重難點(diǎn)04 三角恒等變換十一大題型-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末復(fù)習(xí)【重點(diǎn)·難點(diǎn)】（解析版）

重難點(diǎn)04三角恒等變換十一大題型匯總

期末題型解讀

題型6平方關(guān)系的運(yùn)用

滿分技巧

技巧一.求值中主要有三類求值問(wèn)題：

(1)"給角求值"：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來(lái)看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角

總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而

得解.

(2)"給值求值"：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角"，

使其角相同或具有某種關(guān)系。

(3廠給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為"給值求值"，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的

函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角.

技巧二.三角恒等變換的常用方法、技巧和原則：

(1)在化簡(jiǎn)求值和證明時(shí)常用如下方法：切割化弦法，升幕降導(dǎo)法，和積互化法，輔助元素法，"1"的代

換法等.

(2)常用的拆角、拼角技巧如:2a=(a+p)+(a-p),a=(a+p)-p,a=(a-p)+0等.

(3)化繁為簡(jiǎn)：變復(fù)角為單角，變不同角為同角，化非同名函數(shù)為同名函數(shù)，化高次為低次，化多項(xiàng)式為

單項(xiàng)式，化無(wú)理式為有理式.

(4)消除差異：消除已知與未知、條件與結(jié)論、左端與右端以及各項(xiàng)的次數(shù)、角、函數(shù)名稱、結(jié)構(gòu)等方面

的差異.

技巧三.兩角和的正切公式的常見(jiàn)四種變形：

T(a+⑸：

①tana+tan￡=tan(a+⑸Q-tanatari佻;

②tana+tan/?+tanatangtan(a+￡)=tan(a+￡);

tana+tan0

③④tanatan0=1-7----------

tana+0

tana+tan0

01-tanatanB-------------;

tana”

T(a-?:

①tanaltan￡=tan(al回(1+tanatari?;

②tana-tang-tanatan力tan(a-0=tan(a-@;

③④tanatan￡=皿的。-1

(3)l+tanatanp=-----------------

技巧四.倍角公式應(yīng)用求值的思路

(1)注意觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及角之間是否存在特殊的倍數(shù)關(guān)系，靈活正用或逆用二倍角公式.

(2)一是對(duì)題設(shè)條件變形，將題設(shè)條件中的角、函數(shù)名向結(jié)論中的角、函數(shù)名靠攏；另一種是對(duì)結(jié)論變形，

將結(jié)論中的角、函數(shù)名向題設(shè)條件中的角、函數(shù)名靠攏，以便將題設(shè)條件代入結(jié)論.

技巧五.常見(jiàn)輔助角結(jié)論

(l)sinx±cosx=V2sin(x±：);(2)sinx±V3cosx=2sin(x±，

(3)cosx±sinx=V2cos(x+^);(4)cosx+V3sinx=2cos(x+)；

題型1公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【例題1]（2023秋?陜西西安?高一長(zhǎng)安一中?？计谀┤魌an￡7=-2,則sin2￡7=（）

A.-|B.TC.|D.

【答案】B

【分析】根據(jù)二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系，sin2Z7=黑普，再進(jìn)行"弦化切"即可代值求解.

r；羊繇1cin7n_2sinac°s〃_2tan￡7_2x(_2)__4

【評(píng)舲】Sin2”.陽(yáng)+/〃—嬴京一行河一一g，

故選：B.

【變式1-1]（2021春?河南商丘?高一校考期末）若tan0=3,則噌=_______

2COS/U

【答案】5

【分析】利用二倍角的正弦公式計(jì)算可得答案.

sin2￡72sinZZfcosZ7

【詳解】=2tanZZ7=5.

cos2￡7cos2ZZ7

故答案為：5.

【變式1-2X2022秋河南;累河?高一?？计谀┟摻侨切蔚膬?nèi)角A,B,C滿足cosOsin2￡7=cosBna,

則有（）

A.sin2Z7-cosL7=0B.sin2Z7+cos￡7=0

C.sin2Z7-sin0=0D.sin2￡7+sinZ7=0

【答案】C

【分析】由三角恒等變換化簡(jiǎn)可得□=O,得出D=n-2O,再由誘導(dǎo)公式即可得解.

