全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題（八）（后附答案解析）

全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬試題(A)

學校:姓名：班級：考號：

一、填空題

1.已知集合M=t'，；，l，4｝,集合M的所有非空子集依次記為：M”M2,..“M”,設(shè)

mi,m?，…，m”分別是上述每一個子集內(nèi)元素的乘積，規(guī)定：如果子集中只有一個元

素，乘積即為該元素本身，則mi+m2+...+mi5=

2.己知函數(shù)/(x)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當xZO時，

/U)=l(|x-a|+|x-2a|-3|a|).若/(x-2)-f(x)W0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍

是.

3.設(shè)任意實數(shù)a>b>c>0,要使地￡2018+41(^201隆力log￡2018恒成立，則的

bca

最小值為.

4.已知4=(1+加++丫1+關(guān)+

則|z：2O17-Z20M的值是---

5.設(shè)八貝廳(1°)+〃2。)++/(60。)=

6.如果：(1)。、b、c、6都屬于{1,2,3,4}；(2)a'b,b*c,c手d,d手a；(3)

“是“、b-，、d中的最小值.

那么，可以組成的不同的四位數(shù)兩的個數(shù)是.

7.如圖，棱長為1的正四面體S-ABC的底面在平面a上，現(xiàn)將正四面體繞棱BC逆時

針旋轉(zhuǎn)，當直線以與平面a第一次成30。角時，點A到平面a的距離為.

8.在1,2,3,4,…，1000中，能寫成a?-〃+l(aeN)的形式，且不能被3整除的

數(shù)有個.

二、解答題

9.已知正整數(shù)數(shù)列｛4｝滿足：4=〃，%="凡+2="型手("21),求。+%的取值范圍.

10.已知點4285。2足。),僅28$小5抽萬),。(2857,5汨7),其中￡[0,2])，且坐

標原點。恰好為ABC的重心，判斷SABC是否為定值，若是，求出該定值；若不是,

請說明理由.

II.已知平面上的動點P與點MO，1)連線的斜率為勺，線段PN的中點與原點連線的斜

率為22，kk=----(/>1),動點尸的軌跡為C.

[2m"

(1)求曲線C的方程；

(2)恰好存在唯一一個同時滿足以下條件的圓：

①以曲線C的弦AB為直徑；

②過點N；

③直徑歸呦=與獺.求m的取值范圍.

12.如圖，在銳角ABC中，AB>AC,。、E分別是AB、AC的中點，VAOE的外接

圓與BCE的外接圓交于點尸(異于E),VADE的外接圓與△BCD的外接圓交于點。

(異于。)，證明：AP=AQ.

13.設(shè)a,eR”i=l,2,,n,記：4=尸二J一—，其中求和是對1，2,

、十C%十十C%

〃的所有C：個％元組合32，，乙進行的，求證：222,志=1,2,?

14.證明：存在無窮多個奇數(shù)〃，使得〃!+1是合數(shù).

15.求最大的〃〃)(”22),使對于給定〃，任意一個實數(shù)列(小生，，6)(改>〃)，總存

在一個子列T=(4⑴此⑵，，4⑸)滿足:

(a)aitai+l,,。皿(14+1)中有1項或2項屬于T；

(b)Wa)+%2)++%)|±4(">(同+同++EI).

試卷第2頁，共2頁

參考答案:

13

1.T

【分析】根據(jù)二項式定理的推導(dǎo)過程構(gòu)造出函數(shù)/(x)=(x-g)(x+T(x+l)(x+4),當x=l

時，函數(shù)的值就是所有子集的乘積.

【詳解】集合”的所有非空子集的乘積之和為函數(shù)/3=1-：]卜+9(》+1)(工+4)展開

式中所有項數(shù)之和7-1

令x=l,

（.2、＜5、/一\八八19…15

T二［一才&+1*（+4）=3X1X2X5=1

15.13

-----1——

22

故答案為5

【點睛】本題主要考查的是元素與集合關(guān)系的判定，函數(shù)展開式的系數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)求解,

注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于難題.

2.(7,；

【詳解】/(x-2)-f(x)V0等價為f(x)<f{x+2)恒成立.

