高中數(shù)學-空間向量與立體幾何知識解析-新人教A版必修2

PAGEPAGE8用心愛心專心專題補充學習空間向量法解決立體幾何問題一．知識回顧：1、空間向量的坐標運算：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.①令，則,，∥(用到常用的向量模與向量之間的轉化：)2、空間兩點的距離公式：.專題提綱一、引入兩個重要空間向量1、直線的方向向量；2、平面的法向量。二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關系；(1)直線與直線的位置關系;(2)直線與平面的位置關系;(3)平面與平面的位置關系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。一.引入兩個重要的空間向量ABZYXO1.直線的方向向量:把直線上任意兩點的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖1,在空間直角坐標系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2ABZYXOnnα2.平面的法向量:如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時向量n叫做平面α的法向量.3.在空間直角坐標系中,如何求平面法向量的坐標呢?如圖2,設a=(x1,y1,z1)、=(x2,y2,z2)是平面α內的兩個不共線的非零向量,由直線與平面垂直的判定定理知,若n⊥a且n⊥b,則n⊥α.換句話說,若n·a=0且n·b=0,則n⊥α.nnba4.求平面的法向量的坐標的步驟第一步(設):設出平面法向量的坐標為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個正數(shù)(當然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標.【例題賞析】例1：在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.AAAABCDOA1B1C1D1zxybabbaba1.判定直線、平面間的位置關系(1)直線與直線的位置關系不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a,b.①若a∥b,即a=λb,則a∥b.②若a⊥b,即a·b=0,則a⊥b【例題賞析】例2：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求證:CC1⊥BDA1A1B1C1D1CBADnaαL(2)直線與平面的位置關系直線L的方向向量為a,平面α的法向量為n,且LnaαLnLαa①若a∥n,即a=λn,則LnLαa②若a⊥n,即a·n=0,則L∥α.【例題賞析】例3:棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點,求證:(I)A1E⊥平面DBC1;(II)AB1∥平面DBC1AA1C1B1ACBEDzxy(3)平面與平面的位置關系平面α的法向量為n1,平面β的法向量為n2αββαn1n1n2n2①若n1∥n2,即n1=λn2,則α∥β②若n1⊥nαββαn1n1n2n2【例題賞析】例4:正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點,求證:面AED⊥面A1FDzzxyABCDFEA1B1C1D12.求空間中的角(1)兩異面直線的夾角利用向量法求兩異面直線所成的夾角,不用再把這兩條異面直線平移,求出兩條異面直線的方向向量,則兩方向向量的夾角與兩直線的夾角相等或互補,我們僅取銳角或直角就行了.【例題賞析】例5:如圖在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中點,則對角線DB1與CM所成角的余弦值為_____.BBCAMxzyB1C1D1A1CDMA(2)直線與與平面所成的角若n是平面α的法向量,a是直線L的方向向量,則L與α所成的角θ=-<a,n>或θ=<a,n>-(下圖).nnaaθθααnaaθθααn于是,因此【例題賞析】例6:正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a,高為，求AC1與側面ABB1A1所成的角zzxyC1A1B1ACBO（3）二面角BAo設n1、n2分別是二面角兩個半平面α、β的法向量，由幾何知識可知，二面角α-L-β的大小與法向量n1、n2BAoBAo①、二面角BAoBAo②、二面角BAoBBAo【例題賞析】例7:在四棱錐S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，側棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.ADSBxADSBxyCzAθHBnα(2)點到平面的距離A為平面α外一點(如圖),n為平面α的法向量,過A作平面α的斜線AB及垂線AH.==.于是，點到平面的距離等于平面內外兩點的向量和平面的法向量的數(shù)量積的絕對值與平面的法向量模的比值.【例題賞析】例9:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距離.zzxyCC1A1B1AB空間向量理論引入立體幾何中，通常涉及到夾角、平行、垂