2020-2021高中數(shù)學(xué)人教版第二冊(cè)學(xué)案：6.1 平面向量的概念含解析

新教材2020-2021老外裔中劇老人教A版於修第

二冊(cè)老案:6.1平面向量的梳念金解析

第六章—生面向量及其應(yīng)用

6.1平面向量的概念

［目標(biāo)］1。記住向量、相等向量的概念，會(huì)向量的幾何表示；

2.記住共線向量的概念，并能找共線向量.

［重點(diǎn)」理解并掌握向量、向量的模、零向量、單傳向量、平

行向量的概念，會(huì)表示向量.

［難點(diǎn)1向量的概念，平行向量.

要點(diǎn)整合泰基礎(chǔ)

知根點(diǎn)一向量的概念和表示方法

I康■一鎮(zhèn)J

1.向量：在教學(xué)中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量.

2,向量的表示

(1)表示工具一有向線段.

有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn),方向,長(zhǎng)度.

(2)表示方法：

向量可以用有向線段錯(cuò)誤！表示，向量錯(cuò)誤！的大小稱為向量錯(cuò)誤!

的長(zhǎng)度(或稱模，記作I錯(cuò)誤!I。向量可以用字母見仇C,…表示，

也可以用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如：錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!.

r答一答］

i,有向線段就是向量，向量就是有向線段嗎？

提示：有向線段只是一個(gè)幾何圖形，是向量的直觀表示.因

此，有向線段與向量是完全不同的兩個(gè)概念.

2.兩個(gè)向量可以比較大小嗎？

提示：不能.因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方?

知識(shí)點(diǎn)二向量的長(zhǎng)度（或錦模）與特殊向量

［填一域J

1.向量的長(zhǎng)度定義：向量的大小.

2.向量的長(zhǎng)度表示:向量錯(cuò)誤!的長(zhǎng)度記作：|錯(cuò)誤!I；向量。的長(zhǎng)

度記作：\a|.

3.特殊向量

長(zhǎng)度為2的向量叫做零向量，記作。長(zhǎng)度等于1個(gè)單信長(zhǎng)度的

向量，叫做單傳向量.

Z■答一答7

3.零向量的方向是什么？?jī)蓚€(gè)單枚向量的方向相同嗎？

提示：零向量的方向是任意的.兩個(gè)單核向量的方向不一定

相同.

知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量

Z■填一填］

L長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量。與力相

等，記作a=b。

2,方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，如果向量a,b

平行，記作a//尻任一組至互向量都可以平移到同一條直線上，因

此，平行向量也叫做共線向量.

3.規(guī)定：零向量與任一向量平行，即對(duì)于任意向量a,都有

0〃。。

［答一答］

4.零向量與任意向量有什么關(guān)系？

提示：規(guī)定零向量與任意向量是共線向量.

5,向量平行與直線平行是一樣的嗎？

提示：兩種平行不同.

典例講練破題型

類型一向量的有關(guān)概念

［例1］判斷下列命題是否正確，并說(shuō)明理由.

(1J若向量。與方同向，JL\a|>\b\,則ayb；

(2)若⑷=|。|,則a與力的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反；

(3)由于0方向不確定，故。不能與任意向量平行；

(4)向量。與向量力平行，則向量a與方方向相同或相反；

(5)起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.

［分析］解答本題可從向量的定義、向量的模、相等向量、平

行向量等概念人手，逐一判斷真假.

［解］(1)不正確.因?yàn)橄蛄坑蓛蓚€(gè)因素來(lái)確定，即大小和方

向，所以兩個(gè)向量不能比較大小.

(2)不正確.由Ia|=|AI只能判斷兩向量長(zhǎng)度相等，不能確

定它們方向的關(guān)系.

(3)不正確.依據(jù)規(guī)定：0與任意句量平行.

(4)不正確.因?yàn)橄蛄?。與向量力若有一個(gè)是零向量，則其方

向不定.

(5)正確.對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小與方向，是可以任

意移動(dòng)的.

通法提煉

1判斷一個(gè)量是否為向量，應(yīng)從兩個(gè)方面入手：①是否有大小，

②是否有方向.

2注意兩個(gè)特殊向量：零向量和單傳向量.