當x20時，/(x)=^(|x-a|+|x-2a|-3|a|).

若aVO,則當x2O時，f(x)=^(x-a+x-2a+3a)=x.

因為/(x)是奇函數(shù)，所以若x<0,則-x>0,則/(-x)=-x=-,f(x),則f(x)=x,x<0,

綜上f(x)=x,此時函數(shù)為增函數(shù)，則f(x)4f(x+2)恒成立.

若〃>0,若OWXWQ時，f(X)=—[—X+a—(x-2a)—3ci]——x；

當avx42cl時，f(x)=—[x—ci—(^x—2。)-3〃]=—ci；

當x>時，/(x)=~(x~cix—2a3a)-x—3a.

即當XNO時，函數(shù)的最小值為一。，由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當XV。時，fM

的最大值為。，作出函數(shù)的圖象如圖：

答案第1頁，共10頁

故函數(shù)/*)的圖象不能在函數(shù)/(X+2)的圖象的上方，結(jié)合圖可得為-24-3〃，即“K，

求得0<*,綜上它.

故答案為：,8,g.

3.-9

【分析】先利用換底公式進行化簡，然后令s=/ga-/gb,t=lgb-/gc,將題目轉(zhuǎn)化成不等式

恒成立問題，最后利用均值不等式求出最值即可得到結(jié)果.

［詳解】要使2018+410gz.20182”log：2018恒成立

bca

即使要1+幽絲〉m?典

恒成立

/ga-/gbIgb-lgcIgc-lga

☆s=/ga-/gb,t=lgb—/gc,而a>b>c>0

/.s>0,t>0,

141

即使得_+W(S>0,t>0)恒成立

st-(s+。

14

BP-m<(-+—)(s+t)的最小值

st

?：(-+-)(s+t)=5+-+—>5+2>/4=9

stst

-m<9,即m>-9

；.m的最小值是9

故答案為-9

【點睛】本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及均值不等式的應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想,

屬于中檔題.

4.1

答案第2頁，共10頁

）卜點）’根據(jù)復(fù)

【分析】先由題意得到Z刈7-Z刈8=（

V2017

因此|z…刈4|1+仲+卻1+#』+高/扁|

故答案為1

【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)模的計算，熟記公式即可，屬于?？碱}型.

179百

）.-----

6

cosX

【詳解】因為?。?3（3。。-X），所以：

cosxcos（60°-x）

/（幻+〃60。一同=

cos（30°-x）cos（x-30°）

cosx+cos（60°-x）_2cos30°cos（x-30°）

=G.

cos（x-30°）cos（x-30°）

令：5=〃1。）+〃2。）++〃59。），①

$=〃59。）+〃58。）++〃2。）+〃1。），（2）

①+②得:：

2S=［/（1。）+/（59。）］+口（2。）+"58。）］++［/（59。）+〃1。）］=596,

所以s=,G,BP/（1）+/（2）++/（59）=邛.

答案第3頁，共10頁

1

cos60°_2_6

COS（30°-60O）-^-_T,

T

則〃1。）+/（2。）++〃59。）+〃60。）=竽+4=今叵.

故答案為：毀叵.

6

6.28

【詳解】礪中恰有2個不同數(shù)字時，能組成廢=6個不同數(shù)字.

時中恰有3個不同數(shù)字時，能組成。；。；以+。：。；=12+4=16個不同的數(shù)字.

血中恰有4個不同數(shù)字時，能組成片=6個不同的數(shù)字.

所以，符合要求的數(shù)字共有6+16+6=28個.

7一T

,4

【詳解】取BC的中點O,折疊后A在平面a內(nèi)的射影為E,則

ZADE=ZSAD-30°,

sinZADE=sin（ZSAD-30°）

=sinZS/4Dcos300-cosZSADsin30°=——

6

所以AE=AOxsin/A￡>E=@x"二

264

8.501.

