2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019單元復(fù)習(xí)試題單元復(fù)習(xí)11解三角形提高題

單元復(fù)習(xí)11解三角形

基礎(chǔ)紙、*

一、單選題

1.在中，2=30。，BC=2,AB=^3,則邊NC的長等于（）

A.73-1B.1C.V3D.2

【答案】B

【分析】利用余弦定理即得.

【解析】由余弦定理，^AC2=AB2+BC2-2AB-BCCOSB=?,+4-2^X2X^=1,

2

解得NC=1.

故選：B.

57a

2.已知的三個內(nèi)角A、B、。滿足一；=一r=一則5=()

sinAsinBsinC

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理求出cosB的值，結(jié)合角5的取值范圍可求得結(jié)果.

57_857g

【解析】因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻靡欢?=—,

sin力sinBsinCabc

設(shè)。=夕?>0）,則6=7/,。=8方，由余弦定理可得cos5=/+?一）二】

lac2

0°<S<180°,因此，5=60°.

故選：C.

3.在AJBC中，角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,若§<cosN,則AA8C必為（）

b

A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

【答案】A

【分析】由正弦定理得到IsinC<cos/sin8,得出sin/cosB<0,進(jìn)而sin/>0,cos8<0,即可求解.

osinC

【解析】因?yàn)?<cos4,由正弦定理可得二一<cos4,即sinC<cos/sinB,

bsin5

又因?yàn)閟inC=sin(4+/)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinZcosB+cosZsinB<cossin5，即sinAcosB<0，

因?yàn)?8￡（0,%），所以sin4〉0,cosB<0,

TT

所以Be（萬,萬），所以“3C為鈍角三角形.

故選：A.

4.為加快推進(jìn)“5G+光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在東北某地地面有四個5G基站/,B,C,D.已知C,

。兩個基站建在松花江的南岸，距離為106km;基站48在江的北岸，測得//CS=75。，ZACD=120°,

44DC=30。，ZADB=45°,則4,8兩個基站的距離為（）

A.10V6kmB.30(73-l)km

C.30(V2-l)kmD.10通km

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得/C=C0=loG，NCBD=60°,利用正弦定理求出8C,進(jìn)而結(jié)合余弦定理即可求

出/R

【解析】在"CO中，ZADC=30°,Z^C￡>=75°+45°=120°,

所以=30°,有N4DC=/CAD,所以NC=CD=106，

在ABDC中，ZCBD=180°-(75°+45°)=60°,

由正弦定理，得BC=l0*smJ5=5二+5#,

sin60

在AZSC中，由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2AC-BCCOSZBCA

=(10V3)2+(5^+5A^)2-2X10^-X(5^+5cos75°=500,

所以48=100，即兩個基站/、8之間的距離為10石府?.

故選：D

5.“BC的內(nèi)角B,C的對邊分別為a,b,c,已知csin/=GacosC,c=2^/3,ab-8,則6的值

是（）

A.6B.8C.4D.2

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦定理結(jié)合題干條件可得到tanC=VL再由余弦定理得cosC=S+4-2仍-c：_L,代

2ab2

入已知條件可得到最終結(jié)果.

【解析】因?yàn)閏sin/=6QCOSC,

根據(jù)正弦定理得到：sinCsin4=百sinAcosC

???sin4w0故得到tanC=6

CG(O,TT):.C"

22

再由余弦定理得到：COSC/+//=(a+b)-2ab-c=￡

2ab2ab2

代入c=2百，ab=8,得到|Q+Z＞=6.

故選：A.

6.已知銳角力B。的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為Q,b,c,tanA+tanC+V3=V3tanA-tanC,且。=1,

則面積的取值范圍為()

A.(0,2)B.，半］A加D.隹*)

【答案】D

【分析】由已知條件結(jié)合兩角和的正切公式及誘導(dǎo)公式可求出角B,再利用正切定理可得

°=更上1=31—+1，結(jié)合角C的范圍可得:＜。＜2,從而可求出“3C面積的取值范圍

sinC2tanC22

【解析】因?yàn)閠an(/+C)=tan/+tanC=6tan/tanC-?=^(tan/tanC-l)=一百,

1-tanAtanC1-tanAtanC1-tanAtanC

所以tan8=-tan(Z+C)=VJ.

