（北師大版2019課標(biāo)）高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè) 第五章綜合測(cè)試（含答案）

第五章綜合測(cè)試

第I卷（選擇題，共60分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的）

1.下列函數(shù)中沒有零點(diǎn)的是（）

2

A./（%）=log2x-7B./（x）=y/~x-1C./(%)=-D./(%)—x+x

x

2.方程ln%+%—4=0的實(shí)根所在的區(qū)間為)

A.（1,2）B.（2,3）C.(3,4)D.(4,5)

3.函數(shù)/（x）=L—lnx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

A.0B.1D.3

4.某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售（即優(yōu)惠10%）,仍可獲利10%（相對(duì)進(jìn)貨價(jià)），則該家具的

進(jìn)貨價(jià)是（）

A.118元B.105元C.106元D.108元

5.用二分法求方程小）=0在區(qū)間（1,2）內(nèi)的唯一實(shí)數(shù)解X。時(shí)，經(jīng)計(jì)算得〃1）=百，/（2）=-5,70=9,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.x0G|L—|B.XQ——C.XQE,I_,2|D.=1

6.關(guān)于x的方程分+a-1=0在（0,1））內(nèi)有實(shí)根，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.。>1B.—C.—<Q<1D.QV—或a>l

222

7.函數(shù)/（x）=/—6x+8卜女只有兩個(gè)零點(diǎn)，則（）

A.k=0B.k>lC.0W左VID.左>1或％=0

8.設(shè)函數(shù)f（x）=\X~+bX+C，*W0若〃_4）=〃0）,2）=-2,則關(guān)于x的方程=x的解的個(gè)數(shù)為

[2,x>0,

（）

A.1B.2C.3D.4

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）

9.若函數(shù)“X）唯一的一個(gè)零點(diǎn)同時(shí)在區(qū)間［0,16］,［0,8］,［0,4］,［0,2］內(nèi)，那么下列說(shuō)法中正確的是（）

A.函數(shù)在區(qū)間［0,1］內(nèi)有零點(diǎn)

B.函數(shù)〃尤）在區(qū)間［0,1］或［1,2］內(nèi)有零點(diǎn)

C.函數(shù)〃尤）在區(qū)間（2,16］內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

D.函數(shù)“X）在區(qū)間［1,16］內(nèi)無(wú)零點(diǎn)

10.如下圖表示一位騎自行車者和一位騎摩托車者在相距80km的兩城鎮(zhèn)間旅行的函數(shù)圖象.根據(jù)這個(gè)函數(shù)

圖象，關(guān)于這兩個(gè)旅行者的信息正確的是（）

A.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)了3小時(shí)，晚到1小時(shí)

B.騎自行車者是變速運(yùn)動(dòng)，騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng)

C.騎摩托車者在出發(fā)了1.5小時(shí)后，追上了騎自行車者

D.騎自行車者實(shí)際騎行的時(shí)間為6小時(shí)

11.已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元.某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝，包裝費(fèi)用、銷售價(jià)

格如下表所示:

型號(hào)小包裝大包裝

重量100克300克

包裝費(fèi)用0.5元0.7元

銷售價(jià)格3.00元8.40元

則下列說(shuō)法中正確的是（）

A.買小包裝實(shí)惠B.買大包裝實(shí)惠

C.賣3小包比賣1大包盈利多D.賣1大包比賣3小包盈利多

0,xWO,

12.已知函數(shù)/(%)=<則使函數(shù)g（x）=+x-根有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)加的取值范圍可以是（

X

2,尤>0,

A.[2,+8)B.(L+oo)C.(-?,0]D.(-8,1]

第II卷（非選擇題，共90分）

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上）

13.已知函數(shù)〃月=--1,則函數(shù)〃尤-2）的零點(diǎn)是.

14.放射性物質(zhì)衰變過(guò)程中其剩余質(zhì)量隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)關(guān)系變化.常把它的剩余質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的一半所經(jīng)

歷的時(shí)間稱為它的半衰期，記為T，.現(xiàn)測(cè)得某種放射性元素的剩余質(zhì)量A隨時(shí)間/變化的6組數(shù)據(jù)如下：

2

/（單位時(shí)間）03691215

A⑺3202261601138057

從以上記錄可知這種元素的半衰期約為個(gè)單位時(shí)間，剩余質(zhì)量隨時(shí)間變化的衰變公式為A"）=

15.方程lgx=2的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為.

16.若關(guān)于x的方程/—%+1）=o在［-1,1］上有解，則m的取值范圍是.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）若函數(shù)〃=有一個(gè)零點(diǎn)3,求函數(shù)g（x）=6/+3ax的零點(diǎn).

