勾股定理八大模型（知識串講+熱考題型）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點大串講（人教版）（解析版）

專題03勾股定理八大模型

轉(zhuǎn)分考點速覽

一、直角三角形銳角平分線

二、圖形翻折問題

三、趙爽弦圖

四、風吹樹折

五、風吹荷花模型

六、378和578模型

七、螞蟻爬行

八、重美四邊形

知識梳理

一、直角三角形銳角平分線

運用句股定理計算是中考必考知識點，如何巧妙地構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.有些難題，同學(xué)們找到了直角三

角形，但是還是不會求解，關(guān)鍵一點就是忽略了設(shè)未知數(shù)列方程來求解.

二、圖形翻折問題

矩形的折疊一定要注意折疊前后的邊角對應(yīng)關(guān)系，計算時聯(lián)想到利用勾股定理對新形成的直角三角形進行

求解.

三、趙爽弦圖

“趙爽弦圖”的面積關(guān)系是中考常考的一種題型，一般出現(xiàn)在選擇題、填空題中，如果能夠記住面積之間

的關(guān)系，那么做此類題時一定非常高效.

四、風吹樹折

風吹樹折類題就數(shù)學(xué)知識本身其實很簡單，考查的就是句股定理，最多設(shè)個未知數(shù)列方程就能求解，但是

對很多同學(xué)來說，它的難點在于語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型.

五、風吹荷花模型

風吹荷花類題和風吹樹折類題一樣，數(shù)學(xué)知識本身其實很簡單，考查的就是句股定理，正確設(shè)出未知數(shù)列

方程就能求解，但是對很多同學(xué)來說，它的難點也是語言文字如何轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型。

六、378和578模型

利用勾股定理解三角形是中考中比較難的一類題目，如果對378,578模型比較熟悉，知道其中一個角是60”,

那么對于求面積和求角度類的題目就可以直接秒殺了.

七、螞蟻爬行

螞蟻爬行的最值問題是非常經(jīng)典的一類最值問題，我們?nèi)绻軌蛴涀∽钪档奶攸c，那么解題將會更高效.

八、垂美四邊形

對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形

0

勾股定理是計算的工具，識別環(huán)境對同學(xué)們來說至關(guān)重要如果能夠了解模型背后的結(jié)論，做題可以節(jié)省大

量的時間。等腰直角三角形的手拉手全等模型容易出現(xiàn)垂美四邊形

考點精講

一、直角三角形銳角平分線

一.選擇題（共1小題）

1.（2021春?德保縣期中）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,AC=12cm,BC=9cm,將斜邊

AB翻折使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為A￡>,則CO的長為（）

F.

A.3cmB.4cmC.5cmD.VrZcn

【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AE=AB,已知AC的長，可將CE

的長求出，再根據(jù)勾股定理列方程求解，即可得到8的長.

【解答】解：VZC=900,AC=12cm,BC=9cm,

A8=>/122+92=5

由題意得，AE=AB=\5(cm),

：.CE=AE-AC=\5-12=3(cm).

設(shè)CD=x,則BD=9-x=DE,

在RtZ\C￡>E中，根據(jù)勾股定理得

CD1+CE1=DE1,

BP?+32=(9-x)2,

解得x=4,

即CD長為4cm.

故選:B.

【點評】本題考查的是翻折變換，理解翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，翻折后的圖形與原圖形是全等的.

填空題(共2小題)

2.(2021秋?鹿城區(qū)校級期中)△ABC中，AB=AC=5,BC=8,3。為AC邊的高線，則80的長為—建

【分析】過4作AEL8c于點E,利用勾股定理得出AE,進而利用三角形的面積公式解答即可.

【解答】解：過A作AE_L8C于點E,

：.BE=EC=^,

AA￡=VAB2-BE2=VB2-42=3'

..11

?S^ABC而BOAE=|AOBD'

???1^X8X3=y1X5XBD>

5

故答案為：24.

5

【點評】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是利用勾股定理得出AE.

3.（2021秋?陵城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，ZC=90°,OE_LAB于。，交AC于點E,若BC=8D,

AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,則△ADE的周長是8cm.

【分析】連接2E,利用HL證明RtZ\8CE與RtZXBDE全等，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：連接BE,

VZC=90°,￡>E_LAB于。,

:.NC=NBDE=90°,

在RtABCE與RtABDfi中,

[BE=BE,

IBC=BD'

/.RtABCf^RtABDE(HL),

：.DE=CE,

"：AB=\Qcm,BC=8cm,AC=6cm,

：./\ADE的周長=￡>E+AE+AO=CE+AE+AB-BD=AC+AB-BC=6+10-8=8(.cm),

故答案為:8aM.

