《概率的基本性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《10.1.4概率的基本性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

【教材分析】

本節(jié)《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修二(人教A版)第十章《10.1.4概率的基本

性質(zhì)》，本節(jié)課主要從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，例如：概率的取值范圍；特殊事件的概率；

事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之家的關(guān)系等等，注意對(duì)概率思想方法的理解.發(fā)展學(xué)

生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.1.數(shù)學(xué)建模：事件關(guān)系于概率性質(zhì)

B.理解概率的6條基本性質(zhì),重點(diǎn)掌握性2.邏輯推理：事件互斥、互為對(duì)立的含義

質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用概率性質(zhì)計(jì)算概率

C.能靈活運(yùn)用這幾條重要性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際4.數(shù)據(jù)抽象：運(yùn)用集合的觀點(diǎn)分析事件關(guān)系

問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)化歸能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】：掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.

【教學(xué)難點(diǎn)】：理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.

【教學(xué)過(guò)程】

教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

一、探究新知

一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)

數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)

研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，

這些性質(zhì)在解決問(wèn)題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概率

的定義后，我們來(lái)研究概率的基本性質(zhì).由知識(shí)回顧，類比提

我們從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，出問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)

(1)概率的取值范圍；學(xué)抽象、直觀想象和

(2)特殊事件的概率；邏輯推理的核心素

(3)事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系；等等。養(yǎng)。

1.概率P(A)的取值范圍

由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負(fù)的；在每次試驗(yàn)中，必

然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，一般地，概率有如下性

質(zhì)：

性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)20.

性質(zhì)2必然事件的概率為1,

不可能事件的概率為0,

即P(Q)=1,P(①)=0.

2.概率的加法公式(互斥事件時(shí)有一個(gè)發(fā)生的概率)

性質(zhì)3.如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

在擲骰子實(shí)驗(yàn)中，事件，A=｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝;B=｛出現(xiàn)2點(diǎn)卜

C=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3｝；

P(C)=p(AUB)=p(A)+p(B)=l/6+l/6=l/3

因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以n(AU

B)=n(A)+n(B),這等價(jià)于P(AUB)=P(A)+P(B),即兩個(gè)互斥事件的和事

件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和，所以我們有互斥事件的概率加法

公式：

［破疑點(diǎn)］①事件Z與事件8互斥，如果沒(méi)有這一條件，加法公式

將不能應(yīng)用.

②如果事件4,Ai,…，4彼此互斥，那么尸(4U4U…U4)=P(4)

+尸(4)+…+尸(4),即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和.

③在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求

的彼此互斥的事件，化整為零，化難為易.

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，

那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

G=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝;

H=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝;

如在擲骰子實(shí)驗(yàn)中，事件.

［破疑點(diǎn)］①公式使用的前提必須是對(duì)立事件，否則不能使用此公

式.②當(dāng)一事件的概率不易直接求，但其對(duì)立事件的概率易求時(shí)，可

運(yùn)用此公式，即使用間接法求概率.

3.對(duì)立事件有一個(gè)發(fā)生的概率

例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率

分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：

(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率：(2)不夠7環(huán)的概率.通過(guò)具體問(wèn)題的事

［解析］⑴設(shè)“射中10環(huán)”為事件4“射中7環(huán)”為事件6,由件分析，歸納出概率

于在一次射擊中，4與占不可能同時(shí)發(fā)生，故4與6是互斥事件.“射性質(zhì)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)

中10環(huán)或7環(huán)”的事件為4U區(qū)抽象、邏輯推理的核

故尸故0歷=尸(4)+P(面=0.21+0.28=0.49.心素養(yǎng)。

射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.

(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3

環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、。環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，

可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、

9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是對(duì)立

事件，可用對(duì)立事件的方法處理.

設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E,則事件下為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或

10環(huán)”，由⑴可知“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中9環(huán)”、

“射中10環(huán)”是彼此互斥的事件，

：.PCE)=Q.21+0.23+0.25+0.28=0.97,

從而產(chǎn)(皮=1一/(2)=1—0.97=0.03.

...不夠7環(huán)的概率為0.03.

一般地，對(duì)于事件A與事件B,如果ACB,即事件A發(fā)生，則事件B-

定發(fā)生，那么事件A的概率不超過(guò)事件B的概率。于是我們有概率的

單調(diào)性：

在古典概型中，對(duì)于事件A與事件B,如果ACB,那么n(A)Wn(B).于

是

”(A)”(B)

即P(A)WP(B)

n(Q)n(Q)

性質(zhì)5.如果A￡B,那么P(A)WP(B)

由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棰賃AUC,所以O(shè)WP(A)Wl.

