高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè) 《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》期末復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練（學(xué)生版+解析版）

高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)《指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)》期末復(fù)習(xí)專項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022?江蘇省如皋中學(xué)高一期末）已知函數(shù)“到滿足/（3'）=1。4無，則〃9）=（）

A.-1B.1C.2D.0

2.（2022?安徽?安慶市教育教學(xué)研究室高一期末）已知。=但2,〃=lg3,則log365=（）

2a+2h八1一〃

A.--B.-----

l-a2a+b

-2—2?！猏-a

C.-D.------

a+b2。+2b

3.（2022?天津南開?高一期末）已知函數(shù)/（x）=ax-3（〃>0,且。#1）,/（m）=0,若（0,1）,則實(shí)數(shù)

〃的取值范圍是（）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+8)

4.（2022?浙江省杭州第九中學(xué)高一期末）牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：。=4+（4-％）/卜,

a為時(shí)間，單位分鐘，練為環(huán)境溫度，4為物體初始溫度，。為冷卻后溫度），假設(shè)一杯開水溫度a=100

環(huán)境溫度4=20℃,常數(shù)々=0.2,大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40℃（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：In2。0.7）

（）

A.9B.8C.7D.5

5.（2022?湖南常德?高一期末）已知毛，演分別是方程e*+x-2=0,lnx+x-2=0的根，則%+%=（）

A.1B.2C.72D.72+1

3

6.（2022?貴州六盤水?高一期末）在Llog3］，但100四個(gè)數(shù)中，最大的是（）

21

A-

830g39-D.IglOO

7.（2022?遼寧?高一期末）已知函數(shù)/（x）=|lg（x+l）|,若/（a）=/?（a<6）,則（）

A.(?-1)(/>-])>1B.(a-l)(^-l)=l

C.(?—1)(6—1)<1D.以上選項(xiàng)均有可能

8.（2022?遼寧?新民市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）若函數(shù)/（X）為定義在R上的奇函數(shù)，且在（0,+"）為增函數(shù),

又〃2）=0,則不等式Ing）［獷，（耳］〉。的解集為（）

A.（—2,0）50,2）B.S-2）（0,2）

C.(-2,0)(2,田)D.(—??,—2)u(2,+e)

9.（2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）已知函數(shù)〃x）=log“（8-奴）滿足0>1,若在區(qū)間［，2］上恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（4,+oo）B.1|,.C.D.（1《卜（4,+00）

10.（2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)函數(shù)Ax）是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意xeR,都有

〃l-x)=/(l+x),且當(dāng)xw[0,l]時(shí)，/(x)=2'-l,若函數(shù)g(x)=〃x)—log〃(x+2)(a>0且axl)在㈠,7)

上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

(。，/卜(9收)

A.(0,撲(7，+8)B.

(°,￡)59,+OO)

C.(0,目52)D.

11.(2022?天津南開?高一期末)三個(gè)數(shù)a=0.81、/>=log,1.41,c=2""之間的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

12.（2022?湖南?長沙一中高一期末）已知函數(shù)〃"=-丁+以-；（“—（a<1）,g（x）=lnx.若

/(x)J(x)>g(x)

在（o,+8）上有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為（)

g(x),/(x)<5(x)

C.(0,1)

2

13.（2022?福建福州?高一期末）已知函數(shù)/&）=小二“’；；；：；，若存在實(shí)數(shù)不，七,不，滿足

0<X]<x2<x3<3J@L/（Xj）=/（x2）=/（x3）,則（3+芻加”三）的取值范圍是（）

「ii]F3r

AA?匕引BD-[i'l

C.1,11D.W

2J|_82j

e-r-2x<1

14.（2022嘿龍江?大慶中學(xué)高一期末）已知函數(shù)〃x）=}1n（x_']）j>]，則函數(shù)8（*）=/[“切-2/（可+1

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7

15.（2022?廣東廣州?高一期末）已知實(shí)數(shù)。為€（1,內(nèi)），且log2a+log〃3=log*+log“2,則（）

A.a<y/b<bB.4b<a<bC.b<-ja<aD.y[a<b<a

二、多選題

16.（2022?浙江?杭州四中高一期末）已知函數(shù)〃x）=〃嗇（?>0,〃*1）,則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)圖象關(guān)于N軸對(duì)稱

