2023-2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷 （含解析）

2023-2024學年廣東省廣州市越秀區(qū)高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知等比數(shù)列{an}的首項為1，公比為﹣2，則數(shù)列{an}的前5項和為（）A．11 B．16 C．﹣15 D．﹣72．已知，則＝（）A． B． C． D．3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，則P（X＞2）＝（）A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.644．學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，不同的選法種數(shù)為（）A．10 B．15 C．60 D．1255．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為5%，第2，3臺加工的次品率均為3%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，則它是第3臺車床加工的概率是（）A． B． C． D．6．已知隨機變量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，則n＝（）A．29 B．19 C．6 D．57．以平行六面體的頂點為頂點的四面體的個數(shù)為（）A．70 B．64 C．58 D．248．已知函數(shù)f（x）＝xa﹣logbx（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，則ab2的最小值為（）A．e B．2e C．e2 D．2e2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.（多選）9．隨機抽取5家超市，得到其廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下，則（）超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070（參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：）A．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點（5，60） B．經(jīng)驗回歸方程為 C．樣本點（8，70）的殘差為﹣3 D．預(yù)測廣告支出10萬元時的銷售額為80萬元（多選）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，則（）A．展開式中的常數(shù)項為1 B．展開式中各項系數(shù)之和為0 C．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第1012項 D．（多選）11．設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aj（i＜j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分數(shù)列．從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分數(shù)列的概率為Pm，則（）A．數(shù)列a1，a2，…，a6是（1，6）可分數(shù)列 B．數(shù)列a1，a2，…，a10是（2，9）可分數(shù)列 C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），則a3＝．13．長時間看手機有可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學生有50%的人近視，而該校有25%的學生每天看手機時間超過1h，這些人的近視率為80%．現(xiàn)從每天看手機時間不超過1h的學生中任意調(diào)查一名學生，則該名學生近視的概率為．14．已知函數(shù)f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為y＝﹣9x+24．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣2，3]上的最大值與最小值．16．為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，某電視傳媒公司隨機抽取了該地區(qū)100名電視觀眾進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：非體育迷體育迷合計男3045女10合計75100（1）完成上面的2×2列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為“體育迷”與性別有關(guān)聯(lián)？（2）五一期間，該地區(qū)電視臺在某體育賽事現(xiàn)場直播期間開展電話連線活動，計劃從該地區(qū)電視觀眾中隨機連線5名觀眾，假設(shè)每位電視觀眾連線成功的概率均為p（0＜p＜1），各人是否連線成功互不影響，記連線的5名觀眾中恰有3人連線成功的概率為f（p），求f（p）取得最大值時p的值．附：（其中n＝a+b+c+d）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.82817．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知an＞0，且2an，2Sn，成等差數(shù)列．（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．19．（17分）甲口袋中裝有2個黑球和3個白球，乙口袋中裝有5個白球．現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復(fù)n次這樣的操作．