一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1

和2),2個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)

球.設(shè)事件R="第一次摸到紅球"，R="第二次摸到紅球"，R="兩

12

次都摸到紅球”，

“兩個(gè)球中有紅球”=RUR,那么P(RUR)和P(R)+P(R)相等嗎?

121212

如果不相等，請(qǐng)你說(shuō)明原因，并思考如何計(jì)算P(RUR).

12

因?yàn)閚(Q)=12,n(R)=n(R)=6,n(RUR)=10,

I212

所以P(R)=P(R)=6/12,P(RUR)=10/12.因此P(RU

12121

R)WP(R)+P(R).

212

這是因?yàn)镽PIR={(1,2),(2,1)}W①，即事件R,R不是互斥的，

1212

容易得到P(RUR)=P(R)+P(R)—P(RDR).

121212

一般地，我們有如下的性質(zhì)：

通過(guò)實(shí)例分析，讓學(xué)

性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有

生掌握概率性質(zhì)，提

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AAB)

升推理論證能力，提

由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棰賃AUQ,所以0<P(A)Wl.

高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、

性質(zhì)1對(duì)任意的事件4都有依⑷三0數(shù)學(xué)建模及邏輯推

必然事件的概率為3不可能事件的概率為0.

性質(zhì)2理的核心素養(yǎng)。

即P(0)=1,尸(0)=2

如果事件N與事48互斥，那么

性質(zhì)3

如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么

性質(zhì)4

尸(8)+尸(4)=1,P(8)=1-P(A)尸儀尸1-P(B}

性質(zhì)5如果NU8,那么尸(4)三尸(5)

設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則有

性質(zhì)6

P(ZU8)寸(/)+尸(8)-2型地

(1)對(duì)于P(AUB)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以

推廣到多個(gè)事件的情況.如果事件A,A,A兩兩互斥,那么事件A

12m

UAU-UA發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和，即

2m

P(AUAU-UA)=P(A)+P(A)+-+P(A).

12m12m

該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.

(2)若A與B互為對(duì)立,則有P(A)+P(互=1;

若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對(duì)立.

(3)對(duì)于概率加法的一般公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AAB),

當(dāng)ACB=4時(shí)，就是性質(zhì)3.

例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，設(shè)事件

A=“抽到紅心”,事件B="抽到方片”,

P(A)=P(B)=O.25.那么

(1)C="抽到紅花色”，求P(C);

(2)D="抽到黑花色”，求P(D).

解：⑴因?yàn)镃=AUB,且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，

所以A與B是互斥事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，

得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5

(2)因?yàn)镃與D互斥，又因?yàn)镃UD是必然事件，

所以C與D互為對(duì)立事件.

因此P(D)=l-P(C)=l—0.5=0.5.

例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：

將6罐這種飲料裝一箱，每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一

箱中隨機(jī)抽出2罐，能中獎(jiǎng)的概率為多少？

分析：“中獎(jiǎng)”包括第一罐中獎(jiǎng)但第二罐不中獎(jiǎng)、第一罐不中獎(jiǎng)但第

二罐中獎(jiǎng)、兩罐都中獎(jiǎng)三種情況。如果設(shè)A=“中獎(jiǎng)”，A="第一罐

I

中獎(jiǎng)"，A="第二罐中獎(jiǎng)”，那么就可以通過(guò)事件的運(yùn)算構(gòu)建相應(yīng)

2

事件，并利用概率的性質(zhì)解決問(wèn)題.

解：設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A="第一罐中獎(jiǎng)"，事件A="第二

I2

A

A

AAAAA

罐中獎(jiǎng)”，那么事件AA="兩罐都中獎(jiǎng)”，A="第一罐中獎(jiǎng)，

1212

第二罐不中獎(jiǎng)"，A="第一罐不中獎(jiǎng)，第二罐中獎(jiǎng)”，且人=八八

1212

UAUA.因?yàn)锳A,A,A兩兩互斥，所以根據(jù)互斥事

1212121212

件的概率加法公式，可得P(A)=P(AA)+P(A)+P(A).

121212

我們借助樹(shù)狀圖來(lái)求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù).

第一雄區(qū)*可傕結(jié)果數(shù)

....2x1-2

分……2x4=8

4X2=8

可以得到，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n(Q)=6X5=30,且每個(gè)樣

本點(diǎn)都是等可能的.