B.函數(shù)的圖像關(guān)于（0,0）中心對(duì)稱

C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（0,+0上單調(diào)遞增

D.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為片

、1—r

17.（2022?浙江?杭十四中高一期末）關(guān)于函數(shù)/。）=m丁一，下列說法中正確的有（）

A.的定義域?yàn)椋ㄌ?-1）51,位）

B.y（x）為奇函數(shù)

C.〃x）在定義域上是減函數(shù)

D.對(duì)任意芯，X,6（-1,1）,都有/（X|）+/（X2）=/a]

18.（2022?廣西欽州?高一期末）某打車平臺(tái)欲對(duì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了甲、乙兩種方案供乘客選擇,

其支付費(fèi)用y（單位：元）與打車?yán)锍蘹（單位：km）的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則（）

A.當(dāng)打車?yán)锍虨?km時(shí)，乘客選擇甲方案更省錢

B.當(dāng)打車?yán)锍虨?0km時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可

C.打車?yán)锍淘?km以上時(shí)，每千米增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多

D.甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，打車?yán)锍檀笥?km時(shí)每增加1km費(fèi)用增加0.7元

19.（2022?廣東?高一期末）已知函數(shù)〃x）=，、'八，若關(guān)于*的方程〃x）=MAwR）有四個(gè)不同

|ln%—2|,x>0

的實(shí)數(shù)解，它們從小到大依次記為士,々,工3，匕，則（）

A.0<A:<lB.xt+x2=-1

C.e<x,<e2D.0<<e4

20.（2022?廣東惠州?高一期末）若10。=4,*25,則（）

A.a+h=2B.b-a=l

C.">81g?2D.b-a>\g6

三、填空題

21.（2022?山西?長治市第四中學(xué)校高一期末）函數(shù)f（x）=4+log,,（x-1）（°>0且*1）的圖象恒過定點(diǎn)

22.（2022?云南德宏?高一期末）求值：（2，-哨，=.

23.（2022?天津南開?高一期末）函數(shù)/（x）=log2（2-/）的單調(diào)減區(qū)間是.

24.（2022?浙江省杭州第二中學(xué)高一期末）函數(shù)/（x）=lnr+x-6的零點(diǎn)為e（〃,〃+l）,〃eZ,則〃的值為

4

25.(2022?上海長寧?高一期末)已知lg2=a,lg3=6,用a,表示k>g/5=.

26.(2022?江蘇省如皋中學(xué)高一期末)設(shè)k為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(力=2,+--%在［0,1］上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍為.

27.(2022?湖北黃石?高一期末)若*3,8"=9,則.

a

28.(2022?江西橫峰中學(xué)高一期末)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且〃x+4)=〃x),當(dāng)x?0,2)時(shí),

/(x)=2\則〃-9)=.

29.(2022?浙江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)已知/(x)是在定義域(0,y)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意xe(O,+a))都

滿足：/(/(x)-21og^)=4,則滿足不等式/(x)-2<log2(3x)的x的取值范圍是.

30.(2022?湖北咸寧?高一期末)已知函數(shù)/(x)=:八恰有2個(gè)零點(diǎn)，貝匹=___________.

ar+x+a,x<0

四、解答題

31.(2022?天津南開?高一期末)計(jì)算

log72

⑵log3V27+lgl25+lg8+7

32.(2022?貴州六盤水?高一期末)已知函數(shù)/(；0=訛'-2"+1(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

e-1

(1)討論/*)的單調(diào)性；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a使得/(*)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)a,若不存在，請(qǐng)說明理由.

33.(2022?福建省福州高級(jí)中學(xué)高一期末)已知函數(shù)/(x)=4'+h2*+l,g(x)=4*+2,+1.

(1)若對(duì)于任意的xeR,f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(2)若〃")=零，且〃⑴的最小值為-2,求實(shí)數(shù)A的值.

g(x)

6

34.(2022?浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高一期末)為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴

灑1個(gè)單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度M單位：毫克/立方米)隨著時(shí)間N單位：天)變化的關(guān)系如下：當(dāng)

時(shí)，丫=獸-1；當(dāng)4VxM10時(shí)，》=5-4乂若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的凈化劑濃度為每次

8-x2

投放的凈化劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和.由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時(shí)，

它才能起到凈化空氣的作用.

