專題12 反比例函數(shù)與幾何綜合壓軸題的五種考法（解析版）-2024年?？級狠S題攻略（9年級上冊人教版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題12反比例函數(shù)與幾何綜合壓軸題的五種考法類型一、平行四邊形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點A，與軸交于點，分別過點作軸、軸的垂線，兩垂線交于點，函數(shù)的圖像與線段交于點交于點．

(1)求線段的長度；(2)試判斷點是否在函數(shù)的圖像上，并說明理由；(3)已知，點在軸上，點在函數(shù)的圖像上，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點在函數(shù)的圖像上．理由見解析(3)點坐標(biāo)為【分析】（1）先求得C的坐標(biāo)可得，然后再說明四邊形為矩形即可解答；（2）由題意可得點坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，進(jìn)而得到；再確定點的橫坐標(biāo)為，然后代入即可解答；（3）如圖：過點作于點，先根據(jù)坐標(biāo)求得，設(shè)點坐標(biāo)為，則，由平行四邊形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明≌可得，最后結(jié)合即可解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，坐標(biāo)為，即，軸，軸，，，四邊形為矩形，．（2）解：點在函數(shù)的圖像上．理由如下：點在函數(shù)的圖像上，點坐標(biāo)為，，可設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，，點A坐標(biāo)為點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，即，點在函數(shù)的圖像上．（3）解：如圖：過點作于點，

由（2）得，，，，即設(shè)點坐標(biāo)為，則四邊形是平行四邊形，，，在與中，，≌，即，，即點坐標(biāo)為．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)等知識點，靈活運用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，與反比例函數(shù)的圖象交于點，．

(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)表達(dá)式；(2)點為軸正半軸上一點，當(dāng)?shù)拿娣e為9時，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，將直線向上平移，平移后的直線交反比例函數(shù)圖象于點，交軸于點，點為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點，若以點、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；并寫出求解點的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．【答案】(1)，(2)(3)點坐標(biāo)為或或，見解析【分析】（1）先確定點坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)，，則，再由，求出的值即可求點坐標(biāo)；（3）先求平移后的直線解析式為，則，設(shè)，根據(jù)平行四邊形對角線的情況分三種情況討論即可．【詳解】（1）點，在反比例函數(shù)圖象上，，解得，，反比例函數(shù)的解析式為；設(shè)一次函數(shù)的解析式為，，解得，一次函數(shù)的解析式為；（2）直線與軸的交點，設(shè)，，，，，解得，；（3）設(shè)直線向上平移后的函數(shù)解析式為，在反比例函數(shù)圖象上，，，將點代入，則，平移后的直線解析式為，，設(shè)，①當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，，；②當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，，；③當(dāng)為平行四邊形的對角線時，，，；綜上所述：點坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式的方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)（k為常數(shù)，且，）的圖像經(jīng)過點兩點．(1)m與n的數(shù)量關(guān)系是(