【詳解】因?yàn)閏os￡fein20=cos￡fein￡7,

所以2cosZZfeinZDbosZZ7=cosZZfeinZZZ,

又0<□<，所以cosO#0,

所以2cosZZfein￡7=sin￡7=sin(Z7+ZZ7)=sinOD0s￡7+cosZZfeinZZ7r

即sin(O-。=0,又□%銳角，

所以。=D,故□=*-2□,

所以sinZZ7=sin(n-2/7)=sin2ZZ7,cosZZ7=cos(n-2/J)=-cos2Z7,

故sin2ZZ7-sinZL7=0,

故選：C

【變式l-3】(2022秋?浙江杭州?高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀?已知口e(0,，,2sin2〃=cos2D+1,

貝(JtanZ7=()

A1B」C-D逋

A-3D*2Ju-5

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，由二倍角公式化簡(jiǎn)，即可得到結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?sin2ZZ7=cos2￡7+1,則4sinbosO=2cos277,且Z7w(°胃)；則。。$〃工。，

1

2sin￡7=cos￡7ntan￡7=-

故選:B

【變式1-4](多選)(2022秋?浙江杭州?高一杭師大附中?？计谀?已知tan〃=3,則()

A.sin￡7=^2B.sin2O=^

105

C.cos2￡7=-|D.tan^+￡7)=-^

【答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求出正弦值；BC選項(xiàng)，利用倍角公式，化弦為切，代入求值；

D選項(xiàng)，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.

【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)閠an￡7=3,所以半=3,即cosO=華,

COSLJ3

因?yàn)閟in2￡Z7+cos2￡7=1,所以粵包=1，解得sinO=土察,A錯(cuò)誤；

y1u

2sinZZfcos￡72tanZZ76

B選項(xiàng)，sin2￡7=2sinZJtos￡7=1B正確；

sin2ZZ7+cos2IJtan2ZZZ+19+10

222

22cos￡7-sinC71-tanZ71-9

C選項(xiàng),cos2Z7=cos￡7-sinZZ7=-5---------------=——5---------='C正確;

sin2ZZ7+cos2￡7tar/￡7+19+1

sinG+q

cos￡71

D選項(xiàng)，tan%。5,D正確.

-sin￡7tan/Z7

cos信+￡7

故選：BCD

題型2公式的逆用

【例題2](2022春?云南?高一統(tǒng)考期末)sin20-cos250+cos20°sin25°=()

A]B.fC4D，4

【答案】B

【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式可求出結(jié)果.

【詳解】sin20°cos250+cos20°sin25°=sin(20°+25°)=sin45°=y.

故選：B

【變式2-1](2023春?四川成都?高一成都實(shí)外校考期末)下列化簡(jiǎn)不正確的是()

A.cos82°sin520+sin82°cos128°=-^B.sin15°sin30°sin75°=:

28

「2o-2^r-oactan480+tan72°>—

C.cos4d15c—sin15=—-D.----------------=V3

21-tan480tan72°

【答案】D

【分析】利用三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，cos82°sin52°+sin82°cos128°

=cos82°sin520+sin82°cos(180°-52°)

=cos82°sin52°-sin82°cos52°

=sin(52°-82°)=-sin30°=一，所以A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng),sin15°sin30°sin75°

=isin15°sin(90°-15°)=^sin15°cos150=Jsin30°=，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，cos215°-sin215°=cos30°=y,C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，tan48"tan72。=+72?\=fag20°=-V3,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

1-tan480tan72°\)

故選：D

【變式2-2](2023秋?云南昆明?高一統(tǒng)考期末)計(jì)算下列各式的值：

(l)cos215°-sin215°;

...1+tan15°

(2)--------；；

1-tan15°

(3)sin210°+COS2550+V2sin10°cos55°.

【答案】(琦

⑵我

⑶：

【分析】(1)利用二倍角公式求得正確答案.

(2)利用兩角和的正切公式求得正確答案.

(3)利用兩角和的余弦公式、二倍角公式、降次公式、誘導(dǎo)公式等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】(1)cos215°-sin215°=cos30°=y

/_、1+tan150tan450+tan15°/._._\區(qū)

(2)---------=-----------------=taxn45°o+15°o)=V3.

1-tan1501-tan450tan150\)

(3)sin210°+COS255°+V2sin10°cos55°

,1+cos110°=/\

=sin210°+---------------+V2sin10°cos(45。+10。)

=sin210°+1但+V2sin10°(cos45°cos10°-sin45°sin10°)

=sin210°++V2sin10°(ycos10°-ysin10°)

ni—sin20°o

=sin210°+—-—+sin10°cos10°-sin210°

【變式2-3](2023秋?云南保山?高一統(tǒng)考期末)在仆O0O中，若tanO+tan￡7+V3tanGtanO=V3,H

sin2〃=當(dāng)則口=()

A.60°B.45°C.30°D.15°

【答案】C

【分析】根據(jù)tan/Z7+tanO+V5tanOtanZ7=V5,利用兩角和的正切公式可得Z7+￡7=60°,即可得￡7=

120°,根據(jù)sin2O=當(dāng)即中)范圍可得口=30°,進(jìn)而可求得￡7=30°.