【詳解】設(shè)S={1,2,3,4,,1000},若〃=/一從+1,則〃工3（mod4）.又42=（2攵）2-（2左一1）2+1,

4女+1=（左+1）2—（%—1『+1,4%+2=（2左+1）2—（2%）2+1,因止匕，〃=/一。2+1當且僅當

〃*3（1110（144）.令A(yù)={aeS|〃三3（mod44）},B={b&S\b=0（mod3）},則

AcB={ceS|g3（modl2）},因為圖=250,忸|=333,|Ac@=84,從而符合條件的數(shù)

答案第4頁，共10頁

的個數(shù)為1000-250-333+84=501.

故答案為501

9.{1011,2019}

20]9673x3

【詳解】先考慮一種簡單的情況：6=。=1,。3=--=—則4=2,672,2018,

a2+1a2+1

相應(yīng)的％=673,3,1,日=673,3時內(nèi)不為正整數(shù),舍去.

所以％=。=1，4=6=2018,此時a+匕=2019.

由題意可知an+2an+l+a.=?！?2018,則an+3a?+2+??+3=??+1+2018,

相減可得（4+3-%+|）（%+2-1）=。“+2一。"，下面分類討論：

①若%+3-%+山1，則貝！1/41,所以4“=1,代入檢驗矛盾.

②若%+3-4+1=0,則。.+2-“,=°，易得”2018,2=1（同上）

或者a=1009,6=2,止匕時6=4=2,可得％=6=1009,4=2,%=1009,

得到4+6=1011.

③若限一%4-1,則4-4+2”“+2-1，即422a若對任意的：都有4W1（否則

同②），4.24”<4,與數(shù)列是正整數(shù)數(shù)列矛盾.

綜上可知。+力的取值范圍是{1011,2019}.

10.三角形A8C面積為定值逋.

2

【詳解】先證明一個引理：若4（不必）,3（々,%）,。（0,0）,則打所二/士力一々）'/

因為。4=（3,乂）,。3=（無2，%），

「CACBx.x+y.y

所以8久=許=4E0T9

所以sinC=Vl-cos2C=1絲一沙,

所以：SAfiC=l-|c/l||CB|-sinC

2"：+齊々考+￥2

答案第5頁，共10頁

回到原題，連結(jié)OA、OB、0C,則:

SABC=S0AB+SOBC+SOAC

=-|2cosasin/?-2sintzcos"+g12cosy5sin/-2sin/?cosy\

21

+-|2,cosasin/-2sinacos/|

21

=|sin(a-4)|+|sin(77-/)|+|sin(a-7)|.

sina+sin￡+siny=0,sina+sin0=-siny,

由三角形的重心為原點得即

2cosa+2cos/7+2cos/=0.cosa+cos(3=-cos/.

所以兩式平方相加可得cos("-￡)=—g,所以卜in(a-夕)|=*，

同理卜in(夕-/)|=|sin(a-/)|=與,

所以SAnC=|sin(a-/?)|+|sin(/?-y)|+|sin(a-y)|=3x-^-=,

故三角形ABC面積為定值主叵.

2

2

11.(1)二+丁=1(XH0)

m

(2)\<m<>/3

【詳解】試題分析：第一問根據(jù)中點坐標公式求出點P的坐標，再根據(jù)兩點斜率坐標公式,

將兩直線的斜率都求出來，結(jié)合著題中的條件，兩斜率成績等于常數(shù)幾，從而寫出x，y所滿

足的等量關(guān)系式，整理得出所求的結(jié)果，對于第二問根據(jù)直線與曲線相交，聯(lián)立可得交點的

坐標的關(guān)系，再根據(jù)對應(yīng)的弦是圓的直徑，根據(jù)圓的直徑的條件，可知對應(yīng)的垂直的關(guān)系,

注意弦長公式的應(yīng)用，即可得結(jié)果.

試題解析：（1）設(shè)尸a,y）,記PN的中點為“，所以用仁,號）.