)A．

B．

C．

D．(2)如圖2，若點A繞x軸上的點P順時針旋轉(zhuǎn)，恰好與點B重合．①求點P的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；②連接、，則的面積為_____；(3)若點M在反比例函數(shù)的圖像上，點N在y軸上，在（2）的條件下，是否存在以A、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)B(2)①，反比例函數(shù)的表達(dá)式為，②8(3)存在，或【分析】（1）把分別代入得：，即可解答；（2）①過點A作軸于點C，過點B作軸于點D，證明，得出，，，，根據(jù)，，即可求出m和n的值，進(jìn)而得到點P坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；②設(shè)所在直線函數(shù)表達(dá)式為，直線交x軸于點C，求出所在直線函數(shù)表達(dá)式為，再求出，則，最后根據(jù)即可求解；（3）根據(jù)M在反比例函數(shù)的圖像上，點N在y軸上，設(shè)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點坐標(biāo)公式，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：把分別代入得：，∴，整理得：，故選：B．（2）解：①過點A作軸于點C，過點B作軸于點D，∴，∴，∵點A繞x軸上的點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，恰好與點B重合∴，，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∵，∴，，，，∵，∴，∵，∴，∴，∵反比例函數(shù)的表達(dá)式為過，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；②設(shè)所在直線函數(shù)表達(dá)式為，直線交x軸于點C，將代入得：，解得：，∴所在直線函數(shù)表達(dá)式為，把代入得，解得：，∴，則，∴，故答案為：8．（3）解：∵M(jìn)在反比例函數(shù)的圖象上，點N在y軸上，∴設(shè)，∵以A、B、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，∴以A、B、M、N為頂點的四邊形對角線互相平分，①當(dāng)為對角線時，，解得：，∴；②當(dāng)為對角線時，，解得：，∴；∵，∴不符合題意，舍去③當(dāng)為對角線時，，解得：，∴綜上：存在，或．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，割補(bǔ)法求面積，平行四邊形的存在性問題，解決本題的關(guān)鍵在于各知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)．【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，交反比例函數(shù)的圖象于點，點E是反比例函數(shù)圖象上的一動點，橫坐標(biāo)為，軸交直線于點F，D是y軸上任意一點，連接、．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時，為等腰直角三角形；(3)點M是一次函數(shù)圖像上一動點，點N是反比例函數(shù)圖像上一動點，當(dāng)四邊形為平行四邊形時，求出點M的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）分是以為斜邊和以為直角邊的等腰直角三角形，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．（3）根據(jù)四邊形為平行四邊形，得到，，列式計算即可．【詳解】（1）解：把點A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，∴一次函數(shù)表達(dá)式為：；把點C的坐標(biāo)代入上式得：，故點C的坐標(biāo)為，將點C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：，∴反比例函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：①當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形，∴為直角，過點D作于點H，如下圖所示：設(shè)點E的坐標(biāo)為，則點，∵為等腰直角三角形，，∴，∴，解得（舍去），．經(jīng)檢驗是原方程的解；②當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時，如圖，∵點E的坐標(biāo)為，則點，∴，∴，解得：（負(fù)值已舍去），經(jīng)檢驗是原方程的解；綜上：當(dāng)或時，是等腰直角三角形．（3）∵四邊形為平行四邊形，∴，∵點M是一次函數(shù)圖像上一動點，點N是反比例函數(shù)圖像上一動點，設(shè)，則：，∴，∵，∴，∴，解得：（負(fù)值已舍去），經(jīng)檢驗：是原方程的解，∴．【點睛】本題主要考查了求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解分式方程，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解．類型二、菱形存在性問題例．如圖1，四邊形為正方形，點A在y軸上，點B在x軸上，且，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點C．