【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)HL得出RtZsBCE與RtaBOE全等解答.

三.解答題（共5小題）

4.（2022春?錦江區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，NC=90°,ZBAC=2ZB,。為8c上一點，過點。

作。E_LA8,垂足為E,連接AO,若CD=OE=1,求48的長.

【分析】由“HL”可證RtZ\AZ）CgRt/VlDE,可得NC4￡>=工/BAC=30°,由直角三角形的

2

性質(zhì)可求解.

【解答】解：在△ABC中，ZC=90°,NBAC=2NB,

，/84C=60°.

在RtAADC和RtAADE中，

[AD=AD

|CD=DE，

ARtA4DC^RtA^DE(HL),

：.ZCAD=ZBAD=XZBAC=3OC',

2

在△AOE中，ZAEZ)=90°,Z￡A￡>=30°,

：.AD=2DE=2,

；在△AOC中，ZC=90°,

.??AC=、AD2_CD2='4-1=V3>

在△ABC中，ZC=90°,ZB=90°-NBAC=30°,

：.AB=2AC=2-/3.

【點評】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的

一半.也考查了勾股定理，證明NCAQ=NBAO=JL/BAC=30°是解題的關(guān)鍵.

2

5.（2022秋?膠州市校級月考）如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,AB=7cm,AC=25cm點P從點A出

發(fā)沿A8方向以1cm/s的速度向終點8運動，點。從點8出發(fā)沿BC方向以6cs/s的速度向終點C運動,

P,。兩點同時出發(fā)，設(shè)點P的運動時間為/秒.

(1)求8c的長；

(2)當f=2時，求P,Q兩點之間的距離；

(3)當AP=CQ時，求f的值？

【分析】(1)在直角△4BC中，根據(jù)勾股定理來求8c的長度；

(2)在直角△3PQ中，根據(jù)勾股定理來求PQ的長度；

(3)由路程=時間X速度求出AP,BQ,再根據(jù)等量關(guān)系：AP=C。列出方程求解即可.

【解答】解：(1)在RtZXABC中，ZB=90°,AB=7an,AC=25cm,

BC=VAC2-AB2=24cm.

(2)如圖，連接尸。，

BP=1-2=5,

BQ=6X2=12,

在直角△BPQ中，由勾股定理得到：^C=VBP2+BQ2=I3(。①)；

(3)設(shè)f秒后，AP=CQ.則

t=24-63

解得/=24.

7

答：P、。兩點運動絲秒，AP=CQ.

7

【點評】本題考查了勾股定理和一元一次方程的定義.解題時，需要熟悉路程=時間X速度，以及變形

后的公式.

6.(2021春?陽谷縣月考)如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6a〃，BC=Scm,現(xiàn)將直角邊AC

沿直線4D折疊，使點C落在斜邊4B上的點E處，試求C。的長.

【分析】設(shè)CD=xcm,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CD=DE=xcm,AC=AE=6,BD=(8-JC)cm,在RtABDE

中，根據(jù)勾股定理進行求解即可得出答案.

【解答】解：設(shè)C￡>=XC7",

AC=6cm,BC=8cm,

**?AB=1Ocm?

根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，

CD=DE=xcm,AC=AE=6f

:?BD=(8-x)an,BE=\Qctn-6cm=4cm,

在中，

B￡2+DE2=B￡>2,

42+/=(8-x)2,

解得：x=3(cm),

：.CD的長為3cm.

【點評】本題主要考查了翻折的性質(zhì)及勾股定理，熟練應(yīng)用翻折的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵.

7.(2021春?蒙陰縣期中)小宇手里有一張直角三角形紙片A8C,他無意中將直角邊AC折疊了一下，恰好

使AC落在斜邊AB上，且C點與E點重合，小宇經(jīng)過測量得知兩直角邊AC=6s,BC=8s,他想用

所學(xué)知識求出C。的長，你能幫他嗎？

【分析】由于是折疊，所以折疊前后圖形形狀不變，可得△AC。絲△AED,再利用勾股定理列方程即可

求出CD的長.

【解答】解：如圖，

「△ABC是直角三角形，AC=6cm,8c=8c/n,

*'-AB=VAC2+BC2=V62+82=IOCM,

設(shè)CD=xcm,

???/\ADE由△AOC反折而成，

CD=DE=xcm,

:.BD=(8-x)cm,BE—AB-AE=10-6=4cm,

在中，

BD1=DE1+BE1,即(8-x)2=?+42,

解得x=3Cem),即C￡>=3CH.