【詳解】解:因?yàn)閠anZ7+tanZ7+V3tanRanZ7=V5,

^rUAtan￡7+tanZ7=V3(1-tanOanZT),

即tan(〃+U)=更:竺/=如

1-tanOan￡7

因?yàn)锽,C為4OOE)內(nèi)角，所以O(shè)+□=60°,即。=120°,

所以0°<U<60°,0o<2Z7<120°,因?yàn)閟in2O=:所以20=60°,

即0=30°,所以0=30°.

故選:C

【變式2-4](2021?浙江?高一期末)觀察下列各等式：

tan10°tan20°+tan20°tan600+tan60°tan10°=1,

tan20°tan300+tan30°tan400+tan40°tan200=1,

tan33°tan44°+tan440tan13°+tan33°tan13°=1.

(1)嘗試再寫出一個(gè)相同規(guī)律的式子；

(2)寫出能反映以上式子一般規(guī)律的恒等式，并對(duì)你寫出的恒等式進(jìn)行證明.

【答案】(I)tan11°tan440+tan44°tan35°+tan11°tan35°=1

⑵若￡7+￡7+Z7=g,則tan￡Aan￡7+tandan￡7+tanRan￡7=1;證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)已知的3個(gè)例子即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律求解，

（2）根據(jù)已知式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用弦切互化以及正切的和角關(guān)系公式即可求解.

【詳解】(1)tan11°tan44°4-tan44°tan35°4-tan11°tan35°=1.

(2)若Z7+□+□=，JJlJtanOanU+tanOanLJ+tanOanU=1.

sin得㈤_(kāi)

證明:tan(Z712)_cos￡71

Znsin。tan￡7

cosf2-^1

又因?yàn)閠an(Z7+D)=tan

所以tan(￡7+。?tan〃=察筆筆?tanO=1,

1-tanZ_AanL/

1-t^#tanOanZ7+ianUtan/J+tan/Jtan/7=1.

【變式2-5]（2023秋?河南洛陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末）如圖，在正方形ABCD中，M,N分別為BC,CD上的

動(dòng)點(diǎn),其中NMAB=￡7>0,ZMAN=￡7>0,zNAD=60.

⑴若M為BC的中點(diǎn)，DN=^DC,求口

(2)求證:tanOan￡7+tanOan/J+tanOan/Z7=1.

【答案】（1）0=3；

（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】（1）由題可得tanO,tanaRtan（Z7+口,又0+口+口=/即可得O；

（2）由0+0+0=]=>0+。=]一tan（O+￡7）=tang一0），整理后可證明結(jié)論.

【詳解】（1）由題意得12回=袈=；.回=攜=1

L—11—1NL_/L-iJ

j1

故tan（。+D）=:吸罌=卒=1,由題可得〃，儂為銳角，則O+口=[.

1-tanZ-Janui--x-4

23

又0+77+0=2,則。=彳；

(2)證明：因O+O+O=T,則￡7+￡7=三一O,

+4,zr-7?r-i\*(nr-X，，心一勾cos￡71

故tan(ZZ7+ZJ)=tan--Z7=-5——三=—==—,

V)cos”)s,nDtanD

即,tan=曹叱=,則(tan￡7+tan￡7)tan￡7=1-tan￡ZAan￡7,

1-tan/jtanOtan。'

故tanZJtan￡7+tan￡Aan￡7+tanCAanZZ7=1.

題型3三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用

【例題3］（2022春?寧夏銀川?高一銀川二中校考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用"九服號(hào)影算法”在《大

衍歷》中建立了唇影長(zhǎng)I與太陽(yáng)天頂距。（0°<口<90。）的對(duì)應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切

函數(shù)表.根據(jù)三角學(xué)知識(shí)可知，號(hào)影長(zhǎng)度I等于表高h(yuǎn)與太陽(yáng)天頂距DEE切值的乘積，即口=Ntan〃，對(duì)

同一"表高"兩次測(cè)量，第一次和第二次太陽(yáng)天頂距分別為口口，若第一次的“號(hào)影長(zhǎng)"是"表高"的3

倍,且tan（O-。［則第二次“暑影長(zhǎng)"是"表高"的（）倍.

25

A1BC

3-2-D-1

【答案】A

【分析】由題意可得tanZ7=3,tan（￡7-。=J再根據(jù)tan/7=tan［。-（口-結(jié)合兩角差的正切公

式即可得解.

【詳解】由題意可得tan￡7=3,tan（口一。，

所以tanO=tan［￡7-（^7-切=黑就穿=急=1，

即第二次的“號(hào)影長(zhǎng)"是"表高"的1倍.

