a時，考慮到磁矢位只是r的函數(shù)，以上兩個偏微分方程就化為常微分方程。對其積分，可以得出

其中，C1、C2、C3、C4是待定常數(shù)。我們先確定常數(shù)C1。由于r=0處磁矢位不應(yīng)是無窮大，所以可以定出C1=0。其余的三個常數(shù)暫時不考慮。將磁矢位代入公式可以求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場分別為這里仍然有一個常數(shù)C3待定?？梢詮姆纸缑嫔涎貓A周方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度連續(xù)(詳細(xì)的論述見后面的恒定磁場邊界條件一節(jié))定出C3：導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為3.5磁偶極子

我們先考慮一個載流I、半徑為a的圓形平面回路在遠(yuǎn)離回路的區(qū)域產(chǎn)生的磁場(如圖3-14所示)。取載流回路位于xoy平面，并且中心在原點(diǎn)。因為本問題的電流分布的對稱性，所以磁矢位在球面坐標(biāo)系只有Aφ分量。Aφ是r和θ的函數(shù)，與φ無關(guān)。根據(jù)這一性質(zhì)，可以將場點(diǎn)選取在xoz平面。

在此平面里，Aφ與直角坐標(biāo)的Ay分量一致，它是電流元矢量Idl′的y分量Iadφcosφ所產(chǎn)生的磁矢位分量總和。(3-46)圖3-14磁偶極子式中：如果r>>a，那么從圖3-14可見，r=r(exsinθ+ezcosθ)r'=a(excosφ+eysinφ)所以將上式代入式(3-46)，積分后得出(3-47)式中，m=Iπa2，是圓形回路磁矩的模值。一個載流回路的磁矩是一個矢量，其方向與環(huán)路的法線方向一致，大小等于電流乘以回路面積，即其定義為m=IS我們可將式(3-47)改寫為(3-48)對式(3-47)在球面坐標(biāo)系中求旋度，得出磁場：(3-49)

3.6磁介質(zhì)中的場方程

3.6.1磁化強(qiáng)度

在普通物理課程中，我們學(xué)習(xí)過任何物質(zhì)原子內(nèi)部的電子總是沿軌道作公轉(zhuǎn)運(yùn)動，同時作自旋運(yùn)動。電子運(yùn)動時所產(chǎn)生的效應(yīng)與回路電流所產(chǎn)生的效應(yīng)相同。物質(zhì)分子內(nèi)所有電子對外部所產(chǎn)生的磁效應(yīng)總和可用一個等效回路電流表示。這個等效回路電流稱為分子電流，分子電流的磁矩叫做分子磁矩。在外磁場的作用下，電子的運(yùn)動狀態(tài)要產(chǎn)生變化，這種現(xiàn)象稱為物質(zhì)的磁化。能被引起磁化的物質(zhì)叫磁介質(zhì)。磁介質(zhì)分為三類：抗磁性磁介質(zhì)(如金、銀、銅、石墨、鍺、氯化鈉等)；順磁性磁介質(zhì)(如氮?dú)狻⒘蛩醽嗚F等)；鐵磁性磁介質(zhì)(如鐵、鎳、鈷等)。這三類磁介質(zhì)在外磁場的作用下，都要產(chǎn)生感應(yīng)磁矩，且物質(zhì)內(nèi)部的固有磁矩沿外磁場方向取向，這種現(xiàn)象叫做物質(zhì)的磁化。磁化介質(zhì)可以看作是真空中沿一定方向排列的磁偶極子的集合。為了定量描述介質(zhì)磁化程度的強(qiáng)弱，引入一個宏觀物理量磁化強(qiáng)度M，其定義為介質(zhì)內(nèi)單位體積內(nèi)的分子磁矩，即(3-50)式中m是分子磁矩，求和對體積元ΔV內(nèi)的所有分子進(jìn)行。磁化強(qiáng)度M的單位是A/m(安培/米)。如在磁化介質(zhì)中的體積元ΔV內(nèi)，每一個分子磁矩的大小和方向全相同(都為m)，單位體積內(nèi)分子數(shù)是N，那么磁化強(qiáng)度為(3-51)3.6.2磁化電流