【點評】此題將勾股定理和折疊的性質(zhì)相結(jié)合，既考查了折疊不變性，又考查了全等三角形的性質(zhì)，是

一道好題.

8.（2020秋?臨漳縣期中）如圖，RtZ\ABC中，/B=90°,48=3,BC=4,將△ABC折疊，使點B恰好

落在斜邊AC上，與點B'重合，為折痕，求。夕的長.

【分析】根據(jù)勾股定理得到AC=\AB2+BC2=5,由折疊的性質(zhì)得到AB'=AB=3,DB'=BD,ZAB

'D=4CB'￡）=90°,設(shè)8'D=BD=x,則CD=4-x,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：在RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4,

???AC=\AB2+BC2=5,

?.?將aABC折疊，使點B恰好落在斜邊AC上，與點B'重合，

：.AB'=AB=3,DB'=BD,ZAB'D=ZCB'0=90°,

：.CB'=2,

設(shè)8'D=BD=x,則C￡>=4-x,

■:DB'2+CB'2=CO2,

.\X2+22=（4-x）2,

解得x=3,

2

：.DB'=3.

2

【點評】本題考查了翻折變換-折疊問題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、圖形翻折問題

選擇題（共4小題）

1.（2022春?金壇區(qū)期中）如圖，在矩形中，AB=10,BC=6.點E是邊BC上一點,沿AE翻折△

則CE的長是（）

D.3

33

【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)可得AF,再根據(jù)勾股定理可得OF,由矩形性質(zhì)可得CF,設(shè)CE為x,由折疊性質(zhì)

可得EF=BE=6-x,再根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：；四邊形A8CD為矩形，AB=10,BC=6,

：.CD=AB=\0,AD=BC=6,ZD=90°,

:沿AE翻折△ABE,

...AF=A8=10,EF=BE,

在Rt/VlO尸中，由勾股定理可得：

DF=VAF2-AD2=V102-62=8,

：.CF=CD-DF=10-8=2,

設(shè)CE=x,則

EF=BE=6-x,

在中，CF2+CE2=￡F2,

即2?+:=(6-x)2,

解得:尸竺

3

，CE的長為3,

3

故選：B.

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是由折疊性質(zhì)得出C尸，再利

用勾股定理求解.

2.（2022春?寧波期中）如圖，將平行四邊形ABC。沿對邊上兩點連線EF對折，使點A恰好落在點C處，

若乙48c=120°,AD=4,AB=8,則AE的長為（）

A.4.6B.4V3C.5.6D.5M

【分析】過點C作CG_LAB的延長線于點G,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC,再由30°角的直角三角形

可得BG,CG,設(shè)AE為x,可得BE=8-x,由折疊性質(zhì)可得CE=AE,在RtACEG中，由勾股定理可求

出x,即可求解.

【解答】解：如圖，過點C作CGJ_4B的延長線于點G,

?.,四邊形ABCD為平行四邊形，NABC=120°,AO=4,AB=8,

AZCBG=60°,8C=AO=4,

.?.BG=』BC=2,CG=?BC=2代，

22

設(shè)AE=xf

：.BE=AB-AE=S-x,

：.EG=BE+BG=\0-xf

???平行四邊形ABC。沿對邊上兩點連線EF對折，

***CE=AE=Xf

在Rtz^CEG中，由勾股定理可得：

EG2+CG2=C￡2,

即(10-x)2+(273)2=/,

解得：x=5.6,

：.AE的長為5.6,

故選：C.

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用勾股定

理求解.

3.（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，將正方形A8CO分別沿BE,BG折疊，使邊AB,8c在處重合，

折痕為BE,BG.若正方形ABC。的邊長為6,E是AO邊的中點，則CG的長是（）

A.3B.2.5C.2D.1

【分析】由點E為AQ的中點可得AE=L>E=3,設(shè)CG=x,DG=CD-CG=6-x,由折疊性質(zhì)可得EF=

AE=3,FG=CG=x,利用勾股定理即可求解.

【解答】解：???四邊形ABC。為正方形，

：.AD=CD=6,ZD=90°,

?.?點E是4。邊的中點，

：.AE=DE^3,

,/正方形ABCD分別沿BE,BG折疊，

：.EF=AE=3,FG=CG,

設(shè)CG=x,則：

DG=CD-CG=6-x,FG=CG=x,

**?EG—EF+FG—3+x,

在RtZ\OEG中，DE2+DG2=EG2,

BP32+(6-x)2=(3+x)2,

解得：x=2,

ACG=2,

故選：C.

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是將Rt^OEG各邊表示出來.