18.（本小題滿分12分）在泰山早晨觀日出氣溫較低，為方便游客，一家旅館備有120件棉衣提供出租，每

件日租金50元，每天都客滿.五一假期即將來(lái)臨，該旅館準(zhǔn)備提高租金.經(jīng)調(diào)查，如果每件的日租金每增加

5元，則每天出租會(huì)減少6件，不考慮其他因素，棉衣日租金提到多少元時(shí)，棉衣日租金的總收入最高？

19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)〃月=2/一8%+m+3為區(qū)上的連續(xù)函數(shù).

（1）若試判斷無(wú)）=0在內(nèi)是否有根存在？若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由；若有，請(qǐng)?jiān)诰_度為0.2

（即根所在區(qū)間長(zhǎng)度小于0.2）的條件下，用二分法求出使這個(gè)根無(wú)。存在的區(qū)間.

(2)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

0.1+151n，一，xW6

20.(本小題滿分12分)有時(shí)可用函數(shù)/(x)=_a-x，描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識(shí)的掌握程度,

x>6

、x-4

其中X表示某學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)次數(shù)(xeN*),/(x)表示對(duì)該學(xué)科知識(shí)的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識(shí)有

關(guān).

(1)證明：當(dāng)了三7時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量尤)總是下降的；

(2)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對(duì)應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127,133].當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知

識(shí)6次時(shí)，掌握程度是85%,請(qǐng)確定相應(yīng)的學(xué)科(參考數(shù)據(jù)：e005?1.0512).

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x>0時(shí)，/(x)=log?[x+g]

(1)求/(x)的解析式；

(2)若M=｛同函數(shù)=九-應(yīng)根￡?｝有兩個(gè)零點(diǎn)，求集合Af.

22.（本小題滿分12分）

如上圖，將寬和長(zhǎng)都分別為x,y（x〈y）的兩個(gè)矩形部分重疊放在一起后形成的正十字形面積為逐.（注:

正十字形指的是原來(lái)的兩個(gè)矩形的頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，且兩矩形長(zhǎng)所在的直線互相垂直的圖形.）

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)劉y取何值時(shí)，該正十字形的外接圓面積最??？并求出其最小值.

第五章綜合測(cè)試

答案解析

、

1.【答案】c

【解析】由于函數(shù)/（x）=L中，對(duì)任意自變量X的值，均有1W0,故該函數(shù)不存在零點(diǎn).

XX

2.【答案】B

【解析】設(shè)函數(shù)〃q=ln.獷0＞耳，故/（%）是（0,+8）上的單調(diào)遞增函數(shù).因?yàn)?/p>

/（2）x/（^=（1n-2）x^—1內(nèi)，故函數(shù)”無(wú)）在區(qū)間（2,3）上有零點(diǎn)，即方程lnx+x—4=0在區(qū)間

（2,3）上有實(shí)根，故選B.

如上圖，在同一坐標(biāo)系中作出y=工與y=ln尤的圖象：

X

可知/（x）=」一Inx只有一個(gè)零點(diǎn).

4.【答案】D

【解析】設(shè)該家具的進(jìn)貨價(jià)是1元，由題意得132。-10%）-%=%口10%,解得％=108元.

5.【答案】C

【解析】由于⑵（0,則與唱2）

6.【答案】C

【解析】只需/（。）/（1）＜0即可，即解得...選C.

7.【答案】D

【解析】令%=|犬-6x+8|,%=%，由題意函數(shù)/（x）只有兩個(gè)零點(diǎn)，即這兩個(gè)函數(shù)圖象只有兩個(gè)交點(diǎn),

利用數(shù)形結(jié)合思想，作出兩函數(shù)圖象（如下圖），可得選D.

8/yi=lf-6Y+8l

舉之z

r-4x

8.【答案】C

【解析】依題意x=—2是>=/+樂+。的對(duì)稱軸,

.\Z,=4.V/(-2)=-2,；.C=2,

2

",,)n/=、%x+>40x+2xWO'令.",,x

解得x=—1,—2,2，

...方程=X的解的個(gè)數(shù)為3.選C.

9.【答案】BC

【解析】由題意可得，函數(shù)在［0,2］內(nèi)有零點(diǎn)，在(2,16］內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，故選BC.

10.【答案】ABC

【解析】由圖象可得，騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)了3小時(shí)，晚到1小時(shí)，A正確；騎自行車者是變速

運(yùn)動(dòng)，騎摩托車者是勻速運(yùn)動(dòng)，B正確；騎摩托車者在出發(fā)了1.5小時(shí)后，追上了騎自行車者，C正確；騎

自行車者實(shí)際騎行的時(shí)間為5小時(shí)，D錯(cuò)誤.故選ABC.