磁介質(zhì)被外磁場磁化以后，就可以看作是真空中的一系列磁偶極子。磁化介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場實際上就是這些磁偶極子在真空中產(chǎn)生的磁場。磁化介質(zhì)中由于分子磁矩的有序排列，在介質(zhì)內(nèi)部要產(chǎn)生某一個方向的凈電流，在介質(zhì)的外表也要產(chǎn)生宏觀面電流。下面計算磁化電流強(qiáng)度。如圖3-15所示，設(shè)P為磁化介質(zhì)外部的一點(diǎn)，磁化介質(zhì)內(nèi)部r′處體積元ΔV′內(nèi)的磁偶極矩為MΔV′，它在r處產(chǎn)生的磁矢位為全部磁介質(zhì)在r處產(chǎn)生的磁矢位為圖3-15磁化介質(zhì)的場可以將上式改寫為再用恒等式可將磁矢位的表示式變形為等效體電流和面電流密度分別為(3-52)(3-53)其中，n是磁化介質(zhì)外表的外法向。這個等效電流也叫做磁化電流(如圖3-16所示)，或叫束縛電流。圖3-16磁化電流示意圖例3-12半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖3-17所示)，磁化強(qiáng)度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。

解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時，M=M0ez，由式(3-52)得磁化電流為在界面z=0上，n=－ez，JmS=M×n=M0ez×(－ez)=0在界面z=L上，n=ez，JmS=M×n=M0ez×ez=0在界面r=a上，n=er，

JmS=M×n=M0ez×er=M0eφ

圖3-17例3-12用圖3.6.3磁場強(qiáng)度

在外磁場的作用下，磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Jm。磁化電流Jm和外加的電流J都產(chǎn)生磁場，這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式：將式(3-52)代入上式，得將上式改寫為令其中H稱為磁場強(qiáng)度，單位是A/m(安培/米)。于是有(3-55)與上式相應(yīng)的微分形式是×H=J(3-56)式(3-55)稱為磁介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律，式(3-56)是其微分形式。3.6.4磁導(dǎo)率

由于在磁介質(zhì)中引入了輔助量H，因此必須知道B與H之

間的關(guān)系才能最后解出磁感應(yīng)強(qiáng)度B。B和H的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系，它表示磁介質(zhì)的磁化特性。將式(3-54)改寫為

B=μ0(H+M)(3-57)

由于歷史上的原因以及方便測量的因素，常常使用磁化強(qiáng)度M與磁場強(qiáng)度H之間的關(guān)系來表征磁介質(zhì)的特性，并按照M與H之間的不同關(guān)系，將磁介質(zhì)分為各向同性與各向異性、線性與非線性以及均勻與非均勻等類別。對于線性各向同性的均勻磁介質(zhì)，M與H間的關(guān)系為

M=χmH(3-58)式中χm是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率。非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場強(qiáng)度有關(guān)，非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù)，各向異性介質(zhì)的M和H的方向不在同一方向上。順磁介質(zhì)的χm為正，抗磁介質(zhì)的χm為負(fù)。這兩類介質(zhì)的χm約為10－5量級。將式(3-58)代入式(3-57)，得

B=μ0(H+M)=μ0(1+χm)H=μrμ0H=μH(3-59)

式中，μr=1+χm，是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率，是一個無量綱數(shù)；μ=μ0μr，是介質(zhì)的磁導(dǎo)率，單位和真空磁導(dǎo)率相同，為H/m(亨/米)。

鐵磁材料的B和H的關(guān)系是非線性的，并且B不是H的單值函數(shù)，會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象，其磁化率χm的變化范圍很大，可以到達(dá)106量級。3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場的根本方程

綜上所述，我們得到磁介質(zhì)中描述磁場的根本方程為

×H=J(3-60)

·B=0(3-61)

B=μH(3-62)

式(3-60)和式(3-61)是介質(zhì)中恒定磁場方程的微分形式，其相應(yīng)的積分形式為(3-63)(3-64)由式(3-61)可以看出，在介質(zhì)中同樣可以定義磁矢位A，使B=×A。在線性均勻各向同性介質(zhì)中，如采用庫侖標(biāo)準(zhǔn)，那么磁矢位的微分方程為

2A=－μJ(3-65)

例3-13同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,外半徑為c,如圖3-18所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過反向的電流I，兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ,求各區(qū)域的H、B、M。

