2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第06講 利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題（解析版）

第06講利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問(wèn)題目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：方法篇 1方法一：分離雙參數(shù)，構(gòu)造函數(shù) 1方法二：比值法換元 5方法三：變更主元法 11方法四：借助根與系數(shù)關(guān)系化雙變量為單變量 13方法五：借助對(duì)數(shù)平均不等式解決雙變量問(wèn)題 19方法六：值域法解決雙變量函數(shù)相等問(wèn)題 25方法七：最值法解決雙變量不等式問(wèn)題 30第一部分：方法篇方法一：分離雙參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)典型例題例題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，若，求證：【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）的定義域?yàn)?，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，設(shè)，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即．例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為常數(shù)，且．(1)當(dāng)時(shí)，若在，上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，且函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，①?dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，其最大值為，不符合題意；②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，，所以，不符合題意；③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，在，單調(diào)遞減，其最大值為，不符合題意；④當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，，，所以，符合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的值為；（2）證明：，令，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，遞減，在單調(diào)遞增，函數(shù)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，，不妨設(shè)，則，，構(gòu)造函數(shù)，，則，，在單調(diào)遞減，，，恒成立．，恒成立．即，，，且函數(shù)在單調(diào)遞增，，．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·河南南陽(yáng)·高二南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.(1)解：由，得，設(shè)，則，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以，，，所以a的取值范圍是．(2)證明：不妨設(shè)，由（1）知，則，，，又在上單調(diào)遞增，所以等價(jià)于，即．設(shè)，則．設(shè)，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，即原命題得證．2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，求證：.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題意得：，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為；極小值為；（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根在區(qū)間內(nèi).設(shè)函數(shù)，則，.令，，則，在上為增函數(shù)，又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，又，，，，由（1）知：在上單調(diào)遞增，，.方法二：比值法換元典型例題例題1．（2023·四川遂寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)、.(1)求的取值范圍；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)?，該函?shù)的定義域?yàn)?，且，因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，其中，則，令可得，列表如下：增極大值減所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)為、，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）證明：由（1）可知，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)、是方程的兩個(gè)根，且，，則有，，等式與等式相除可得，則有，由可得，即，即，因?yàn)椋瑒t，令，則，可得，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，則.因此，實(shí)數(shù)的最小值為.例題2．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋字?dāng)時(shí)，若，則，若，則；當(dāng)時(shí)，若或，則，若，則；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，若或，則，若，則．綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）由，得，所以，則．要證，需證，又，所以即證，即證．令，則．設(shè)，則，設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，則，所以，在上單調(diào)遞增．由，得，所以，所以需證，即證．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以故．精練核心考點(diǎn)1．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）依題意得，，．①當(dāng)時(shí)，，∴在R上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．又當(dāng)時(shí)，，∴，，不妨設(shè)，要證，只需證，即證．∵，，，∴，即證．∵，∴，即證，即證．令，則，∴只需證，即，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴原不等式得證．2．（2023春·四川成都·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(2)設(shè)，點(diǎn)為曲線上的兩個(gè)不同點(diǎn)，若，且存在，使得曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，試證明.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以不等式可化為，由已知在上恒成立，①?dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，可得在上恒成立，設(shè)，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極小值，即為最小值，所以，所以，綜上，所以的取值范圍；（2）由題意知，又，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，又，所以.欲證，只需證明，因?yàn)?，則只要證.令，等價(jià)于只要證，，即證.令，則，所以，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即成立，所以得證．方法三：變更主元法典型例題例題1．