4.（2022春?如皋市期中）如圖，將矩形紙片ABCO折疊（AO>AB）,使AB落在A。上，AE為折痕，然

后將矩形紙片展開鋪在一個平面上，E點不動，將BE邊折起，使點B落在AE上的點G處，連接OE,若

)

C.2近D.4

【分析】利用折疊性質(zhì)證明絲△<?￡>￡得到BF,即可得到FG,利用折疊性質(zhì)可得NBAE=45°,從

而得到AF,即可得出A8,從而得到43,，即可求解.

【解答】解：；四邊形A8CO是矩形,

/.ZB=ZC=90",

?.?矩形A8C￡>折疊，4B落在AO上，AE為折痕，

AZAH'E=90°,BE=B'E,NBAE=NB'AE=45°,

.??四邊形ABEB'為正方形，四邊形C￡>8'E為矩形，

：.CD=B'E,B'D=CE=\,

：.BE=CD,

?：DE=EF,

.".RtAB￡F^RtACD￡(HL),

:.BF=CE=1,

邊折起，使點B落在AE上的點G處,

；.GF=BF=1,NEGF=NB=90°,

：.AF=y/2GF=yf2>

：.AB=AF+BF=yf2+^

.".AB'=AB=&+1,

：.AD=AB'+B'D=M+2,

故選：B.

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)求出B凡從而

利用折疊的性質(zhì)求出AF.

二.填空題（共3小題）

5.（2022春?禹州市期中）如圖，在RlZxABC中，ZBAC=90°,AB=2?AC=6,點E在線段AC上,

。是線段BC上的一點，連接OE,將四邊形ABQE沿直線。E翻折，得到四邊形FQ9E,當點G恰好落在

線段AC上時，CG=2,JIIJAE=1.

B.

【分析】設(shè)AE^x,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=EF,AB=FG,從而可得EG,/8AC=/EFG=90°,在

對△EPG中，利用勾股定理求出EF,即可求解.

【解答】解：設(shè)AE為x,

VCG=2,AC=6,

EG=AC-AE-CG=4-x,

?.?四邊形ABOE沿直線￡>E翻折，得到四邊形/CZ）E,/84C=90°,A3=2j，，

：.NEFG=NBAC=90°,FG=AB=2?,EF=AE=x,

在RtZ\EFG中，￡F2+FG2=EG2,

即/+（2A/2）2—（4-x）2,

解得：x=\,

：.AE=\,

故答案為：1.

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)，將Rt^EFG各邊表示出來.

6.（2022春?思明區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=3,E為AB上一點，連接OE,將4

AOE沿。E折疊，點A落在4處，連接AC，若F、G分別為4C、3c的中點，則FG的最小值為1.

【分析】連接AiB,由F、G分別為4C、BC的中點可得FG=LI8,在△AI8O中有AI8+AI￡>-B。，由

2

勾股定理可得8C,由折疊性質(zhì)和矩形性質(zhì)可得AQ=AO=BC,即可求解.

【解答】解：如圖，連接43,BD,

,:F、G分別為4C、8c的中點,

：.FG=1^\B,

2

當尸G的最小時，即4B最小，

?四邊形ABC。為矩形，AB=4,BC=3,

：.AD=BC=3,NA=90°,

BD7AB2+AD2=5，

?.?△AOE沿。E折疊，

：.A\D=AD=3,

在△A1B￡)中有A\B+A\D^BD,

：.A\B^BD-A\D,

即4B22,

：.FG=1A\B^\,

2

，F(xiàn)G的最小值為1,

故答案為：1.

【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形中位線將所求的FG轉(zhuǎn)化為48.

7.（2022春?雨花區(qū)校級月考）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,8c=18,把矩形折疊，使點。與點B重

合，點C落在點E處，則折痕FG的長為，

【分析】連接8。，在RtZXABO中，求得8。的長，在尸中運用勾股定理求得。尸的長，即可得到

。尸長，最后在RtZVJOF中求得尸。的長，即可得到答案.

【解答】解：如圖，連接80,交FG于。，則由軸對稱的性質(zhì)可知，F(xiàn)G垂直平分B。，

RtAABD中，?0=7AD2+AB2=V182+62=6\/Io,

由折疊可得。。=」8。=3百5，4BF0=/DF0,

2

由可得，ZDF0=ZBG0,

：.NDF0=ZBGO,

:.BF=BG,即ABFG是等腰三角形，

BD平分FG,

：.0F=0G,

由折疊知，BF=DF,

設(shè)8"=。尸=%則A尸=18-x,

在Rt/XABF中，（18-x）2+62=A?,

解得x=10,即。尸=10,

尸中，04=加2_口02=，15,

：.FG^2FO=2y/~L0.