因?yàn)閚(AA)=2,n(A*8,n(矽=8,所以

121t12

…、288183

P(A)=---1----1---=—=一

303030305

將復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算結(jié)果表示，利用概率運(yùn)算

法則求概率，是一種重要的思想方法.例12中的事件“中獎(jiǎng)”

等價(jià)于“至少一罐有獎(jiǎng)"，利用樹(shù)狀圖把“中獎(jiǎng)”表示為兩

兩互斥的3個(gè)事件的和事件，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)解決這類問(wèn)題時(shí)

樹(shù)狀圖的作用.

由于月“2UXi石=Ni(/hU瓦)=A\Q=Ai,

可以簡(jiǎn)化計(jì)算產(chǎn)⑷=P(At)+P(A,A2)=J+^=J.

法2:注意到事件A的對(duì)立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”，

由于44="兩罐都不中獎(jiǎng)”,而

n(A4)=4X3=12,

所以陶4)44

___23

因此，尸(A)=I-P(4&)=I—M=M

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.給出以下結(jié)論：①互斥事件一定對(duì)立；②對(duì)立事件一定互斥；③互斥通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)

事件不一定對(duì)立;④事件A與6的和事件的概率一定大于事件/的概所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生

率;⑤事件A與B互斥,則有。(4)=1-。(而.其中正確命題的個(gè)數(shù)為解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生

()的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推

A.0B.1C.2D.3理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)

答案:C建模的核心素養(yǎng)。

解析:對(duì)立必互斥,互斥不一定對(duì)立,故②③正確，①又當(dāng)力U6=4

時(shí),。(4口而可(心，故端；只有事件A與6為對(duì)立事件時(shí),才有

0(4)=1-尸㈤，故晚昔.

2.從集合｛a,&c,d,e｝的所有子集中任取一個(gè),若這個(gè)子集不是集合

｛a,6,c｝的子集的概率是則該子集恰是集合(a,b,c｝的子集的概率

是()

A.-B.-C.-D.i

5548

答案:C

解析:該子集恰是｛a",c｝的子集的概率為P=\9="

44

3.若事件A,6滿足4(1戶0,11_)8=0,且P(A)O.3,則P⑦=_______.

答案：0.7

4.盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球，從中摸出一

個(gè)球,摸出黑球的概率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球

是白球的概率是_______，摸出的球不是黃球的概率是________，摸

出的球或者是黃球或者是黑球的概率是_______.

答案:0.400.820.60

5.一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷

的概率為0.74,兩根同時(shí)熔斷的概率為0.63,問(wèn)至少有一根熔斷的概

率是多少？

解:設(shè)上“甲熔絲熔斷”，廬“乙熔絲熔斷”，則“甲、乙兩根熔絲至

少有一根熔斷”為事件力U6.

P(AU0=P(Q+P⑦-PkAn的

-0.85^.74-0.63-0.96.

6.據(jù)統(tǒng)計(jì),某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表:

(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率；

(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率.

5人及5

排隊(duì)等候的人數(shù)01234

人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

解:記在窗口排隊(duì)等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件4區(qū)C,則/，氏。兩

兩互斥.

(1)至多2人排隊(duì)等候的概率是。儲(chǔ)U8U

。=#儲(chǔ))+P⑦+P9-0.1@164.34).56.

(2)至少2人排隊(duì)等候的對(duì)立事件是“排隊(duì)等候人數(shù)為0或1”，

而排隊(duì)等候人數(shù)為0或1的概率為A/IU

m=P(A)鏟㈤=0.1X).16=0.26,

故至少2人排隊(duì)等候的概率為1-0.26-0.74.

四、小結(jié)

概通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)

率

的一步鞏固本節(jié)所學(xué)

基

本

性內(nèi)容，提高概括能

質(zhì)

力。

1.概率加法公式是對(duì)互斥事件而言的，一般地，P(AUB)WP(A)+

P(B).

2.在求解復(fù)雜的事件的概率時(shí),通常有兩種方法，一是將所求事件的

概率轉(zhuǎn)化成彼此互斥的概率之和.

二是先求此事件的對(duì)立事件的概率，特別是在涉及“至多”或“至

少”問(wèn)題時(shí)，常常用此思維模式.再利用P(A)=1-P(彳)來(lái)得出原

問(wèn)題的解.這種處理問(wèn)題的方法稱為逆向思維,有時(shí)能使問(wèn)題的解決

事半功倍.