JT

因?yàn)?<5<?,所以5=

.(27rd2乃27r

由正弦定理得,_csinNsincosC-cos芋sinC_寺「.

sinCsinCsinC2tanC2

由于小BC為銳角三角形,

故0<------C<—,0<C<—.

322

所以￡<c<g.

62

所以LQ<2.

2

所以S=；“csin8=

故選：D.

二、多選題

7.三角形^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,下列條件能判斷^ABC是鈍角三角形的有()

A.a=6,b=5,c=4B.AB-BC=2a

a-bsinC.,

C.-----=--D.ZrsiirC+c-sirrB=26ccos3cosc

c+bSIIL4+siaB

【答案】BC

【分析】利用正余弦定理逐一判斷即可

【解析】A：由a>b>c可知/>3>C,且62+C2=41>36=/,所以A是銳角，故A不能判斷；

B：由A8.8C=-accosB=2a,得cosB<0,則B為鈍角,故B能判斷；

C：由正弦定理紇鄉(xiāng)=/7,得從+C2-/=一左，貝iJcos/=-1,A=故C能判斷；

c+ba+b23

D：由正弦定理，條件等價(jià)于sin25sin2C+sin2Csin?5=2sin5sinCcosBcosC,

jrjr

貝!Jsin8sinC=cos8cosC,即cos(2+C)=0,故8+C=—,則/=—,故D不能判斷.

22

故選：BC

8.不解三角形，則下列對三角形解的個數(shù)的判斷中正確的是()

A.a=30,6=25,/=150。，有一解B.a=7,6=14,4=30。，有兩解

C.。=6,6=9,/=45\有兩角畢D.a=V3,b=V6,A=60°,無角軍

【答案】AD

【分析】應(yīng)用正弦定理結(jié)合各選項(xiàng)的條件求sin5=變巴且，由三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可判斷各選項(xiàng)的正誤.

a

hciiq/5jr

【解析】A：由正弦定理sin8=--------,又0<B<7,故3只有一個解，正確；

a126

B：由正弦定理sin8=MW=l,又。<B<當(dāng),顯然只有一個解，錯誤；

a62

C：由正弦定理sin8=竺也4=土＞1,顯然B無解，錯誤;

a4

D：由正弦定理引118=變電應(yīng)=必＞1,顯然B無解，正確；

a2

故選：AD

三、填空題

9.已知在。中，sin力：sin8:sinC=4:3:2,則cosB等于.

【答案】《

【分析】由正弦定理可得a:b:c=4:3:2,令a=4m,b=3m,c=2m,然后利用余弦定理可求出cosB

【解析】因?yàn)樵谥校瑂inZ:sinB:sinC=4:3:2,

所以正弦定理可得〃：6:c=4:3:2,則令。=4加,6=3加,。=2冽(m＞0),

a2+c2-b216m2+4m2-9m2_1Im2_11

由余弦定理得cos8=

2ac2Am-2m16m216

故答案為：--

16

\AB\

10.在AAS。中，已知2cos之B-cos/=1,則由胃的取值范圍為

\8C\

【答案】［o,|

【分析】利用二倍角公式分析得出/=22,利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換化簡得出素=2cos3-1

2cos5'

\\/、1/、\AB\

令COSB",貝/⑺=2”2,利用函數(shù)/⑺的單調(diào)性可求得M的取值范圍.

【解析】因?yàn)?cos25-cos4=1,cosA=2cos2B-\=cos2B,

因?yàn)锳、Be(O,^-),故25￡(0,2?),所以4=25或4+25=2".

因?yàn)?</+3<乃，故4+25<2乃，故Z=2B.

sin(4+B)sin35_sin25cos54cos25sinB

則由正弦定理得正=MT

sinAsin252sin5cos5

2sin5cos25+(2cos25-l)sin54cos2B-l1

------------------------------』----二---------二2cos5--------

2sinBcos52cos52cos5

因?yàn)镃=〃-38e（O,萬），所以所以cosB^d，

設(shè)cosB=t,則貝=

設(shè)/⑺=2/：,fegl],則/⑺在。lj上單調(diào)遞增，則/出<〃0<〃1）,即0<?黎<]

\AB\（3、

所以的取值范圍為[OqJ.

故答案為：]o,|]

四、解答題

11.在△A8C中，內(nèi)角/、B、C所對的邊分別為。、b、c,且加inC+屈?cosBuO.

（1）求角B的大小；

（2）若b=7,a+c=8,求△/BC的面積.

