蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第5章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5-3-3最大值與最小值課件

5.3.3

最大值與最小值知識(shí)點(diǎn)

求函數(shù)的最大值與最小值的步驟求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值可以分為兩步:第一步:求f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值;第二步:將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值.注意:函數(shù)的最大(小)值是相對(duì)于函數(shù)定義域整體而言的,如果存在最大(小)值,那么最大(小)

值唯一.知識(shí)辨析1.函數(shù)的最值一定是函數(shù)的極值嗎?2.開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)有最值嗎?3.若連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值,則這個(gè)極值也一定是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值,對(duì)嗎?一語(yǔ)破的1.不一定.函數(shù)的最值是通過(guò)比較函數(shù)的端點(diǎn)值和極值得到的,若最值不是端點(diǎn)值,則一定是

極值.2.沒(méi)有.因?yàn)楹瘮?shù)是單調(diào)函數(shù),所以在區(qū)間端點(diǎn)取得最大、最小值,而開(kāi)區(qū)間的區(qū)間端點(diǎn)無(wú)法

取到,所以無(wú)最值.3.對(duì).若是唯一的極大值,極值點(diǎn)左側(cè)是單調(diào)遞增區(qū)間,極值點(diǎn)右側(cè)是單調(diào)遞減區(qū)間,則極大值

一定是區(qū)間內(nèi)的最大值;若是唯一的極小值,極值點(diǎn)左側(cè)是單調(diào)遞減區(qū)間,極值點(diǎn)右側(cè)是單調(diào)

遞增區(qū)間,極小值一定是區(qū)間內(nèi)的最小值,開(kāi)閉區(qū)間都一樣.有關(guān)含參函數(shù)的最大(小)值問(wèn)題,一般有兩類:一類是求含參函數(shù)的最大(小)值,對(duì)于此類問(wèn)題,由于參數(shù)的取值范圍不同可能會(huì)導(dǎo)致函數(shù)的

單調(diào)性變化,從而導(dǎo)致最大(小)值變化,所以解決此類問(wèn)題常常需要分類討論,在分類討論得

到函數(shù)的單調(diào)性和極值之后,討論極值與區(qū)間端點(diǎn)值的大小得到最值.另一類是由最大(小)值求參數(shù)的值或取值范圍,此類問(wèn)題是根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問(wèn)題的逆向

運(yùn)用,求解此類問(wèn)題的步驟:(1)求導(dǎo)數(shù)f'(x),并求極值;(2)利用單調(diào)性,將極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較,確定函數(shù)的最值,若參數(shù)的變化影響著函

數(shù)的單調(diào)性,則要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論;(3)利用最值列出關(guān)于參數(shù)的方程(組),求解即可.定點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的最值問(wèn)題關(guān)鍵能力定點(diǎn)破典例1已知函數(shù)f(x)=ax-lnx(a∈R),求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[e,e2]上的最小值.解析

f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f'(x)=a-

=

.當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)<0,f(x)在[e,e2]上單調(diào)遞減,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e2)=ae2-2.當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)=0,得x=

,則f(x)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增.①當(dāng)

≤e,即a≥

時(shí),f(x)在[e,e2]上單調(diào)遞增,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e)=ae-1;②當(dāng)e<

<e2,即

<a<

時(shí),f(x)在

上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f

=1+lna;③當(dāng)

≥e2,即0<a≤

時(shí),f(x)在[e,e2]上單調(diào)遞減,∴f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e2)=ae2-2.綜上所述,當(dāng)a≤

時(shí),f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e2)=ae2-2;當(dāng)

<a<

時(shí),f(x)在[e,e2]上的最小值為f

=1+lna;當(dāng)a≥

時(shí),f(x)在[e,e2]上的最小值為f(e)=ae-1.典例2已知f(x)=ax3-6ax2+b,是否存在實(shí)數(shù)a,b,使f(x)在[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,

