《高等數(shù)學(xué)》第3章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)課件

第3章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第3章

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3-1微分中值定理

3-2洛必達(dá)法則

3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-4函數(shù)的極值3-6函數(shù)的最大值和最小值

3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)

3-7導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-1微分中值定理一、羅爾定理

如果函數(shù)滿足條件：（1）在上連續(xù)；（2）在內(nèi)可導(dǎo)；（3），定理3.1（羅爾定理）則在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使．3-1微分中值定理羅爾定理的幾何意義是:

如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處都有不垂直于x軸的切線,且兩端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相等,那么其上至少有一條平行于x軸的水平切線

注意羅爾定理的三個(gè)條件只是充分條件,不是必要條件.即若滿足定理中三個(gè)條件,結(jié)論一定是成立的,反之,若不滿足定理的條件,結(jié)論仍然有可能成立.3-1微分中值定理3-1微分中值定理3-1微分中值定理定理3.2

則在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.

如果函數(shù)滿足條件：

(1)在上連續(xù)；

(2)在內(nèi)可導(dǎo)；羅爾定理中,條件f(a)=f(b)比較特殊,若把此條件去掉并相應(yīng)地改變結(jié)論,就得到十分重要的---二、拉格朗日Lagrange定理3-1微分中值定理拉格朗日中值定理的幾何意義:

如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處都有不垂直于x軸的切線,那么其上至少有一條平行于連接兩端點(diǎn)的直線的切線.3-1微分中值定理3-1微分中值定理3-1微分中值定理推論1

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零，則在內(nèi)是一個(gè)常數(shù).推論2

如果函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即，則與在區(qū)間內(nèi)只相差一個(gè)常數(shù).即．

3-1微分中值定理

3-1微分中值定理

3-1微分中值定理

3-2洛必達(dá)法則

若與滿足：定理3.3洛必達(dá)法則Ⅰ

(2)與在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且；

(1)，；

(3)（或）．則（或）．3-2洛必達(dá)法則

解由洛必達(dá)法則得

3-2洛必達(dá)法則

解由洛必達(dá)法則得

3-2洛必達(dá)法則

解

3-2洛必達(dá)法則

解

3-2洛必達(dá)法則

3-2洛必達(dá)法則

3-2洛必達(dá)法則

3-2洛必達(dá)法則

3-2洛必達(dá)法則

若與滿足：定理3.4洛必達(dá)法則Ⅱ

(1)，；

(2)與在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且；

(3)或.則或．3-2洛必達(dá)法則

解解

=3-2洛必達(dá)法則

解

3-2洛必達(dá)法則

三、其它未定式3-2洛必達(dá)法則

解

3-2洛必達(dá)法則

解

3-2洛必達(dá)法則

解

3-3函數(shù)單調(diào)性判別法第一章已經(jīng)給出了函數(shù)單調(diào)性的定義,本節(jié)介紹利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性的方法．先從幾何直觀上觀察一下:容易看到,當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí),曲線是上升的,此時(shí)其上每一點(diǎn)處的切線與ｘ軸正方向的夾角都是銳角,切線的斜率大于零,也就是說(shuō)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)大于零；相反地,當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞減時(shí),曲線是下降的；其上每一點(diǎn)處的切線與ｘ軸正方向的夾角都是鈍角,切線的斜率小于零,也就是說(shuō)在相應(yīng)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)小于零.一般地,有判別定理：3-3函數(shù)單調(diào)性判別法

(1)如果在內(nèi)，，那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加.

(2)如果在內(nèi)，，那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減少．定理3.5（函數(shù)單調(diào)性判定）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在

內(nèi)可導(dǎo)，3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法判別函數(shù)增減性的步驟如下：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求出使=0和

不存在的點(diǎn)，并以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分割成幾個(gè)子區(qū)間.（3）確定

在各個(gè)子區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而判定函數(shù)的單調(diào)性.※注意

有的可導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)的個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于零，但函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)仍為單調(diào)增加（或減少）．3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-3函數(shù)單調(diào)性判別法3-4函數(shù)的極值

設(shè)函數(shù)在區(qū)間有定義,.如果在某個(gè)鄰域內(nèi)

(1)，則稱為函數(shù)的極大值，并且稱點(diǎn)是的極大值點(diǎn).