【答案】（1）告

C、15G

~4~

【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行求解即可；

（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式進(jìn)行求解即可.

【解析】（1）由正弦定理可得sin8sinC+gsinC-cos3=0,

又Ce(O/),所以sinCVO,因此tan8=-0,

又8e（O/）,所以8=學(xué)；

(2)由余弦定理，得〃=/+c2-2accosB=(a+cy-2ac-2accos=(a+c)2-ac

所以ac=(q+一/=64-49=15,

所以△ZBC的面積S=—acsin5=—x15x——=-....

2224

.A小心f、_L八…、r,lsin4+sin5b-c

12.在“Be中，角4,B,C的對邊分別為q,b,c,且---；——...=-----

sinCb-a

⑴求角A；

(2)若。=&，的面積為內(nèi)，求小8C的周長.

【答案】⑴/4

(2)在+班

【分析】(1)由正弦定理得到C2+62-1=6C,再使用余弦定理求出/；(2)由面積公式求出慶=4,再

使用余弦定理求出6+c=3也，進(jìn)而求出周長.

(1)

E、IsinZ+sinBb-ca+bb-c

因?yàn)椤?-——，所以----=--，

sinCb-acb-a

21

化簡得。2+h-a=hc,所以cosA：'+0———=bc^_J_

2bc2bc2

因?yàn)樨?，所以4=最

⑵

因?yàn)椤５拿娣e為6，所以,bcsin/=,得be=4.

24

因?yàn)椤?。=屈，所以〃+c2_26ccosg=6,整理得0+c)2=3bc+6=18,解得6+0=3Q.

故“3C的周長為赤+班.

13.在①加acos"；'=csin/,(2)5/3^=A/3CCOSB+bsinC,③cos?/-cos?C=sin?B-sin/sin5,這三個

條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，并給出解答.

問題：已知。BC內(nèi)角/,B,C的對邊分別是a,b,c,c=6,,求a+2Z＞的最大值.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

【答案】2a

【分析】若選①，由已知條件三角恒等變換可求NC,再利用正弦定理邊化角求a+26最大值；

若選②，由己知條件三角恒等變換可求NC,再利用正弦定理邊化角求。+26最大值；

若選③，由已知條件、正弦定理、余弦定理可求/C,再利用正弦定理邊化角求a+26最大值.

【解析】若選①，,.,/+8+。=%，由已知條件得百sin/sin￡=sinCsinN,

2

ccc

由sin/wO,得百sin—=2sin—cos一,

由sin}~/0,得cosC=，^

222

VCe(O,^-),,C=J

263

由正弦定理，有；b

Sinnsin5sinC

a=2sin4,Z)=2sin5,

a+26=2sin/+4sin5

=2sin4+4sin4d——=2sin/+4—sin/H-----cosA

I3；122

2

=4sin24+2VJcos=2V7sin(4+0),(其中sin9=g,COS(D=—i=

V7)

jr

-ATT，上存在/,使得/+。=5,

此時(shí)a+2b取得最大值為2療.

若選②:VJsinA=V3sinCcosB+sinBsinC，

Gsin(5+C)=6sinCcosB+sin5sinC,

A/3(sinBcosC+cos5sinC)=出sinCcos5+sinBsinC,

化簡得VJsin8cosc=sinBsinC,

由sinB^O,WtanC=V3.VCe(O,^),'-c=^-

下同①；

若選③：1一sin?24-(1-sin2=sin28-sin/sin3,

sin2C-sin2A=sin28-sinZsinB，

由正弦定理得02—M,

由余弦定理得cosC==+”一L=

2ab2

VCe(O,^),C=1.

下同①.

14.(1)在“BC中，角A,B,。所對的邊分別為。，b,c,若.cosC+2&sinC-b-c=0,且a=2,

則^ABC內(nèi)切圓半徑的最大值為

(2)隨著節(jié)假日外出旅游人數(shù)增多，倡導(dǎo)文明旅游的同時(shí)，生活垃圾處理也面臨新的挑戰(zhàn)，某海濱城市沿

海有4B,C三個旅游景點(diǎn)，在岸邊3C兩地的中點(diǎn)處設(shè)有一個垃圾回收站點(diǎn)O(如圖)，A,6兩地相距

10km,從回收站。觀望A地和B地所成的視角為60°,且方,+礪2“方商，設(shè)/c=x加；

(?)用X分別表示a2+礪2和方.赤，并求出X的取值范圍；

(")若8地到直線NC的距離為2Z),求的最大值.