五、課時(shí)練

【教學(xué)反思】

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)概率的基本性質(zhì)，注意運(yùn)用集合運(yùn)算的觀點(diǎn)分析學(xué)習(xí)。概率的性質(zhì)主要

是用于求復(fù)雜事件的概率，(1)將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其對(duì)立

事件的概率，再求所求事件的概率等等。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,

使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。從而發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素

養(yǎng)。

《10.1.4概率的基本性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.

2.理解概率的6條基本性質(zhì)，重點(diǎn)掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.

3.能靈活運(yùn)用這幾條重要性質(zhì)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)化歸能力.

【教學(xué)重點(diǎn)】：掌握性質(zhì)3、性質(zhì)4、性質(zhì)6及其公式的應(yīng)用條件.

【教學(xué)難點(diǎn)】：理解兩個(gè)事件互斥、互為對(duì)立的含義.

【知識(shí)梳理】

一、新知自學(xué)

概率的基本性質(zhì)

1.思考

在拋擲質(zhì)地均勻的骰子試驗(yàn)中，我們定義如下事件：C="出現(xiàn)1點(diǎn)”，"出現(xiàn)2

12

點(diǎn)”，C=“出現(xiàn)3點(diǎn)”，“出現(xiàn)4點(diǎn)”，C=“出現(xiàn)5點(diǎn)”，C=“出現(xiàn)6點(diǎn)”，〃=”出現(xiàn)的點(diǎn)

34561

數(shù)不大于1"，〃=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于4"，。=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于6”，爐“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于

23

7"，尸="出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6"，6=”出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，為“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，等等.

(1)上述事件中哪些是必然事件?哪些是不可能事件？

提示￡■是必然事件;b是不可能事件.

(2)如果事件C發(fā)生,那么一定有哪些事件發(fā)生?反之,成立嗎?在集合中,集合C與這些

I1

集合之間的關(guān)系怎樣描述？

提示如果事件C發(fā)生,那么一定發(fā)生的事件有〃反之,如果事件D,D,E,〃分別

成立,那么能推出事件C發(fā)生的只有D.所以從集合的觀點(diǎn)看,事件C是事件D,E,〃的子集,

1113

集合。與集合〃相等.

11

(3)如果事件A與事件E互斥,則事件/U6發(fā)生的頻數(shù)與事件A發(fā)生、事件8發(fā)生的頻

數(shù)有什么關(guān)系?f(4U0與f(⑷，f(而有什么關(guān)系?進(jìn)一步得到尸G4U而與P(A),P⑦有什么

nnn

關(guān)系？

提示若事件A與事件B互斥,則/U6發(fā)生的頻數(shù)等于事件A發(fā)生的頻數(shù)與事件8發(fā)生的

頻數(shù)之和,從而有f(AU孫=f(A)+f(6),由此得到P(AU助=P(Q+P(心,這就是概率的加法公

nnn

式.

(4)如果事件A與事件8互為對(duì)立事件,P(AUB)與P(A),P(①又有什么關(guān)系？

提示因?yàn)槭录嗀與事件6互為對(duì)立事件,所以4U6為必然事件,所以。(4U合=1.由P(A

Um=P(A)+P出,得1=P(Q+P,從而得出P(B)=1-P(4),。儲(chǔ))A-P(4.

2.填空

性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有以⑷三0

必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.

性質(zhì)2

即p(a)p(。)=o

性質(zhì)3如果事件A與事件8互斥,那么P(AU吩=P(6+P(B)

如果事件A與事件8互為對(duì)立事件,那么

性質(zhì)4

P(而+P(A)乜,=1上⑷,P(A)=1-P{B)

性質(zhì)5如果AQB,那么至P出

性質(zhì)6設(shè)A,6是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則有P(AUS)=P(A)+P(朋-P(AC協(xié)

歸納提升(1)對(duì)于P(AUm=P(A)步(公應(yīng)用的前提是A,6互斥,并且該公式可以推廣到

多個(gè)事件的情況.如果事件A,A,-,A兩兩互斥,那么事件AUAU-UA發(fā)生的概率等于這

12m12nt

皿個(gè)事件別發(fā)生的概率之和,即P(AIMU???U)=P(A)+P{A)+P{A).

I2a12ar

該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.

⑵若［與8互為對(duì)立,則有尸(⑷+P(B)=1;若PG4)"(而＞\,并不能得出A與8互為對(duì)立.

(3)對(duì)于概率加法的一般公式P(AU協(xié)=P(A)+P⑦-P(AC明,當(dāng)4C6土?xí)r,就是性質(zhì)3.

