（新教材人教A版2019）高中數(shù)學(xué)必修第一冊分章節(jié)基礎(chǔ)知識

第1章集合與常用邏輯用語

§1.1集合的概念

1.集合定義：把研究的對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.

集合三要素：確定性.互異性.無序性.

2.集合的相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個集合相等.

3.元素和集合的關(guān)系：屬于(aeA)和不屬于.

4.常見數(shù)集：自然數(shù)集：N,正整數(shù)集：N*或N+，整數(shù)集：Z,有理數(shù)集：Q,實(shí)數(shù)集H.

5.集合的表示方法：

(1)列舉法：把集合的所有元素---列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫列舉法.

(2)描述法：設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征尸(X)的元素x所組成的集合表示為

{xeA|P(x)},這種表示集合的方法稱為描述法.

§1.2集合間的基本關(guān)系

1.子集：對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合8中的元素，則稱集合A是集合8的

子集，記作AqB.

2.真子集：如果集合AqB,但存在元素xeB,且x走A,則稱集合A是集合8的真子集.記作：集合At)B

(或3VA).

3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.記作：。.并規(guī)定：空集合是任何集合的子集.

4.子集個數(shù)：如果集合A中含有n個元素，則集合A有2"個子集，2"—1個真子集.

§1.3集合的基本運(yùn)算

1.并集：由所有屬于集合A或集合3的元素組成的集合，稱為集合集合A是集合B與B的并集.記作：

.即A|j8={x|xeA,或xe8}.

2.交集：由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為集合A是集合B與B的交集.記作：AD8.

即AD8={x|xeA,JLrG.

3.補(bǔ)集：對于集合Z,由全集U中不屬于集合4的所有元素組成的集合稱為集合4相對于全集U的補(bǔ)集，

記作：Q/A,即={x|xG[/,JLr^U}.

§1.4充分條件與必要條件

1.命題：可以判斷真假的陳述句叫命題；

2.充分條件.必要條件與充要條件

如果“若，，則4”為真命題，是指由〃通過推理可以得出4,我們就說由〃可以推出4,記作〃=4,

并且說P是4的充分條件，4是P的必要條件；

如果“若P,則4”為假命題，那么由條件P不能提出結(jié)論4,記作，力4,我們就說，不是4的充分條

件，4不是P的必要條件：

如果“若P,則4”和它的逆命題“若4,則P"均是真命題，即既有P=4,義有q=p,就記作p=4

此時則，是g的充分條件，也是4的必要條件，我們就說，是4的充分必要條件，簡稱為充要條件.

如果〃0那么，與4互為充要條件.

§1.5全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題

短語“所有的"''任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“V”表示.

含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.記為VxeM,〃(x).

(2)存在量詞與存在量詞命題

短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“三”表示.

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.記為*eM,“(x).

2,全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

(1)全稱量詞命題，：VxeM,p(x),它的否定力：3XGM,^/?(X).

(2)存在量詞命題P：HxeM,〃(x),它的否定r?：VxeM，r?(x).

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式

§2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.作差法比較大小

a>b<=>a-b>0；a<b<=>a-b<0；a=b<=>a-b=O.

2.不等式的基本性質(zhì)

(1)(對稱性)a>h<^>b>ci

(2)(傳遞性)a>b,b>c^a>c

(3)(可加性)a>b<^>a+c>b+c

(4)(可乘性)a>b,c>0=>ac>bea>b,c<O^>ac<bc

⑸(同向可加性)a>h,c>d=>a+c>h+d

(6)(正數(shù)同向可乘性)a>b>O,c>d>Onac>bd

(7)(正數(shù)乘方法則)a>b>O^a">b"(neN,S.n>l)

§2.2基本不等式

①重要不等式：a2+b2>2ab(a,beR),(當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時取"="號).

變形公式：2(a2+b2)>(a+b)2(a,b&R)

②基本不等式：(a,beR*),(當(dāng)且僅當(dāng)a=〃時取到等號).