記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有1個黑球的概率為pn，恰有2個黑球的概率為qn．（1）求p1，q1與p2，q2；（2）設(shè)an＝pn+2qn，求證：數(shù)列{an﹣1}是等比數(shù)列；（3）求Xn的數(shù)學期望E（Xn）（用n表示）．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知等比數(shù)列{an}的首項為1，公比為﹣2，則數(shù)列{an}的前5項和為（）A．11 B．16 C．﹣15 D．﹣7【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式即可求解．解：因為等比數(shù)列{an}的首項為1，公比為﹣2，則數(shù)列{an}的前5項和為1﹣2+4﹣8+16＝11．故選：A．2．已知，則＝（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的求導公式即可求解．解：因為，所以，則＝﹣．故選：D．3．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，則P（X＞2）＝（）A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.64【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解．解：∵X～N（1，σ2），且P（0＜X≤2）＝0.36，∴P（1＜X≤2）＝P（0＜X≤2）＝0.36＝0.18，∴P（X＞2）＝0.5﹣P（1＜X≤2）＝0.5﹣0.18＝0.32．故選：C．4．學校食堂的一個窗口共賣5種菜，甲、乙、丙3名同學每人從中選一種，不同的選法種數(shù)為（）A．10 B．15 C．60 D．125【分析】利用分步計數(shù)原理求解即可．解：由題意可分三步：甲同學有5種選法，乙同學有5種選法，丙同學有5種選法，共5×5×5＝53＝125種．故選：D．5．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為5%，第2，3臺加工的次品率均為3%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的20%，30%，50%．如果取到的零件是次品，則它是第3臺車床加工的概率是（）A． B． C． D．【分析】結(jié)合貝葉斯公式，直接求解．解：取到的零件是次品，則它是第3臺車床加工的概率是：＝．故選：B．6．已知隨機變量X取所有的值1，2，3，…，n是等可能的，且E（X）＝15，則n＝（）A．29 B．19 C．6 D．5【分析】根據(jù)隨機變量的數(shù)學期望公式列出方程，求解方程即可．解：因為隨機變量λ取可能的值1，2，…，n是等可能的，所以，（i＝1.2．…，n），所以，所以，解得n＝29．故選：A．7．以平行六面體的頂點為頂點的四面體的個數(shù)為（）A．70 B．64 C．58 D．24【分析】根據(jù)平行六面體的結(jié)構(gòu)特征以及排列組合相關(guān)知識可解．解：從平行六面體的8個頂點中任選4個有種情況，又要使能構(gòu)成四面體則這四個頂點不在同一平面內(nèi)，共有6個面和6個對棱構(gòu)成的平面，共6+6＝12個，則以平行六面體的頂點為頂點的四面體的個數(shù)為70﹣12＝58個．故選：C．8．已知函數(shù)f（x）＝xa﹣logbx（a＞0，b＞0，b≠1），若f（x）≥1恒成立，則ab2的最小值為（）A．e B．2e C．e2 D．2e2【分析】由題意可得當0＜b＜1時，不合題意；當b＞1時，利用導數(shù)可得alnb＝1，從而得ab2＝，令g（b）＝，b＞1，利用導數(shù)求解最小值即可．解：因為函數(shù)f（x）＝xa﹣logbx的定義域為（0，+∞），當0＜b＜1時，可得f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，f（b）＝ba﹣1＜b0﹣1＝0，不合題意；當b＞1時，，令f'（x0）＝0，解得，當x∈（0，x0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以當x＝x0時，f（x）有極小值，也是最小值，又因為f（1）≥1且f（1）＝1，所以，則，得alnb＝1，所以ab2＝，令g（b）＝，b＞1，則g'（b）＝，又因為b＞1，lnb＞0，所以當b∈（1，）時，g'（b）＜0，g（b）單調(diào)遞減，當b∈（，+∞）時，g'（b）＞0，g（b）單調(diào)遞增，所以g（b）min＝g（）＝＝2e．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.（多選）9．隨機抽取5家超市，得到其廣告支出x（萬元）與銷售額y（萬元）的數(shù)據(jù)如下，則（）超市ABCDE廣告支出x24568銷售額y3040606070（參考公式：，；參考數(shù)據(jù)：）A．經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點（5，60） B．經(jīng)驗回歸方程為 C．樣本點（8，70）的殘差為﹣3 D．預(yù)測廣告支出10萬元時的銷售額為80萬元【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合最小二乘法，以及線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解．解：由題意可知，，，故經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過點（5，52），故A錯誤；由題意可知，＝7，＝52﹣7×5＝17，故經(jīng)驗回歸方程為，故B正確；樣本點（8，70）的殘差為70﹣（7×8+17）＝﹣3，故C正確；當x＝10時，y＝7×10+17＝87，故D錯誤．故選：BC．（多選）10．已知（1﹣2x）2024＝a0+a1x+a2x2+…+a2024x2024，則（）A．展開式中的常數(shù)項為1 B．