故選：A.

【變式3-1］（2022秋?黑龍江牡丹江?高一?？计谀┠掣劭诘乃顈（米）隨著時(shí)間t（時(shí)）呈現(xiàn)周期性

變化，經(jīng)研究可用。=KingD+Ucos之□+行描述,若潮差（最高水位與最低水位的差）為3米，

0O

求口+。的取值范圍.

【答案】卜竽，啕

【分析】利用輔助角公式可得2后Q=3,進(jìn)而利用基本不等式求出結(jié)果.

【詳解】由題意可知。=Ufein,。+0cosI￡7+口=43+小爬□+臼+0（。為輔助角），

由題意可得+廳+D-（-收+行+。=2）仃+d=3,

故4+仃=，

由d+422口〃，得（竽＜之烏=|,

解得一竽WC+DW苧.

故a+b的取值范圍為卜竽,竽].

【變式3-2]（2023秋?云南?高一云南師大附中?？计谀?shù)學(xué)與音樂(lè)之間有著密切聯(lián)系,如在一首樂(lè)曲中

常常會(huì)有一段音符反復(fù)出現(xiàn)，這就是它的主旋律，從數(shù)學(xué)上看，樂(lè)曲的主旋律就是通過(guò)周期性表達(dá)的，可

以用三角函數(shù)來(lái)表示.某樂(lè)曲的一個(gè)音量y（單位：分貝）關(guān)于時(shí)間x（單位：秒）的函數(shù)模型為0=

40sin￡7.1ZJ+40sinD2U,它可以看做是由純音口=40sin/7if7^Z7=40sin4。^?成的.

Q）已知在一個(gè)周期內(nèi)，正的最強(qiáng)音出現(xiàn)一次.若。1=n,&=2n，則在三分鐘內(nèi)出現(xiàn)了幾次正的最強(qiáng)音？

（2）當(dāng)彈奏兩個(gè)頻率很接近的純音時(shí)，合成出來(lái)的音聽(tīng)上去時(shí)有時(shí)無(wú)，好像某人在以一個(gè)固定的頻率調(diào)大和

調(diào)小音量這種現(xiàn)象叫做差拍我們可以利用三角函數(shù)中的和差化積公式解釋它,40sinaZ7+40sinaZZ7=

80sin（辛D）cos（%且D）,由此我們可以認(rèn)為是對(duì)聲音。=40sin（半O）的周期性放縮，故縮倍

數(shù)為口（口=2cos（0/d）若口=1秒時(shí)放縮倍數(shù)與0=2秒時(shí)放縮倍數(shù)相同假設(shè)放縮倍數(shù)為正數(shù)）,

4=g,0＜&＜?則￡7=2秒時(shí)音量為多少分貝?

【答案】（1）90次

⑵40g分貝

【分析】（1）根據(jù)2為函數(shù)0=40sirmO的一個(gè)周期，1為函數(shù)Z7=40sin2n怵一個(gè)周期,可得2為函

數(shù)口=40sirmD+40sin2TTOB勺Y周期，再設(shè)T是函數(shù)的一個(gè)周期，0＜。＜2,從而可求得口，進(jìn)而

可得出答案；

(2)由題意，￡7(1)=0(2),設(shè)cos尹)=D,求出O,從而可求得4，從而可得出答案.

【詳解】(1)因?yàn)?為函數(shù)Z7=40sinn。的一個(gè)周期，1為函數(shù)。=40sin2nO的一個(gè)周期，

所以2為函數(shù)￡7=40sinn￡7+40sin2nZDfi<]一個(gè)周期，

令口(口)=40sinnZZ7+40sin2nZZ7z設(shè)T是0(。的一個(gè)周期,0<LJ<2,

皿小□(口=0(0)J40sinnn+40sin2nO=0

歷⑷+1)=。(1),%_40sirm，+40sin2n￡7=。'

故sirm￡7=0,解得￡7=1,

但口(口+1)=-40sinn^7+40sin2nK7^口?,故。=1不是口(。)的周期，

所以2是0(。的最小正周期，

由于在一個(gè)周期內(nèi)，正的最強(qiáng)音出現(xiàn)一次，等=90,

所以在三分鐘內(nèi)出現(xiàn)了90次正的最強(qiáng)音；

(2)由題意,0(1)=0(2),故2cos(^^)=2cos(&-&),

所以cos(號(hào))=2cos2(竽)—1,

設(shè)cos(^f^)=。,苧<。式1,

故2行-0-1=0,解得￡7=1,ZZ7=-；(舍)，

所以cos(%R)=1,因?yàn)?=90<4,

故色/=o,所以々，

40(sing+sin=40V5,

則O=2秒時(shí)音量為40g分貝.

