湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第3章圓錐曲線與方程3-1-2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)練習(xí)含答案

3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程探究其幾何性質(zhì)1.已知橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,則m=()A.2B.2C.142.(2022天津三中期中)已知橢圓x2+2y2=2與2x2+y2=1,則兩個(gè)橢圓()A.有相同的長(zhǎng)軸與短軸B.有相同的焦距C.有相同的焦點(diǎn)D.有相同的離心率3.[2021新高考八省(市)聯(lián)考]橢圓x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦點(diǎn)為F1,F2,上頂點(diǎn)為A,若∠F1A.1B.2C.3D.24.設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸,點(diǎn)C在橢圓上,且∠CBA=45°,若AB=4,BC=2,則橢圓的焦距等于()A.463B.263題組二由橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程5.(2022四川涼山州月考)已知中心在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2,則C的方程為()A.x216+B.x216+y212=1或yC.x24+y2D.x24+y23=1或6.(2021江蘇徐州沛縣學(xué)情調(diào)研)過(guò)點(diǎn)(2,3),焦點(diǎn)在x軸上且與橢圓x24+y2A.x26+y24=1B.C.x212+y29=1D.7.以橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為等邊三角形,且橢圓CA.x24+y23=1B.C.x216+y212=1D.8.(2022湖南益陽(yáng)期中)若橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,焦距為25,橢圓C上的兩點(diǎn)P,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,|PF|-|QF|=a,且PF⊥題組三橢圓的離心率9.設(shè)e是橢圓x2k+y24=1的離心率,且e∈12A.(0,3)B.3C.(0,2)D.(0,3)∪1610.(2022廣東福田月考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,離心率為12,A是橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn),且|AF1|=|F1FA.33B.3C.211.(2022四川樹德中學(xué)月考)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在點(diǎn)P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1A.0,1C.12,12.(2022湖南桃江一中開學(xué)考試)已知F是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),若過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)A.32,C.0,1題組四直線與橢圓的位置關(guān)系13.直線y=x+1與橢圓x25+y2A.相交B.相切C.相離D.無(wú)法判斷14.(2022四川成都蓉城名校聯(lián)盟期中)直線y=x+m與橢圓x22+y2=1交于A,B兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)|AB|=423,A.±12B.±1C.±315.直線y=x+1被橢圓x24+y2A.23,C.-2316.過(guò)橢圓x25+y24=1的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△17.(2022湖南邵陽(yáng)期末)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32,F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),B1為橢圓的上頂點(diǎn),△B1(1)求橢圓C的方程;(2)若直線y=kx+m(k≠0,m≠0)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,P0,12,|MP|=|NP|,求實(shí)數(shù)能力提升練題組一橢圓的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用1.(2022江西景德鎮(zhèn)一中期末)已知點(diǎn)P(x,y)(x≠0,y≠0)是橢圓x216+y28=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F1,F2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若M是∠F1PF2的平分線上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)P重合),且F1M·PM=0,A.[0,3)B.(0,22)C.[22,3)D.[0,4]2.(多選)(2022山東泰安月考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2且|F1F2|=2,點(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部,A.|QF1|+|QP|的最小值為2a-1B.橢圓C的短軸長(zhǎng)可能為2C.橢圓C的離心率的取值范圍為0D.若PF1=F1Q,則橢圓C3.(2022湖北黃岡中學(xué)期末)已知A,B為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的兩點(diǎn),F1,F2分別為其左、右焦點(diǎn),且滿足AF1=2F1B,當(dāng)∠F4.(2022湖北武漢期末)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為8,上頂點(diǎn)為A,左頂點(diǎn)為B,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),且△F1AB的面積為4,P為橢圓上的任意一點(diǎn),則5.(2022安徽蕪湖期末)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1(-2,0),F2(2,0).過(guò)F1且傾斜角為60°的直線交橢圓的上半部分于點(diǎn)A,以F1A,F1O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))為鄰邊作平行四邊形OF1AB,點(diǎn)B恰好也在橢圓上,題組二直線與橢圓的位置關(guān)系6.(多選)(2022河北阜城中學(xué)期末)已知點(diǎn)M(-1,0)和N(1,0),若某直線上存在點(diǎn)P,使得|PM|+|PN|=4,則稱該直線為“橢型直線”,下列直線是“橢型直線”的是()A.x-2y+6=0B.x-y=0C.2x-y+1=0D.x+y-3=07.