展開式中各項系數(shù)之和為0 C．展開式中二項式系數(shù)最大的項為第1012項 D．【分析】A：令x＝0即可判斷；B：令x＝1即可判斷；C：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可判斷；D：令x＝，化簡即可判斷．解：A：令x＝0，則展開式中常數(shù)項為a0＝1，故A正確；B：令x＝1，則展開式中各項系數(shù)和為（1﹣2）2024＝1，故B錯誤；C：因為n＝2024為偶數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大項為第1013項，故C錯誤；D：令x＝，則a0+＝（1﹣2×）2024＝0，則＝0﹣1＝﹣1，故D正確．故選：AD．（多選）11．設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aj（i＜j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分數(shù)列．從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）可分數(shù)列的概率為Pm，則（）A．數(shù)列a1，a2，…，a6是（1，6）可分數(shù)列 B．數(shù)列a1，a2，…，a10是（2，9）可分數(shù)列 C． D．【分析】對于A和B根據(jù)定義進行判斷即可；對于C和D，先根據(jù)定義找到所有符合的情況，再利用概率公式求解即可．解：對于A，因為從數(shù)列a1，a2，…，a6中刪去a1，a6以后，數(shù)列a2，a3，a4，a5可以分成一組，并且依然構(gòu)成等差數(shù)列，所以數(shù)列a1，a2，…，a6是（1，6）可分數(shù)列，故A正確；對于B，從數(shù)列a1，a2，…，a10刪去a2，a9以后，剩余的項可以平均分成兩組a1，a3，a5，a7和a4，a6，a8，a10，且在兩個數(shù)列都能構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)原數(shù)列公差為d（d≠0），這兩個數(shù)列的公差為2d，所以數(shù)列a1，a2，…，a10是（2，9）可分數(shù)列，故B正確；對于C，當m＝1時，根據(jù)定義，數(shù)列a1，a2，…，a6是（1，6）可分數(shù)列，也可以是（1，2）可分數(shù)列，也可以是（5.6）可分數(shù)列共三種，所以，故C正確；對于D，當m＝2時，根據(jù)定義，數(shù)列a1，a2，…，a10為（i，j）（i＜j）可分數(shù)列的情況有：（1，2），（1，6），（1，10），（2，9），（5，6），（5，10），（，10）共7種，所以，故D錯誤．故選：ABC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知數(shù)列{an}滿足a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），則a3＝．【分析】由數(shù)列的遞推式，取n＝1，n＝2，分別求得a2，a3．解：由a1＝﹣1，2an+1﹣anan+1＝1（n∈N*），可得an+1＝，即有a2＝＝，a3＝＝．故答案為：．13．長時間看手機有可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學生有50%的人近視，而該校有25%的學生每天看手機時間超過1h，這些人的近視率為80%．現(xiàn)從每天看手機時間不超過1h的學生中任意調(diào)查一名學生，則該名學生近視的概率為0.4．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合全概率公式，即可求解．解：設(shè)該名學生近視的概率為x，由題意可知，25%×80%+（1﹣25%）x＝50%，解得x＝0.4．故答案為：0.4．14．已知函數(shù)f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（0，1]．【分析】先對函數(shù)求導，結(jié)合導數(shù)與單調(diào)性關(guān)系及不等式恒成立與最值的轉(zhuǎn)化關(guān)系即可求解．解：因為f（x）＝ex+sinx﹣2（a2+lna）x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f′（x）＝ex+cosx﹣2（a2+lna）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以2（a2+lna）≤ex+cosx在（0，+∞）上恒成立，令g（x）＝ex+cosx，x＞0，則g′（x）＝ex﹣sinx＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g（x）＞g（0）＝2，所以2（a2+lna）≤2，即a2+lna≤1，因為h（a）＝a2+lna在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且h（1）＝1，所以0＜a≤1．故答案為：（0，1]．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx+8（a，b∈R）的圖象在點（2，f（2））處的切線方程為y＝﹣9x+24．（1）求a，b的值；（2）求f（x）在區(qū)間[﹣2，3]上的最大值與最小值．【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義可得函數(shù)f（x）在（2，f（2））處的切線的斜率為f′（2）＝12a+b，則12a+b＝﹣9①，8a+2b+8＝6②，解得a，b．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，求導分析單調(diào)性，極值，端點處函數(shù)值，即可得出答案．