【變式3-3](2023秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？计谀?本市某路口的轉(zhuǎn)彎處受地域限制，設(shè)計(jì)了

一條單向雙排直角拐彎車道，平面設(shè)計(jì)如圖所示，每條車道寬為4米，現(xiàn)有一輛大卡車，在其水平截面圖

為矩形口口□口，它的寬口R2.4米車廂的左側(cè)直線與中間車道的分界線相交于D記乙□□□=

（1）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎的某一刻，恰好心=,且口、。也都在中間車道的直線上，直線口口也恰好

過(guò)路口邊界。，求此大卡車的車長(zhǎng).

（2）若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對(duì)任意口，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長(zhǎng)的最大值.

（3）若某研究性學(xué)習(xí)小組記錄了這兩個(gè)車道在這一路段的平均道路通行密度（輛/km），統(tǒng)計(jì)如下：

時(shí)間7:007:157:307:458:00

里側(cè)車道通行密度110120110100110

外側(cè)車道通行密度110117.5125117.5110

現(xiàn)給出兩種函數(shù)模型：①口（。=Z^in￡7O+口（口>0,□>0）

②口（口=口口-N口,請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別對(duì)兩車道選擇最合適的一種函數(shù)來(lái)描述早七點(diǎn)

以后的平均道路通行密度（單位：輛/km）與時(shí)間。（單位：分）的關(guān)系（其中％7:00后所經(jīng)過(guò)的時(shí)間，

例如7:30即￡7=30分），并根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出相應(yīng)函數(shù)的解析式.

【答案】（1）8-黑

（2）8五-當(dāng)

⑶。=10sinZ7）+110；口（口=一；|￡7-30|+125

【分析】（1）通過(guò)解直角三角形，分別求出口口口□,口口,□口,即可求得本題答案；

(2)用。表示口口，利用換元法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求出口2勺最小值，即可得到大卡車車長(zhǎng)的最大值；

(3)先判斷里外車道對(duì)應(yīng)的模型，分別求出相應(yīng)的解析式即可.

【詳解】(1)悴口□，口□,垂足為。，作OO_L□口,垂足為口,

因?yàn)橐摇酢酢?1,所以立□□□=乙□□□=￡□□□=[,

66

在Rt△nou^,￡70=2.4xtan：="，在Rt△口口仔,□□=絲=塔

65n5

tan-

o

在Rt△口口中,no=—=摯，在Rt△口口出,□□=—=8.

n3TT

cos-sm-

ob

所以口口=□口=當(dāng)+3-當(dāng)-卓=3-洛

35515

(2)因?yàn)?口□口=口，所以。口=二，口口=J,￡7￡7=2.4tan￡7,口口2.4

cosLJsmZ_7tan￡7

所以￡70=□□=□□+□□一OO=壺+福一2.4tano-磊

22一

4sin/Z7+4cos/Z7-2.4sin￡7-2.4cosZZ74(sinZZ7+cosD)2.4,0<〃<g

sinODOSZZ7sin/jbosZZ7

TT3n

令sin￡7+cosZZ7=U,貝！JO=V2sin(Z27+,v0<ZZ7<，.??O+；￡

4,~4

所以1<□WV2,sin￡7cos￡7=與^

所以3==甸，

2

設(shè)。=￡7-式：<OW夜一力則O=Z7+1

O\O0/D

所以號(hào)=/

易知￡7(。=口一怒+拒單調(diào)遞增，且0(。)>0,

l-lOOO

所以□□=7篝7=六丁在(|，代—|］單調(diào)遞減，

S目Tn~25D+5

所以，當(dāng)。=魚-）即。=夜時(shí)，￡7儂最小值8晚-誓,

所以，若大卡車在里側(cè)車道轉(zhuǎn)彎時(shí)對(duì)任意。，此車都不越中間車道線，求此大卡車的車長(zhǎng)的最大值為8立-

24

（3）由表可得，里側(cè)車道通行密度有最大值和最小值，適用模型。=次inOZZ7+□（口＞0,。＞0）,

易得口=60,所以D=g屋，又O=資產(chǎn)=10,0=出了=110,所以0（。=10sin緇）+110;

而夕M則車道通行密度關(guān)于。=30對(duì)稱，左側(cè)遞增，右側(cè)遞減，適用模型。=D\U-U\+U,

易知。=30，代入（0,110）,（30,125），得〃=125,0=一3，

所以￡7（。=W10-301+125.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于含有sin/J+cosOfflsinOcosB）三角函數(shù)值域問(wèn)題，可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的

函數(shù)，如二次函數(shù)，分式函數(shù)來(lái)解答.