3.做一做

(1)從裝有20個(gè)紅球和30個(gè)白球的罐子里任取兩個(gè)球，下列情況中是互斥而不是對(duì)立的

兩個(gè)事件是()

A.至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球

B.恰有一個(gè)紅球與都是白球

C.至少有一個(gè)紅球與都是白球

D.至多有一個(gè)紅球與都是紅球

(2)擲一枚均勻的正六面體骰子,設(shè)/="出現(xiàn)3點(diǎn)”，爐“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則一(4U面等

于.

(3)甲、乙兩人各射擊一次,命中率分別為0.8和0.5,兩人同時(shí)命中的概率為0.4,則甲、

乙兩人至少有一人命中的概率為.

(4)判斷下列說(shuō)法是否正確，正確的在后面的括號(hào)內(nèi)打“J”，錯(cuò)誤的打“X”.

⑦互斥事件不一定是對(duì)立事件,但對(duì)立事件一定是互斥事件.()

麟同一試驗(yàn)中的兩個(gè)事件力與用一定有。G4U歷守(心一戶㈤.()

8若事件46滿足P(⑷步⑻=1,則46是對(duì)立事件.()

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

一、探究新知

一般而言，給出了一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，就可以從定義出發(fā)研究這個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)，

例如，在給出指數(shù)函數(shù)的定義后，我們從定義出發(fā)研究了指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、

特殊點(diǎn)的函數(shù)值等性質(zhì)，這些性質(zhì)在解決問(wèn)題時(shí)可以發(fā)揮很大的作用，類似地，在給出了概

率的定義后，我們來(lái)研究概率的基本性質(zhì).

我們從定義出發(fā)研究概率的性質(zhì)，

(1)概率的取值范圍；

(2)特殊事件的概率；

(3)事件有某些特殊關(guān)系時(shí)，它們的概率之間的關(guān)系；等等。

1.概率P(A)的取值范圍

由概率的定義可知：任何事件的概率都是非負(fù)的；在每次試驗(yàn)中，必然事件一

定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生，一般地，概率有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1對(duì)任意的事件A,都有P(A)>0.

性質(zhì)2必然事件的概率為1,

不可能事件的概率為0,

即P(Q)=1,P(中)=0.

2.概率的加法公式(互斥事件時(shí)有一個(gè)發(fā)生的概率)

性質(zhì)3.如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B)

在擲骰子實(shí)驗(yàn)中，事件，A=｛出現(xiàn)1點(diǎn)｝;B=｛出現(xiàn)2點(diǎn)｝;

C=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于3｝；

P(C)=p(AUB)=p(A)+p(B)=1/6+1/6=1/3

因?yàn)槭录嗀與事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以n(AUB)=n(A)+n(B),

這等價(jià)于P(AUB)=P(A)+P(B),即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和，所

以我們有互斥事件的概率加法公式：

［破疑點(diǎn)］①事件Z與事件8互斥，如果沒(méi)有這一條件，加法公式將不能應(yīng)用.

②如果事件4,4,…,4彼此互斥，那么P(4U4U…U4)=P(4)+2(4)+…+尸(4)，

即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和.

③在求某些稍復(fù)雜的事件的概率時(shí)，可將其分解成一些概率較易求的彼此互斥的事件，

化整為零，化難為易.

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，

那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B)

G=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)｝;

H=｛出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)｝;

如在擲骰子實(shí)驗(yàn)中，事件.

［破疑點(diǎn)］①公式使用的前提必須是對(duì)立事件，否則不能使用此公式.②當(dāng)一事件的概

率不易直接求，但其對(duì)立事件的概率易求時(shí)，可運(yùn)用此公式，即使用間接法求概率.

3.對(duì)立事件有一個(gè)發(fā)生的概率

例1.某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別

為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：

(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率.

一般地，對(duì)于事件A與事件B,如果AGB,即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那

么事件A的概率不超過(guò)事件B的概率。于是我們有概率的單調(diào)性：

在古典概型中，對(duì)于事件A與事件B,如果ACB,那么n(A)Wn(B).于是

〃(A)工n(B)

即P(A)WP(B)

”(C)n(Q)

性質(zhì)5.如果ACB,那么P(A)WP(B)

由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棰賃AUC,所以0WP(A)WL

一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)球,其中有2個(gè)紅色球(標(biāo)號(hào)為1和2),2

個(gè)綠色球(標(biāo)號(hào)為3和4),從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球.設(shè)事件R="第一次摸到紅

1

球"，R="第二次摸到紅球"，R="兩次都摸到紅球”，

2

“兩個(gè)球中有紅球”=RUR,那么P(RUR)和P(R)+P(R)相等嗎？如果不相等，請(qǐng)你

121212

說(shuō)明原因，并思考如何計(jì)算P(RUR).