解：（1）f′（x）＝3ax2+b，所以函數(shù)f（x）在（2，f（2））處的切線的斜率為f′（2）＝12a+b，又f（x）在（2，f（2））處的切線方程為y＝﹣9x+24，所以12a+b＝﹣9，①又f（2）＝8a+2b+8，因為f（x）在（2，f（2））處的切線方程為y＝﹣9x+24，所以f（2）＝﹣9×2+24＝6，所以8a+2b+8＝6，②由①②，解得a＝﹣1，b＝3．（2）由（1）知，f（x）＝﹣x3+3x+8，x∈[﹣2，3]，所以f′（x）＝﹣3x2+3，令f′（x）＝0，得x＝±1，所以在（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，在（﹣1，1）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，在（1，3）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，又f（﹣1）＝6，f（1）＝10，f（3）＝﹣10，f（﹣2）＝10，所以f（x）的最大值為10，最小值為﹣10，所以函數(shù)f（x）在[﹣2，3]上的值域為[﹣10，10]．16．為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，某電視傳媒公司隨機抽取了該地區(qū)100名電視觀眾進行調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：非體育迷體育迷合計男3045女10合計75100（1）完成上面的2×2列聯(lián)表，依據(jù)α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為“體育迷”與性別有關(guān)聯(lián)？（2）五一期間，該地區(qū)電視臺在某體育賽事現(xiàn)場直播期間開展電話連線活動，計劃從該地區(qū)電視觀眾中隨機連線5名觀眾，假設(shè)每位電視觀眾連線成功的概率均為p（0＜p＜1），各人是否連線成功互不影響，記連線的5名觀眾中恰有3人連線成功的概率為f（p），求f（p）取得最大值時p的值．附：（其中n＝a+b+c+d）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【分析】（1）將表中數(shù)據(jù)代入公式，求得χ2的值，分析即可得答案；（2）找到f（p）＝10（1﹣p）2p3（0＜p＜1），利用導數(shù)研究最大值．解：（1）2×2列聯(lián)表：非體育迷體育迷合計男300151345女45101055合計752525100，所以在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下不能認為“體育迷”與性別有關(guān)．（2）由題意，連線的5名觀眾中恰有3人連線成功的概率為（0＜p＜1），則f′（p）＝10[﹣2（1﹣p）p3+3（1﹣p）2p2]＝10p2（5p2﹣8p+3），令f′（p）＝0，得，當時，f'（p）＞0，則函數(shù)f（p）單調(diào)遞增，當時，f'（p）＜0，則函數(shù)f（p）單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)f（p）取得極大值，極大值為，即當時，函數(shù)f（p）取得最大值．17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知an＞0，且2an，2Sn，成等差數(shù)列．（1）求{an}的通項公式；（2）設(shè)bn＝求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n．【分析】（1）由等差數(shù)列的中項性質(zhì)和an與Sn的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的定義、通項公式，可得所求；（2）由數(shù)列的分組求和、等差數(shù)列的求和公式和數(shù)列的裂項相消求和，計算可得所求和．解：（1）由an＞0，且2an，2Sn，成等差數(shù)列，可得4Sn＝2an+，當n＝1時，4a1＝4S1＝2a1+，解得a1＝2，當n≥2時，由4Sn＝2an+，可得4Sn﹣1＝2an﹣1+，兩式相減可得4an＝2an﹣2an﹣1+﹣，即為2（an+an﹣1）＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1），由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，則數(shù)列{an}是首項和公差為2的等差數(shù)列，即有an＝2n；（2）bn＝＝，則數(shù)列{bn}的前2n項和T2n＝2（1+3+5+...+2n﹣1）+（﹣+﹣+...+﹣）＝2×n（1+2n﹣1）+（﹣）＝2n2+．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝x2+（1﹣2a）x﹣alnx，a∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)f（x）的最小值，構(gòu)造g（x）＝lnx+x﹣1，構(gòu)造h（x）＝lnx﹣x+1，x≥1，得到lnx≤x﹣1＜x，從而f（x）＞x2+x﹣3ax＝x（x+1﹣3a），確定a的范圍即可．解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），因為f′（x）＝2x+1﹣2a﹣＝，若a≤0，則f′（x）＞0，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；若a＞0，則當0＜x＜a時，f′（x）＜0，當x＞a時，f′（x）＞0，則f（x）在（0，a）單調(diào)遞減，則（a，+∞）單調(diào)遞增．（2）由（1）可知，要使f（x）有兩個零點，則a＞0，則f（x）min＝f（a）＝﹣a2+a﹣alna＜0，即lna+a﹣1＞0，構(gòu)造g（x）＝lnx+x﹣1，則g′（x）＝+1＞0，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又g（1）＝0，故當x∈（1，+∞）時，g（x）＞0，故由g（a）＞0，得a＞1，當a＞1時，由f（e﹣1