(1)若一次噴灑4個(gè)單位的凈化劑，則凈化時(shí)間可達(dá)幾天？

(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的凈化劑，6天后再噴灑“(14”44)個(gè)單位的凈化劑，要使接下來的4天中能夠持

續(xù)有效凈化，試求〃的最小值.(精確到0」，參考數(shù)據(jù)：夜取L4)

35.(2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)高一期末)已知實(shí)數(shù)。大于0,定義域?yàn)镽的函數(shù)&)=匯+9+1是偶函數(shù).

a3

(1)求實(shí)數(shù)。的值并判斷并證明函數(shù)/(X)在(0,+8)上的單調(diào)性；

(2)對(duì)任意的feR,不等式〃2一1?〃一2,”)恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

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一、單選題

1.(2022?江蘇省如皋中學(xué)高一期末)已知函數(shù)滿足/(3,)=lo&x,則〃9)=()

A.-1B.1C.2D.0

【答案】B

【分析】令3*=9,解得x=2,再把x=2代入原式即可求解

【詳解】令3*=9,解得x=2,

所以〃9)=1鳴2=1,

故選：B

2.(2022?安徽?安慶市教育教學(xué)研究室高一期末)己知a=lg2,0=lg3,則1%65=()

2a+2hl-a

AB.

1-a2a+b

2-2〃\—a

cD.

a+b2a+2b

【答案】D

【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?lg2,6=lg3,所以

log,(5==―1--2_=?

361g362(lg2+lg3)2a+2b-

故選：D.

3.(2022?天津南開?高一期末)已知函數(shù)/'(x)-ax-3(?>0,月一時(shí)1)，f(xo)=0,若(0,1),則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+?>)

【答案】D

【分析】利用零點(diǎn)存在定理求解.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ax-3(6/>0,且存1)單調(diào)，

所以函數(shù)在區(qū)間(0,1)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?(xo)=0,且&G(0,1),

8

所以=(1-3)?(a-3)<0,

解得fl>3,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3,+8),

故選：D

4.(2022?浙江省杭州第九中學(xué)高一期末)牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：6=4+(a-q)e-k,

a為時(shí)間，單位分鐘，4為環(huán)境溫度，仇為物體初始溫度，。為冷卻后溫度)，假設(shè)一杯開水溫度4=100。，

環(huán)境溫度4=20℃,常數(shù)左=0.2,大約經(jīng)過多少分鐘水溫降為40C(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln2”0.7)

()

A.9B.8C.7D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)冷卻模型公式可以將數(shù)據(jù)代入直接就算即可

【詳解】由題意可知40=20+(l(X)-2())e<"

所以-02=In2

4

所以，=101112^7

故選：C

5.(2022?湖南常德?高一期末)已知為，演分別是方程e*+x-2=0,lnx+x-2=0的根，則為+々=()

A.1B.2C.72D.72+1

【答案】B

【分析】由題意可得4,巧分別是函數(shù)y=e，，y=lnx的圖象與直線y=-x+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于y=e，的

圖象與y=lnx圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，而直線y=-x+2也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以兩交點(diǎn)的中點(diǎn)就是直

線y=-x+2與y=x的交點(diǎn)，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出%+Z的值

【詳解】由題意可得々是函數(shù)y=e，的圖象與直線y=-x+2交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，巧是函數(shù)y=lnx圖象與直線

y=-x+2交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，

因?yàn)閥=e，的圖象與y=lnx圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，而直線y=-x+2也關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

所以線段的中點(diǎn)就是直線y=-X+2與y=X的交點(diǎn),

由仁二，得匕;即線段的的中點(diǎn)為(口),

所以行生.=1,得占+&=2,

故選：B

6.(2022?貴州六盤水?高一期末)在/,(6)"，log31,IglOO四個(gè)數(shù)中，最大的是()

A.8|B.借)'C.log31D.IglOO

【答案】A

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求值比較大小即可.

log3^=-log39=-2,lgl00=2,

所以四個(gè)數(shù)中最大的是「，

故選：A.

7.(2022?遼寧?高一期末)已知函數(shù)/(x)=|lg(x+l)|,若=則()

A.(a-1)(6-1)>1B.1)=1

C.D.以上選項(xiàng)均有可能

【答案】C

【分析】作出函數(shù)/(x)=|g(x+l)|的圖象結(jié)合=可得到。力的取值范圍以及“力之間的關(guān)系

式，整理變形即可判斷出答案.