求出a,b的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析

由題設(shè)知a≠0.易得f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),令f'(x)=0,得x=0或x=4(舍去).①當(dāng)a>0時(shí),x,f'(x),f(x)的變化情況如表:x-1(-1,0)0(0,2)2f'(x)

+0-

f(x)-7a+b↗b↘-16a+b由表可知,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值,也就是函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最大值,∴f(0)=3,即b=3.又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3<f(-1),∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.②當(dāng)a<0時(shí),同理可得,當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極小值,也就是函數(shù)f(x)在[-1,2]上的最小值,∴f(0)=-29,即b=-29.又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29>f(-1),∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2.綜上可得,存在實(shí)數(shù)a=2,b=3或a=-2,b=-29滿足題意.1.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大(小)值,可以處理有關(guān)函數(shù)圖象、不等式等綜合問(wèn)題,特別是

有關(guān)不等式的恒成立問(wèn)題.2.處理不等式恒成立問(wèn)題的方法(1)取主元(給定范圍內(nèi)任意取值的變量),結(jié)合參數(shù)分類,利用最大(小)值或數(shù)形結(jié)合解決有關(guān)

不等式的恒成立問(wèn)題.(2)將主元與參數(shù)分離,將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問(wèn)題來(lái)解決.在定義域內(nèi),對(duì)于任意的x,都有f(x)≥a成立,可轉(zhuǎn)化為f(x)min≥a;對(duì)于任意的x,都有f(x)≤a成立,

可轉(zhuǎn)化為f(x)max≤a.3.證明不等式問(wèn)題,可以將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大(小)值問(wèn)題,利用函數(shù)的最大(小)值加以證明.定點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)解決與函數(shù)最值有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題典例已知函數(shù)f(x)=ex-ax-a(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若?x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)設(shè)n∈N*,證明:

+

+

+…+

<

.思路點(diǎn)撥

(1)易得f'(x)=ex-a,再分a≤0和a>0兩種情況研究f(x)的單調(diào)性.(2)參變分離,轉(zhuǎn)化為a<

-1,x∈(0,2]恒成立,構(gòu)造函數(shù)g(x)=

-1,x∈(0,2],進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求g(x)的最小值.(3)由(1)知x+1≤ex,通過(guò)換元得

<

,即

<ek-n=

,利用放縮法證明不等式.解析

(1)易得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex-a.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0恒成立,函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增;②當(dāng)a>0時(shí),令f'(x)>0,得x>lna,令f'(x)<0,得x<lna,所以f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.(2)?x∈(0,2],不等式f(x)>x-a恒成立,即不等式(a+1)x<ex在x∈(0,2]上恒成立,即當(dāng)x∈(0,2]時(shí),a<

-1恒成立.令g(x)=

-1(x∈(0,2]),則g'(x)=

.令g'(x)>0,得1<x≤2,令g'(x)<0,得0<x<1,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,2]上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x=1時(shí),g(x)取得極小值,也是最小值,為e-1.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,e-1).(3)證明:當(dāng)a=1時(shí),由(1)可知對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ex-x-1≥f(0)=0,即x+1≤ex(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立).令x+1=

(k=1,2,3,…,n),則

<

,即

<ek-n=

,故

+

+

+…+

<

(e1+e2+e3+…+en)=

<

.規(guī)律總結(jié)

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明時(shí)常用的不等式:①lnx≤x-1(x>0);②

≤ln(x+1)≤x(x>-1);③ex≥1+x;④e-x≥1-x;⑤

<

(x>1);⑥

<

-

(x>0).1.實(shí)際生活中經(jīng)常遇到利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題,這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題.