12

因?yàn)閚(Q)=12,n(R)=n(R)=6,n(RUR)=10,

I212

所以P(R)=P(R)=6/12,P(RUR)=10/12.因此P(RUR)所以R)+P(R).

12I21212

這是因?yàn)镽DR={(1,2),(2,1)}W①，即事件R,R不是互斥的，

1212

容易得到P(RUR)=P(R)+P(R)-P(RDR).

1212I2

一般地，我們有如下的性質(zhì)：

性質(zhì)6設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ADB)

由性質(zhì)5可得,對(duì)于任意事件A,因?yàn)棰賃A￡Q,所以0&P(A)Wl.

性質(zhì)1對(duì)任意的事件4都有P(⑷三0

必然事件的概率為L(zhǎng)不可能事件的概率為0.

性質(zhì)2

B|J尸(。)=1，尸(。)=°

如果事件力與事件8互斥，那么

性質(zhì)3

P(ZUB)=尸(,4)+P(8)

如果事件月與事件3互為對(duì)立事件，那么

性質(zhì)4

P(5)+PC4)=1,P(B)=1-P(A^(A)^1-P(B\

性質(zhì)5如果月那么P(Z)MP(B)

設(shè)A,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，則有

性質(zhì)6

P(A尸(⑻孑64n8)

(1)對(duì)于P(AUB)=P(A)+P(B)應(yīng)用的前提是A,B互斥,并且該公式可以推廣到多個(gè)事件的

情況.如果事件A,A,…,A兩兩互斥，那么事件AUAU-UA發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分

別發(fā)生的概率之和，即P(AUAU-UA)=P(A)+P(A)+-+P(A).

12m12m

該公式我們常稱為互斥事件的概率加法公式.

(2)若A與B互為對(duì)立,則有P(A)+P(B)=l;

若P(A)+P(B)>1,并不能得出A與B互為對(duì)立.

(3)對(duì)于概率加法的一般公式P(AUB)=P(A)+P(B)-P(ADB),

當(dāng)ACB=<&時(shí)，就是性質(zhì)3.

例2.從不包含大小王牌的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，

設(shè)事件A=“抽到紅心”,事件B="抽到方片"，P(A)=P(B)=0.25.那么

(DC="抽到紅花色”，求P(C);

(2)D="抽到黑花色”，求P(D).

例3.為了推廣一種新飲料，某飲料生產(chǎn)企業(yè)開(kāi)展了有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)：將6罐這種飲料裝

一箱,每箱中都放置2罐能夠中獎(jiǎng)的飲料.若從一箱中隨機(jī)抽出2罐,能中獎(jiǎng)的概率為多少？

【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】

1.給出以下結(jié)論:⑦互斥事件一定對(duì)立；縱立事件一定互斥；③互斥事件不一定對(duì)立；

@事件力與6的和事件的概率一定大于事件A的概率;⑤事件A與6互斥,則有P(A)="P⑵.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2.從集合｛a,b,c,d,e｝的所有子集中任取一個(gè),若這個(gè)子集不是集合｛a",c｝的子集的概

率是；則該子集恰是集合E6,d的子集的概率是()

4

A.-B.-C.-D.i

5548

3.若事件A,8滿足/n戶0,/U/a,且P(A)=0.3,則P(B)=.

4.盒子中有大小、形狀均相同的一些黑球、白球和黃球，從中摸出一個(gè)球,摸出黑球的概

率是0.42,摸出黃球的概率是0.18,則摸出的球是白球的概率是,摸出的球不是黃

球的概率是，摸出的球或者是黃球或者是黑球的概率是.

5.一個(gè)電路板上裝有甲、乙兩根熔絲，甲熔斷的概率為0.85,乙熔斷的概率為0.74,兩根

同時(shí)熔斷的概率為0.63,問(wèn)至少有一根熔斷的概率是多少?

6.據(jù)統(tǒng)計(jì),某儲(chǔ)蓄所一個(gè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下表:

(1)求至多2人排隊(duì)等候的概率；

(2)求至少2人排隊(duì)等候的概率.