3注意平行向量與共線向量的含義。

[變式訓(xùn)練1](1)下列物理量中不是句量的有(A)

①質(zhì)量；②速度;③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功；

⑧也流強(qiáng)度.

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

(2)在下列命題中，真命題為(B)

A.兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單核向量，其終點(diǎn)必相同

B.向量錯(cuò)誤!與向量錯(cuò)誤!的長(zhǎng)度相等

C、向量就是有向線段

D.零向量是沒(méi)有方向的

解析：Q)看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備向量的兩

個(gè)要素:大小和方向，特別是方向的要求，對(duì)各量隊(duì)物理本身的意

義作出判斷，②③④既有大小也有方向，是向量，①⑤⑥⑦⑧只有

大小沒(méi)有方向，不是向量.

(2)由于單核向量的方向不一定相同，故其終點(diǎn)、不一定相同，

故A錯(cuò)誤；任何向量都有方向，零向量的方向是任意的，并非沒(méi)

有方向，故D錯(cuò)誤；有向線段是向量的形象表示，但并非說(shuō)向量

就是有向線段，故C錯(cuò)誤，故選B.

類型二向量的幾何表示

「例2]已知飛機(jī)從A地接北偏東30°方向飛行2000km到

達(dá)B地,再?gòu)腂地按■南偏東30。方向飛行2000km到達(dá)。地，再?gòu)?/p>

。地按?西南方向飛行1000錯(cuò)誤！km到達(dá)。地.畫圖表示句量錯(cuò)誤!，

錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！，并指出向量錯(cuò)誤！的模和方向.

［分析1以A為原點(diǎn)建立直角生標(biāo)系，根據(jù)已知條件確定￡

C、D三點(diǎn)的信置，再畫上備頭就可得到向量錯(cuò)誤！、錯(cuò)誤！、錯(cuò)誤！，

通過(guò)。點(diǎn)核置就可確定向量錯(cuò)誤!的模和方向.

［解］以A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)椋ポS正方向，正北方向?yàn)閥軸正

方向建立直角生標(biāo)系.

據(jù)題設(shè)石點(diǎn)在第一象喔，C點(diǎn)在％軸正半軸上,。點(diǎn)在第四象

喔，向量錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!如下圖所示.

由已知可得，△ABC為正三角形，

/.AC=2000km,又/AC。=45°,。。=1000錯(cuò)誤！km,

/.AADC為等腰直角三角形，

：.AD=1000錯(cuò)誤！km,ZCAD=45°.

故向量錯(cuò)誤!的模為1000錯(cuò)誤!，方向?yàn)闁|南方向.

通法提煉

1用向量表示的幾何問(wèn)題，要研究其圖形的幾何特性，然后作

出解答.

2作向量時(shí)，關(guān)鍵是找出向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)，如果已知起點(diǎn)，

先確定向量的方向，然后根據(jù)向量的長(zhǎng)度找出終點(diǎn)。

［變式訓(xùn)練2］在如圖的方格紙中，畫出下列向量.

(U|錯(cuò)誤!1=3,點(diǎn)A在點(diǎn)、。的正西方向；

(2J|錯(cuò)誤！|=3錯(cuò)誤!，點(diǎn)、B在點(diǎn)、。北偏西45°方向；

(3J求出|錯(cuò)誤！|的值.

解：取每個(gè)方格的單枚長(zhǎng)為1,

依題意，結(jié)合向量的表示可知，(U(2)的向量如圖所示.

深

C3J由圖知，△AOB是等腰直角三角形，

所以I錯(cuò)誤！I=錯(cuò)誤！=3.

類型三相等向量和共線向量

/■例3］在平行四邊形ABC。中，E、F分別為迦AD、BC的

中點(diǎn)、，如圖.

(U寫出與向量錯(cuò)誤!共線的向量.

(2)求證：錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!.

［分析1(1)與錯(cuò)誤!共線的向量需具備什么條件？(與錯(cuò)誤!的方向

相同或相反)

(2)錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！必須具備什么條件？(①|(zhì)錯(cuò)誤！|二|錯(cuò)誤！|,②二

者方向相同)

［解］(D由滿足共線向量的條件得與向量錯(cuò)誤!共線的向量有：

錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!.

(2)證明：在口ABC。中，AD^BC.