變形公式：a+h>2\[ab：.

用基本不等式求最值時(積定和最小，和定積最大)，要滿足條件：“一正.二定.三相等”.

§2.3二次函數(shù)與一元二次方程.不等式

A>0A=0A<0

y=cvc+ZZX+C(Q>0)

\]/

的圖象立

秋O尸21

2

ax++c=0(a>0)Xpx2(x,<x2)b沒有實(shí)數(shù)根

V五

的根

cue2+bx+c>0(a>0){x|xV%,或%}R

的解集

2（。）00

ax+/?x+c<0>0<X<x21

的解集

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)

§3.1函數(shù)的概念及其表示

1.設(shè)A.8是非空的實(shí)數(shù)集，使對于集合A中的任意一個數(shù)X,如果按照某種確定的對應(yīng)

關(guān)系了,在集合B中都有惟一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱/:AfB為集合A到

集合8的一個函數(shù)，記作：y-f(x),x&A.

2.函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域.對應(yīng)關(guān)系.值域.

3.區(qū)間：閉區(qū)間、開區(qū)間、半開半閉區(qū)間

4.函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法.

5.分段函數(shù)

§3.2.函數(shù)的基本性質(zhì)

§3.2.1單調(diào)性與最大(小)值

1.函數(shù)單調(diào)性的定義：

設(shè)函數(shù)/(X)的定義域為/,區(qū)間如果V%、々G。，當(dāng)王<%2時，都有：

/(X1)</(X?)或/(玉)-/(X,)<0,就稱/(X)在區(qū)間。上單調(diào)遞增；

特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞減時，就稱它是增函數(shù)：

/(m)>/(/)或/(苞)—/(z)>°，就樹10)在區(qū)間。上單調(diào)遞減.

特別地，當(dāng)函數(shù)在它的定義域上單調(diào)遞戒時，就稱它是減函數(shù)；

2.最大值、最小值：

設(shè)函數(shù))(x)的定義域為/,

如果存在實(shí)數(shù)M滿足：(1)VXG/,都有/(x)KM;(2)it。e/,使得/(%)=M,

我們就稱M是函數(shù)y=/(x)的最大值.

如果存在實(shí)數(shù)N滿足：(1)VxeZ,都有/(x)NN；(2)三天6/,使得/(為)=77,

我們就稱N是函數(shù)y=/(x)的最小值.

§3.2.2奇偶性

1,定義：設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為/,如果Vxe/,都有一xe/,

且/(—x)=/(x)(或/(-x)—/(x)=0),那么就稱函數(shù)/(x)為偶函數(shù).

偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.

且若/(r)=—/(x)(或/(一x)+/(x)=0),那么就稱函數(shù)/(x)為奇函數(shù).

奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.

2,奇函數(shù)的性質(zhì)：

若奇函數(shù)/(x)的定義域為/,如果Oe/,則有/(O)=O.

3.奇偶性與單調(diào)性：

奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.

§3.3瓶函數(shù)

1.露函數(shù)的解析式：y=x",x是自變量，a是常數(shù).

2.幾種取函數(shù)的圖象：

3.賽函數(shù)的性質(zhì)：

(1)定點(diǎn)：(1,1).

(2)單調(diào)性：

當(dāng)a>0時，>在(0,+oo)上單調(diào)遞增;

當(dāng)a<0時，y=x"在(0,+oo)上單調(diào)遞減:

第4章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

§4.1指數(shù)

§4.1.1。次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)暴

1.如果X”=Q,那么X叫做。的〃次方根.其中〃>N+.

2.當(dāng)〃為奇數(shù)時，=

當(dāng)〃為偶數(shù)時，”/二同.

3.規(guī)定：

⑴=\/a^(a>0,m,N\n>V)；

*11

(2)。"-——=—=(a>0,m,n^N\n>1).

J"

(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)森等于0.0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕無意義.