排隊(duì)等候的人數(shù)012345人及5人以上

概率0.10.160.30.30.10.04

【課堂小結(jié)】

概T互斥事件、互為對(duì)立事存

率

的

基T6條基本性質(zhì)及其推導(dǎo)、使用前提

本

性

質(zhì)概率基本性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)前

1.概率加法公式是對(duì)互斥事件而言的，一般地，P(AUB)WP(A)+P(B).

2.在求解復(fù)雜的事件的概率時(shí),通常有兩種方法，一是將所求事件的概率轉(zhuǎn)化成彼此互

斥的概率之和.

二是先求此事件的對(duì)立事件的概率，特別是在涉及“至多”或“至少”問(wèn)題時(shí),常常用

此思維模式.再利用P(A)=1-P(A)來(lái)得出原問(wèn)題的解.這種處理問(wèn)題的方法稱為逆向思

維,有時(shí)能使問(wèn)題的解決事半功倍.

參考答案：

知識(shí)梳理

答案：(1)B(2)|(3)0.9⑷①J②X@X

解析：(D由題意所有的基本事件可分為三類:兩個(gè)紅球，一紅一白，兩個(gè)白球.易知A選

項(xiàng)的事件不互斥;C、D兩個(gè)選項(xiàng)中的事件為對(duì)立事件;而B(niǎo)項(xiàng)中的事件是互斥，同時(shí)還有“兩

個(gè)紅球”的事件,故不對(duì)立.故選B.

(3)設(shè)事件4=“甲命中"，事件8=“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件

AUB,

.,.P(AU助+P⑵-必力。面R.8珀.50.4-0.9.

(2)P(AU3)=P(A)+P(B)上+三=2

663

學(xué)習(xí)過(guò)程

例1.［解析］(1)設(shè)''射中10環(huán)”為事件4“射中7環(huán)”為事件5,由于在一次射

擊中，/與6不可能同時(shí)發(fā)生，故4與6是互斥事件.“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為/U8

故一(/U面=尸(心+?(而=0.21+0.28=0.49.

???射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.

(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0

環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于

等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)不發(fā)生，故是

對(duì)立事件，可用對(duì)立事件的方法處理.

設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E,則事件不為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”，由⑴可知

“射中7環(huán)”、“射中8環(huán)”、“射中9環(huán)”、“射中10環(huán)”是彼此互斥的事件，

.(2)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,

從而以皮=1一。(下)=1-0.97=0.03.

不夠7環(huán)的概率為0.03.

例2.解：(1)因?yàn)镃=AUB,且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，

所以A與B是互斥事件.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，

得P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5

(2)因?yàn)镃與D互斥，又因?yàn)镃UD是必然事件，

所以C與D互為對(duì)立事件.

因此P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例3.分析：“中獎(jiǎng)”包括第一罐中獎(jiǎng)但第二罐不中獎(jiǎng)、第一罐不中獎(jiǎng)但第二罐中獎(jiǎng)、

兩罐都中獎(jiǎng)三種情況。如果設(shè)A=“中獎(jiǎng)”，A="第一罐中獎(jiǎng)”，A="第二罐中獎(jiǎng)”，那么

12

就可以通過(guò)事件的運(yùn)算構(gòu)建相應(yīng)事件，并利用概率的性質(zhì)解決問(wèn)題.

解：設(shè)事件A=“中獎(jiǎng)”，事件A="第一罐中獎(jiǎng)"，事件A="第二罐中獎(jiǎng)”，那么事

12

件AA="兩罐都中獎(jiǎng)”，1W="第一罐中獎(jiǎng)，第二罐不中獎(jiǎng)”，彳A="第一罐不中獎(jiǎng)，

121212

第二罐中獎(jiǎng)"，且A=AAUAX0彳人.因?yàn)槿巳?，人?無(wú)兩兩互斥，所以根據(jù)互斥事件

121212121212

的概率加法公式，可得P(加=P(AA)+P(AA)+P(AA).

121212

我們借助樹(shù)狀圖來(lái)求相應(yīng)事件的樣本點(diǎn)數(shù).

第一筆第二程可能結(jié)果數(shù)

2x1=2

4x2=8

4x3=12

可以得到，樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為n(Q)=6X5=30,且每個(gè)樣本點(diǎn)都是等可能的.