11.【答案】BD

【解析】買小包裝時(shí)每克費(fèi)用為工元，買大包裝時(shí)每克費(fèi)用為.=生(元)，—,所以買大包

100300100100100

裝實(shí)惠.賣3小包的利潤(rùn)為3x(3—1.8—0.5)=2.1(元)，賣1大包的利潤(rùn)是&4—1.8x3—0.7=23(元)，

2.3>2.1,所以賣1大包比賣3小包盈利多.因此BD正確，故選BD.

12.【答案】BC

【解析】函數(shù)g(x)=+的零點(diǎn)就是方程f(x)+x=m的根,

x,xWO

作出力(%)=<的圖象，如下圖所示,

2X+x,x>0

觀察它與直線y=根的交點(diǎn)，

得知當(dāng)mW0或m>l時(shí)有交點(diǎn),

即函數(shù)g(x)=〃x)+x-機(jī)有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-8,0)U(l，+8).故選BC.

--、

13.【答案】1或3

【解析】/(x-2)=(x-2)2-l=x2-4x+3=0,x=l或x=3.

14.【答案】6320口2120)

6

【解析】從題表中數(shù)據(jù)易知半衰期為6個(gè)單位時(shí)間，初始質(zhì)量為4=320,則經(jīng)過(guò)時(shí)間/的剩余質(zhì)量為

A⑺=A

15.【答案】2

【解析】分別畫出丁=：/-2與y=lg尤的圖象，有2個(gè)交點(diǎn).

16.【答案】一9

【解析】依題意m=當(dāng)％=工時(shí)，加的最小值為一9；當(dāng)X=—l時(shí)，機(jī)的最大值為

I2)424

1.所以me—11.

_4_

四、

17.【答案】函數(shù)=人的一個(gè)零點(diǎn)是3.

.,./(3)=0,即6=3a,^(x)=3ax2+3ax,

令g(x)=0得％=0或%=_],

**.g(x)的零點(diǎn)是x=0或％=-1.

18.【答案】設(shè)每件棉衣日租金提高了個(gè)5元，即提高5%元，則每天棉衣減少出租6x件，又設(shè)棉衣日租金

的總收入為y元.

?\y=(50+5x)x(120-6x),

.R=-30(x-5)2+6750

.?.當(dāng)x=5時(shí)，,max=6750,這時(shí)每件棉衣日租金為50+50x=50+5x5=75(元)，

棉衣日租金提到75元時(shí)，棉衣日租金的總收入最高，最高為6750元.

19.【答案】(1)當(dāng)=T時(shí)，f(無(wú))=0,即“無(wú))=2尤2—8X—1=0.

可以求出/'(-1)=9,/(1)=一7,則/(一1)/(1)<0.

又為R上的連續(xù)函數(shù)，

.,?/(*)=0在(-1,1)內(nèi)必有根存在.

取中點(diǎn)0,計(jì)算得"0)=-1<0,/(-1)/(0)<0,

/.XOG(-LO),取其中點(diǎn)一3,計(jì)算得了=

.'.%0e1―5,0］,取其中點(diǎn)一^，計(jì)算得/=可〉0，

二/e［—7())，取其中點(diǎn)4-計(jì)算得了

O擊

又-i-0<0.2,???與存在的區(qū)間為［-3。

??XQG

8

(2)?.?函數(shù)f(x)=2x2—8x+〃2+3的對(duì)稱軸為x=2.

〃T)20f/w+13^0…一一

函數(shù)“X)在內(nèi)存在零點(diǎn)的條件為<即《>解得—13W7〃W3.

/(1)<0m-3^0

...機(jī)的取值范圍是［-13,3］.

0.4

20.【答案】(1)證明：當(dāng)x>7時(shí),f(x+l)-/(x)

(x-3)(x-4)

設(shè)g(")=7―MX)=(X—3)(X-4)，

(無(wú)一"S(ix-4)

易知Mx)的圖象是拋物線的一部分，在［7,+oo)上單調(diào)遞增，故g(x)在［7,+8)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)時(shí)，掌握程度的增長(zhǎng)量f(x+1)-f(力總是下降的.

(2)由/(6)=0.85,可知0.1+151n，一=0.85,

a-6

z:0.05

整理得，=e“5,解得。=森—它123.

a-6e005-l

又123€(121,127],所以該學(xué)科是乙學(xué)科.

21.【答案】(1)."(x)是」上的奇函數(shù)，."(0)=0.

設(shè)％<0,貝xX),

(_%)-log?[-X+5]，

?V(X)=-/(-%)=Tog?

所以“X)的解析式為

--

log2f+—Jfx<0

〃x)=,0,x=0

10g2卜+g),X>0

(2)畫出函數(shù)y=|/(x)|的圖象如下圖:

由圖可得={〃加三1}.

22.【答