【詳解】作出函數(shù)〃x)=|lg(x+l)|的圖象,如圖：

10

由題意可知，Tg(a+l)=lg0+l),且由圖象可知，出?<0,

所以即lg(a+l)+lg(。+l)=lg(a+l)(6+l)=0,

所以(a+l)(b+l)=l,即o6+a+6=0,a+b--ab)

EP^a—\)(b—\)=ab—a—b+\=\+2ab<\,

故選：C

8.(2022?遼寧?新民市第一高級(jí)中學(xué)高一期末)若函數(shù)/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且在(0,+8)為增函數(shù)，

又/1(2)=0,則不等式叱>[")]>0的解集為()

A.(-2,0)o(0,2)B.(^>,-2)_(0,2)

C.(—2,0，(2,+oo)D.(―co,—2)U(2,+8)

【答案】A

【分析】分析出函數(shù)/(%)在(-8,0)上的單調(diào)性，可得出/(-2)=-42)=0,分x<0、x>0兩種情況解原

不等式，即可得出原不等式的解集.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，(x)為定義在R卜一的奇函數(shù)，且在(0,+。)為增函數(shù)，

則該函數(shù)在(-8,0)上也為增函數(shù)，且〃-2)=-〃2)=0,

由可得由x)<0.

當(dāng)x<0時(shí),則f(x)>0=〃_2),解得—2<x<0；

當(dāng)x>0時(shí)，則〃x)<0=〃2),解得0<x<2.

綜上所述，不等式In([?[")]>0的解集為(-2,0)u(O,2).

故選：A.

9.(2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)高一期末)已知函數(shù)〃x)=log.(8-奴)滿足0>1,若/(x)>l在區(qū)間[L2]上恒

成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(4,+oo)B.件，C.D.(,)54+00)

【答案】C

【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，依題意/(2)>1恒成立，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

【詳解】解：因?yàn)閒(x)=log〃(8-or)且又y=8-公單調(diào)遞減，y=lo瓦X在定義域上單調(diào)遞增，

所以〃力=108“(8-辦)在定義域上單調(diào)遞減，

因?yàn)?(x)>1在區(qū)間[L2]上恒成立，所以/(2)=logfl(8-2?)>1=log,,a恒成立，

所以｛,,解得l<"；,1,-；

[a>l3V2>)

故選：C

10.(2022?浙江?杭州高級(jí)中學(xué)高一期末)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意xeR,都有

〃l—x)=〃l+x),且當(dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=2T,若函數(shù)g(x)=〃x)-log.(x+2)(a>0且中1)在(-1,7)

上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.3)57,+8)B.(0,力(9,+8)

C.(0,撲(7,+8)D./卜(9,+8)

【答案】c

【分析】分析可知，函數(shù)了⑺的周期為4,作出函數(shù)的圖像，依題意可得數(shù)y=/(x)與y=iog,,(x+2)的

圖像在(-1,7)上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，然后分及0<〃<1討論即可.

【詳解】解：函數(shù)/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe[o,l]時(shí)，f(x)=2，-l,

.,.當(dāng)xe[-1,0]時(shí)，—xe[0,1],所以/*)=-/(-*)=-2''+1,

即當(dāng)xe[-l,0]時(shí)/(x)=-2-，+I,

又對(duì)任意xeR,都有H1-X)=>(1+x),則〃x)關(guān)于x=l對(duì)稱，fi/(-x)=/(2+x)=-/(%),

.-.f(x)=f(x+4),即函數(shù)/(x)的周期為4,

又由函數(shù)g(x)=f(X)-10g“(x+2)(a>0且aW1)在(T,7)上恰有4個(gè)不同的零點(diǎn)，

得函數(shù)y=/(幻與y=bg“(x+2)的圖像在(T7)上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，又61)=〃5)=1

〃T)=〃3)=f⑺=-1,

12

當(dāng)。>1時(shí)，由圖可得1084(5+2)<1=108",解得a>7；

故選：C.