又及F分別為AD、的中點(diǎn)，:.ED統(tǒng)BF,

8邊形BFDE是平行四邊形，

S.BE^FD,錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！。

通法提煉

1共線向量和相等向量有何關(guān)系？，共線向量不一定是相等向

量，而相等向量一定是共線向量.

2如何利用向量相等或共線證明線段相等、平行問(wèn)題？

①證明線段相等，只要證明相應(yīng)的向量長(zhǎng)度模相等。②證明線

段平行，先證明相應(yīng)的向量共線,再說(shuō)明線段不共線.

［變式訓(xùn)練3］如圖，在菱形ABC。中，ZDAB=120°,則以

下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（D）

A,與錯(cuò)誤!相等的向量只有一個(gè)（不合錯(cuò)誤!）

B.與錯(cuò)誤!的模相等的向量有9個(gè)（不含錯(cuò)誤!）

Co錯(cuò)誤！的模恰為錯(cuò)誤！的模的錯(cuò)誤!信

D.錯(cuò)誤！與錯(cuò)誤!不共線

解析：與錯(cuò)誤!相等的向量只有錯(cuò)誤!；在菱形ABC。中7AC=AB

=BC=CD=DA,每-'條線段可得方向相反的兩個(gè)向量，它們的

模都相等，故有5x2-1=9（個(gè)）；計(jì)算得。。=錯(cuò)誤!。A,所以BD

=錯(cuò)誤!。A,即|錯(cuò)誤!|二錯(cuò)誤!|錯(cuò)誤!|；由AD//BC知錯(cuò)誤！與錯(cuò)誤!共線,

故D錯(cuò)誤。課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典

1,下列命題正確的是（C）

A.向量錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!是相等向量

B,共線的單倉(cāng),向量是相等向量

C,零向量與任意向量共線

D.兩平行向量所在直線平行

2、下面幾個(gè)命題：

(1)若a=b,則|。|=Ib\；

(2)若|。|=0,則a=0；

(3J若|a|=|:|,則a=A；

(4)若向量a,A滿足錯(cuò)誤!則a=A.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是(B)

A.0B.1

C.2D.3

3.設(shè)。是等邊三角形ABC的外心，則向量錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤!是

(D)

A、相同起點(diǎn)的向量

B.平行句量

C,相等向量

D.模相等的向量

解析:如圖，易知A、B,C均錯(cuò)誤；由題意得點(diǎn)、O到△ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，「.|錯(cuò)誤!1=1錯(cuò)誤！|=|錯(cuò)誤!故選D。

4.如圖所示，已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為2,。為其中心，

則I錯(cuò)誤!1=錯(cuò)誤!.

D

5.如圖所示，點(diǎn)。為正方形ABC。對(duì)角線的支點(diǎn)，四邊形

OAED.OU5都是正方形.在圖中所示的向量中：

(1)分別寫出與錯(cuò)誤!、錯(cuò)誤!相等的向量；

(2)寫出與錯(cuò)誤!共線的向量；

(3)寫出與錯(cuò)誤!的模相等的向量；

(4J向量錯(cuò)誤!與錯(cuò)誤!是否相等？

解：(1)錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤??；

(2)與錯(cuò)誤!共線的向量為：錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤??；

—>

(3)因?yàn)閨AOI=I錯(cuò)誤！I=|錯(cuò)誤！I=I錯(cuò)誤！I=I錯(cuò)誤！I二|

錯(cuò)誤!|二I錯(cuò)誤！I=|錯(cuò)誤！I,故與錯(cuò)誤！的模相等的向量為錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！，

錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤！，錯(cuò)誤!，錯(cuò)誤?。?/p>

(4J不相等.

.■課堂小結(jié)

——本課須掌握的三大問(wèn)題

1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義看出向量既有代

數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問(wèn)

題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，又可以將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，故向量

能起數(shù)形結(jié)合的橋梁作用.

2,共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念,兩個(gè)共線向量不

一定要在一條直線上.當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量.

3.注意兩個(gè)特殊向量零向量和單核向量，零向量與任何

向量都平行，單枚向量有無(wú)用多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單核向量的終

點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單信園.

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向量在平面幾何中的應(yīng)用

匕

我y開講啦利用向量可以證明線段相等、多點(diǎn)共線，判斷圖

形的形狀（如平行四邊形、等腰三角形