2020年第一章事件與概率案例版概率與統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)導(dǎo)引

實(shí)用文檔用心整理1-千里之行始于足下第一章事件與概率案例案例1某人有5把鑰匙，其中有2把房門(mén)鑰匙，但忘記了開(kāi)門(mén)的是哪二把，只好逐把試開(kāi)，問(wèn)此人在三次內(nèi)能打開(kāi)房門(mén)的概率是多少？分析第一次開(kāi)時(shí)可以從5把中任取一把，有種取法，第二次在剩下的4把中任取一把，有種取法，第三次又在剩下的3把中任取一把有種取法，共有種取法，即Ω含有6個(gè)基本事件。解答設(shè)A={三次內(nèi)打開(kāi)房門(mén)}，則三次都打不開(kāi)房門(mén)共有種開(kāi)法，所以A包含個(gè)基本事件。于是。案例2袋中有a+b張彩票，其中a張有獎(jiǎng)b張無(wú)獎(jiǎng)，現(xiàn)在把彩票隨機(jī)地一張張摸出來(lái)，求第k次摸出的彩票中獎(jiǎng)的概率(1≤k≤a+b).分析如果把a(bǔ)+b張彩票看成是各不相同的，可采用無(wú)重復(fù)的排列方法求解，則有解法1；如果構(gòu)造的樣本空間只考慮前k次摸彩票或第k次摸彩票，則可得解法2與解法3。解答1設(shè)A={第k次摸出的彩票中獎(jiǎng)}.把a(bǔ)+b張彩票隨機(jī)地一個(gè)個(gè)摸出來(lái)進(jìn)行全排列，樣本空間Ω含有(a+b)!個(gè)基本事件。A包含的基本事件數(shù)可以這樣考慮從a張有獎(jiǎng)彩票中任取一張排在第k個(gè)位置，有a種取法，其余a+b-1位置上相當(dāng)于a+b-1張彩票進(jìn)行全排列，有(a+b-1)!種排法。于是解答2把a(bǔ)張有獎(jiǎng)的和b張無(wú)獎(jiǎng)的彩票看作是各不相同的，樣本空間只考慮前k次摸摸彩票，基本事件總數(shù)為，其中第k個(gè)位置上排有獎(jiǎng)彩票的種數(shù)為從a張有獎(jiǎng)彩票中任取一個(gè)排在第k個(gè)位置上，再?gòu)挠嘞碌腶+b-1張任取k-1張排在前面k-1個(gè)位置上，共有種排法。于是解答3樣本空間只考慮第k次摸彩票?；臼录倲?shù)是從a+b張彩票中任取一張排在第k個(gè)位置上，有a+b種排法。而第k個(gè)位置排有獎(jiǎng)彩票的種數(shù)是從a張有獎(jiǎng)彩票中任取一張排在第k個(gè)位置上，有a種排法。于是評(píng)注（1）顯然所求事件的概率與k無(wú)關(guān)，即每一次摸到有獎(jiǎng)彩票的概率相同。這是抽簽問(wèn)題的模型，即抽簽時(shí)各人機(jī)會(huì)均等，與先后順序無(wú)關(guān)；（2）本例的三種解法，來(lái)自對(duì)樣本空間的不同構(gòu)造。在計(jì)算n，k時(shí)必須在已經(jīng)確定的樣本空間中進(jìn)行，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果；（3）本例也可作為條件概率問(wèn)題，用全概率公式求解，讀者不妨一試。案例3甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為.4，.5，.7。如果只有一人擊中，飛機(jī)被擊落的概率為.2；如果有兩人擊中，飛機(jī)被擊落的概率為.6；如果三人都擊中，飛機(jī)一定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率。分析要考慮飛機(jī)被擊落，必須先考慮有幾個(gè)人擊中飛機(jī)，然后利用全概公式計(jì)算其概率。解答設(shè)Ai分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，(i=1,2,3)，則由已知P(A1)=.4，P(A2)=.5，P(A3)=.若Bi={有i個(gè)人擊中飛機(jī)}，(i=,1,2,3)，A={飛機(jī)被擊落}，則由已知且注意到A1，A2，A3相互獨(dú)立，有=（1－.4）(1－.5)(1－.7)=.9,=.4×.5×.3+.6×.5×.3+.6×.5×.7=.3P(B2)=.41,P(B3)=.14,于是，由全概率公式得=.9×+.36×.2+.41×.6+.14×1=.45案例4已知產(chǎn)品中96%是合格品，現(xiàn)用一種簡(jiǎn)化的質(zhì)量檢查方法，它把真正的合格品判為合格品的概率為98%，而把廢品誤判為合格品的概率為5%.求被判為合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率。分析本例為已知試驗(yàn)的結(jié)果，即一個(gè)產(chǎn)品被判為合格品，尋找導(dǎo)致該結(jié)果的某種原因發(fā)生的可能性，即計(jì)算這個(gè)合格品來(lái)自合格品的可能性.可用逆概公式求解。解答設(shè)A={一產(chǎn)品確為合格品}，B={檢驗(yàn)后被判為合格品}，則={一產(chǎn)品為廢品}.由題設(shè)可知于是，由逆概公式得評(píng)注（1）該案例屬于全概和逆概問(wèn)題，一般這類(lèi)問(wèn)題所涉及的試驗(yàn)可分成兩步第一步的試驗(yàn)結(jié)果可構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，（或者說(shuō)可構(gòu)成一個(gè)完備事件組），在這些結(jié)果的基礎(chǔ)上再進(jìn)行第二步實(shí)驗(yàn)。（2）如果要求的是與第二步試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的某事件的概率，則利用全概公式。如果已知與第二步試驗(yàn)結(jié)果有關(guān)的某事件已經(jīng)發(fā)生，要求該事件發(fā)生的某種原因的概率，則利用逆概公式。案例5若每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的概率為.4%，混合1個(gè)人的血清，求混合血清中含有肝炎病毒的概率。分析每個(gè)人血清中含有肝炎病毒的事件是相互獨(dú)立的，且混合血清中含有病毒當(dāng)且僅當(dāng)1個(gè)人中至少一個(gè)人血清中含有病毒。解答設(shè)Ai={第i個(gè)人的血清中含有肝炎病毒}，(i=1,2,3,…,1)，則所求概率的事件可表示為于是評(píng)注(1)這類(lèi)問(wèn)題,要根據(jù)實(shí)際意義由試驗(yàn)的獨(dú)立性判斷事件的獨(dú)立性；(2)利用事