(1)求點C的坐標(biāo)；(2)如圖2，將正方形沿x軸向右平移得到正方形，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求此時點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點P為y軸上一動點，平面內(nèi)是否存在點Q，使以點O、、P、Q為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)點Q的坐標(biāo)為或或或．【分析】（1）過點C作軸，交于點H，設(shè)，則，根據(jù)正方形的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出，，即可確定點C的坐標(biāo)；（2）利用（1）中方法確定，由點恰好落在反比例函數(shù)圖象上，確定函數(shù)圖象的平移方式即可得出點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意進(jìn)行分類討論：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)為對角線時；分別利用菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：過點C作軸，交于點H，∵，∴設(shè)，則，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∵反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點C，∴，∴；∴；（2）解：如圖所示，過點D作軸，，，同（1）方法可得：，∵，∴四邊形為矩形，∴，∴，∵點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，∴當(dāng)時，，即點A向右平移個單位得到點，∴即；（3）解：分三種情況討論，由（2）得點A向右平移個單位得到點，∴，∴，當(dāng)時，則且，∴，，即，；當(dāng)時，此時點與點Q關(guān)于y軸對稱，；當(dāng)為對角線時，此時，設(shè)，∴，解得，即，且，∴，即，綜上可得：點Q的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等，理解題意，（3）中根據(jù)菱形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象相交于點A、點，與軸交于點，其中點A的坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為．(1)試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)直接寫出不等式的解集．(3)點是軸上一點，點是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，以點，，，為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或(3)點的坐標(biāo)為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）求得點坐標(biāo)，觀察圖象，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上的部分即為符合題意部分，對照圖象直接寫出即可；（3）利用分類討論的方法分當(dāng)以為一邊時和當(dāng)以為一條對角線時兩種情況，分別畫出圖形，依據(jù)菱形的性質(zhì)和對稱性直接寫出即可．【詳解】（1）解：將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中得：，反比例函數(shù)的關(guān)系式為；（2）解：∵點的橫坐標(biāo)為，，，由圖象可知，不等式的解集為或；（3）解：當(dāng)以為一邊時，如圖所示：把，分別代入得：，解得：，∴，把代入得：，∴直線與y軸交點坐標(biāo)為：，設(shè)點，則，，∵，∴，即，解得：或（舍去），∴點，∴軸，∵菱形的對角線垂直平分，∴，∴軸，∴；當(dāng)以為一條對角線時，如圖，設(shè)點，則，，∵，∴，即，解得：，∴，菱形的對角線與互相平分，∴根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，與交點的坐標(biāo)為：，∴點的坐標(biāo)為：；綜上，以點，，，為頂點的四邊形是菱形，點的坐標(biāo)為或．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，雙曲線上點的坐標(biāo)的特征，菱形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】如圖，矩形的頂點、分別在、軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖像上，，，動點在軸的上方，且滿足．(1)_________．(2)若點在這個反比例函數(shù)的圖像上，求點的坐標(biāo)；(3)連接、，求的最小值；(4)若點是平面內(nèi)一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點P的坐標(biāo)．【答案】(1)12(2)(3)(4)，．【分析】（1）先確定B的坐標(biāo)，再把B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可得到答案；（2）設(shè)點P的縱坐標(biāo)為，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題；（3）過點，作直線軸．由（1）知，點P的縱坐標(biāo)為2，推出點P在直線l上作點O關(guān)于直線l的對稱點，則，連接交直線l于點P，此時的值最?。