【答案】(1)—;(2)(z)OA2+OB2=X+10°,OA-OB=X~iQQ,10<x<10^;(2)8。的最大

324

值為10.

【分析】(1)由正弦定理得sin/cosC+JJsinZsinC-sinB-siiiC=0,再由怛等變換求得sin(/—：)二大，

62

根據(jù)角的范圍得4=?,由余弦定理得(6+。)2-4=3秘，根據(jù)基本不等式得0K6+CW4,令內(nèi)切圓的

半徑為凡由三角形的面積公式求得尺=?s+c-2),由此求得內(nèi)切圓半徑的最大值；

(2)⑴在ACMC中，由余弦定理得CM?+og2_2O/.03.cos1200=x2,①，在AO4B中，由余弦定理得，

OA2+OB2-1OAOB-cos600=100,②，兩式進(jìn)行加減運(yùn)算可求得方,+礪2,萬.礪，由己知不等式

可求得x的范圍.

(")由邑.=2,加和&皿設(shè)8D=/(x),得了⑴=—⑼),xe(10,10^],根據(jù)函

數(shù)〃x)的單調(diào)性可求得8。的最大值.

【解析】解：(1)因?yàn)閍cosC+26sinC-b-c=0,且。=2,所以acosC+\^7sinC-b-c=0,

由正弦定理得sinAcosC+百sin4sinC-sin5-sinC=0,

又sin5=sin(Z+C)=sin/cosC+cos/sinC,所以GsinCsin/—cos4sinC=sinC,

由于sinCwO,得V^sinZ—cos/=1,即sin(4—g)=7，又Zw(0,?),可得/—JE(一。*^),得4一￡=￡,

6266666

由余弦定理得cosN。,可得(6+C)2_4=36C,由6cW(竽了，得他+j_4V迎士支，所以

2bc22'/4

有0<6+c44,

11/?

令A(yù)ZS。內(nèi)切圓的半徑為R,故黑幺皿=不俗+6+④氏=5'。‘111%,,得(2+b+c)E=——be,代入

222

(6+C)2-4=36C,得

6be出；[("c)T

22+b+c22+b+c

_A/3(Z)+c)2-4_V3(6+c+2)僅+c—2)

66+c+26b+c+2

=&b+c-2),故Av@x(4-2)=3,故A/I3C內(nèi)切圓半徑的最大值為由;

6633

故答案為：昱.

3

(2)(i)在AO/C中，AAOC=120°,AC=x,

由余弦定理得，OA2+OC2-2OAOC-cos1200=x2,

又OC=BO,所以042+。32_20/.08<05120°=/,①,

在AO/5中，/8=10,ZAOB=60°,

由余弦定理得，OA2+OB2-20A-OB-cos600=100,②，

①+②得of+OB、即OA2+OB2=

22

①②得4cM-02-cos600=/一100,所以次?赤=三二W2

4

又方?+麗飛4次.赤，所以追啰"，gPx2<300,

XOA-OB=X-100>0,BPx2>100,所以10<xV106.

2

SS

(").OAB=.OAC>ABr=2S=2x-xO^.OSsin600=^i

△/loCAOAD2

又S.ABc=gAC-BD,設(shè)BD=f(x),

V3(X2-100)

xe(10,105/3],

所以/(x)=

2x

所以，在(io，ioG］上是增函數(shù)，所以〃x)的最大值為/(ioG)=io,即8。的最大值為10.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)在解三角形中，如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡

該條件；

(2)如果題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡該條件;

(3)如果題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.

(4)與三角形有關(guān)的最值問題，我們可以利用基本不等式來求最值或利用正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三

角函數(shù)式，再利用三角變換和正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)求最值或范圍.

提升紙一

—>單選題

1.在“BC中，。是邊BC上的一點(diǎn)，ZC=40°,ACAD=60°,BD=AC,則()

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，可得出N/DC=80。，利用正弦定理可知/D:/C=sin4(T:sin80。，設(shè)NDA4=a(0<a<90,)，

在△/助中由正弦定理得：金=.黑進(jìn)而利用誘導(dǎo)公式、兩角和與差正弦和余弦公式、二倍角正

smccsm^ou—ex.)