故答案為：2小元.

【點評】本題是折疊問題，主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)

鍵是根據(jù)勾股定理列方程求解.

三.解答題（共4小題）

8.（2022春?西華縣期中）如圖，一張矩形硬片ABC。寬AB=6,長AO=10,E是CO邊上一點，現(xiàn)將矩

形硬片沿BE折疊，點C的對應(yīng)點F剛好落在A。邊上的點尸處，過點F作FGLA。于點尸，交BE于點G,

連接CG.

（1）判斷四邊形CEFG的形狀，并給出證明；

（2）求四邊形CEFG的面積.

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)可得/G=FE,即可證明；

（2）根據(jù)折疊計算邊長，利用勾股定理求出A尸，再設(shè)EF=x,在《△￡>￡尸中求出x的值，從而求出CE,

即可求解.

【解答】解：（1）四邊形CEFG為菱形，證明過程如下：

由折疊性質(zhì)可得：

EF=CE,CG=FG,ZCEG=ZFEG,

,：FG±AD,四邊形ABC。為矩形，

:.NDFG=NEDF=90°,

J.FG//CD,

:.NEGF=NCEG,

：./EGF=NFEG,

：.FG=EF=CE,

...四邊形CEFG為菱形；

（2）'：AB=6,AD=\0,

：.BF=BC=AD=\0,CD=AB=6,

在RtZ\A8F中，^^VBF2-AB2,

即AF—>/102-62—8,

：.DF=AD-AF=2,

設(shè)EF=x,則

CE=EF=x,

:?DE=CD-CE=6-x,

在RtZsOEF中，DE2+DF2=EF2,

即(6-x)2+22=X2,

解得：尸改，

3

.?”=也，

3

四邊形CEFG的面積為CE?。尸=改><2=皎.

33

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用方程的思想解答.

9.(2022春?上杭縣期中)如圖將邊長為4的正方形紙片ABC。折疊，使B點落在CO邊上一點E,壓平后

得到折痕MN,當日

CD2

(1)求NE的長；

(2)連AMAE,NGLAE,垂足為G,求GN的長;

(3)直接寫出AM的長度.

【分析】(1)由折疊性質(zhì)可得EN=BN,由雪」可得CE=DE,在RtZ\CEN中，利用勾股定理求解即可;

CD2

(2)利用正方形面積減去△ASM和△CEN的面積可得△AEN的面積，利用勾股定理可得AE,利

用三角形面積公式即可求解；

(3)連接BM,EM,由折疊性質(zhì)可得AM=FM,AB=EF,NBAD=NEFM,可證得△ABM且△FEM,從

而得到在RtZXABM和Rt/XOEM中，設(shè)4W=x,則。M=4-x,利用勾股定理分別表示出

EM,利用等量關(guān)系構(gòu)造方程即可求解.

【解答】解：(1)?四邊形A8CO為正方形，

.?.NC=90°,

BC=CD=4,

CD2

：.CE=DE=2,

由折疊性質(zhì)可得：

EN=BN,

設(shè)EN=x,則BN=x,

:.CN=BC-BN=4-x,

在RtZXCEN中，由勾股定理可得：

NE2=CN2+CE1,

即/=(4-X)2+22,

解得：i=2.5,

:?NE=2.5；

(2)在中，由勾股定理可得：

AE=VAD2+DE2=V42+22=2屈'

由(1)可得NE=2.5,

：.BN=2.5,

:.CN=BC-BN=\5,

'：SOAHCD=BCXCD=}6,5AABW=—X>4BXBAf=Ax4X2.5=5,S^CEN=AXCWXCE=AX1.5X2=1.5,

2222

SAADE=」XAZ)XOE=工X4X2=4，

22

?9?SZ^AEN=SUABCD-S^ABN-SACEN-S^ADE=16-5-1.5-4=5.5,

*：NG1AE,

???S“EN=LXAEXNG,

2

即5.5=」X2代XNG,

2

:.NG=］的:

10

(3)如圖，連接EM,

山折疊性質(zhì)可得：

AM=FM,AB=EF,NBAM=NEFM,

：.(SAS),

：.BM=EM,

設(shè)AM=x,則￡)M=4-x,

在RtaABM中，由勾股定理可得：

BM2=AB2+AM2,

即BM2=42+X2,

在RtZiOEM中，由勾股定理可得：

EM2=DM2+DE2-,

即EW=(4-x)2+22,

?:BM=EM,

：.BM2=EM2,

42+??=(4-x)2+22,

解得：x=0.5,

：.AM=0.5.