唬?）分四種情形分別畫出圖形，再利用勾股定理列方程求解即可解決問題；【詳解】（1）解：∵矩形，，，∴，∴（2）由（1）得：，動點在軸的上方，且滿足，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為，∴，∴，而點P在這個反比例函數(shù)圖象上時，則，∴，∴點P的坐標(biāo)為．（3）由（2）得：的縱坐標(biāo)為，則在直線上，過點，作直線軸．∴點P在直線l上作點O關(guān)于直線l的對稱點，則，連接交直線l于點P，此時的值最小，則的最小值．（4）①如圖2中，當(dāng)四邊形是菱形時，∴，設(shè)∴，解得：，∴，②如圖3中，當(dāng)四邊形是菱形時，∴，設(shè)∴，解得：，∴，綜上所述，點P的坐標(biāo)為，．【點睛】本題考查反比例函數(shù)綜合題、矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、勾股定理的應(yīng)用，軸對稱最短問題及解一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會理由軸對稱解決最短問題，學(xué)會用分類討論的首先思考問題，屬于中考壓軸題．【變式訓(xùn)練3】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=－2x+2與x軸交于點A，將直線l繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后，與y軸交于點B，過點B作BC⊥AB，交直線l于點C．(1)求點A和點C的坐標(biāo)；(2)如圖2，將△ABC以每秒3個單位的速度沿y軸向上平移t秒，若存在某一時刻t，使A、C兩點的對應(yīng)點D、F恰好落在某反比例函數(shù)的圖象上，此時點B對應(yīng)點E，求出此時t的值；(3)在（2）的情況下，若點P是x軸上的動點，是否存在這樣的點Q，使得以P、Q、E、F四個點為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合題意的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A（1，0），C（3，-4）(2)t=2s(3)存在，點Q的坐標(biāo)為（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．【分析】（1）過點C作CH⊥y軸于點H，利用AAS證明△AOB≌△BHC，得BH=AO=1，CH=BO，設(shè)OB=a，則OH=a+1，從而得出點C的坐標(biāo)，代入直線解析式即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)表示出D、F的坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征得出方程即可；（3）由（2）知E（0，3），F(xiàn)（3，2），設(shè)P（b，0），根據(jù)對角線進(jìn)行分類，利用兩點之間的距離公式列出方程，解方程可得答案．【詳解】（1）解：∵y=-2x+2與x軸交于點A，∴0=-2x+2，得x=1，∴點A（1，0）；過點C作CH⊥y軸于點H，∴∠CHB=∠BOA=90°，∵將直線l繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)45°后，與y軸交于點B，∴∠BAC=45°，又∵BC⊥AB，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB=BC，∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠CBH=90°，∴∠OAB=∠CBH，在△AOB和△BHC中，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH=AO=1，CH=BO，設(shè)OB=a，則OH=a+1，∴點C（a，-a-1），∵點C在直線l上，∴-a-1=-2a+2，∴a=3，∴C（3，-4）；（2）解：將△ABC以每秒3個單位的速度沿y軸向上平移t秒，A（1，0），B（0，-3），C（3，-4），∴點D（1，3t），點E（0，-3+3t），點F（3，-4+3t），∵點A、C兩點的對應(yīng)點D、F正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，∴1×3t=3×（-4+3t），∴t=2；（3）解：由（2）知E（0，3），F(xiàn)（3，2），設(shè)P（b，0），則，，，當(dāng)EF為對角線時，則PE=PF，即，∴，解得：b=，∴P（，0），點P（，0）向左平移個單位、向上平移3個單位到E（0，3），∴點F（3，2）向左平移個單位、向上平移3個單位到Q（3-，2+3），∴Q（，5）；當(dāng)EP為對角線時，則EF=PF，即，∴，解得：b=+3或+3，∴P（+3，0）或（+3，0），當(dāng)P（+3，0）時，同理得Q（，1）；當(dāng)P（+3，0）時，同理得Q（，1）；當(dāng)EQ為對角線時，則EF=PF，即，∴，解得：b=1或-1，∴P（1，0）或（-1，0），當(dāng)P（1，0）時，同理得Q（4，-1）；當(dāng)P（-1，0）時，同理得Q（2，-1）；綜上所述：點Q的坐標(biāo)為（2，-1）或（4，-1）或（，1）或（，1）或Q（，5）．【點睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，菱形的性質(zhì)等知識，運用方程思想是解題的關(guān)鍵．類型三、矩形存在性問題例．在平面直角坐標(biāo)系中，已知反比例函數(shù)的圖像與正比例函數(shù)的圖像交于點、點，與正比例函數(shù)的圖像交于點、點，設(shè)點、的橫坐標(biāo)分別為，()．