弦公式進(jìn)行化簡，求出￡的值，從而得出/DA4.

【解析】解：如圖所示，

在zMOC中，ZC=40°,ACAD=60°,所以N/DC=80。，

由正弦定理知4D：4C=sin40。:sin80。,

設(shè)/D=)tsin40°,4C=Z:sin80°,左>0,所以B。=/C=后sin80°,

設(shè)ZD84=a(0<a<90°),

AD_BD

在中，由正弦定理得:

sinasi^SO9-a)

sin40°_sin80°sin40°_2sin4QJcos4QJ

sina-sin(80°-a),即sinasin190°-(10°+a)］，

所以」一二2：/，、,整理得2cos(300+10)sina=cos(l(r+a),

sinorcos(10°+a)、7

BPV3cos10°sina-sin10°sina=cosl00cosa-sin10°sina，

即VJsina=cosa,所以tana-‘汕”=—，

cosa3

X0<a<90,則。=30°,所以/DBA=30°.

故選：C.

2.在“3C中，a,6,c是角42,C的對邊，已知/=(,a=7,則以下判斷錯誤的是()

A.”3C的外接圓面積是49深萬；

B.bcosC+ccosB=7；

C.b+c可能等于14；

D.作A關(guān)于3c的對稱點(diǎn)4,則|44'|的最大值是苧.

【答案】D

【分析】對出利用正弦定理可求得的外接圓半徑，即可求解“8C的外接圓面積；對8：利用余弦

定理角化邊，即可求解；對C：利用正弦定理邊化角，再結(jié)合兩角和差的正弦公式，即可求解；對。：利用

三角形面積公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解.

TT

【解析】解：對出?.?/=§,a=7,

7

ARi瓜

...由正弦定理可得sin/一=百=一2,即AA8C的外接圓半徑五=29,

T3

???A/BC的夕卜接圓面積是"乎］=等，故A選項(xiàng)正確；

272_222_12

對B：由余弦定理可得力cosC+ccosB=Z?.^......—+C--——------=a=7,故5選項(xiàng)正確；

2ab2ac

對C:由正弦定理可得6+c=2R(sin3+sinC)=卜na}sina)=14cosa,(一?<°<|^，

.?1+C￡(7,14］,故。選項(xiàng)正確;

對Q：設(shè)A關(guān)于2C的對稱點(diǎn)我H,A到的距離為〃，

—ah=—besin—,BP/^=—be,

22314

又由余弦定理可得”=b2+c2-乃ccosg=b2+c2-bc..%c-6c=bc,當(dāng)且僅當(dāng)6=c時(shí)等號成立,

所以八之帶",即死

所以的最大值是7行，故。選項(xiàng)錯誤.

故選：D.

3.瀑布是廬山的一大奇觀，為了測量某個瀑布的實(shí)際高度，某同學(xué)設(shè)計(jì)了如下測量方案：有一段水平山道,

且山道與瀑布不在同一平面內(nèi)，瀑布底端與山道在同一平面內(nèi)，可粗略認(rèn)為瀑布與該水平山道所在平面垂

直，在水平山道上4點(diǎn)位置測得瀑布頂端仰角的正切值為=,沿山道繼續(xù)走20m,抵達(dá)5點(diǎn)位置測得瀑布

2

頂端的仰角為g.已知該同學(xué)沿山道行進(jìn)的方向與他第一次望向瀑布底端的方向所成角為三，則該瀑布的

高度約為（）.

A.60mB.90mC.108mD.120m

【答案】A

【分析】設(shè)瀑布頂端為P底端為瀑布高為萬，作出圖形，根據(jù)條件可得=BH=3,由余

33

弦定理可得答案.

【解析】解:如圖，設(shè)瀑布頂端為P,底端為“，瀑布高為〃，

該同學(xué)第一次測量時(shí)所處的位置為力,第二次測量時(shí)的位置為2,

3兀

由題意可知，tanZPAH=~,AB=20m,且NPBH=NBAH=-,

23

2A

所以BH=—h,

33

在中，由余弦定理可知，BH2=AH2+AB2-2AB-AH-cosZBAH,

i421

即Moro.一）解得〃=60m.

3932

故選：A.

4.設(shè)△45C的三邊長為=CA=b,AB=c,若tan^=q,tan-=-^,則△/5。是（）.

