《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第1節(jié)　數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第六章

第1節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法知識(shí)分類(lèi)落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類(lèi)落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1.數(shù)列的定義按照

排列著的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).一定順序2.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿(mǎn)足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1

an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列有限無(wú)限＞＜3.數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是

、圖象法和

.如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與

之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且從第二項(xiàng)(或某一項(xiàng))開(kāi)始的任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式5.數(shù)列的遞推公式列表法解析法序號(hào)n1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列. (

) (2)1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列. (

) (3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列. (

) (4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)

解析

(1)數(shù)列：1，2，3和數(shù)列：3，2，1是不同的數(shù)列. (2)數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的，可以構(gòu)成數(shù)列. (3)數(shù)列可以是常數(shù)列或擺動(dòng)數(shù)列.×××√A分子可表示為1＋5(n－1)＝5n－4，DABD解析

由題意，得a4＝S4－S3＝32.6.(2021·臨沂月考)已知an＝n2＋λn，且對(duì)于任意的n∈N*，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是_______________________.

解析

因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列， 所以對(duì)任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理， 得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)

因?yàn)閚≥1， 所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.(－3，＋∞)考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦2角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an【例1】在數(shù)列{an}中，a1＝100，an＋1＝an＋3n(n∈N*)，則通項(xiàng)公式an＝

_______________________.

解析由an＋1＝an＋3n，n∈N*， 得a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，

an－an－1＝3n－1(n≥2).

顯然a1＝100也適合上式，考點(diǎn)一由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)///////多維探究角度3構(gòu)造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an【例3】(2021·衡水檢測(cè))設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，Sn＋1－2Sn＝1，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______________________.

解析因?yàn)镾n＋1－2Sn＝1， 所以Sn＋1＝2Sn＋1.

因此Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)， 因?yàn)閍1＝S1＝1，S1＋1＝2， 所以{Sn＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.

所以Sn＋1＝2n，Sn＝2n－1.

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，a1＝1也滿(mǎn)足此式， 所以an＝2n－1，n∈N*.an＝2n－1，n∈N*

感悟升華所以an≠0，【例4】(1)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則an＝_________________.

解析

因?yàn)閍1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n， 故當(dāng)n≥2時(shí)，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1).

兩式相減得(2n－1)an＝2， 又由題設(shè)可得a1＝2，滿(mǎn)足上式，///////師生共研考點(diǎn)二由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)

【例4】(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________.

解析

由Sn＝2an＋1，得a1＝2a1＋1， 所以a1＝－1，S1－1＝－2.

當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1， 即Sn－1＝2(Sn－1－1)， 所以數(shù)列{Sn－1}是首項(xiàng)為－2，公比為2的等比數(shù)列， 所以Sn－1＝－2×2n－1，則Sn＝1－2×2n－1， 當(dāng)n＝6時(shí)，S6＝－63.－631.由Sn求an的步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式.(3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并.2.Sn與an關(guān)系問(wèn)題的解題思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向不同的兩個(gè)方向轉(zhuǎn)化，(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式求解；(2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1(n≥2)的關(guān)系式.感悟升華【訓(xùn)練2】(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿(mǎn)足Sn＋an＝2，則S5＝________.

解析由Sn＋an＝2，得2Sn＝Sn－1＋2(n≥2). ∴2(Sn－2)＝Sn－1－2

又S1＋a1＝2， ∴S1＝1，則S1－2＝－1≠0.所以2Sn－1＝nan－1(n≥2)，所以2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1(n≥2)，所以2an＝(n＋1)an－nan－1(n≥2)，即(n－1)an＝nan－1(n≥2)，an＝n

