高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊 綜合測試卷-高二年級上冊人教A版2019選擇性必修第一冊

高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(綜合測試卷)

(時(shí)間：120分鐘，滿分150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)x,yGR,向量a=(x,l,l),b=(l,y,l)，c=(2,—4,2),a±c,b//c,則

|a+b|=()

A.2y[2B.?

C.3D.4

2.如圖，在空間四邊形ABCD中，設(shè)E,F分別是BC,CD的中點(diǎn)，則?+；(前

~BD)=()

---

A.ADB.FAC.AFD.EF

3.若直線h：mx+2y+l=0與直線b：x+y—2=0互相垂直，則實(shí)數(shù)m的值為

2

1

2

4.已知直線1：x—2y+a—1=0與圓(x—l)?+(y+2)2=9相交所得弦長為4,則a

=()

A.-9

C.1或一2D.1或一9

5.已知M(xo,yo)是雙曲線C：今一，=1上的一點(diǎn)，半焦距為c,若|MO|Wc(其

中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則y3的取值范圍是()

［。?0，標(biāo)

6.已知橢圓C的方程為、+5=l(a>b>0),焦距為2c,直線1：丫=尊與橢圓

C相交于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=2c,則橢圓C的離心率為()

A坐

D4

7.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，0(0,0,0),￡(2^2,0,0),￥(0,2y[2,0),B為EF

的中點(diǎn)，C為空間一點(diǎn)且滿足|反)|=|函=3,若cos<EF,BC>=1,則慶?而

=()

A.9B.7

C.5D.3

8.已知點(diǎn)M,N是拋物線y=4x2上不同的兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足N

MFN=135°,弦MN的中點(diǎn)P到直線1：y=一表的距離為d,若IMNFid,

則X的最小值為()

A停B.1-乎

C.l+￥D.2+V2

二'選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知直線1：(a2+a+l)x—y+l=0,其中aWR,下列說法正確的是()

A.當(dāng)a=—1時(shí)，直線1與直線x+y=0垂直

B.若直線1與直線x—y=0平行，則a=0

C.直線1過定點(diǎn)(0,1)

D.當(dāng)a=0時(shí)，直線1在兩坐標(biāo)軸上的截距相等

10.已知Fi,F2是雙曲線C：[一日=1的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該雙曲線的一條

漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段FIF2為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M,則下列說法正確的是

()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±V2x

B.以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=2

C.點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為Ri

D.AMFiFi的面積為2小

11.已知點(diǎn)A是直線1：x+y—也=0上一定點(diǎn)，點(diǎn)P,Q是圓x?+y2=l上的動

點(diǎn)，若NPAQ的最大值為90。，則點(diǎn)A的坐標(biāo)可以是()

A.(0,\[2)B.(1,啦一1)

C.(也，0)D.(^2-1,1)

12.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是()

A.空間中的三個(gè)向量，若有兩個(gè)向量共線，則這三個(gè)向量一定共面

B.若對空間中任意一點(diǎn)O,有成=/X+4附+卷慶，則P,A,B,C

四點(diǎn)共面

C.設(shè)｛a,b,c｝是空間中的一組基底，則｛2a,-b,c｝也是空間的一組基底

D.若abVO,則<a,b)是鈍角

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，點(diǎn)M(L—1,1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是；

|OM|=______

14.(2021年惠州期末)圓C:(x—l)2+y2=l關(guān)于直線I：x—y+l=0對稱的圓的

方程為__________

15.在棱長為1的正方體ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn)M,N分別是線段BBi,BiCi

的中點(diǎn)，則直線MN到平面ACDi的距離為

16.設(shè)雙曲線Q—g=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,F2,P為該雙曲線

上一點(diǎn)且

2|PFI|=3|PF2|,若NFIPF2=60。，則該雙曲線的離心率為

四'解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.(10分)在AABC中，A(2,-5,3)，AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5).

⑴求頂點(diǎn)B,C的坐標(biāo)；(2)^CABC.

18.(12分)菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(-4,7),C(6,一5),BC邊

所在直線過點(diǎn)P(8,-1).求：

(1)AD邊所在直線的方程；(2)對角線BD所在直線的方程.

22

19.(12分)已知圓?1：*2+丫2—2*—6丫-1=0和圓C2：x+y-10x-12y+45=0.

⑴求證：圓Ci和圓C2相交；

⑵求圓G和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長.

20.(12分)如圖，過拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交C于M(xi,yi),

N(X2,y2)兩點(diǎn)，且xix2=-4.

⑴求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)R,Q是C上的兩動點(diǎn)，R,Q的縱坐標(biāo)之和為1,R,Q的垂直平分線交y

軸于點(diǎn)T,求

△MNT的面積的最小值.

21.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，PC_L底面ABCD,底面ABCD是直角

梯形，AB±AD,AB〃CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的點(diǎn).