2b+c2a+c

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【分析】若三角形各邊長為6、c且內(nèi)切圓半徑為r,

法一：由內(nèi)切圓的性質(zhì)有tan《=l—、tan?=―紋，根據(jù)邊角關(guān)系可得或/+〃=,2,注意討論所

2b+c2a+c

得關(guān)系驗(yàn)證所得關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系；

TT

法二：由半角正切公式、正弦定理可得4=8或/+2=萬，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)討論所得關(guān)系判斷三角

形的形狀.

【解析】設(shè)P=g(a+6+c),Zk/BC的內(nèi)切圓半徑為r,如圖所示，

法一：

Ara,Brb

tan—=--①；tan—=-=②.

2p-ab+c2p—ba+c

①-②，得：彳，即

p-ab+cbl^p-a)byb+c)

于是b(b+c)(c+a-b)=〃(〃+c)(6+c-a),

ab2-b3+bc2=a2b-a3+ac2，(a-b^a2+b2-(?)=0,

從而得Q=b或/+〃=°2,

???44=NB或NC=90。.故4ABC為等腰三角形或直角三角形,

(1)當(dāng)時(shí)，內(nèi)心/在等腰三角形C45的底邊上的高CO上,

ADB

2

^ABc=^AB.CD=^d--c,從而得;=2sc'aj.

'a+b+c勿+c

.FTH2,

Xp-a=-(b+c-a)=-c,代入①式，得Ac_^=旦=，，即"〃-c2=工，

22b+ca+c2a+ca+c

(2a+c).1c

2a-ca2-

上式兩邊同時(shí)平方，得：了丁=7一京，化簡，-2Q2=0,即o=缶.即△/3C直角三角形,

2Q+C(a+c)

「?△ZBC為等腰直角三角形.

(2)當(dāng)/+〃=，時(shí)，易得尸=；伍+6一。).

代入②式，得^-------,--此式恒成立,

-(a+c-b)a+c

綜上，△Z8C為直角三角形.

法二：

利用tan[=Jin/tang=Jm'及正弦定理和題設(shè)條件,得

21+cosA21+cosB1+cosZsinB+smC

sinBsin5人

-------=-----------②.

1+cosBsinA+sinC

，l+cos4=sin5+sinC③；l+cos5=sin4+sinC④.

：；

由③和④得：l+cos^4-sin5=l+cos5-sinA,RPsinA+cos^4=sin5+cosB，sin[4+=sinp+J,

因?yàn)?3為三角形內(nèi)角,

：.A+-=B+-^A+-=7t-B--,即/=8或/+8=巴.

44442

(1)若/=代入③得：l+cos/=sinB+sinC⑤

又C二兀一4一5二兀一24,將其代入⑤，得：l+cos4=sin/+sin2Z.

變形得(sinN—cos4『一(sin4-cos/)=0,

BP(sin^4-cosA)(sinA-cos-1)=0(6),

由4=3知/為銳角，從而知sinZ—cos/—lwO.

...由⑥，得：sinA—cosA=0f即/=：,從而6=烏，C=—.

442

因此，△力5C為等腰直角三角形.

TTTT

(2)若N+3=5，即C=5,此時(shí)③④恒成立，

綜上，△4BC為直角三角形.

故選：B

222

5.已知函數(shù)/(工)=111(『不)+9兇，a,b,c分別為“8c的內(nèi)角4,8,C所對的邊，JI4a+4Z>-c=6ab,

則下列不等式一定成立的是()

A./(sirL4)V/(cosB)B.f(cosA)<f(cos5)

C.f(sinA)>f(sinB)D./(sinN)茅(cos8)

【答案】D

r)Ir)I

【分析】先利用余弦定理和基本不等式求得WVC<%,從而得到0<34!-/<!.由'=5M》和卜=。05尤在

［。4］上的單調(diào)性得到sin84cos/,cos3NsinN,而sin4sin2大小不確定，cos/、cos8大小不確定.

利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則判斷出〃回=1“占)+「在(0,+紇)上單調(diào)遞減對四個選項(xiàng)一一驗(yàn)證：

對于A、D：因?yàn)閏osBNsin/,所以/'(sinN)茅(cos3).即可判斷；

對于B、C：因?yàn)閟in/、sinB大小不確定，cos/、cosB大小不確定.