11.（2022?天津南開?高一期末）三個(gè)數(shù)。=0.8代=log,1.41,c=2網(wǎng)之間的大小關(guān)系為()

A.b<a<cB.a<b<c

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及臨界值;

,1,求解即可.

【詳解】由題意a=0.8f>0.82=0.64>0.5，up1<a<1,

2

b=Iog21.41<log2>/2=i,即0<6<一,

22

C=20-31>2°=1.

綜上：c>a>b

故選：A

12.(2022?湖南?長沙一中高一期末)已知函數(shù)(a<l),g(x)=lnx.若

"(x)J(x)Mg(x)在(O,+8)上有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為()

C.(0,1)

【答案】A

【分析】分x=l，x>l，0<x<l討論可得，可得1為旗x)的一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)〃x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn),

然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.

【詳解】①當(dāng)％=1時(shí)，因?yàn)間(l)=0,所以1為g(x)一個(gè)零點(diǎn)，

X/(l)=?-l-l(a-l)2,因?yàn)閍<l,所以

所以Ml)=g(l)=。，

所以1為〃(力的一個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)x>l時(shí)，g(x)>0,/?(%)>g(x)>0,

所以妝X)在(1,4W)上無零點(diǎn).

③當(dāng)0<*<1時(shí)，g(x)<0,g(尤)在(0,1)上無零點(diǎn),

所以Mx).在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是〃力在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，

11

因?yàn)椤?)=_工(所1)9一<0，/(l)=a-l--(?-l)92<0.

函數(shù)f(x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)人(另在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn),

所以1>0,0<^<1,又a<l,

即g<a<l時(shí)，/(x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn)；

綜上，a的取值范圍為加.

故選：A.

14

13.（2022?福建福州?高一期末）已知函數(shù)二”’；；；：；，若存在實(shí)數(shù)知七，不，滿足

0<Xj<x2<x3<3K/(X1)=f(x2)=f(x3),則a+wM/G)的取值范圍是()

11

A.-f-

42.

53

C.-,1D.-t-

282

【答案】B

【分析】分段函數(shù)及根的個(gè)數(shù)問題采用圖象輔助解題是常用手段，通過畫出函數(shù)圖象，得到％+/=2,得

1-占=（3小，則所求式子即關(guān)于七的函數(shù)求值域問題，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求值域的方法求出值域即可.

【詳解】分別畫出y=|x-l|與y='的圖象，如圖所示

所以X+%2=2,1-Xj=X2-1=(g),得寸|出）夕I

則（%+%2）%，（玉）=21<‘?出嘰

令f=(；)，得fw[J

又），=2（1-"=-2/+力，對(duì)稱軸為『=所以丁=-2入2,在此；三上單調(diào)遞增，由于則V的取值范圍為

31-

8-2-

--

已一工_2x<]

14.(2022?黑龍江?大慶中學(xué)高一期末)已知函數(shù)則函數(shù)8(“)=/[/(切一2〃刈+1

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【詳解】令r=/(x),g(x)=0,則/⑺—2f+l=0,即〃/)=2f—1,

分別作出函數(shù)y=f(t)和直線y=2t-l的圖象，如圖所示，

r

由圖象可得有兩個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為*

則4=0,1<Z2<2,

對(duì)于f=〃x),分別作出函數(shù)y=〃x)和直線y=，2的圖象,如圖所示,

-2-1W!2345t

-2-

由圖象可得，

當(dāng)〃x)=%=0時(shí)，即方程〃x)=O有兩個(gè)不相等的根，

16

當(dāng)L=/(*)時(shí)，函數(shù)y=l(x)和直線有三個(gè)交點(diǎn),

即方程G=/(可有三個(gè)不相等的根，

綜上可得g(x)=o的實(shí)根個(gè)數(shù)為5,

即函數(shù)g(x)=/[/(切一2〃x)+l的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5.

故選：B.

15.(2022?廣東廣州?高一期末)已知實(shí)數(shù)。力?1,內(nèi))，JLlog2a+IogA3=log,/?+log,,2,則()

A.a<>fb<bB.4b<a<bC.h<4a<aD.y[a<b<a

【答案】B

【詳解】由log2a+log,,3=log2Z>+log?2，變形可知log2?-log?2<log2b_10gzi2,

利用換底公式等價(jià)變形，得log?a--<log2/7-丁二，

log,alog,/?

