2023屆陜西省韓城市司馬遷中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．32．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．3．在直角梯形中，，，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，()A． B．2 C． D．4．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．5．下列不等式正確的是（）A． B．C． D．6．已知雙曲線，過原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn)F，則雙曲線離心率為A． B． C．2 D．7．已知集合．為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．8．在空間直角坐標(biāo)系中，四面體各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：．假設(shè)螞蟻窩在點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點(diǎn)留下信息，然后再返回點(diǎn)．那么完成這個(gè)工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．9．已知、是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過點(diǎn)與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點(diǎn)，若點(diǎn)在以線段為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知向量，，且與的夾角為，則（）A． B．1 C．或1 D．或911．已知直線：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④12．《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）國家禁毒辦于2019年11月5日至12月15日在全國青少年毒品預(yù)防教育數(shù)字化網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上開展2019年全國青少年禁毒知識(shí)答題活動(dòng)，活動(dòng)期間進(jìn)入答題專區(qū)，點(diǎn)擊“開始答題”按鈕后，系統(tǒng)自動(dòng)生成20道題.已知某校高二年級(jí)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)在這次活動(dòng)中答對(duì)的題數(shù)分別是，則這五位同學(xué)答對(duì)題數(shù)的方差是____________．14．執(zhí)行以下語句后，打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：_____．15．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.16．在正方體中，已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號(hào)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．18．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面.（1）求證:是的中點(diǎn)；（2）在上是否存在點(diǎn)，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.20．（12分）已知命題：，；命題：函數(shù)無零點(diǎn).（1）若為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若為假，為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）某企業(yè)原有甲、乙兩條生產(chǎn)線，為了分析兩條生產(chǎn)線的效果，先從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測(cè)一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值．該項(xiàng)指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．乙生產(chǎn)線樣本的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)合計(jì)頻數(shù)2184814162100（1）根據(jù)甲生產(chǎn)線樣本的頻率分布直方圖，以從樣本中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的頻率近似代替從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任意抽取一件產(chǎn)品且為合格品的概率，估計(jì)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取5件恰有2件為合格品的概率；（2）現(xiàn)在該企業(yè)為提高合格率欲只保留其中一條生產(chǎn)線，根據(jù)上述圖表所提供的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有90%把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與生產(chǎn)線有關(guān)？若有90%把握，請(qǐng)從合格率的角度分析保留哪條生產(chǎn)線較好？甲生產(chǎn)線乙生產(chǎn)線合計(jì)合格品不合格品合計(jì)附：，．0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.87922．（10分）已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問題.2、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，令（），則（），函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域?yàn)?故選：B【點(diǎn)睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應(yīng)用意識(shí).3、B【解析】

由題，可求出，所以，根據(jù)共線定理，設(shè)，利用向量三角形法則求出，結(jié)合題給，得出，進(jìn)而得出，最后利用二次函數(shù)求出的最大值，即可求出.【詳解】由題意，直角梯形中，，，，，可求得，所以·∵點(diǎn)在線段上，設(shè)，則，即，又因?yàn)樗?，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理，以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.4、D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見的方法．5、D【解析】

根據(jù)，利用排除法，即可求解．【詳解】由，可排除A、B、C選項(xiàng)，又由，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡后求得離心率.【詳解】設(shè)，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡得，故，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.7、D【解析】

集合．為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：集合．為自然數(shù)集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內(nèi)容，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.9、A【解析】雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=x，不妨設(shè)過點(diǎn)F1與雙曲線的一條漸過線平行的直線方程為y=（x﹣c），與y=﹣x聯(lián)立，可得交點(diǎn)M（，﹣），∵點(diǎn)M在以線段F1F1為直徑的圓外，∴|OM|＞|OF1|，即有+＞c1，∴＞3，即b1＞3a1，∴c1﹣a1＞3a1，即c＞1a．則e=＞1．∴雙曲線離心率的取值范圍是（1，+∞）．故選：A．點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.10、C【解析】