(1)如圖1，若點坐標(biāo)為．①求，的值；②若點的橫坐標(biāo)為，連接，求的面積．(2)如圖2，依次連接，，，，若四邊形為矩形，求的值．【答案】(1)①，；②(2)【分析】（1）①將點代入解析式，求得；

②根據(jù)反比例函數(shù)解析式可得，分別過點、作軸的垂線交軸于點、，根據(jù)，，，可得；（2）直線，經(jīng)過原點且與反比例函數(shù)分別交于點，，，，反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，則點，關(guān)于原點對稱，點、關(guān)于原點對稱，則四邊形為平行四邊形．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，根據(jù)，得出，根據(jù)在上，得出，，在上，得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：①點在上，，；點在上，，

②點的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，；分別過點、作軸的垂線交軸于點、，，，；

（2）解：直線，經(jīng)過原點且與反比例函數(shù)分別交于點，，，，反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，點，關(guān)于原點對稱，點、關(guān)于原點對稱，，，四邊形為平行四邊形．當(dāng)時，四邊形是矩形．點，的橫坐標(biāo)分別為，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，，，，，又在上，，，在上，，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，的幾何意義，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖像交于、B兩點．(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)將直線向上平移后與y軸交于點C，與雙曲線在第二象限內(nèi)的部分交于點D，如果的面積為16，求直線向上平移的距離；(3)E是y軸正半軸上的一點，F(xiàn)是平面內(nèi)任意一點，使以點A，B，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是矩形，請求出所有符合條件的點E的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)4(3)，【分析】（1）用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式即可；（2）連接、，設(shè)平移后直線的解析式為，得出點，根據(jù)直線平行直線，得出，根據(jù)點A、點B關(guān)于原點對稱，得出點，根據(jù)，列出關(guān)于b的方程，解方程即可；（3）設(shè)，，，得出，，，分兩種情況，當(dāng)為邊時，當(dāng)為對角線時，分別求出m的值即可．【詳解】（1）解：令一次函數(shù)中，則解得：，即點A的坐標(biāo)為，∵點在反比例函數(shù)的圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：連接、，如圖所示：設(shè)平移后直線的解析式為，∴點，∵直線平行直線，∴，∵的面積為16，∵點A、點B關(guān)于原點對稱，∴點，∴，∴，∴，∴，∴直線向上平移的距離為4．（3）解：設(shè)，，，則，，，①如圖，當(dāng)為邊時，此時滿足，即：，解得，∴；②如圖，當(dāng)為對角線時，此時滿足，即，解得（舍去），∴；【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)平移，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．【變式訓(xùn)練2】如圖，直線分別與x軸交于B，C兩點，與y軸交于A，D兩點，且，線段的長分別是方程的兩根，并且．(1)求點D的坐標(biāo)；(2)求過點E的反比例函數(shù)解析式；(3)若點M在坐標(biāo)軸上，平面是否存在點N，使得以A，E，M，N為頂點的四邊形為矩形？若存在，請寫出滿足條件的點N的個數(shù)，并任意寫3個滿足條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，N點坐標(biāo)為，，，，，【分析】（1）解方程求出，，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系得出，利用三角函數(shù)求出，即可確定點的坐標(biāo)；（2）用待定系數(shù)法求出直線和直線的解析式，聯(lián)立兩解析式求出點坐標(biāo)，即可得出過點的反比例函數(shù)的解析式；（3）根據(jù)在坐標(biāo)軸上，分情況討論求出的坐標(biāo)即可．【詳解】（1），解得，，，，，，，，，；（2）設(shè)直線的解析式為，分別把，代入，得解得直線的解析式為，同理直線的解析式，聯(lián)立解得的坐標(biāo)，過點的反比例函數(shù)解析式為；（3）存在，根據(jù)題意要使得以，，，為頂點的四邊形為矩形分以下幾種情況：①點在軸正半軸，且為邊時，，，，，即，，，即，過點作軸于，，，，，，設(shè)，則，，解得或（舍去），，，此時；②當(dāng)點在軸負(fù)半軸時，且為邊時，同理①可得，作軸于點，同理①可得；③點在軸，且為對角線時，此時點和點都在軸上，且，此時點的坐標(biāo)為，或，；④點在軸上，且為對角線時，此時，，⑤點在軸上，且為邊時，，，，，，，作于，，，，，設(shè)，則，，，，解得或（舍去），，，即此時，綜上所述，符合條件的點坐標(biāo)為，，，，，．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，兩點間距離公式，三角函數(shù)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握這些基礎(chǔ)知識并能靈活運用是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】如圖，已知點B坐標(biāo)為，點C與點B關(guān)于原點對稱，過點B作軸，交反比例函數(shù)的圖象于點A，若的面積為1．(1)求k的值；(2)如圖2，點D在第二象限，是直角三角形，，，求點D的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，點M為x軸上一點，點N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，若以A，D，M，N為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或或．