【點評】本題考查折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是明確折疊的性質(zhì)：折疊

是一種對稱變換，屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

10.(2022春?靖江市期中)在矩形A8C。中，AB=6,8c=8,點E是射線BC上一個動點，連接AE并延

長交射線。C于點F,將aABE沿直線AE翻折到△AB'E,延長A在與直線CD交于點M.

(1)求證：AM=MF；

(2)當點E是邊8c的中點時，求CM的長；

(3)當C尸=4時，求CM的長.

【分析】（1）由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的判定即可求解；

（2）利用矩形的性質(zhì)可得AAEB絲△FEC,利用全等三角形的性質(zhì)可得AB=CF=6,設(shè)CM=x,由（1）

可得A例=MF=x+6,DM=6-x,再利用勾股定理即可求解；

（3）當CF=4時，設(shè)CM=x,分為兩種情況：第一種情況，點E在線段BC上，AM=MF=x+4,DM=6

-x,第二種情況，點E在線段8c的延長線上，AM=MF^x-4,DM^x-6,利用勾股定理即可求解.

【解答】（1）證明：???四邊形ABCZ）是矩形，

：.AB//CD,

：.ZF^ZBAF,

由折疊性質(zhì)可得：

NBAF=NMAF,

：.NF=NMAF,

：.AM=MF,

（2）?.?點E是邊SC的中點,

：.BE=CE=1.BC=4,

2

?.?四邊形ABC。是矩形，BC=8,

：.AB//CD,NB=/BC￡）=NAOC=90°,AD=BC=S,

：.ZF=ZBAF,

"：NAEB=NFEC,

:.△AEBQMFECCAAS）,

：.AB=CF=6,

設(shè)CM=x,

：.AM=MF=X+69DM=6-x,

212

在RtZXADM中，AM=AD+DM1

(x+6)2=82+(6-x)2,

解得：X=g,

3

.?.CM的長為反；

3

(3)當CF=4時，設(shè)CM=x,應(yīng)分為兩種情況:

第一種情況，如圖，點E在線段8c上,

在Rt/XAOM中，AM2=AD2+DM2,

/.(x+4)2=82+(6-x)2,

解得：x=21,

5

...CM的長為21；

5

在RtZ\AOM中，AM2=AD2+DM2,

/.(x-4)2=82+(x-6)2

解得：x=21f

???CM的長為21；

綜上，當CF=4時，CM的長為久或21.

5

【點評】本題考查了折疊變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

II.（2022春?海陵區(qū)期中）在四邊形ABC。中，ZA=ZB=ZC=ZD=90°,AB=CD=1O,BC=AD=6,

P為射線BC上一點，將△ABP沿直線AP翻折至aAEP的位置，使點B落在點E處.

（1）若P為BC上一點.

①如圖1,當點E落在邊8上時，求CE的長；

②如圖2,連接CE,若CE〃AP,則BP與BC有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（2）如果點P在2c的延長線上，當△「反7為直角三角形時，求PB的長.

【分析】（1）①以點A為圓心，A8為半徑交8于點E,利用勾股定理求出OE的長即可；

②根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可證EP=CP,BP=PE,從而BP=PC；

（2）由是直角三角形，當NEPC=90°時，則四邊形ABPE是正方形，得PB=AB=10；當NECP

=90°時，設(shè)BP=x,貝UPC=X-6,在Rt^ECP中，利用勾股定理列方程即可求解，當/PEC=90°時，

點P在線段BC上，不符合題意，舍去.

【解答】解：（1）①如圖：以點A為圓心，AB為半徑交8于點E,

：AE=AB=10,AO=6,/。=90°,

六DE=VAE2-AD2=V102-62=8-

：.CE=DC-DE=\O-8=2；

②BC=2BP,理由如下：

???將aABP沿直線AP翻折至△4￡1產(chǎn)的位置，

/.ZAPB=ZAPEfPE=BP,

*：CE//AP,

:?/CEP=NAPE,NECP=NAPB,

：.ZPEC=/ECP,

:?EP=CP,

:?BP=BC,

:?BC=2BP；

(2):△PEC是直角三角形，

當NEPC=90°時，

VZEPC=ZAEP=ZB=90°,且EP=3P,

.??四邊形ABPE是正方形，

：.PB=AB=IO；

當NECP=90°時，

則乙ECP=NB=90°,

:.EC〃AB,

■:DC〃AB,

工點E、D、C三點共線，

由翻折知AE=AB=10,根據(jù)勾股定理得。E=8,

：.EC=18,

設(shè)8尸=羽則PC=x-6,

在RtAECP中，由勾股定理得：182+(1-6)2=

解得x=30,

：.PB=30；

當NPEC=90°時，點尸在線段BC上，不符合題意，舍去,

圖2°

AB

圖1

【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會

利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

三、趙爽弦圖

選擇題（共4小題）

1.（2022春?番禺區(qū)期末）如圖，正方形內(nèi)的數(shù)字代表所在正方形的面積，則A所在的正方形的面積為（）

64

36

A.aB.28C.128D.100

16

【分析】由勾股定理即可求出答案.