(2)

,則稱為函數(shù)的極小值，并且稱點(diǎn)是的極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).函數(shù)的極值僅僅是在某一點(diǎn)的近旁而言的,它是局部性概念.在一個(gè)區(qū)間上,函數(shù)可能有幾個(gè)極大值與幾個(gè)極小值，甚至有的極小值可能大于某個(gè)極大值.

極值與水平切線的關(guān)系:

在函數(shù)取得值處（該點(diǎn)可導(dǎo)）,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值3-4函數(shù)的極值定理3.7(極值存在的必要條件)如果

在點(diǎn)處取得極值且在點(diǎn)處可導(dǎo),則

.說(shuō)明：（1）定理3.7的幾何解釋是：可微函數(shù)的圖形在極值點(diǎn)處有水平切線.(2)定理3.7的條件僅僅是取得極值的必要條件，但不是充分條件.3-4函數(shù)的極值使

為零的點(diǎn)稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn).但函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).

定理3.7是對(duì)函數(shù)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)而言的,在導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),函數(shù)可能取得極值,也可能沒有極值.總之,函數(shù)的極值點(diǎn)必在函數(shù)的駐點(diǎn)或連續(xù)不可導(dǎo)的點(diǎn)中取得，但是，駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).

下面介紹函數(shù)極值的充分條件，給出求函數(shù)的極值的具體方法.3-4函數(shù)的極值3-4函數(shù)的極值應(yīng)用定理3.7、3.8求函數(shù)極值點(diǎn)和極值的步驟如下：3-4函數(shù)的極值3-4函數(shù)的極值3-4函數(shù)的極值定理3.9(極值第二充分條件)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有二階導(dǎo)數(shù)，且，那么

(1)若，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；

(2)若，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；3-4函數(shù)的極值3-4函數(shù)的極值3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)

在研究函數(shù)圖形特性時(shí),只知道它的上升和下降性質(zhì)是不夠的,還要研究曲線的彎曲方向問題.討論曲線凹凸性就是討論曲線的彎曲方向問題，

定義3.1如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱此曲線弧是凹的；如果在某區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的下方，則稱此曲線弧是凸的.3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)一、曲線的凹凸

3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)如何判別曲線在某一區(qū)間上的凹凸性呢？若曲線是凸弧，則當(dāng)x由小變大時(shí)，x軸與曲線的切線的夾角是減小的，即切線的斜率是遞減的；若曲線是凹弧，則當(dāng)x由小變大時(shí)，x軸與曲線的切線的夾角是增大的，即切線的斜率是遞增的.從而我們可以根據(jù)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是遞增的還是遞減的，或根據(jù)原來(lái)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)是正的還是負(fù)的來(lái)判別曲線弧的凹凸性.3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)

(2)若時(shí)，恒有，則曲線在上的圖形是凸的.

(1)若時(shí)，恒有，則曲線在上的圖形是凹的；定理3.6（曲線凹凸性的判別法）

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)連續(xù)曲線

上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為這曲線的拐點(diǎn).3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)二、曲線的拐點(diǎn)3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)3-5曲線的凹凸和拐點(diǎn)3-6函數(shù)的最值

在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常會(huì)遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題，這類問題數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題.設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù),則函數(shù)的最大值和最小值一定存在，函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得，如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得，則必在開區(qū)間(a,b)內(nèi)取得,在這種情況下，最大值一定是函數(shù)的極大值.

因此,函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者.

同理,函數(shù)在閉區(qū)間［a,b］上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者.一、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值的求法3-6函數(shù)的最值閉區(qū)間［a,b］上最大值和最小值的求法和步驟：（1）求出函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)（它們可能是極值點(diǎn)）;

（2）求出駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)以及端點(diǎn)處的函數(shù)值;

（3）比較這些函數(shù)值的大小,其中最大的和最小的就是函數(shù)f(x)的最大值和最小值.3-6函數(shù)的最值

例13-6函數(shù)的最值3-6函數(shù)的最值二、實(shí)際問題中的最大值和最小值

在解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)注意以下結(jié)論.3-6函數(shù)的最值例3設(shè)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，從四個(gè)角各截去大小一樣的小正方形，做一個(gè)無(wú)蓋的方匣，問截去邊長(zhǎng)為多少的小正方形時(shí)能使做成的方匣的容積最大？3-6函數(shù)的最值3-6函數(shù)的最值