【解析】因?yàn)閍,b,c分別為AA8C的內(nèi)角/,B,C所對的邊，且4/+462_c2=6仍，

由余弦定理得：3a2+3b~-6ab-labcosC,

利用基本不等式可得：6ab-2abcosC=3a2+3b2>3x2ab,所以-2a6cosc20,

所以cosCVO.

因?yàn)镃e(O,7),所以^VC<;r,所以0<N+8W、,

777T

所以——A<~.

22

因?yàn)閥=sinx在(0,/)上單調(diào)遞增，y=cosx在［og］上單調(diào)遞減,

所以sin5Wsin-，=cos/,cosB>cos-=sin/,

即sinB<cosA,cos52sin/.

由于4、5大小不確定，所以sin4sin8大小不確定，cos4cos8大小不確定.

當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lnf-^j+e-\

+1在(0,+司上單調(diào)遞增，所以了=，^在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以尸1”占］在(0,+司上

因?yàn)?gt;=，

單調(diào)遞減；

因?yàn)槭琫‘在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以片尸在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以/3=1《^^+小在（0,+的上

單調(diào)遞減.

對于A、D：因?yàn)閏os5Nsin/,所以/（sin/）茅（cos3）.故A錯誤，D正確.

對于B、C：因?yàn)閟in4sin8大小不確定，cos4cos8大小不確定，所以B、C不能確定.

故選：D

【點(diǎn)睛】在解三角形中，選擇用正弦定理或余弦定理，可以從兩方面思考:

（1）從題目給出的條件，邊角關(guān)系來選擇;

（2）從式子結(jié)構(gòu)來選擇.

6.在銳角“BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,C,S為AABC的面積，S.2S=a2-（b-c）,則

be

的取值范圍為（）

A.信,總B.[2在意C.（也言D.[2也+8）

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦定理和“3C的面積公式，結(jié)合題意求出sin/、cos/的值，再用C表示8,求出2=絲”

csmC

的取值范圍，即可求出竺出的取值范圍.

be

【解析】解：在^ABC中，由余弦定理得“2=廿+c2-IbecosA,

且AABC的面積S=—besinA,

2

由2s=/-（b-c）2,besinA=2bc-2bccosA,化簡得sin4+2cos4=2,

又」￡（0,5）,sin2A+cos2A=1f聯(lián)立得Ssin?/-4sin4=0,

4

解得sin/=w或sin4=0（舍去），

所以2Sln5sin（力+C）sinAcosC+cosAsinC43

--------------1—,

sinCsinCsinC5tanC5

因?yàn)椤?C為銳角三角形，所以B=TI-A-C<^,所以g-4<c<|：,

所以tanOtan]”13T.所以熹”）所以乂|部

1）

設(shè)嗎,352b2+c2c_1.

=2一+—=2，+—=2t+1

其中5,所以

C53becbt

7

由對勾函數(shù)單調(diào)性知歹=2，+；在［l，豐］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

當(dāng)，=變時(shí)，y=242；當(dāng),=|■時(shí)，y=~~^當(dāng)％=|■時(shí)，y=77;

2515315

所以ye上0,即竺*1的取值范圍是

L15；beL15j

故選：C.

由空a=2々+￡,所以本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)已知及

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:

becb

Z?_sin5_sin(Z+C)sinAcosC+cosAsinC三4三+j3求出2b的取值范圍.

csinCsinCsinC5tanC5c

二、多選題

7.在銳角A4BC中，角4叢C所對的邊分別為a,6,c,且c-6=26cos/,則下列結(jié)論正確的有（）

A.A=2BB.B的取值范圍為（0,

C.藍(lán)的取值范圍為（a,2）D.熹-高+2而力的取值范圍為手,3

【答案】AD

【分析】先利用正弦定理從條件c-6=26cos/中求出N=28,得到選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B利用“3C為銳角

三角形求解；選項(xiàng)C先用二倍角公式化簡，再結(jié)合角B的范圍求解；選項(xiàng)D先對式子化簡，再換元利用對

勾函數(shù)的性質(zhì)求范圍.

【解析】在中，由正弦定理可將式子c-b=26cos/化為

sinC-sin5=2sin5cosA，

把sinC=sin(4+4)=sin4cos8+cosAsinB代入整理得,

sin(4-B)=sin8,

解得4—8=5或4-5+5=?，即4=25或4=〃(舍去).

所以4=28.

選項(xiàng)A正確.

選項(xiàng)B：因?yàn)闉殇J角三角形，A=2B,所以C=?—35.

71

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