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文檔簡介

第六節(jié)方向?qū)?shù)

與梯度工科數(shù)學分析北京理工大學第二學期方向?qū)?shù)與梯度問題的提出方向?qū)?shù)的定義梯度的概念小結(jié)實例：一塊長方形的金屬板，四個

頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，

(5,3)．在坐標原點處有一個火焰，

它使金屬板受熱．假定板上任意

一點處的溫度與該點到原點的距離

成反比．在(3,2)處有一個螞蟻，問這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？問題的實質(zhì)：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行．一、問題的提出●●●●●

討論函數(shù)在一點P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）當沿著趨于時，是否存在？記為方向?qū)?shù)最大的方向是函數(shù)值變化最驟烈的方向.證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到故有方向?qū)?shù)解解由方向?qū)?shù)的計算公式知故推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三、梯度的概念結(jié)論沿著梯度方向,函數(shù)的方向?qū)?shù)最大,即函數(shù)的變化率最大.沿著正梯度方向,函數(shù)的值增加得最快,變化率為梯度的模;沿著負梯度方向,函數(shù)的值下降得最快,變化率亦為梯度的模;沿著與梯度方向垂直的方向,函數(shù)的值變化得最慢,變化率為零.

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解由梯度計算公式得故1、方向?qū)?shù)的概念2、梯度的概念3、方向?qū)?shù)與梯度的關系（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導數(shù)的區(qū)別）（注意梯度是一個向量）四、小結(jié)Del，或稱nabla，是數(shù)學中的一個算子，特別是在向量微積分中，作為一個向量微分算子，通常用nabla符號?表示。當應用于一個定義在一維域上的函數(shù)時，它表示微積分中定義的標準導數(shù)。當應用于一個場（定義在多維域上的函數(shù)）時，del可以表示標量場的梯度（局部最陡峭的斜率）。del符號可以被解釋為偏導算子的矢量

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