解：以后如無特別聲明，對良導(dǎo)體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導(dǎo)率為μ0。因同軸線為無限長，那么其磁場沿軸線無變化，該磁場只有φ分量，且其大小只是r的函數(shù)。分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律，求出各區(qū)的磁場強(qiáng)度H，然后由H求出B和M。圖3-18同軸線示意圖當(dāng)r≤a時，電流I在導(dǎo)體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得考慮這一區(qū)域的磁導(dǎo)率為μ0，可得3.7恒定磁場的邊界條件

在不同磁介質(zhì)的分界面上，磁場是不連續(xù)的，B和H在經(jīng)過界面時會發(fā)生突變。場矢量在不同磁介質(zhì)的界面上的變化規(guī)律叫做邊界條件。我們可以由恒定磁場根本方程的積分形式導(dǎo)出恒定磁場的邊界條件。

先推導(dǎo)B的法向分量的邊界條件。在分界面上作一圓柱狀小閉合面，圓柱的頂面和底面分別在分界面的兩側(cè)，且都與分界面平行(如圖3-19所示)。設(shè)底面和頂面的面積均等于ΔS。將積分形式的磁通連續(xù)性原理(即)應(yīng)用到此閉合面上，假設(shè)圓柱體的高度h趨于零，得(3-66)圖3-19B的邊界條件寫成矢量形式為(3-67)上式稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量法向分量的邊界條件，它說明磁感應(yīng)強(qiáng)度的法向分量在兩種磁介質(zhì)的界面上是連續(xù)的。再來推導(dǎo)H的切向分量的邊界條件。在分界面上作一小矩形回路，回路的兩邊分別位于分界面兩側(cè)，回路的高h(yuǎn)→0，令n表示界面上Δl中點(diǎn)處的法向單位矢，l°表示該點(diǎn)的切向單位矢，b為垂直于n、l°的單位矢(注意，b也是界面的切向單位矢，b和積分回路C垂直，而l°位于積分回路C內(nèi))，如圖3-20所示。將介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律圖3-20H的邊界條件應(yīng)用在這一回路，得假設(shè)界面上的電流可以看成面電流，那么于是有考慮到l°=b×n，得使用矢量恒等式(A×B)·C=(B×C)·A可得[n×(H2－H1)]·b=JS·b上式中，b是界面的切面內(nèi)的任意矢量(l°也是切面內(nèi)任

意矢量)，JS和n×(H2－H1)都位于切面內(nèi)。因此由上式可得

n×(H2－H1)=JS(3-68)

式(3-68)就是兩種磁介質(zhì)邊界面上磁場強(qiáng)度H的邊界條件。它說明磁場強(qiáng)度的切向分量在界面兩側(cè)不連續(xù)。如果無面電流(JS=0)，那么這一邊界條件變?yōu)?/p>

n×(H2－H1)=0(3-69)

用下標(biāo)t表示切向分量，上式可以寫成標(biāo)量形式：

H2t=H1t(3-70)3.8標(biāo)量磁位

根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場的根本方程式(3-60)可知，在無自由電流(J=0)的區(qū)域里，磁場強(qiáng)度H是無旋的。此時，磁場強(qiáng)度可以表示為一個標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度，即

H=－jm(3-72)

jm稱為磁場的標(biāo)量位函數(shù)，單位為A(安培)。上式中的負(fù)號是為了與靜電位對應(yīng)而人為參加的。

在均勻介質(zhì)中，由式(3-60)和(3-61)可得

·B=·(μH)=μ·H=0

將式(3-72)代入到上式中,可得磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程，即

2jm=0(3-73)所以用微分方程求磁標(biāo)位時，也同靜電位一樣，是求拉普拉斯方程的解。磁場的邊界條件用磁標(biāo)位表示時，為(3-74)(3-75)磁標(biāo)位在求解永磁體的磁場問題時比較方便(因其內(nèi)無自由電流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率，因而永磁體外表是一個等位(磁標(biāo)位)面，這時可以用靜電比較法來計算永磁體的磁場。3.9互感和自感

在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ也是與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝，那么總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈，用Ψ表示。對于密繞線圈，可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等，從而有Ψ=NΦ。

一個回路的自感定義為回路的磁鏈和回路電流之比，用L表示，即(3-78)自感的單位是H(亨利)。自感的大小取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。

我們用Ψ12表示載流回路C1的磁場在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈。顯然Ψ12與電流I1成正比，這一比值稱為互感，如圖3-21所示，即(3-79a)互感的單位與自感相同。同樣，我們可以用載流回路C2的磁場在回路C1上產(chǎn)生的磁鏈Ψ21與電流I2的比來定義互感M21，即(3-79b)圖3-21互感互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。