⑴求證：平面EAC_L平面PBC；

⑵二面角P-AC-E的余弦值為坐，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.

22.（12分）已知橢圓C：、+A=l（a>b>0）的離心率為度,

且經(jīng)過點(diǎn)

⑴求橢圓C的方程.

（2）過點(diǎn)（5，0）作直線1與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)

Q使得直線QA與直線QB恰關(guān)于x軸對稱？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不

存在，說明理由.

參考答案：

一'單項(xiàng)選擇題

l.C2.C3.B4.D5.A6.A7.D8.D

二'多項(xiàng)選擇題

9.AC10.ACD11.AC12.ABC

三、填空題

13.答案：(1,1,-1),由14.答案:(x+l)2+(y-2)2=l15.答案:$16.答案:市

四、解答題

17.解：⑴設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB=OA+AB=(2,-5,3)+(4,1,2)=(6,-4,5),則B(6,

—4,5).

OC=OB+BC=(6,-4,5)+(3,—2,5)=(9,-6,10),則C(9,-6,10).

(2)AC=AB+BC=(7,-1,7),則&=(一7,1,~7),

又因?yàn)榍?(3,-2,5),所以?前=-7X3+lX(-2)+(—7)X5=-58.

18.解：(1)1<BC=/=2,VAD#BC,/.RAD=2.

o—Qo

AAD邊所在直線的方程為y-7=2(x+4),即2x-y+15=0.

-5-76

(2)kAC=6-(-4)=-5-

?.,菱形的對角線互相垂直,/.BD±AC,.,.kBD=g.

；AC的中點(diǎn)(1,1),也是BD的中點(diǎn)，

...對角線BD所在直線的方程為y-l=|(x-l),即5x-6y+l=0.

19.(1)證明：圓Ci的圓心Ci(l,3),半徑圓C2的圓心C2(5,6),半徑。=4.

兩圓圓心距d=|CiC2|=5,n+r2=Vli+4,|n-r2|=4-Vll,

In—r2|<d<ri+r2..,.圓Ci和圓C2相交.

(2)解：圓Ci和圓C2的方程相減，得4x+3y-23=0,

二兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y-23=0.

120+18-231_____

圓心C2(5,6)到直線4x+3y-23=0的距離d=J一~,——一J=3,故公共弦長為2山6—9=

y/16~r9,

2s.

20.解：(1)由題意，設(shè)直線MN的方程為y=kx+￥，

n

y=-匚

由，2'得x2—2pkx—p2=0,由題意知Xl,X2是方程兩根，所以X1X2=-p2=—4,

.x2=2py,

所以p=2,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?=4y.

(

(2)設(shè)RX3,y3),Q(X4,y4),T(0,t),因?yàn)辄c(diǎn)T在RQ的垂直平分線上，所以|TR|=|TQ|,

22

得x54-(y3—t)=xl4-(y4—t).

)

因?yàn)閤g=4y3,xi=4y4,所以4y3+^3—t)2=4y4+(y4-tp,即4(丫3—丫4=(丫3+丫412t)(y4—

y3),

所以-4=y3+y4—2t.

又因?yàn)閥3+y4=l,所以t=|,故T(0,號.于是SAMNT=*FT||XLX2|=3|XI—X2].

由(1)得xi+x2=4k,xiX2=—4,

所以SAMNT=^|xi—X21(X1+X2)2—4XIX2=^\J16k2—4X(—4)=3^/k2+l3.

所以當(dāng)k=0時(shí)，SAMNT有最小值3.

21.(1)證明：TPCJ■底面ABCD,ACU底面ABCD,APC±AC.

VAB=2,AD=CD=1,：.AC=BC=y[2./.AC2+BC2=AB2,/.AC±BC.

又?.,BCCPC=C,.,.ACJ"平面PBC.

YACU平面EAC,二平面EACJ■平面PBC.

(2)解：如圖，以C為原點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F,CF,CD,建分別為x軸、y軸、z軸正方向,

建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(1,1,O),B(l,-1,0).

1

-

2J

———門1a)

CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=(j,

m-CA=xi+yi=0,

{m-CP=azi=0,

所以可取xi=l,yi=-1,zi=0,即m=(l,—1,0).

設(shè)n=(X2,y2,Z2)為平面EAC的法向量，則n0,即，'

X2-y2+az2=0,

_

取X2=a,y2=a,z2=-2,貝In=(a,-a,-2),

依題意，|cos〈m,口〉|=代瑞=福號^=坐，則a=2.于是n=(2,—2,—2),PA=(1,1,

-2).

設(shè)直線PA與平面EAC所成角為0,則sin0=|cos〈前，n>|=段辿=卓

IPAIInl

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為卓.

Sc13

22.解：(1)由題意可得看=1Q+后=1,

又因?yàn)閍?—b?=c2,解得a?=4,b2=l.所以橢圓C的方程為寧