由函數(shù)/(x)=x-J在(0,+s)上單調(diào)遞增知，log2a〈log?》，即排除C,D；

其次，因?yàn)閘og2b>log3b,得log?〃+Iog〃3>108?/?+log.2,g|Jlog2a-logo2>log3b-log43,

同樣利用/(x)=x-J的單調(diào)性知，log2a>log.",

又因?yàn)镮og3h=log6〃>log2折，得log?a>log?〃，即a>揚(yáng)，所以揚(yáng)

故選：B.

二、多選題

16.(2022?浙江?杭州四中高一期末)已知函數(shù)m(a>0,awl),則下列說法正確的是()

A.函數(shù)圖象關(guān)于V軸對(duì)稱

B.函數(shù)的圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱

C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,一)上單調(diào)遞增

D.當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)有最大值，且最大值為不

【答案】AD

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可判斷A,B,山復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C,D.

【詳解】/同=’?的定義域?yàn)椋」?。｝，?dāng)戶0時(shí)，則/(_加。浮故/㈤是偶函數(shù)，因此

圖象關(guān)于丫軸對(duì)稱，故A正確，B錯(cuò)誤,

當(dāng)1>0時(shí)?，〃河=4岸=々后，令〃=%+:,則/（〃）=〃"，

當(dāng)。>1時(shí)，/（“）=優(yōu)單調(diào)遞增，〃=4+，在Ovxvl上單調(diào)遞減，在x>l上單調(diào)遞增，山復(fù)合函數(shù)的單調(diào)

X

S+]I

性可知:〃x）=aT=a-在0<工<1上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，

當(dāng)0<。<1時(shí)，當(dāng)x>0時(shí)，

由于〃“）=a”單調(diào)遞減，〃=在0<x<l上單調(diào)遞減，在x>l上單調(diào)遞增，故〃力=0?=在0<x<l

上單調(diào)遞增，在x>l上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=l時(shí)，f（x）取最大值，且最大值為"1）=片，

當(dāng)工<0時(shí);山丁/⑴是偶函數(shù)，故最大值為/（一1）=/,故D正確，

故選：AD

17.（2022?浙江?杭十四中高一期末）關(guān)于函數(shù)f*）=lnF，下列說法中正確的有（）

A.“X）的定義域?yàn)椋?,-1）51,用）

B./（X）為奇函數(shù)

C./（X）在定義域上是減函數(shù)

D.對(duì)任意為，x,e（-l,l）,都有+]

\1+XlX2）

【答案】BCD

【分析】由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性等性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷

t詳解】對(duì)于A,由￡>0得故〃x）的定義域?yàn)椋═D,故A錯(cuò)誤，

1_1_V

對(duì)于B,/（X）的定義域?yàn)椋═D,f（-x）=\n--=-/?,則/（X）為奇函數(shù),故B正確，

對(duì)于C,烹=-1+￡，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f（x）在（-1,1）上是減函數(shù)，故C正確，

對(duì)于D,任意玉，^€（-1,1）,芒已《（一I/），

]M+丁2

〃6"々）=端怨：當(dāng),產(chǎn)?|=ln（：：'：）=一[尸產(chǎn)）,故D正確，

（1+石）（1+工2）11+%元2）|?Xl+X2（1+無]）（1+工2）

1+石元2

故選：BCD

18

18.（2022?廣西欽州?高一期末）某打車平臺(tái)欲對(duì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了甲、乙兩種方案供乘客選擇,

其支付費(fèi)用y（單位：元）與打車?yán)锍蘹（單位：km）的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則（）

A.當(dāng)打車?yán)锍虨?km時(shí)?，乘客選擇甲方案更省錢

B.當(dāng)打車?yán)锍虨?0km時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可

C.打車?yán)锍淘?km以上時(shí)，每千米增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多

D.甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，打車?yán)锍檀笥?km時(shí)每增加1km費(fèi)用增加0.7元

【答案】ABC

【分析】根據(jù)圖象一一判斷即可.