(2022河南新鄉(xiāng)期末)已知橢圓G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(32,0),過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-A.x232+y214=1B.C.x248+y230=1D.8.(2022陜西西安中學(xué)月考)已知曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y)滿足x2+y2+2y+1+x2+A.23,-C.32,9.(2022湖南湘潭月考)已知點(diǎn)P(0,1)為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),(1)求橢圓C的方程;(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),記直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,若k1+k2=-2,則直線l是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.10.(2022湖南師大附中期末)如圖,已知?jiǎng)訄AM過(guò)點(diǎn)E(-1,0),且與圓F:(x-1)2+y2=8內(nèi)切,設(shè)動(dòng)圓圓心M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)過(guò)圓心F的直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),問(wèn):在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)直線l繞點(diǎn)F任意轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),PA·PB為定值?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和PA·PB的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.答案與分層梯度式解析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.D易知長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=2,短軸長(zhǎng)2b=21m所以41m=2,解得m=4.故選2.D將橢圓方程x2+2y2=2整理得x22+y2=1,其焦點(diǎn)在x軸上,a1=2,b1=1,則c1=a12-b12=1,所以e將橢圓方程2x2+y2=1整理得x212+y2=1,其焦點(diǎn)在y軸上,a2=1,b2=22,則c2=所以e2=c2a2=2213.C由題意得a=m2+1,b=m,c=1,∠F1AO=π6(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則tanπ6=cb=1m=334.A不妨設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B分別為長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),則2a=4,C(1,1)或C(1,-1),所以a2=4,于是14+1b2=1,解得b2=43,5.D由題意得a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3.當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),橢圓的方程為x24+y23=1,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓的方程為y26.D設(shè)所求橢圓方程為x24+y23=λ(λ>0),將(2,3)代入可得44+33=λ,即λ=2,所以所求橢圓方程為7.C由題意可得b=3c,a+c=6,8.答案x28+解析設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F',則F'(-c,0),由橢圓的對(duì)稱性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因?yàn)閨QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=3a2,|QF|=a2,由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2即a24+9a24=(2c)2=20,解得a2=8,又因?yàn)閏=5,所以b2=a2-c2=3,因此橢圓C9.D當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),k>4,e=k-4k∈12,1,∴k-4k∈14,1,∴k∈163,+∞;當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),0<k<4,e=4-k10.B依題意e=ca=12,即a=2c.又因?yàn)閨AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c,|AF1|=|F1F2|,所以|AF2|=2c,所以△AF1F2是等邊三角形,所以∠AF1F2=60°,所以kAF1=tan∠AF1F2=tan11.D由橢圓的定義得|PF1|+|PF2|=2a,又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=32a,|PF2|=1而|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在橢圓右頂點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立,即32a-12a≤2c,解得e=ca≥12,即112.D設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F',連接AF',BF',則四邊形AFBF'為平行四邊形,∠FAF'=60°,在△AFF'中,由余弦定理得|FF'|2=|AF|2+|AF'|2-2|AF|·|AF'|cos∠FAF'=(|AF|+|AF'|)2-3|AF|·|AF'|,所以(|AF|+|AF'|)2-|FF'|2=3|AF|·|AF'|≤3|AF|+|AF'|22,即14(|AF|+|AF'|)2≤|FF'|2,當(dāng)且僅當(dāng)|AF|=|AF'|時(shí)等號(hào)成立,則14×4a2≤4c2,可得橢圓的離心率e=c13.A直線y=x+1過(guò)點(diǎn)(0,1),將(0,1)代入x25+y24=1,得0+14<1,即點(diǎn)14.B設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=x+m,x22+y2=1,消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0,則x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,15.C聯(lián)立y=x+1,x24+y22=1,消去y并整理,得3x2+4x-2=0.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),線段AB的中點(diǎn)為M(x0,y0),則x1+x2=-4∴所截得的線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為-216.