有限元法及其應用 課件 3 平面問題有限元法

3平面問題的有限元法位移函數(shù)的選取有限元法中，連續(xù)體的位移場，采用分片連續(xù)的多項式函數(shù)來表征。選取位移函數(shù)的核心問題是要保證有限元法解答的收斂性問題，即網(wǎng)格逐漸加密時，有限元解應當收斂于問題的理論解。為保證收斂性，位移函數(shù)必須滿足三個性質(zhì)：完備性、協(xié)調(diào)性、幾何各項同性。完備性是收斂的必要條件，協(xié)調(diào)性和幾何各向同性是充分條件。相鄰單元公共邊界的變形情況選取位移函數(shù)滿足的三個準則：

（1）完備性——反映單元的剛體位移狀態(tài)和常應變狀態(tài)。真實狀態(tài)下，物體任意點的位移包含剛體位移和彈性位移疊加而成。因此，插值函數(shù)必須有剛體位移狀態(tài)，必須有常數(shù)項。（2）協(xié)調(diào)性——相鄰單元在公共邊界處位移或位移導數(shù)的連續(xù)性。在公共邊界上，沒有縫隙、重疊、且具有相同的法向轉(zhuǎn)角。位移函數(shù)的選取（3）幾何各向同性——所取位移函數(shù)從一個笛卡爾直角坐標系線性變換到另一個坐標系要保持完備性與協(xié)調(diào)性不變。選擇以下的位移函數(shù)能滿足單元的幾何各向同性：完全的n次多項式；不完全的n次多項式，但含有保持“對稱性”的合適的項。帕斯卡（Pascal）三角形位移函數(shù)的選取3節(jié)點三角形單元確定單元的位移模式設(shè)定一個簡單的函數(shù)作為單元位移的近似函數(shù)，該函數(shù)稱為位移函數(shù)，位移函數(shù)一般取為多項式形式。對于三角形平面單元：

節(jié)點位移列向量節(jié)點力列向量根據(jù)帕斯卡三角，單元位移函數(shù)選完全多項式前三項：式中：αi

稱為廣義坐標。節(jié)點位移滿足位移函數(shù)3節(jié)點三角形單元單元節(jié)點處各位移分量滿足該位移函數(shù)：其中，為三角形的面積。伴隨矩陣求逆方法，左邊方程組的解為：將系數(shù)代入位移插值函數(shù)，得到位移用節(jié)點位移的表示形式：同理，可得y方向位移用節(jié)點位移的表示形式3節(jié)點三角形單元因此，三角形單元內(nèi)，位移插值函數(shù)的表達式為：3節(jié)點三角形單元令則有位移插值函數(shù)的表達式：為形函數(shù)。式中：[N]為形函數(shù)矩陣，其元素是位置坐標的函數(shù)。寫成矩陣形式：式中：

形函數(shù)的性質(zhì)：（1）形函數(shù)是坐標的函數(shù)，且與位移函數(shù)的形式相同。（2）形函數(shù)在本節(jié)點上取值為1，在其余節(jié)點取值為零。即有如下表達式：3節(jié)點三角形單元三個節(jié)點位移都是基本的物理量，相互獨立。因此,i節(jié)點位移與其他兩個節(jié)點位移無關(guān)，其系數(shù)為0。以i節(jié)點為例，i節(jié)點x方向位移：（3）在任意點(x,y)，形函數(shù)值的總和為1，即位移插值函數(shù)必然能滿足物體的剛體運動，因此假設(shè)物體做剛體運動（如，任意點運動u0）3節(jié)點三角形單元帕斯卡（Pascal）三角形位移插值函數(shù)——四個節(jié)點，選四項。4節(jié)點四邊形單元雙線性函數(shù)：固定x，位移函數(shù)u(x,y)和v(x,y)是關(guān)于y的線性函數(shù)；固定y，位移函數(shù)u(x,y)和v(x,y)是關(guān)于x的線性函數(shù)。用形函數(shù)表示：四節(jié)點矩形單元節(jié)點3形函數(shù)N3(x,y)在節(jié)點1,2,4取0，由于形函數(shù)為雙線性函數(shù)，固定一條邊時，線性變化。因此，N3(x,y)在直邊14和12都取0，即：4節(jié)點四邊形單元N3(x,y)在節(jié)點3取1總結(jié)規(guī)律，有如下一般形式：同理，2節(jié)點的形函數(shù)可以表示為：N2(x,y)在節(jié)點2取1，則有：因此，（1）單元應變矩陣有限元方程的建立為單元應變矩陣，為3×2n矩陣；n為單元節(jié)點數(shù)目。