4.運(yùn)算性質(zhì)：

(1)?=a'"'(a>0,r,s￡Q)；nj=ars

⑵(優(yōu))=a,s(a>0,r,5G2)；=(〃')=(")=〃

(3)(ab)"=arb'(a>0,人>0/￡Q).

§4.1.2無理指數(shù)系及其運(yùn)算性質(zhì)

運(yùn)算性質(zhì)：

(1)aras=，+s>0/,s￡R)；nJ=ar~s

⑵(a)=ars(a>0,r,5G/?)；n(")==ars

⑶(ab)'=arhr(tz>0,/?>0,re7?).

§4.2指數(shù)函數(shù)

1.定義：函數(shù)y=優(yōu)(。>0,。wl)叫做指數(shù)函數(shù)，定義域為R.

2.性質(zhì):

1.定義：如果優(yōu)=N(a>0,aol)；

那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x=log?N,a叫對數(shù)的底數(shù)，N叫真數(shù).

2.指數(shù)與對數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)a>O,a#l時，a"=Nox=log?N

3.對數(shù)恒等式：產(chǎn)，N=N,log,,aN=N.

4.兩個特殊對數(shù)：

(1)以10為底的對叫做常用對數(shù)，并把log1。N記為IgN；

(2)以無理數(shù)e=2.71828....為底數(shù)的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把log,N記為InN：

5.基本性質(zhì)：(1)108“1=0；(2)108"=1；(3)負(fù)數(shù)和0沒有對數(shù).

6.積、商、蕊的對數(shù)運(yùn)算法則：當(dāng)a>0,aH1,M>0,N>0時：

(1)bg“(MN)=log“M+log?N：

⑵log"(引=log“"-log“N；

⑶logaMn-〃log,M.

5.換底公式：logab=———(a>0,。w1,c>0,cw1,b>0).

log,a

m]

6.推論：(1)log"/?'"=—logab(2)log“Z?=------(a>O,a^\,h>O,h^\).

anlog/

§4.4.對數(shù)函數(shù)

1.定義：函數(shù)y=log”元(。>°，。H1)叫做對數(shù)函數(shù)，定義域是(0,+℃).

2.性質(zhì)：

a>\0<a<1

y\x=l

圖

象

0/(1,0)XO\XX

(1)定義域：(0,+8)

性(2)值域：R

質(zhì)(3)過定點(diǎn)(1,0),即x=1時，y=0

(4)在(0,+8)上是增函數(shù)(4)在(0,+8)上是減函數(shù)

(5)x>l,logrtx>0:(5)x>l,logtzx<0；

0<x<l,logrtx<00<x<Llog”x>0

§4.5.函數(shù)的應(yīng)用

4.5,1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

1.方程/(無)=0有實(shí)數(shù)解。函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)

有零點(diǎn).

2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間以㈤上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有/(。)"俗)<0,

那么函數(shù)y=/(x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在ce(a,b),使得/(c)=0,這

個c也就是方程/(X)=0的解.

3.用二分法求方程的近似解

對于在區(qū)間［a,。］上圖象連續(xù)不斷且/(<—"(/?)<0的函數(shù)y=/'(x),通過不斷地把它零點(diǎn)

所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做

二分法.

第5章三角函數(shù)

§5.1.1.任意角

1.正角、負(fù)角、零角、象限角的概念.

正角：一條射線繞其端點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角；

負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角；

零角：一條射線沒有任何旋轉(zhuǎn)，就稱它形成了一個零角。

2.旋轉(zhuǎn)與運(yùn)算：

(1)痢的加法：角。的終邊旋轉(zhuǎn)角夕后所得的終邊對應(yīng)的角是0

(2)角的減法：6)。

3.與角a終邊相同的角的集合：{P|夕=。+左360?次ez}.

§5.1.2.弧度制

1.1弧度角：把長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.