【詳解.】解：時(shí)于A,當(dāng)3cx<10時(shí)，甲對(duì)應(yīng)的函數(shù)值小于乙對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故當(dāng)打車?yán)锍虨?km時(shí)，乘

客選擇甲方案更省錢，故A正確；

對(duì)于B,當(dāng)打車?yán)锍虨?0km時(shí)，甲、乙方案的費(fèi)用均為12元，故乘客選擇甲、乙方案均可，故B正確；

對(duì)于C,打車3km以上時(shí)，甲方案每千米增加的費(fèi)用為常-=1（元），乙方案每千米增加的費(fèi)用為—=9

（元），故每千米增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多，故C正確；

對(duì)于D,由圖可知，甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，3km以上時(shí)，甲方案每千米增加的費(fèi)用為1（元），

故D錯(cuò)誤.

故選:ABC.

、x2+2x+l,x<0/、/、

19.（2022?廣東?高一期末）已知函數(shù)/z（Xx）=%門-2|x>0，若關(guān)于的方程"可=左小eR）有四個(gè)不同

的實(shí)數(shù)解，它們從小到大依次記為西，々，七，王，則（）

A.0<A:<lB.xt+x2=-l

24

C.e<x3<eD,0<xlx,x,x4<e

【答案】CD

【詳解】關(guān)于x的方程f（x）=MA：€R）有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于外力與>=上有四個(gè)不同交點(diǎn)，

在平面直角坐標(biāo)系中，作出了（X）與y=G如下圖所示，

\儂

…\___________-----------

由圖形可知：OvZvl,A錯(cuò)誤；

關(guān)于工二一1對(duì)稱，，王+工2=-2,B錯(cuò)誤；

2

當(dāng)0cxV，時(shí)，令〃x）=l,解得：x=e,.*.e<x3<e,C正確；

2

|ln七一2]二|111%—2],x3<e<x4,/.2-Inx3=Inx4-2,

4

/.Inx3+Inx4=Inx3x4=4,x3x4=e,

X|

x,<x2<0,x,x2=（-x,）?（-x2）<f"=乂"：/）=1,又MW〉。，

I2JI2）

0<冗/213元4<5,D正確.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€(gè)數(shù)

問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性來依次進(jìn)行求解.

20

20.（2022?廣東惠州?高一期末）若10"=4,10〃=25,則（）

A.a+b=2B.b-a=l

C.">81g?2D.b-a>\g6

【答案】ACD

【詳解】由題設(shè)，10"+〃=100，即a+%=2,A正確；

252524

即b-〃=lg—>lgT=lg6,B錯(cuò)誤，D正確；

444

由a=21g2,b=21g5,則必=41g21g5>41g21g4=8歐2,C正確;

故選：ACD

三、填空題

21.（2022?山西?長治市第四中學(xué)校高一期末）函數(shù)〃x）=4+log“（x-l）（a>0且"1）的圖象恒過定點(diǎn)

【答案】（2,4）

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)/■（x）=4+log“（x-l）（a>0且a#l）,

令x-l=l,解得x=2,所以f（2）=4+log“l(fā)=4,即函數(shù)恒過點(diǎn)（2,4）；

故答案為:（2,4）

22.（2022?云南德宏?高一期末）求值：（2^-）2-log,^-=.

9

【答案】

2

【詳解】（2暴-陶'=[（|）]^-log33Y+3=|,

故答案為：|9

23.（2022?天津南開?高一期末）函數(shù)f（x）=log2（2-x2）的單調(diào)減區(qū)間是.

【答案】（0，x/2）

【詳解】解：令￡=2-/>0,

解得-應(yīng)<x<五,

又f在（0,月上遞減,>=log2f在上（0,正）遞增，

所以函數(shù)f（x）=log2（2-1）的單調(diào)減區(qū)間是（0,夜），

24.（2022?浙江省杭州第二中學(xué)高一期末）函數(shù)"x）=lnx+x-6的零點(diǎn)+,貝M的值為

【答案】4

【詳解】函數(shù)y=lnx,（x>0）,y=x-6都是單調(diào)遞增函數(shù),

故/（x）=hu+x-6,x>0是單調(diào)遞增函數(shù)，

X/（4）=ln4-2<lne2-2=0,/（5）=ln5-l>0,

故〃x）=lnx+x-6,x>0的零點(diǎn)在x°w（4,5）,

故〃=4,

故答案為：4

25.（2022?上海長寧?高一期末）已知lg2=a,lg3="用。，匕表示log/5=

b-a+T

【答案】

2b+a

【詳解】由題意,些=星吧=魴±迫=3

18lgl8Ig2+21g3Ig2+21g32b+a

b-a+l

故答案為:

2b+a

26.（2022?江蘇省如皋中學(xué)高一期末）設(shè)女為實(shí)數(shù)，函數(shù)"x）=2，+/-k在［0,1］上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值

范圍為_________

【答案】［L3］

【分析】由零點(diǎn)的存在性定理求解即可

【詳解】因?yàn)?（同=2，+f-%在［0』單調(diào)遞增，且有零點(diǎn),

/（0）=l-A:<0

所以《解得1443,

/（l）=2+l-A:>0

故答案為：［1,3］

27.（2022?湖北黃石?高一期末）若*3,8〃=9,貝/=

a

【答案】I2

【分析】先山八3,8%=9求出。力，即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?〃=9，

22

2

2

所以8=logK9=log233=-log23,

又Z=3,

所以4=10g23,

所以"迪

alog233

故答案為：g

28.(2022?江西橫峰中學(xué)高一期末)已知是定義在R上的奇函數(shù)，且〃x+4)=〃x),當(dāng)xe(0,2)時(shí)，

/(%)=2\則/(-9)=.

【答案】-2

【詳解】解:因?yàn)椤▁+4)=〃x),

所以函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

又因f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(一9)=一〃9)=一〃1)=-2.

故答案為：—2-

29.(2022淅江大學(xué)附屬中學(xué)高一期末)已知〃x)是在定義域(0,+。)上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意x?0,M)都

滿足：/(/(x)-21og2x)=4,則滿足不等式/(x)-2<log2(3x)的x的取值范圍是.

【答案】(0,3)

【分析】由換元法求出f(x)的解析式，再解原不等式

【詳解】由題意得“x)-21og2x為正常數(shù)，令/(x)—21og2X=r,f>0,pil]/(x)=2log2x+r,

K/(0=21og2r+r=4,解得f=2,

fx>0

原不等式為21og/Vlog)(3x),可得｛,,解得0<x<3,

\x-<3x

故答案為：(0,3)

30.（2022?湖北咸寧?高一期末）已知函數(shù)〃力=八恰有2個(gè)零點(diǎn)，貝心=__________.

ax~+x+a,x<0

【答案】y##0.5

【詳解】當(dāng)xNO時(shí)，令〃x）=e'-1=0,解得x=0,故在［0,+8）上恰有1個(gè)零點(diǎn)，即方程潑+*+“=0

有1個(gè)負(fù)根.

當(dāng).=0時(shí)，解得了=0,顯然不滿足題意；當(dāng)先0時(shí)，因?yàn)榉匠碳?x+a=0有1個(gè)負(fù)根，所以A=1-4/NO.

當(dāng)△=1一4/=0，即a=±《時(shí)，其中當(dāng)a=：時(shí)，!x2+x+《=o,解得戶一1,符合題意；當(dāng)。:-1時(shí)-，

22222

-ix2+x-l=0,解得x=l,不符合題意；

22

當(dāng)△=1一4“2>0時(shí)，設(shè)方程辦2+》+4=0有2個(gè)根X”々，因?yàn)闉椤?1>0,所以X1,々同號(hào)，

即方程以2+x+a=0有2個(gè)負(fù)根或2個(gè)正根，不符合題意.綜上，a=^.

故答案為：0.5.

四、解答題

31.（2022?天津南開?高一期末）計(jì)算

2

(2)log3>/27+lgl25+lg8+7喻

【答案】⑴\⑵6.5

1O

（2）

2

log3^+lgl25+lg8+7^=iog33^+lg（125x8）+2=1+>gl000+2=1+3+2=6.5

32.（2022?貴州六盤水?高一期末）已知函數(shù)/CO—'""十】（e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

e-1

（1）討論/（*）的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)。使得/"）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)”，若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）答案詳見解析

（2）存在，且。=1.

24

【詳解】(1)e，-lwO,x#O,所以〃x)的定義域?yàn)椋鹸|xw。｝,

-2a+1q(e*—l)—a+l\—ci

f(x)=—----------------=a+-------

e'-le'-lel

根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知:

當(dāng)。=1時(shí)，〃x)=l(x*O),沒有單調(diào)性.

當(dāng)4<1,1一4>0時(shí)，“