【變式3-4]（2023秋?云南楚雄?高一統(tǒng)考期末）某地區(qū)組織的貿(mào)易會(huì)現(xiàn)場(chǎng)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形展廳

□□□□,口，U分別在0次口￡74邊上，圖中△口口。區(qū)域?yàn)樾菹^(qū)，△□□□,△。匚7。區(qū)

域?yàn)檎褂[區(qū).

（1）若4口。。的周長(zhǎng)為2,求的大??；

（2）若,請(qǐng)給出具體的修建方案，使得展覽區(qū)的面積遍大，并求出最大值.

0

【答案】⑴m

（2）當(dāng)/。?？诙r(shí)，展覽區(qū)的面積交大，最大值為|

【分析】（1）設(shè)口口=口,□□=□,根據(jù)△勺周長(zhǎng)為2可得04茜足的關(guān)系式，利用兩角和差正

切公式可求得tan（NO〃〃+N￡7。。），進(jìn)而確定NOO為勺值；

1

（2）設(shè)^□□口=口,利用事示出,并結(jié)合三角恒等變換知識(shí)將化簡(jiǎn)為

2sin^2￡7+gj+1

根據(jù)正弦型函數(shù)的最值可確定（么〃g）min及此時(shí)N0OOB勺取值，由此可得展覽區(qū)面積最大值.

【詳解】（1）設(shè)口口=口,口□=口,則tan/OOO=1-口,tan乙口□□=1-D,

又4DDOfi勺周長(zhǎng)為2,：.口+口+J!+支=2,

則4+廳=4-4（0+。）+（。+D）2,整理可得：DD=2（D+[J）-2,

tan"□□□+4="□+”口=23+0=―婦馬旦-=1

I。、?！?―）1-（1-O（1-OD+U-DDZ7+￡7-2（￡7+￡7）+2'

因?yàn)?<乙□□□+乙□□□<p

：“□□□+乙□□□/，:?乙□□口=V.

44

（2）設(shè)z口口口=口（0<〃<9,則-D,口口=$,□□=「、,

\3）38s口8S”）

在^中,￡7。邊上的高為。次in■=-7--,

0/n\

2COS（3-0）

,□nnn=____-____=_______-______=______-______=______-_____=_________

"_4cosObos（；-￡7）-4g0（刎￡7+梟時(shí)—2cos2￡7+2GsinOcos〃-Osin2D+8s2D+1-242*戶'

則當(dāng)20+&=T,即〃=g時(shí)，2sin（20+*+1取得最大值3,

此時(shí)￡7/7/27取得最小值?（

則當(dāng)zz7oo=熱，展覽區(qū)的面積a最大，最大值為1V=|.

【變式3-5]（2023秋?云南昆明?高一統(tǒng)考期末）樂(lè)音中包含著正弦函數(shù)，平時(shí)我們聽(tīng)到的樂(lè)音是許多個(gè)音

的結(jié)合，稱為復(fù)合音，復(fù)合音的產(chǎn)生是因?yàn)榘l(fā)聲體在全段震動(dòng)，產(chǎn)生基音的同時(shí)，其余各部分，如二分之

一部分也在震動(dòng).某樂(lè)音的函數(shù)是=sinO+gsin2D,該函數(shù)我們可以看作是函數(shù)O=sin。與。=

*in2O?加，利用這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以探究0（。的函數(shù)性質(zhì).

(1)求出的最小正周期并寫出口(。的所有對(duì)稱中心；

(2)求使。(。>0成立的x的取值集合；

⑶判斷Oe卜2n,2n],函數(shù)0(。=-:零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

【答案】⑴最小正周期為2n;所有對(duì)稱中心為(。&0),OeZ

(2)^￡7|2ZZ7n<ZZ7<n+2/Tn],ZZ7eZ

(3)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)結(jié)合圖象以及三角函數(shù)的周期性、對(duì)稱中心等知識(shí)求得正確答案.

(2)解三角不等式求得正確答案.

(3)根據(jù)圖象，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等知識(shí)求得正確答案.

【詳解】(1)因?yàn)椤?sin最小正周期為2n,口=；sin2B]最小正周期為n,

□(口=sinZ7+；sin2O,2n)=sin(￡7+2TT)+；sin(2￡7+4TT)=sin￡7+gsin2￡7=￡7(Z7),

而O(￡7+TT)=sin(￡7+TT)+：sin(2Z7+2TT)=-sin￡7+；sin2￡7,Z7(/Z7),

所以口(。的最小正周期為2Tl.