現(xiàn)在推導(dǎo)互感的計算公式。如圖3-21所示，當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個回路之間的最近距離時，兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩個回路都只

有一匝。當(dāng)回路C1載有電流I1時，C2上的磁鏈為式中，A12為電流I1在C2上的磁矢位，即因而(3-80)對于自感，也能寫成式(3-80)的形式：(3-81)式中dl1和dl2都是沿回路C的線元，它們之間的距離為R(如圖3-22所示)。當(dāng)兩個線元重合(R=0)時，積分值趨于無窮大。這是由于忽略了回路導(dǎo)線的截面所致。為了用諾伊曼公式計算自感，就必須考慮導(dǎo)線的橫截面積。計及橫截面的因素以后，可以將自磁鏈分為外磁鏈Ψe和內(nèi)磁鏈Ψi兩局部，相應(yīng)的自感也分為外自感Le和內(nèi)自感Li。Ψe是通過導(dǎo)體外部的與回路的全部電流交鏈的磁鏈；而Ψi為通過導(dǎo)體內(nèi)部因而只與局部電流交鏈的磁鏈。計算外磁鏈時，可近似認(rèn)為全部電流I集中在導(dǎo)體回路的軸線C1上，并將此電流的磁場與導(dǎo)體回路的內(nèi)緣C2所交鏈的磁鏈作為外磁鏈，這樣得出外自感為(3-82)圖3-22內(nèi)自感例3-14求無限長平行雙導(dǎo)線(如圖3-23所示)單位長外自感。

解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I，由無限長導(dǎo)線的磁場公式，可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為所以單位長外自感為圖3-23平行雙導(dǎo)線3.10磁場能量

為簡單起見，先計算兩個分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量。假定回路的形狀、相對位置不變，同時忽略焦耳熱損耗。在建立磁場的過程中，兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t)，最初，i1=0，i2=0，最終，i1=I1，i2=I2。在這一過程中，電源做的功轉(zhuǎn)變成磁場能量。我們知道，系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān)，與建立狀態(tài)的方式無關(guān)。為計算這個能量，先假定回路2的電流為零，求出回路1中的電流i1從零增加到I1時，電源做的功W1；其次，回路1中的電流I1不變,求出回路2中的電流從零增加到I2時,電源做的功W2。從而得出這一過程中,電源對整個回路系統(tǒng)做的總功Wm=W1+W2。當(dāng)保持回路2的電流i2=0時，回路1中的電流i1在dt時間內(nèi)有一個增量di1，周圍空間的磁場將發(fā)生改變，回路1和2的磁通分別有增量dΨ11和dΨ12，相應(yīng)地在兩個回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢E1=－dΨ11/dt和E2=－dΨ12/dt。感應(yīng)電勢的方向總是阻止電流增加。因而，為使回路1中的電流得到增量di1，必須在回路1中外加電壓U1=－E1；為使回路2電流為零，也必須在回路2中加上電壓U2=－E2。所以在dt時間里，電源做功為

dW1=U1i1dt+U2i2dt=U1i1dt=－E1i1dt=i1dΨ11=L1i1di1

在回路的電流從零到I1的過程中，電源做功為下面計算當(dāng)回路1的電流I1保持不變時，使回路2的電流從零增到I2，電源做的功W2。假設(shè)在dt時間內(nèi)，電流i2有增量di2，這時回路1中的感應(yīng)電勢為E1=－dΨ21/dt，回路2中的感應(yīng)電勢為E2=－dΨ22/dt。為克服感應(yīng)電勢，必須在兩個回路上加上與感應(yīng)電勢反向的電壓。在dt時間內(nèi)，電源做功為

dW2=M21I1di2+L2i2di2

積分得回路1電流保持不變時，電源做功總量為最后得到電源對整個電流回路系統(tǒng)所做的總功為(3-83)式中，L1I21/2和L2I22/2分別是回路C1和C2的自能，M21I1I2是兩回路的相互作用能。上式可以用磁通來表示：(3-84)

式中，Ψ1=Ψ11+Ψ21是與回路C1交鏈的總磁通，Ψ2=Ψ12+Ψ22是與回路C2交鏈的總磁通(均假設(shè)回路為一匝)。這個結(jié)果可推廣到N個電流回路系統(tǒng)，其磁能為(3-85)式中：(3-86)Ψji是回路