其中：有限元方程的建立對于線性平面3節(jié)點三角形單元，形函數(shù)為：單元應變矩陣可表示成分塊的形式：其中：有限元方程的建立(2)單元應力矩陣平面應力問題的本構(gòu)方程：可簡寫為將

代入，得到用節(jié)點位移表示單元應力的關(guān)系式：，其中[D]是與單元材料有關(guān)的彈性矩陣

（3）虛功原理——彈性體變形時，外力所做的虛功等于內(nèi)力所做的虛功。有限元方程的建立虛功原理的數(shù)學表達式：內(nèi)虛功外虛功計算內(nèi)力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為dx和dy，厚度為t，圖示微小矩形的實際應力和虛設(shè)變形。有限元方程的建立總內(nèi)虛功有限元方程的建立內(nèi)力在虛位移上所做的虛功：內(nèi)力×虛位移，其中，內(nèi)力=應力×面積，虛位移=虛應變×原長虛應變向量應力向量式中：外力在虛位移上所做的虛功：式中：矩陣形式：虛位移向量體力向量面力向量有限元方程的建立單元e的節(jié)點位移向量為有限元方程的建立單元e內(nèi)的虛應變?yōu)閱卧獌?nèi)虛功單元e的節(jié)點虛位移向量為由單元位移產(chǎn)生的單元應力向量為厚度為t的單元內(nèi)的虛變形功為其中單元剛度矩陣單元外虛功有限元方程的建立其中，等效節(jié)點力虛位移場得到：外力所做虛功作用于任意一個單元上的載荷有體積力和單元邊界的表面力，單位體積力為，單位表面力為有限元方程的建立單元平衡方程記作用于單元e上的等效節(jié)點載荷向量為得到外力虛功由虛功原理得到即：單元平衡方程對于平面問題的3節(jié)點三角形單元，剛度矩陣：

有限元方程的建立其中有限元方程的建立對于平面應力問題，單元子剛度矩陣為對于平面應變問題，只需令單元子剛度矩陣為一厚度為h的平面薄片懸臂結(jié)構(gòu)，承受一集中荷載P，求其變形及應變?，F(xiàn)將該結(jié)構(gòu)劃分為4個單元，總共6個節(jié)點，單元及節(jié)點編號如圖。例題先計算單元①的剛度矩陣，單元節(jié)點應按逆時針順序編號，節(jié)點i,j,m對應的節(jié)點編號為1，2，3。按節(jié)點分塊，單元節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系為:★1.單元剛陣的計算例題單元①的剛度矩陣對于單元②

，按逆時針方向取節(jié)點的順序為2，5，3，即按節(jié)點順序分塊，其單元平衡方程為例題單元剛度矩陣對于單元③和④，因為其幾何形狀及節(jié)點排列的順序與單元①完全相同，所以有例題單元③平衡方程單元④平衡方程★2.整體剛陣的疊加例題節(jié)點力與節(jié)點載荷平衡。以節(jié)點2為例，系統(tǒng)的有限元方程為結(jié)構(gòu)的基本方程為整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點荷載列陣為★

3.基本方程和約束條件的處理其中各項為約束反力。例題整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點位移向量為基本方程含有12個方程，包含6個未知位移和6個未知約束反力是可以求解的。如只求位移，可將約束的位移條件代入（劃行劃線法）。★

3.基本方程和約束條件的處理例題如節(jié)點4的約束反力★

4.求位移、支反力例題求解降階后的平衡方程即可求解節(jié)點位移。將節(jié)點位移向量代入整體平衡方程即可得到約束反力。例題★

5.求應變和應力以單元②為例，單元節(jié)點的編碼為i=2，j=5，m=3，從已解的整體結(jié)構(gòu)位移列