因此an＝n.考點(diǎn)三數(shù)列的性質(zhì)///////師生共研2顯然該數(shù)列中的數(shù)從a5開(kāi)始循環(huán)，周期是4.因此a1a2a3a4＝1，且a2021＝a1＝2.故a1a2a3a4…a2020a2021＝(a1a2a3a4)505·a2021＝2.BCD解析因?yàn)閍n＋1＝2an＋bn，bn＋1＝an＋2bn＋ln，當(dāng)n＝1時(shí)，a2－b2＝a1－b1－ln2，則an＋1＋bn＋1－ln(n＋1)＝3(an＋bn－lnn)，所以{an＋bn－lnn}是首項(xiàng)為a1＋b1，公比為3的等比數(shù)列，所以an＋bn＝(a1＋b1)3n－1＋lnn.因?yàn)閍1＋b1>0，所以數(shù)列{an＋bn}單調(diào)遞增，則B正確.因?yàn)閍n＋1＝2an＋bn＝an＋lnn＋(a1＋b1)3n－1，所以an＋1－an＝lnn＋(a1＋b1)3n－1>0，則C正確.所以bn＋1－bn＝ln(n＋1)－2lnn＋(a1＋b1)3n－1.根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可知數(shù)列{bn}從某一項(xiàng)以后單調(diào)遞增，則D正確.故選BCD.1.在數(shù)學(xué)命題中，以數(shù)列為載體，?？疾橹芷谛?、單調(diào)性.2.(1)研究數(shù)列的周期性，常由條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定周期性，進(jìn)而利用周期性求值.(2)數(shù)列的單調(diào)性只需判定an與an＋1的大小，常用作差或作商法進(jìn)行判斷.感悟升華因此a2021＝a3×673＋2＝a2＝2.DAB即6≤n≤7，所以最大項(xiàng)為第6項(xiàng)和第7項(xiàng).課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3CA所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，……an－an－1＝lnn－ln(n－1)(n≥2).把以上各式分別相加得an－a1＝lnn－ln1，則an＝2＋lnn(n≥2)，且a1＝2也適合，因此an＝2＋lnn(n∈N*).A解析因?yàn)閿?shù)列{an}是遞增數(shù)列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，所以t≤an＋3恒成立，t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3.C5.(2021·濰坊質(zhì)檢)意大利數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(xiàn)(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)”、化學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用.若此數(shù)列被2整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{an}，則數(shù)列{an}的前2022項(xiàng)的和為 (

) A.674 B.673 C.1348 D.2020

解析由數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各項(xiàng)除以2的余數(shù)， 可得{an}為1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…， 所以{an}是周期為3的數(shù)列， 一個(gè)周期中三項(xiàng)和為1＋1＋0＝2， 又2022＝674×3， 所以數(shù)列{an}的前2022項(xiàng)的和S2022＝674×2＝1348.CAD∴{an}的最大項(xiàng)為a1＝0.∴當(dāng)n≥3時(shí)，an＋1－an>0；當(dāng)n<3時(shí)，an＋1－an<0，二、填空題7.根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝______________.

解析

由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…， 歸納an＝5n－4.…5n－45當(dāng)n≥6時(shí)，an<1，由題意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n項(xiàng)乘積的最大值，所以k＝5.9.(2020·西安質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足21·a1＋22·a2＋23·a3＋…＋2n·an＝

(n－1)·2n＋1＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.

解析∵2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＋2nan＝(n－1)·2n＋1＋2， ∴2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝(n－2)·2n＋2(n≥2)， 兩式相減，得2nan＝n·2n，即an＝n(n≥2)， 又a1＝1適合an＝n， 故an＝n(n∈N*).n

∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0.已知對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，故a的取值范圍是(－10，－8).解得a2＝3a1＝3.解由題設(shè)知a1＝1.于是a1＝1，……將以上n個(gè)等式兩端分別相乘，顯然，當(dāng)n＝1時(shí)也滿(mǎn)足上式.解析由an＋1－an＝2n知，當(dāng)n≥2時(shí)，a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，相加得，an－a1＝n2－n，C1012故a1＋a2＋a3＋