由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，求的值.【詳解】解：由題意可得，求得，或，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義和公式，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線的距離或時(shí)滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時(shí)滿足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線的距離公式.12、C【解析】

由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

由這五位同學(xué)答對(duì)的題數(shù)分別是，得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則方差．14、1【解析】

根據(jù)程序框圖直接計(jì)算得到答案.【詳解】程序在運(yùn)行過程中各變量的取值如下所示：是否繼續(xù)循環(huán)ix循環(huán)前14第一圈是44+2第二圈是74+2+8第三圈是104+2+8+14退出循環(huán)，所以打印紙上打印出的結(jié)果應(yīng)是：1故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力.15、31【解析】

由二項(xiàng)式定理及其展開式得通項(xiàng)公式得：因?yàn)榈恼归_式得通項(xiàng)為，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，得解.【詳解】解：，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：31.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，考查計(jì)算能力.16、①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點(diǎn)P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，根據(jù)對(duì)稱性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為2.則:，，所以，設(shè)面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過作平面交于點(diǎn)，做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn)，使得點(diǎn)在平面內(nèi)，則，所以，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí)，在一條直線上，取得最小值.因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對(duì)稱的思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）．（2）．【解析】

（1）由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，求出最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)，由此能求出六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，需求量為500，求出Y＝900元；當(dāng)溫度在[20，25）℃時(shí)，需求量為300，求出Y＝300元；當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為200，求出Y＝﹣100元，從而當(dāng)溫度大于等于20時(shí)，Y＞0，由此能估計(jì)估計(jì)Y大于零的概率．【詳解】解：（1）由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得到最高氣溫位于區(qū)間[20，25）和最高氣溫低于20的天數(shù)為2+16+36＝54，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶，如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶，如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶，∴六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率p．（2）當(dāng)溫度大于等于25℃時(shí)，需求量為500，Y＝450×2＝900元，當(dāng)溫度在[20，25）℃時(shí)，需求量為300，Y＝300×2﹣（450﹣300）×2＝300元，當(dāng)溫度低于20℃時(shí)，需求量為200，Y＝400﹣（450﹣200）×2＝﹣100元，當(dāng)溫度大于等于20時(shí)，Y＞0，由前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得當(dāng)溫度大于等于20℃的天數(shù)有：90﹣（2+16）＝72，∴估計(jì)Y大于零的概率P．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查利潤的所有可能取值的求法，考查函數(shù)、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，將原不等式化簡后兩邊平方，由此解出不等式的解集.（2）對(duì)分成三種情況，利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】（1）時(shí)，可得，即，化簡得：，所以不等式的解集為.（2）①當(dāng)時(shí)，由函數(shù)單調(diào)性可得，解得；②當(dāng)時(shí)，，所以符合題意；③當(dāng)時(shí)，由函數(shù)單調(diào)性可得，，解得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本小題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：(1)連交于可得是中點(diǎn)，再根據(jù)面可得進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果；(2)取中點(diǎn)，由（1）知兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的一個(gè)法向量，用表示面的一個(gè)法向量，由可得結(jié)果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點(diǎn).又面，且是面與面的交線，是的中點(diǎn).(2)取中點(diǎn)，由（1）知兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則各點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)存在滿足要求，且，則由得：，面的一個(gè)法向量為，面的一個(gè)法向量為，由，得，解得，故存在，使二面角為直角，此時(shí).20、（1）（2）【解析】

（1）為假,則為真，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)有零點(diǎn)條件得的取值范圍；（2）由為假，為真，知一真一假；分類討論列不等式組可解.【詳解】（1）依題意，為真，則無解，即無解；令，則，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，作出函數(shù)圖象如下所示，觀察可知，，即；（2）若為真，則，解得；由為假，為真，知一真一假；若真假，則實(shí)數(shù)滿足，則；若假真，則實(shí)數(shù)滿足，無解；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)全(特)稱命題的真假求參數(shù)的問題.其思路：與全稱命題或特稱命題真假有關(guān)的參數(shù)取值范圍問題的本質(zhì)是恒成立問題或有解問題．解決此類問題時(shí)，一般先利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等