由圖象可知，函數(shù)。=5皿3￡7=3m2遁象關(guān)于點(diǎn)(0,0)，80)對(duì)稱，而函數(shù)0(。是奇函數(shù)，

ZZ7(2TT-￡7)+Z7(￡7)=sin(2TT-Z27)+；sin(4TT-2￡7)+sin￡7+gsin2Z7=0,因止匕(0,0),(TT,O)是￡7(。

圖象的對(duì)稱中心，

所以。(。的對(duì)稱中心為(口。,0)，口WZ.

(2)要使￡7(。)>0,即sinZZ7+gsin2￡7=sin￡7(1+cosZZZ)>0,又因?yàn)?+cos￡7>。恒成立，

故0(0>。成立的中)取值集合與sin020成立的j勺取值集合一致,

故。（。20成立的中取值集合為{a2〃TT4Own+2〃n},￡7eZ.

（3）觀察給定的圖象，可以判斷0（。圖象在［0,川上先增后減，且O（0max>1,

由（2）知當(dāng)。e［0,n］時(shí)，￡7（￡7）>0,

故在［0,n］上函數(shù)0=0（。與函數(shù)。=博兩個(gè)交點(diǎn).

因?yàn)?。（。的最小正周期?n,

故在［-上函數(shù)。=0（。與函數(shù)也有兩個(gè)交點(diǎn).

又因?yàn)楹瘮?shù)0（。為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

故在［--0］,上函數(shù)0=0（。與函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn).

綜上所述，［-2n,2n］,函數(shù)。（。=零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解函數(shù)周期性有關(guān)的問(wèn)題，可利用周期函數(shù)的定義來(lái)判斷，即：O（O+D）=￡7（￡7）,

則0（。）是周期為中周期函數(shù).求解三角函數(shù)對(duì)稱中心有關(guān)問(wèn)題，可利用0（。）=0來(lái)進(jìn)行求解.

題型4化簡(jiǎn)求值題

【例題4］（2021春?陜西西安?高一統(tǒng)考期末）8s2。。（倔an201）=.

2sin10°

【答案】-1

【分析】根據(jù)切化弦及兩角差正弦公式的逆用即可得解.

…(-sin20°\

cos20I\3----------1]

\cos200)V3sin200-cos20°_2sin(20o-30°)

【詳解】原式=

2sin1002sin1002sin10°

-2sin10°

2sin100

故答案為：-1

【變式4-1】（2022秋云南昆明?高一統(tǒng)考期末）若的仁+=巳。是第三象限角，則*1=_______.

25

\）1+tany

【答案】-2

【分析】先化簡(jiǎn)cos（g+臼=I,得到sin。=,再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos。，再把所求

的式子切化弦，利用二倍角公式，求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)镃OS信+￡7）=3所以一sin/7=sin￡7=,

\zlb□o

因?yàn)?。是第三象限角，所以cosO=-Vl-sin2O=一）

D

000

1--cs-^

以

所tan22sl-

0。

1+-s20n

tan2co+si2

cos2-sin勺(cosZ+sin的cos2-^-sin2-^cosU-g

/n/~N2n,.2□、c口.口1+sinZZZd3

(cos^+sin?cos9乏+sin彳+2cos個(gè)巾彳1

故答案為：-2

【變式4-2]（2023秋?浙江杭州?高一杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┖诤隗?/p>

【答案】-4

【分析】結(jié)合二倍角和輔助角公式求解即可.

'后sin10。-cos10。2sin(10°-30°)_-2sin200

【詳解】-4.

cos10°sin10°河200別20°

故答案為：-4.

【變式4-3]（2021春?陜西漢中?高一統(tǒng)考期末）黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體的比值

等于較小部分與較大部分的比值，該比值為口=與?0.618,這是公認(rèn)的最能引起美感的比例.黃金分割

比的值還可以近似地表示為2SE8。，則胃薩的近似值等于

【答案】1

【分析】由題可得。=2sin18。，利用sin18。=sin（3。。-12。）展開(kāi)化簡(jiǎn)可得署==喘=1.

【詳解】由題可得O=2sin18°,

.V5sin12°+O_V5sin12°+2sin18°_百sin120+2sin(30°-12°)

?,cos120cos1208s12°

_\Z3sin120+2sin30ocos12o-2cos30asin12°_cos120_.

cos120cos120'

故答案為：1.

【變式4-4]（2023秋?安徽蕪湖?高一安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）[2sin500+sin100（1+

V3tan10°)]cos10°=.