2±1

由題意勺=^"^(x*0),k2=—^~(XHO),

XX

由我，T可得:xw0),

化簡整理可得：工+丁=1（戶0）,

答案第6頁，共10頁

曲線C的方程為j+y2=i(XHO).6分

m'

(2)由題意N(O,I),

若存在以曲線C的弦A8為直徑的圓過點N,則有N4，N8,

所以直線N4、N8的斜率都存在且不為0,

設(shè)直線24的斜率為&(不妨設(shè)&>0),

所以直線24的方程為y=H+l,直線NB的方程為)，=-?》+1,

k

y=kx+\

將直線N4和曲線C的方程聯(lián)立，得｛/

—+r=1

消y整理可得(1+m2k2)x2+2m2kx=0,

解得一景，所以陷=內(nèi)?擺

又因為|：越卜應(yīng)陶，|，即有|M4|=^\ABf-\NBf=|叫,

所以標.熱.惡

所以左③+而k=1+所以，

即(％-1)[%2+([-相2)&+1]=(),

(i)當“1=6時，("1)[公+(1-/快+1]=小-1)3=0,解得&=]；

(ii)當Ivmv6時，方程公+(1—加2袂+1=0有△=(1一〃，)2-4<0,

所以方程(k—l)僅2+(1-布快+1]=0有唯一解&=1；

(iii)當石時，方程%?+(1-機2*+1=0有△=(1-機：!，-4>0,

且『+(1一/卜1+1父0,所以方程小-1)k2+(1->*+1]=。有三個不等的根.

綜上，當1<機4石時，恰有一個圓符合題意.

考點：曲線與方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長問題，一元二次方程根的個數(shù)問題，數(shù)形

答案第7頁，共10頁

結(jié)合、函數(shù)與方程的數(shù)學思想方法及運算求解能力.

12.證明見解析

【詳解】連結(jié)BP、DE、QC、PE、DQ、PD,由于￡>、E分別是邊AB、AC的中點可

知DEHBC,則

ZAPD=1800-ZAED=ZDAE+ZADE=ZDAE+ZDBC

=180°-ZDQE+180°-ZDQC=NEQC,ZBPD=ZBPE-NDPE=1800-ZACB-ZDAE

=ZABC=ZADE=NAPE=ZAQE,

ZAPB=ZAPD+ZBPD=ZEQC+ZEQA=ZAQC,且：

PB-PD-sinZBPD"

c4尸1_sinZBPD

AP_AP^SPBD_1

一sinNAP。

BPBP.SPAD3P.iPAPD-sinZAPD\

./AnPCQ-(^AQAE-sinZAQE]

=sinNAQE=(2)=CQ，S晚=CQ

Sc￡

smZCQEAQ.^LCQ.QE-sinZCQE^'?

所以一APBs.CQA,所以：

ZAQP=ZADP=NPBD+ZBPD=ZQAE+ZAQE=ZQEC=ZAPQ,

所以AP=AQ.

13.證明見解析

【詳解】任取%效，，*由柯西不等式，有:

號1之("I-

>'4+縱++%*,_%-(/+0(4+氣++)一(4+%++

(&+1>1

----------------------------------

a+i1(^+1)-y]

所以++令

k4+4++4

其中求和對1,2,〃的所有C：”個％+1元組合進行.

上式左邊實際上是一些k元組合的求和，因?qū)θ我庾笤M合力，限，，%,選這人個數(shù)的氏+1

元組合有〃必個（余下的，個數(shù)中任意一個數(shù)都與其構(gòu)成一個k+1元組合），

答案第8頁，共10頁

人士111

故XX------------------------------=(n-k)\-----------------------.

六1%+《2++"+】_%4+唳++氣?

這樣便有(〃-k)Z+I=2嚀8Z*二+，

(1+%++&K氣+%++%

pr-rlV______!______>(氏+1『、_______!_______

C：%+%++%(n-k)C^歿+4工++”「

再注意到(〃-%)C=6+1)C：+1,即得:

JLy1>illy]

c：%+%+,+&C；'%+4++%“?

這就證明了ANAM，其中％=1,2,

即有2*21亞2…z。,.

14.證明見解析

【詳解】證明當奇數(shù)〃("23)時，加+1與(〃!-〃)!+1不均為質(zhì)數(shù)即可：

用反證法，若〃!+1為質(zhì)數(shù)，設(shè)”!+l=p,則結(jié)合威爾遜定理可得：

(〃!-〃)!=(p_]_〃)!三(/2-1)!(-1)-|(-2)_|(-/?)-'(modp)

=-(—1)”?加=