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，再根據(jù)三角形面積求出，得到，最后利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，即可求出k的值；（2）過點D作軸于點E，先證明，得到，再根據(jù)角的正切值，得到，進(jìn)而得到，，最后根據(jù)第二象限點的坐標(biāo)特征即可得到答案；（3）分三種情況討論：①四邊形是矩形；②四邊形是矩形；③四邊形是矩形，先得到點M的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)中點公式求出中點P的坐標(biāo)，設(shè)點，再利用中點坐標(biāo)即可求出點N的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點B坐標(biāo)為，點C與點B關(guān)于原點對稱，，，的面積為1，，，軸，，點A在反比例函數(shù)上，，；（2）解：過點D作軸于點E，，，，，，，，，是直角三角形，，，，，，，，，，點D在第二象限，點D的坐標(biāo)為；（3）解：①四邊形是矩形，對角線、相交于點P，此時點M于點C重合，矩形，對角線、互相平分，點P為、的中點，、，點的坐標(biāo)為，設(shè)點N的坐標(biāo)為，，，，點N的坐標(biāo)為；②四邊形是矩形，對角線、相交于點P，設(shè)，則，，，，，，在中，，四邊形是矩形，，、互相平分，在中，，，解得：，，點P是的中點，點P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，設(shè)點，點P是的中點，，解得：，；③四邊形是矩形，對角線、相交于點P，此時點M與原點O重合，矩形，對角線、互相平分，、，點P是的中點，點P的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，設(shè)點，點P是中點，，，解得：，，綜上可知，點N的坐標(biāo)為或或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的意義，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)值，勾股定理，坐標(biāo)中點公式等知識，利用分類討論的思想解決問題是解題關(guān)鍵．類型四、正方形存在性問題例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點，點P是反比例函數(shù)的圖象上一動點，過點P作直線軸交直線于點Q，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，且，連接(1)求k，b的值.(2)當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點P的坐標(biāo).(3)設(shè)的中點為C，點D為x軸上一點，點E為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以B，C，D，E為頂點的四邊形為正方形時，求出點P的坐標(biāo).【答案】(1)(2)(3)或，【分析】（1）將點B代入求得進(jìn)而求得將A點坐標(biāo)代入求得n；（2）表示出的長，根據(jù)求得進(jìn)而得出點P的坐標(biāo)；（3）分為是邊，點D在x軸正半軸上和在負(fù)半軸上，以及為對角線．當(dāng)為邊時，點D在x軸正半軸上時，過點C作軸，作，證明，進(jìn)而得出，從而求得t的值，另外兩種情況類似方法求得．【詳解】（1）∵直線過點，∴，∴，∵直線過點，∴，∴，∵過點，∴；（2）∵點P的橫坐標(biāo)為t，∴，∴∴，∵，又，∴，∴，∴；（3）如圖1，∵，，∴當(dāng)是邊，點D在x軸正半軸上，作于F，作于G，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴（舍去），∴如圖2，當(dāng)點D在x軸的負(fù)半軸上時，由上知：，∴，∴，當(dāng)是對角線時，當(dāng)是對角線時，點D在x軸負(fù)半軸上時，可得：，∴，∴，∴，如圖4，，∴，∴，（舍去），當(dāng)時，，∴，綜上所述：或，.【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)關(guān)系式，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出列方程的等量關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點，與軸交于點，點是反比例函數(shù)的圖象上一動點，過點作直線軸交直線于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，且，連接，．(1)求，的值．(2)當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求點的坐標(biāo)．(3)設(shè)的中點為，點為軸上一點，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，當(dāng)以，，，為頂點的四邊形為正方形時，求出點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)或，【分析】（1）將點代入，求得，進(jìn)而求得，將代入可求得，再把點的坐標(biāo)代入，即可求得；（2）用含的代數(shù)式表示的長，根據(jù)鉛錘定理，解得，進(jìn)而求得點的坐標(biāo)；（3）分情況討論，當(dāng)是邊，點在軸正半軸上和點在軸的負(fù)半軸上；當(dāng)是對角線，點在軸負(fù)半軸上和點在軸正半軸上，證明，進(jìn)而得出，從而求得的值．【詳解】（1）解：直線過點，，，直線過點，，，過點，；（2）解：，，，，，，、、分別表示、、三點的橫坐標(biāo)，，解得，經(jīng)檢驗是原方程的解，；（3）解：如圖1，，，，當(dāng)是邊，點在軸正半軸上，作于，作于，，，，，，，，，，，，，（舍去），，如圖2，當(dāng)點在軸的負(fù)半軸上時，由上知：，，，當(dāng)是對角線時，當(dāng)是對角線時，點在軸負(fù)半軸上時，可得：，，，，，如圖4，，，，，（舍去），當(dāng)時，，，綜上所述：或，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運用分類討論的思想，畫出圖形，根據(jù)線段之間的和差關(guān)系列方程求解．【變式訓(xùn)練2】如圖，直線分別與反比例函數(shù)和的圖像交于A，B兩點，點B橫坐標(biāo)為2．