【答案】V3

【分析】利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、輔助角公式以及三角恒等變換的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】[2sin500+sin10°(1+V3tan10°)]cos10°

VSsinlO。

2sin50°+sin10°1+cos10°

cos10°

cos10°+V3sin10°

2sin50°+sin10°cos10°

cos10°

「。。

=2Csm-5u0c4,-sm?1.C0x—2sin(10口+30)]cos10

Lcos10J

=[2sin500+sin10ex1^]cos10-

sin50°cos10°+sin40°sin10°

=2乂----------------------------------------xcos10°

sin50°cos100+cos50°sin10°

2xcosierxcos10°

=2xsin(50°+10°)

=2sin60°=禽.

故答案為：V3

【變式4-5】(2023秋?陜西西安?高一校考期末)(1)化簡(jiǎn)：鏟4；

語(yǔ)Tany

(2)求值：sin50°(1+V3tan10°).

【答案】(l)Jsin2￡7;(2)1

【分析】(1)化切為弦，結(jié)合正弦和余弦的倍角公式和半角公式得到答案；

(2)化切為弦，結(jié)合輔助角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解.

COS2￡7_

【詳解】=；sinO30sz7=：sin2O;

(1)-?~2口.2。二

2SinZ_7

SinyCOSY

(2)sin50°(1+V3tan10°)=sin50°(1+四呼)=sin50°^sin1Q+cos1°

'，\cos10°)cos100

.Lc02sin4002sin50°cos500sin1000sin(10°+90°)cos10°

—?s?n50____—_________-..........------------------------[

cos10°cos100cos100cos100cos10°

題型5湊角求(角)值型

【例題5]（2023秋?吉林遼源?高一校聯(lián)考期末）若tanD=-1,tan￡7=2,則tan（0-/J）=（）

A.-1B.0C.2D.3

【答案】D

【分析】直接利用和差公式計(jì)算得到答案.

tan￡7-tan￡7__1一2

【詳解】tan⑷-D）=

1+tanZZAan￡71-2

故選：D

【變式5-1]（多選）（2023秋河南鄭州?高一統(tǒng)考期末舊知cos（D+。）=，cos2〃=一，，其中

%銳角，則以下命題正確的是（）

A.sin2￡7=jB.cos（￡7-D）=-^V5

525

C.cos￡7cos/7=WD.tanOan/Z7=\

103

【答案】AC

【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式和兩角和與差的余弦公式和積化和差公式即可求解.

【詳解】因?yàn)閏os(。+口=一fcos20=Y(a口為銳角)，

故sin2ZZ7=Vl-cos22￡7=故A正確；

因?yàn)閟in(D+O=等，

D

所以cos(ZZ7-D)=cos[2/7-(Z7+D)]

=cos2ZZfcos(ZZ7+LJ)+sin2ZZfein(/Z7+D)

=(-9X(-T)+1XH=1^

故B錯(cuò)誤；

由cos(￡7-D)=cosUcos/J4-sinZZfeinZZ7=|V5,

cos(￡7+D)=cosZZfcosZZZ-sinLfeinZZ7=-y,

故cosDeosD=I[cos(￡7+D)+cos(Z7-^01=K-T+V)=

故C正確;

且sin%n〃=；［cos(Z7-D)-cos(￡7+；］等一(一到=卷低

所以tanDtanU=3,

故D錯(cuò)誤.

故選AC.

【變式5-2］(2023秋?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中校考期末)已知cos(口+，=*，0+g為第四象

限角.求

(l)sinZ7;

(2)cos(20+".

【答案】Q)m歲

px119-120^

【分析】(1)先算出sin(0+，，然后利用sinZ7=sin(。+胃一?，即可算出本題答案；

(2)先算出cos2(D+》和sin2(O+》，然后利用cos(2〃+》=cos2(。+》-g，即可算出本題答案.

【詳解】(1)因?yàn)閏os缶+?)=生且洋+為第四象限角,

所以sin(D+捫一J—cos?(0+J

=_Ci)2=-3

所以sin￡7=sin[(0+g)-g=sin(23n\n/_n\.n

+-COST-cossin-

3J313/3

=_AX1_12XV3=-5712V3

13213226,

(2)由(1)得，cos2(ZZ7+g)=2cos2(o+｝一1=2x(^)2-1=^1,

、

sin2(￡7+g)=2sin(ZZ7+g)cos(/Z7+》=二2Cx(/一行5)x存12二一麗120，

所以cos(2Z7+》=cos2(Z7+》-g=cos2(ZZ7+g)cosg+sin2(ZZ7+》sing

__1191f120、x/3_119-120V3

-169*2+(169)*2—3380

【變式5-3](2023秋河北邯鄲高一?？计谀?已知第三象限角。曲足4sin(2022TT-0)=3cos(2021n

+0,且cos，=1,。為第三象限角，求下列各式的值.

sin(n-￡7)+3sin信+￡7)

Q)求/、''的值;

4sin(TI+ZZ7)+cos(-