高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第9講函數(shù)與方程知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE第9講函數(shù)與方程1．(2016·皖北四校聯(lián)考(一))已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且有如下的對(duì)應(yīng)值表：x123456y124.433－7424.5－36.7－123.6則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有()A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)解析：選B.依題意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，f(x)在區(qū)間(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1，6]上的零點(diǎn)至少有3個(gè)．2．(2016·太原模擬)已知實(shí)數(shù)a>1，0<b<1，則函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)解析：選B.因?yàn)閍>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以f(x)為增函數(shù)，f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，則由零點(diǎn)存在性定理可知f(x)在區(qū)間(－1，0)上存在零點(diǎn)．3．(2016·周口模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(x)－log3x，若x0是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)，且0<x1<x0，則f(x1)的值()A．恒為正值 B．等于0C．恒為負(fù)值 D．不大于0解析：選A.注意到函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(x)－log3x在(0，＋∞)上是減函數(shù)，因此當(dāng)0<x1<x0時(shí)，有f(x1)>f(x0)．又x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，因此f(x0)＝0，所以f(x1)>0，即此時(shí)f(x1)的值恒為正值，故選A.4．函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x).設(shè)g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)圖像一定有2個(gè)交點(diǎn)，因此函數(shù)f(x)有2個(gè)零點(diǎn)．5．已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c則()A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<a<c D．c<a<b解析：選B.由于f(－1)＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)<0.f(0)＝1>0，且f(x)為遞增函數(shù)，故f(x)＝2x＋x的零點(diǎn)a∈(－1，0)．因?yàn)間(2)＝0，所以g(x)的零點(diǎn)b＝2；因?yàn)閔eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－1＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)<0，h(1)＝1>0.且h(x)為遞增函數(shù)，所以h(x)的零點(diǎn)c∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，因此a<c<b.6．(2016·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2，x>a，,x2＋5x＋2，x≤a，))函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，1) B．[0，2]C．[－2，2) D．[－1，2)解析：選D.由題意知g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－x，x>a，,x2＋3x＋2，x≤a，))因?yàn)間(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以2－x＝0在x>a時(shí)有一個(gè)解，由x＝2得a<2.由x2＋3x＋2＝0得x＝－1或x＝－2，則由x≤a得a≥－1.綜上，a的取值范圍為[－1，2)，所以選D.7．用二分法求方程x2＝2的正實(shí)根的近似解(精確度0.001)時(shí)，如果我們選取初始區(qū)間是[1.4，1.5]，則要達(dá)到精確度要求至少需要計(jì)算的次數(shù)是________．解析：設(shè)至少需要計(jì)算n次，由題意知eq\f(1.5－1.4,2n)<0.001，即2n>100，由26＝64，27＝128知n＝7.答案：78．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x≤0，,|log2x|，x>0，))則函數(shù)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為_(kāi)_______．解析：令g(x)＝0，得f(x)＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,2x＝\f(1,2)))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,|log2x|＝\f(1,2)，))解得x＝－1或x＝eq\f(\r(2),2)或x＝eq\r(2)，故函數(shù)g(x)＝f(x)－eq\f(1,2)的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)，\r(2))).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)，\r(2)))9．(2016·合肥模擬)函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：當(dāng)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·f(3)<0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)－\f(a,2)))(10－3a)<0，解得eq\f(5,2)<a<eq\f(10,3)；當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<\f(a,2)<3，,Δ＝a2－4≥0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，,f（3）>0))時(shí)，函數(shù)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有一個(gè)或兩個(gè)零點(diǎn)，解得2≤a<eq\f(5,2)；當(dāng)a＝eq\f(5,2)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為eq\f(1,2)和2，符合題意；當(dāng)a＝eq\f(10,3)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為eq\f(1,3)或3，不符合題意，綜上a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3))).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))10．(2016·河北省衡水中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，g(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，記函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（x），f（x）≤g（x），,f（x），f（x）>g（x），))則函數(shù)F(x)＝h(x)＋x－5的所有零點(diǎn)的和為_(kāi)_______．解析：由題意知函數(shù)h(x)的圖像如圖所示，易知函數(shù)h(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，函數(shù)F(x)所有零點(diǎn)的和就是函數(shù)y＝h(x)與函數(shù)y＝5－x圖像交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和，設(shè)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖像的交點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以eq\f(x1＋x2,2)＝5－eq\f(x1＋x2,2)所以x1＋x2＝5.答案：511．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)；(2)若對(duì)任意b∈R，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝1，b＝－2時(shí)，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為3或－1.(2)依題意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有兩個(gè)不同實(shí)根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即對(duì)于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0?a2－a<0，解得0<a<1，因此實(shí)數(shù)a1．(2016·南寧模擬)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋3x－8的零點(diǎn)x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，則a＋b＝________．解析：因?yàn)閒(2)＝ln2＋6－8＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋9－8＝ln3＋1>0，且函數(shù)f(x)＝lnx＋3x－8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以x0∈[2，3]，即a＝2，b＝3.所以a＋b＝5.答案：52．(2016·北京海淀區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)＝－x2－2x，g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4x)，x>0，,x＋1，x≤0.))(1)求g[f(1)]的值；(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f(x)＝t，則原方程化為g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)內(nèi)有2個(gè)不同的解，則原方程有4個(gè)解等價(jià)于函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a的圖像有2個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)y＝g(t)(t<1)的圖像(圖略)，由圖像可知，當(dāng)1≤a<eq\f(5,4)時(shí)，函數(shù)y＝g(t)(t<1)與y＝a有2個(gè)不同的交點(diǎn)，即所求a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,4))).3．已知二次函數(shù)f(x)的最小值為－4，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)－4lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：(1)因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－3.(2)因?yàn)間(x)＝eq\f(x2－2x－3,x)－4lnx＝x－eq\f(3,x)－4lnx－