因?yàn)閚(AA)=2,n(AT)=8,n(AA)=8,所以

1212八12

…、288183

尸(A)=--1----1---=—=-

303030305

將復(fù)雜事件用簡(jiǎn)單事件的運(yùn)算結(jié)果表示，利用概率運(yùn)算

法則求概率，是一種重要的思想方法.例12中的事件“中獎(jiǎng)”

等價(jià)于“至少一罐有獎(jiǎng)"，利用樹(shù)狀圖把“中獎(jiǎng)”表示為兩

兩互斥的3個(gè)事件的和事件，請(qǐng)同學(xué)們體會(huì)解決這類問(wèn)題時(shí)

樹(shù)狀圖的作用.

由于A\AiUAtA2=At(J2UA2)=AtQ=Ai,

+

可以簡(jiǎn)化計(jì)算尸(4)=P(At)+P(A,A2)=J^=J.

法2:注意到事件A的對(duì)立事件是“不中獎(jiǎng)”，即“兩罐都不中獎(jiǎng)”，

由于4&="兩罐都不中獎(jiǎng)”，而

n(AH)=4X3=12,

所以尸(內(nèi)卷卷

因此，尸(A)=l-P(AW)=1—g=g

達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.答案:C

解析:對(duì)立必互斥,互斥不一定對(duì)立,故②③正確，可;又當(dāng)1u%4時(shí)，尸G4U而十儲(chǔ))，

故磔昔;只有事件A與6為對(duì)立事件時(shí),才有尸(4A-P出,故⑤惜.

2.答案:C

解析:該子集恰是｛a,b,c｝的子集的概率為P=\9=；.

44

3.答案:0.7

4.答案:0.400.820.60

5.解:設(shè)4="甲熔絲熔斷”，廬“乙熔絲熔斷”，則“甲、乙兩根熔絲至少有一根熔斷”

為事件4U6.

P(AU助=P(⑷+P⑦-PkAn而

=0.854).74-0.630.96.

6.解:記在窗口排隊(duì)等候的人數(shù)為0,1,2分別為事件A,B,C,則A,B,C兩兩互斥.

⑴至多2人排隊(duì)等候的概率是-(/U6U0=尸(4+?(而+P9-0.IX).16^0.3R.56.

(2)至少2人排隊(duì)等候的對(duì)立事件是“排隊(duì)等候人數(shù)為0或1”，

而排隊(duì)等候人數(shù)為0或1的概率為0(4U而步㈤1尬16=0.26,

故至少2人排隊(duì)等候的概率為1-0.26-0.74.

U0.1.4概率的基本性質(zhì)》同步練習(xí)

一、選擇題

1.下列命題：

①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(AUB)=P(A)+P(B)；

③若事件A,B,C彼此互斥，則P(A)+P⑻+P(C)=1；④若事件A,B滿足P(A)+P⑻=1,

則A與B是對(duì)立事件.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

2.甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是,，甲獲勝的概率是工，則甲不輸?shù)母怕?/p>

23

為()

5211

A.-B.-C.一D.-

6563

3.若力，6為對(duì)立事件，則下列式子中成立的是()

A.P(A)+P(8)<1B.P(A)+P(B)>1C.P(A)+P(8)=0

1).P(4)+P(B)=1

4.在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外

完全相同.現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是()

IC.21

A.B.-D.

1051012

5.(多選題)10.黃種人群中各種血型的人所占的比例見(jiàn)下表:

血型ABAB0

該血型的人所占比例0.280.290.080.35

己知同種血型的人可以輸血，。型血可以給任何一種血型的人輸血，任何血型的人都可

以給A6血型的人輸血，其他不同血型的人不能互相輸血，下列結(jié)論正確的是（）

A.任找一個(gè)人，其血可以輸給8型血的人的概率是0.64

B.任找一個(gè)人，6型血的人能為其輸血的概率是0.29

C.任找一個(gè)人，其血可以輸給。型血的人的概率為1

D.任找一個(gè)人，其血可以輸給A3型血的人的概率為1

6.（多選題）在一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭?，設(shè)/表示一個(gè)隨機(jī)事件，無(wú)表示/的對(duì)立事件.以下

結(jié)論正確的是（）

A.P(4)=P(A)B.P(A+A)=1

C.若P(A)=1,則P(A)=OD.P(A4)=0

二、填空題

7.在10000張有獎(jiǎng)明信片中，設(shè)有一等獎(jiǎng)5個(gè)，二等獎(jiǎng)10個(gè)，三等獎(jiǎng)100個(gè)，從中隨

意買(mǎi)1張.

（DP（獲一等獎(jiǎng)）=,p（獲二等獎(jiǎng)）=,p（獲三等獎(jiǎng)）=