（2023·上海浦東新·高一華師大二附中階段練習(xí)）使不等式恒成立的的取值范圍是________.【答案】【詳解】設(shè)，其中，由于不等式對(duì)任意的恒成立，則，即，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.例題2．（2023高一單元測(cè)試）對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】或【詳解】由題意可得，令，由題意可知，對(duì)任意的，恒成立，所以，，解得或.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.精練核心考點(diǎn)1．（2023·上?！じ咭粚?zhuān)題練習(xí)）對(duì)于，不等式恒成立的的取值范圍是_____________【答案】【詳解】，令，，當(dāng)時(shí)，，則不成立；當(dāng)時(shí)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，，解得：或；綜上所述：.故答案為：.2．（2023·上海浦東新·高一上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期末）設(shè)．(1)求在上的最小值；(2)當(dāng)時(shí)，若不等式在上有解，求x的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；(2)【詳解】（1），當(dāng)，即時(shí)，在上的最小值；當(dāng)，即時(shí)，在上的最小值.（2）當(dāng)時(shí)，，令，，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)，即時(shí)，取最大值1，由題意得，即，解得，所以x的取值范圍是．方法四：借助根與系數(shù)關(guān)系化雙變量為單變量典型例題例題1．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1），曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2），則函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且．則方程的判別式，且，．．設(shè)，則在上恒成立．故在單調(diào)遞減，從而．因此，的取值范圍是．例題2．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）．【詳解】解：（1），，注意到，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，得，，此時(shí)，在及上導(dǎo)數(shù)值大于零，所以在及上遞增；（2）由（1）知，，，，則，由恒成立，即，即，即，記，，則，故在上為增函數(shù)，，故.例題3．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中.（1）在區(qū)間上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明：.【答案】（1）存在，最小值為；（2）證明見(jiàn)詳解【詳解】.解：（1）由條件可函數(shù)在上有意義，，令，得，，因?yàn)?，所以?所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)上，所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).由可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，又函?shù)在上是減函數(shù)，且，所以函數(shù)在區(qū)間上的有最小值，其最小值為.（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且是方程的兩根，所以，且，，，所以，，所以，又，由（1）可知，設(shè)，，則，故要證成立，只要證成立，下面證明不等式成立，構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，，即成立，令，即得不等式，從而成立.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，（），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，是有兩解，所以，所以，，，由可得，，由可得，，則，故選：D.2．（2023·江蘇·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)在和時(shí)取極值，且.（1）已知，求的值；（2）已知，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：⑴∵，∴，∵在和時(shí)取極值，∴，∴，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.⑵由⑴知，，∴∵，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴，，∴，，∴設(shè)，∵，∴，①又，是的兩個(gè)不等實(shí)根，∴△=，得，②由①②知，而，設(shè)，則，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上恒成立，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞減，而，，故的取值范圍為.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)和，記過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為，問(wèn)：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）答案見(jiàn)解析：（2）不存在【詳解】（1）定義域?yàn)?，，令，①?dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，的兩根都小于零，在上，，故在上單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，的兩根為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，，因?yàn)?所以,又由（1）知，，于是，若存在，使得，則，即，亦即（）再由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以，這與（）式矛盾，故不存在，使得.方法五：借助對(duì)數(shù)平均不等式解決雙變量問(wèn)題典型例題例題1．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，且在內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)（）．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）由題可知,,令,即,即有兩個(gè)根,令,則,由得,,解得;由得,,解得,所以在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,時(shí),所以要使有兩個(gè)根,則,解得,所以.（2）由(1)可知且，所以要證，只用證，等價(jià)于證明，而，即，故等價(jià)于證明，即證.令，則，于是等價(jià)于證明成立，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，故，即成立，所以，結(jié)論得證.例題2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，使得，求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由，得，即，其中，令，得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上有最大值，，所以m的取值范圍為；（2）由，可得，整理為，令，則，所以在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，所以，從而，所以，所以，下面證明，即證明，令，即證明，其中，只要證明，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以．精練核心考點(diǎn)1．（多選）（河北省衡水市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）直線：與的圖象交于、兩點(diǎn)，在A?B兩點(diǎn)的切線交于，的中點(diǎn)為，則（