【解答】解：由勾股定理可知：54=36+64=100,

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練運用勾股定理，本題屬于基礎(chǔ)題型.

2.（2021春?豐南區(qū)期中）如圖是我國古代著名的'‘趙爽弦圖”的示意圖，此圖是由四個全等的直角三角形

拼接而成，其中AE=10,BE=24,則EF的長是（）

A.14B.16C.1473D.14A/2

【分析】24和10為兩條直角邊長時，求出小正方形的邊長14,即可利用勾股定理得出EF的長.

【解答】解：?.?4E=10,BE=24,即24和10為兩條直角邊長時，

小正方形的邊長=24-10=14,

?■?￡f=V142+142=14V2-

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)；熟練掌握勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

3.（2019秋?錦州期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中

正方形ABC。、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為Si、歷、S3.若SI+S2+S3=60,則S2的值是

)

B:

°Fc

A.12B.15C.20D.30

【分析】設(shè)每個小直角三角形的面積為m,則SI=4〃?+S2，S3=S2-4/",依據(jù)S1+S2+S3—60,可得

4W+S2+52+S2-4zn=60,進而得出52的值.

【解答】解：設(shè)每個小直角三角形的面積為"?，則Si=4m+S2，S3=S2-4成，

因為SI+S2+S3=60,

所以4/W+S2+S2+S2-4加=60,

即3s2=60,

解得52=20.

故選：C.

【點評】此題主要考查了勾股定理和正方形、全等三角形的性質(zhì)的運用，證明勾股定理時，用幾個全等

的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股

定理.

4.（2022春?南潺區(qū)期末）趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正

方形（如圖所示）.某次課后服務(wù)拓展學(xué)習上，小潺繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長交8于點/.記

小正方形EEGH的面積為S，大正方形ABCQ的面積為S2，若1)1=2,C/=l,S2=5SI，則G/的值是

（）

M

A.逗B.J-V2C.叵D.3

520v84

9,S]=9,小正方形邊長為2匹，再

【分析】如圖，連接OG,先由已知條件分別求得SZMCJMBZH

55_

由勾股定理得:EG=4EH2+HG2=3叵，設(shè)AE=BF=CG=Dhf=x,則AF=BG=CH=DE=x+主匠

55

由勾股定理得：CD2=￡>//2+C//2,即9=/+（x+司區(qū)）2,進而很節(jié)AE=BF=CG=DH=x=*ln=EH,

55

再得C”垂直平分E3,再由三角形的“三線合一”得NDG”=N”GE=45°進而得N3G/=90°最后由

勾股定理得：G/=VDI2-DG2=）2=^->即得選項4

V55

【解答】解：如圖，連接。G,

；趙爽弦圖由四個全等的直角三角形所組成，形成一個大正方形，中間是一個小正方形,

：.AE=BF=CG=DH,AF=BG=CH=DE,CHIDE,

'：DI=2,CI=\,

：.CD=DI+CI=2+\=3,

:大正方形ABCD的面積為52,

：.S2=CD2-=32=9,

又小正方形EFGH的面積為5i,S2=5SI,

5i——,

5

:.EF=FG=GH=HE=^/^-,

5

;將EG延長交C￡）于點/,

：.ZHGE=45°,在RtZXEHG中，由勾股定理得：^G="\/EH2+HG2=>

5

設(shè)AE=BF=CG=DH=x,則AF=BG=CH=DE=x+^^~,

5_

在Rt^CDH中，由勾股定理得：CD2=DH2+CH2,即9=7+（x+W恒）2,

5

解得：加=2叵，刈=-立叵（不合題意，舍去），

55

即AE=BF=CG=DH=X=^B~,

_5

5

CH垂直平分EC,

.?.￡）G=EG=.R頁,

5

；.NDGH=NHGE=45°,

：.ZDGE=450+45°=90°,

AZDG/=90°,

在RtZiOG/中，由勾股定理得：G/={D[2_DG2=J22_2=返_,

V55

故選：A.

【點評】本題是一道勾股定理的綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，線

段的中垂線判定與性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”，二次根式計算與化簡，關(guān)鍵是巧添輔助線構(gòu)等腰直

角三角形，順利實現(xiàn)求得答案.