答案5解析由題意知,橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),又因?yàn)橹本€的斜率k=2,所以直線的方程為y=2(x-1),將其與方程x25+y24=1聯(lián)立,消去y并整理,得3x2-5x=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=53,x1x2=0,所以|AB|=1+k2·|x1-x2|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+22×532-4×017.解析(1)S△B1F1F2=12·2c·b=bc=3,又∵ca=32,a2=b2+c2,(2)由y=kx+m,x2+4y2=4,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=-8由Δ=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.設(shè)MN的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,y0),則x0=x1+x22=-4km4k2+1,y0∵|MP|=|NP|,∴DP⊥MN,即y0-1∴4k2=-6m-1,∴-6m-1∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是-6能力提升練1.B如圖,延長(zhǎng)PF2,F1M交于點(diǎn)N,則△PF1N為等腰三角形,M為F1N的中點(diǎn),|OM|=12|F2N|=12|PN-PF2|=12||PF1|-|PF2||.由圖可知,當(dāng)P在短軸端點(diǎn)時(shí),|OM|取得最小值,此時(shí)|OM|=0;當(dāng)P在長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí),|OM|取得最大值,此時(shí)|OM|=22,又因?yàn)辄c(diǎn)2.ACD因?yàn)閨F1F2|=2,所以F2(1,0),|PF2|=1,所以|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≥2a-|PF2|=2a-1,當(dāng)點(diǎn)Q在F2P的延長(zhǎng)線上時(shí)取等號(hào),故A正確;若橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,即2b=2,則b2=1,a2=2,所以橢圓的方程為x22+y2=1,又因?yàn)?22+12>1,則點(diǎn)P在橢圓外,所以短軸長(zhǎng)不可能為2,故B錯(cuò)誤;因?yàn)辄c(diǎn)P(1,1)在橢圓內(nèi)部,所以1a2+1b2<1,又因?yàn)閍2-b2=1,所以1a2+1a2-1<1(a>1),即a4-3a2+1>0(a>1),所以a2>(1+5)24,所以a>1+52,所以e=ca<5-12,所以e∈0,5-12,故C正確;若PF1=F1Q,則F1為線段PQ的中點(diǎn),所以Q(-3,-1),又因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上,所以9a2+1b2=1,又因?yàn)閍2-b3.答案21解析由題意得A,F1,B三點(diǎn)共線,設(shè)|F1B|=m(m≠0),則|AF1|=2m,|AB|=3m.在橢圓中,|F1F2|=2c,∠F1AF2=π3,由橢圓的定義可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在△F1AF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|·cos∠F1AF2,即4c2=4m2+(2a-2m)2-2·2m·(2a-2m)·cosπ3,化簡(jiǎn)得c2=a2+3m2-3am.在△ABF2中,由余弦定理得|BF2|2=|AB|2+|AF2|2-2|AB|·|AF2|cos∠BAF2,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2·3m·(2a-2m)·cosπ3,化簡(jiǎn)得9m2-5am=0,因?yàn)閙≠0,所以m=59a,所以c24.答案2解析由已知得2b=8,故b=4,∵△F1AB的面積為4,∴12(a-c)b=4,∴a-c=2,又∵a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,故a+c=8,∴a=5,c=3,∴1|PF1=2a|=10-|P又∵a-c≤|PF1|≤a+c,即2≤|PF1|≤8,∴當(dāng)|PF1|=5時(shí),-(|PF1|-5)2+25有最大值,為25;當(dāng)|PF1|=2或|PF1|=8時(shí),-(|PF1|-5)2+25有最小值,為16,即16≤-(|PF1|-5)25.答案23解析依題意可知c=2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),因?yàn)樗倪呅蜲F1AB為平行四邊形,所以y1=y2,又因?yàn)閤12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,所以x2=-x1,因?yàn)镕1A∥OB,且直線F1A的傾斜角為60°,所以y1x1+2=y2x2=3,所以x1=-1,x2=1,y1=y2=3,所以A(-1,3),將其代入x2a26.BC|PM|+|PN|=4>|MN|=2,根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)P的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,所以橢圓的方程為x24+y23=1.由題意知“橢型直線”與橢圓有公共點(diǎn),對(duì)于A,聯(lián)立x24+y23=1,x-2y+6=0,消去x并整理,得2y2-9y+12=0,所以Δ<0,方程組無(wú)解,所以A中直線不是“橢型直線”;同理,D中直線也不是“橢型直線”;對(duì)于B,直線x-y=0過(guò)原點(diǎn),必與橢圓相交,7.D設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,兩式作差得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y12-y22x12-x22=-b2故選D.8.B原等式可化為x2+(y+1)2+x2+(y-1)2=22,設(shè)F1(0,-1),F2(0,1),則|F1F2|=2,∴|PF1|+|PF2|=22>|F1F2|=2,∴點(diǎn)P∴曲線C的方程是x2+y22=1,設(shè)與直線2x-y-4=0平行且與曲線C相切的直線方程為2x-y+t=0(t≠-4).聯(lián)立2x-y+t=0,x2+y22=1,消去y并整理易知當(dāng)t=-6時(shí),切點(diǎn)到直線2x-y-4=0的距離最近,此時(shí)可求得x=63,y=-63,故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是639.解析(1)由題意知P(0,1)為橢圓的上頂點(diǎn),則b=1,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,即c=2,所以a2=b2+c2=1+4=5,所以橢圓C的方程為x25+y(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),設(shè)A(x0,y0),B(x0,-y0)(-5<x0<5且x0≠0),則k1+k2=y0-1x0+-y0當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+m,x25+y2=1,消去y并整理,可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,則x1+x2=-10km1+5k2,x1x2=5m2-51+5k2所以(k