導(dǎo)數(shù)是解決生活中優(yōu)化問(wèn)題的有力工具.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的步驟如下:

定點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題2.解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)列函數(shù)關(guān)系式時(shí),要注意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域.(2)一般地,可通過(guò)求函數(shù)的極值來(lái)求得函數(shù)的最值.如果函數(shù)f(x)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值

點(diǎn)或函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間上只有一個(gè)點(diǎn)使f'(x)=0,則只需根據(jù)實(shí)際意義判斷該值是最大值還是

最小值即可,不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較.典例某企業(yè)研發(fā)出一款新產(chǎn)品,計(jì)劃生產(chǎn)投入市場(chǎng).已知該產(chǎn)品的固定研發(fā)成本為180萬(wàn)元,

此外,每生產(chǎn)一臺(tái)該產(chǎn)品需另投入450元.設(shè)該企業(yè)一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x(0<x≤50)萬(wàn)臺(tái),每萬(wàn)臺(tái)

產(chǎn)品的銷售收入為I(x)萬(wàn)元,且I(x)=

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)P(x)(單位:萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:萬(wàn)臺(tái))的函數(shù)關(guān)系式;(利潤(rùn)=銷售收入-固定

研發(fā)成本-產(chǎn)品生產(chǎn)成本)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)臺(tái)時(shí),該企業(yè)的獲利最大?并求出此時(shí)的最大利潤(rùn).解析

(1)當(dāng)0<x≤2時(shí),P(x)=x[2(x-1)·ex-2+2]-(180+450x)=2x(x-1)ex-2-448x-180,當(dāng)2<x≤50時(shí),P(x)=x

-(180+450x)=440x+3050-

-180-450x=-10x-

+2870,所以P(x)=

(2)當(dāng)0<x≤2時(shí),I(x)=2(x-1)ex-2+2,令t=x-2,則t∈(-2,0],I(x)=2(x-1)ex-2+2轉(zhuǎn)化為φ(t)=2(t+1)et+2,則φ'(t)=2(t+2)et,當(dāng)t∈(-2,0]時(shí),φ'(t)>0,φ(t)在(-2,0]上單調(diào)遞增,所以φ(t)的最大值為φ(0)=4,即當(dāng)x=2時(shí),I(x)取得最大值4萬(wàn)元,此時(shí)銷售收入遠(yuǎn)小于投入,企業(yè)虧損,所以最大獲利一定在2<x≤50時(shí)取得,此時(shí)P(x)=-10x-

+2870=-

+2870≤-2

+2870=-600+2870=2270,當(dāng)且僅當(dāng)10x=

,即x=30(負(fù)值舍去)時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)P(x)取得最大值,且最大值為2270萬(wàn)元,所以當(dāng)年產(chǎn)量為30萬(wàn)臺(tái)時(shí),該企業(yè)獲利最大,最大利潤(rùn)為2270萬(wàn)元.素養(yǎng)解讀高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用的考查通常難度較大,常考題型一般有三種:不等式恒成立問(wèn)

題、不等式證明問(wèn)題、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題.這些問(wèn)題雖然形式不同,但實(shí)質(zhì)是一樣的,主要考查

函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等,利用導(dǎo)數(shù)解決此類問(wèn)題,可以把函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)或者二階導(dǎo)函

數(shù)的圖象大致描述出來(lái),利用圖象描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題,建立數(shù)和形的聯(lián)系,培養(yǎng)直觀想象的

核心素養(yǎng),這類問(wèn)題的計(jì)算量比較大,在計(jì)算時(shí)要注意運(yùn)算技巧的應(yīng)用,在運(yùn)算過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)

生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng),同學(xué)們?cè)谡n下要注意題型歸納、方法總結(jié)以及易錯(cuò)、易混淆問(wèn)題的

梳理等.素養(yǎng)

在導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)在導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)情境破例題已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2).(1)當(dāng)a=1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.典例呈現(xiàn)主編點(diǎn)評(píng)

本題考查的是函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,利用數(shù)

形結(jié)合思想進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題,畫(huà)函數(shù)圖象時(shí)需要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

的單調(diào)性,判斷圖象的大致趨勢(shì),此外,一些常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)公式要牢固掌握,這是解題的基礎(chǔ),

計(jì)算要認(rèn)真、準(zhǔn)確.解題思路

(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-(x+2),則f'(x)=ex-1,