二.填空題（共2小題）

5.（2022春?長沙期末）用三張正方形紙片，按如圖所示的方式構(gòu)成圖案，已知圍成陰影部分的三角形是直

【分析】由題意可得，三個正方形的邊長恰好湊成一個直角三角形，利用勾股定理可得，兩個較小正方

形的面積之和等于最大的正方形的面積.即S|+S2=S3.據(jù)此可求S2.

2

【解答】解：設(shè)正方形紙片Si，S2,S3的邊長分別為a,從c.則Si=J,52=必，S3=c.

由題意可得，人仄c恰好為陰影部分的三角形的三邊，

?.?陰影部分的三角形是直角三角形.

.".a2+/?2=c2.

即S1+S2=S3.

:51=9,53=25.

??S2=S3-S\—16.

故答案為：16.

【點評】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確正方形的面積等于邊長的平方.

6.（2022春?豐臺區(qū)期末）如圖1,四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，這個

圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.連接四條線段得到如圖2

的新的圖案，如果圖1中的直角三角形的長直角邊為5,短直角邊為3,圖2中陰影部分的面積為S,那

圖1圖2

么S的值為I6

【分析】利用勾股定理，求出空白部分面積，通過間接作差得出陰影部分面積.

【解答】解：由題意作出如下圖，

得AC=J^,BD=2,AB=CD,ZvlBO是直角三角形，

則大正方形面積=4。2=34,

△4OC面積=」（5X3-2X3）=4.5,

2

陰影部分的面積5=34-4X4.5=16,

故答案為：16.

【點評】本題主要考查了勾股定理中趙爽弦圖模型，關(guān)鍵在于正確找出勾股關(guān)系，利用轉(zhuǎn)換面積作差求

解.

三.解答題（共3小題）

7.（2020春?贛州期末）圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成

的.若AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖2所示的“數(shù)

學(xué)風車”，則這個風車的外圍周長是多少？

B.

圖⑴圖⑵

【分析】由題意NAC8為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由4c延伸一倍，從而求得風車的

一個輪子，進一步求得四個.

【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x,則

X2=122+52=169

所以x=13

所以“數(shù)學(xué)風車”的周長是：(13+6)X4=76.

【點評】本題是勾股定理在實際情況中應(yīng)用，并注意隱含的已知條件來解答此類題.

8.(2021春?利辛縣期中)如圖，小明用4個圖1中的矩形組成圖2,其中四邊形ABC。，EFGH,MNPQ

都是正方形，證明：

【分析】由題意可得：S正方形ABC。=(a+b)2,5￡^EFGH—C2,S^BEF=—^ab,再根據(jù)S方彩ABCD=S

2

正方形EFGH+4sABEF，BP可證得結(jié)論?

【解答】證明：?.,四邊形ABC。，EFGH,MNP。都是正方形，

，S正方形ABCD=(a+b)2,S正方形EFGH=C、2，S^BEF=—'Xab,

2

"?"SE方彩ABCD=S正方彩EFGH+4sABEF,

，(a+b)2=<r+4X-Lxa/>,

2

a^+lah+b2,=c2+2ah，

.'.a2+b2—c2.

【點評】本題是勾股定理證明題，考查了直角三角形面積，正方形面積，利用圖形面積得出結(jié)論是解題

關(guān)鍵.

9.(2021秋?鳳翔縣期中)如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定

理，思路是：大正方形的面積有兩種求法，一種是等于另一種是等于四個直角三角形與一個小正方

形的面積之和，即/abX4+(b-a)?，從而得到等式d=/abX4+(b-a)?，化簡便得結(jié)論.這

里用兩種求法來表示同一個量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”.現(xiàn)在，請你用“雙求

法”解決下面兩個問題

(1)如圖2,在RtZXABC中，ZACB=90°,C￡)是AB邊上的高，AC=3,BC=4,求CQ的長度.

(2)如圖3,在△ABC中，A。是5c邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設(shè)BO=x,求x的值.

【分析】(1)先根據(jù)勾股定理先求出A8,再根據(jù)“雙求法”求出C。的長度;

(2)運用兩個直角三角形根據(jù)勾股定理表示出AD,德關(guān)于x的方程求解.

【解答】解：⑴在Rt/XABC中9耳/+d=5,

由面積的兩種算法可得：yx3X4=yX5XCD,

解得：co=￡.

5

(2)在RtA4B。中A￡>2=42-7=16-』,

在RtZXACC中4)2=52-(6-x)2=-U+lZx-x2,

所以16-7=-11+12%-x2,

解得x金竦

【點評