2.弧度公式：|a|=，(r為圓的半徑，弧長為/的弧所對的圓心角為a)。

r

3.弧長公式：/=|同

元/?OQ\°

4.角度與弧度換算：180°=^-rad=>1°=-rad；\rad=----。

180\7U)

5.扇形面積公式：S="N-=L/R=』a|/?2.(R為圓的半徑，扇形弧長為/,圓心角

3602211

為a)

§5.2.1.三角函數(shù)的概念

1.三角函數(shù)定義1：設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),則：

把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y叫做a的正弦函數(shù)，記作sina.即y=sina；

把點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa.即九二cosa；

把點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)y與橫坐標(biāo)x的比值上叫做a的正切函數(shù)，記作tana.即

x

y/、

—=tan6r(x^0)o

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)，通常記為：

正弦函數(shù)：y=sinx,xe/?

余弦函數(shù)：y=cosx,xe/?

正切函數(shù):

2.三角函數(shù)定義2：設(shè)點(diǎn)P（尤,y）（不與原點(diǎn)重合）為角。終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與原點(diǎn)

2

的距離為：r=Jx^+y,則：sincr=—,cosa=—ftana=—.

rrx

3.sin。、cos。、tana在四個象限的符號：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

§5.2.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sincc

1.平方關(guān)系：sin26r+cos2a-\.2.商數(shù)關(guān)系：tana=------.

cosa

§5.3.誘導(dǎo)公式

1.誘導(dǎo)公式一：2.誘導(dǎo)公式二:

sin(6Z+2左")=sina.-).-smtz,

Z?).

cos(6Z+=coscr,(其中:.一cosa,

?).

tan(cr+2k/r)=tana.tana.

3.i秀導(dǎo)公式二：4.誘導(dǎo)公式四：

sin(—a)=-sin。，sin(7一a)=sin0，

cos(-a)=cosa,cos(萬一a)=-cosa,

tan(-a)=-tana.tan(〃-a)=-tana.

5.誘導(dǎo)公式五：6.誘導(dǎo)公式六：

§5.4.正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.正弦.余弦函數(shù)圖象：

2.會用五點(diǎn)法作圖.

jr3乃

y=sinx在工￡[0,24]上的五個關(guān)鍵點(diǎn)為：(0,0),(—,1),(萬,0),(,一1),(24,0).

jr27r

y=cosx在工￡[0,21]上的五個關(guān)鍵點(diǎn)為：(0,1),(—,0),(小一1),(^—,0),(2%,1).

3.周期函數(shù)定義：函數(shù)/(X)定義域為。，如果存在一個非零常數(shù)了，使得對每一個XG。，

都有x+Te￡>,且.f(x+T)=.f(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)7"叫做這

個函數(shù)的周期.

最小正周期：如果周期函數(shù)/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那這個最小正數(shù)叫

/(元)的最小正周期.

4.正余弦函數(shù)的周期：

正弦函數(shù)是周期函數(shù)，(AeZ且后。0)都是它的周期，最小正周期是2"；

余弦函數(shù)是周期函數(shù)，2k兀(AeZ且AxO)都是它的周期，最小正周期是2"；

5.正切函數(shù)的圖象：

5.正弦.余弦.正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)：

y=sinxy—cosxy=tanx

：y1

yI

y=sinx,xER￥

!I

,：R?psinxjgRi

J由zn/J

圖象J-

產(chǎn)0F;X

匹丁75^兀：'靛^力-;v-

—T—千一-i-1-4

r1

ITIf

71

定義域RR{x\x^—+kjr,kGZ}

值域[-1,1][-1,1]R

7t,

x=Ikjr+—2，&wZ時，■ymax=1

工=攵時，

最值2E4￡2yimx=1

7V,

兀x=2A7r+;rMwZ時，y=-1

x=2k----MwZ時，ym.n=-1min無

周期性T=2〃T=2TTT=兀

奇偶性奇偶奇

在［2.-參2版+自上單調(diào)遞增

在每一個區(qū)間

單調(diào)性在［2%萬-肛上單調(diào)遞增

在120+工,2"+紅］上單調(diào)遞

keZ22在［2%肛2卜兀+?］上單調(diào)遞減(k兀-?卜兀+與上單調(diào)遞增

減

7F