）A． B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于1C． D．的斜率大于0【答案】BC【詳解】對(duì)A，因?yàn)橹本€與曲線交于、兩點(diǎn)，有兩個(gè)不同正根，即直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，故A錯(cuò)誤.對(duì)B，由題意得，，設(shè)令在單調(diào)遞減.，在單調(diào)遞減，.，又，.的方程：，的方程：，聯(lián)立可解得，故選項(xiàng)B正確.對(duì)C，設(shè)，，，且，，設(shè),，，，，是的兩個(gè)根，是方程的兩根，，所以C正確.對(duì)D，，，可以利用對(duì)數(shù)均值不等式證明如下：對(duì)數(shù)均值不等式：，，，，，，，即<1,，.所以D錯(cuò)誤.故選：BC2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)若有兩個(gè)極值點(diǎn)且，證明：.【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．(2)答案見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析（1）解：因?yàn)?，所以?/p>

即，，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）解：由（1）得，．當(dāng)時(shí)，，則在上無(wú)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，則在上有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，，所以，，，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)零點(diǎn)．（3）證明：由（2）及有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，可得，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，且．所以，

兩式相減得，即．因?yàn)?，所以．下面證明，即證．令，則即證．令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故．又，所以，故．方法六：值域法解決雙變量函數(shù)相等問(wèn)題典型例題例題1．（2023春·四川宜賓·高二四川省高縣中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．

D．【答案】D【詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)的值域是，，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)的值域是，因?yàn)?，，使得，所以，解得：，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：D例題2．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，.若，則實(shí)數(shù)________；若對(duì)，總使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【詳解】，，由，得，解得；設(shè)的值域?yàn)?，的值域?yàn)?，由題意.為偶函數(shù)且在為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，最小值為，故.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，值域?yàn)?，要使，則在連續(xù)且，即，解得.故答案為：；例題3．（2023秋·遼寧·高一大連二十四中校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知，，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）記函數(shù)，的值域?yàn)榧希?，的值域?yàn)榧?，則對(duì)任意的，總存在，使得成立，因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)，，，得，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，顯然不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.精練核心考點(diǎn)1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在且，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，

故:對(duì)稱(chēng)軸①，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減存在，使得成立②,即在上單調(diào)遞增,在上也是單調(diào)遞增當(dāng)上的最小值大于在上的最小值即可保證此時(shí),存在,使得成立.即，解得綜上所述的取值范圍是:.故選:A.2．（2023秋·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知是定義在上的奇函數(shù)，其中、，且.(1)求、的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；(3)設(shè)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.【答案】(1)，(2)在上為減函數(shù)，證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，可得，則，則，解得，所以，，下面驗(yàn)證函數(shù)為奇函數(shù).對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，則，故函數(shù)為奇函數(shù)，合乎題意，因此，，.（2）解：函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：任取、且，即，則，，則，所以，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.（3）解：若對(duì)任意的，總存在，使得成立，則函數(shù)在上的值域?yàn)楹瘮?shù)在上的值域的子集，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，，所以，記在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)?①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，，得在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)?因?yàn)?，所以?duì)任意的，總存在，使得成立.②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且，則，，得在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以?duì)任意的，總存在，使得成立.③當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，得在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)?，所以，該不等式組無(wú)解；④當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，得在區(qū)間內(nèi)的值域?yàn)椋环项}意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.3．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)________【答案】【詳解】由函數(shù)，.因?yàn)?，所以在上單減，在上單增，而可得值域.函數(shù)，可得值域.因?yàn)閷?duì)任意，總存在，使成立，所以,所以，解得：.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.方法七：最值法解決雙變量不等式問(wèn)題典型例題例題1．（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若對(duì)于任意，存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，即，由，則，即，因?yàn)閷?duì)于任意，存在，使得，所以，則，解得，即.故選：A例題2．（2023春·四川眉山·高二仁壽一中?？茧A段練習(xí)）（1）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知函數(shù)，集合，若任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【詳解】（1）由題意可知，由于在上單調(diào)遞減，故；在上單調(diào)遞增，故，所以，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）由題意可知函數(shù)，，需滿(mǎn)足，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，，故，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，故，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，故，此時(shí)；④當(dāng)時(shí)，在上減函數(shù)，∴，，故，此時(shí)．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．例題3．（2023秋·海南海口·高一?？谝恢行？计谀┮阎瘮?shù)為定義