(1)求n的值．(2)若點C為圖像上一點，過點C作直線軸，交反比例函數(shù)于點D，當(dāng)時，求C點橫坐標(biāo)．(3)若點E在直線AB上，請在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點F，使得以C，D，E，F(xiàn)四點為頂點的四邊形是正方形，并求出點F的坐標(biāo)．【答案】(1)8(2)或(3)或或或【分析】（1）先求出B的坐標(biāo)，然后把B的坐標(biāo)代入求解即可；（2）設(shè)，則可求，然后根據(jù)三角形面積公式列出方程求解即可；（3）分以為邊，為對角線討論即可．【詳解】（1）解：∵點B橫坐標(biāo)為2，且B在直線上，∴，∴，把代入，得，解得；（2）解：由（1）知，設(shè)，∵軸，∴D的橫坐標(biāo)為c，又D在的圖像上，∴，∴，∵，∴，解得或；（3）解：設(shè)，則一、以為邊時，①如圖，四邊形為正方形，

則，C和E的縱坐標(biāo)相同，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，，∴；②如圖，四邊形為正方形，

則，D和E的縱坐標(biāo)相同，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），∴，，∴；二、以為對角線時，如圖，四邊形為正方形，

則是中點，，M和E的縱坐標(biāo)相同∴，把代入，得，解得，∴，∴，解得，（舍去），，（舍去）∴，，或，∴或綜上，點F的坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，正方形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是正確分類，畫出圖形，找出列方程的等量關(guān)系．類型五、相似存在性問題例．如圖，直線與雙曲線交于，兩點，已知點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，直線與軸交于點，與軸交于點．(1)求雙曲線和直線的解析式；(2)若點是雙曲線上的一點，的面積是的面積的倍，求點的坐標(biāo)；(3)若點在軸的負(fù)半軸上，是否存在以點，，為頂點構(gòu)成的三角形與相似？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)或(3)存在，點坐標(biāo)為或【分析】（1）由得，則點為，待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)一次函數(shù)得出、，得出，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)的面積是的面積的倍，建立方程，解方程即可求解；（3）根據(jù)題意得出是等腰直角三角形，因此，若存在，顯然只能在的左邊，勾股定理得出，設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出或，代入進(jìn)行計算即可求解．【詳解】（1）由得

從而，∴點為由此得

解得所以雙曲線的解析式為，直線的解析式為（2）如圖，、是直線與坐標(biāo)軸的交點，∴、則，由于在雙曲線上，設(shè)點的坐標(biāo)為，則據(jù)題意有，得所求P點的坐標(biāo)為(或（3）存在，點坐標(biāo)為，或如圖，，，是等腰直角三角形，且，∴因此，若存在，顯然只能在的左邊，設(shè)的坐標(biāo)為，要與相似，則要或即或解之得或所以點坐標(biāo)為，或，【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練1】在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與邊交于點D，與邊交于點E，的面積為2．(1)求m與n的數(shù)量關(guān)系及線段的長；(2)當(dāng)時，求m，n的值和直線的解析式；(3)設(shè)P是線段上的點，在（2）的條件下，是否存在點P，以B、C、P為頂點的三角形與相似？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)，，直線的函數(shù)解析式為：；(3)點P的坐標(biāo)為；．【分析】（1）將D、E代入反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出n，m的關(guān)系；利用的面積為2，可求得；（2）利用的面積為2，得出m的值，進(jìn)而得出D，E，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)關(guān)系式即可；（3）分和兩種情況，分別利用圖形分析得出即可．【詳解】（1）解：如圖1，過點E作，垂足為H．∵D、E在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴；∵的面積為2，∴，∴；（2）解：∵D，，∴B，∵即，∴．∵，∴，∴D，E，B．設(shè)直線的解析式為，代入B、E，得，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為：；（3）解：①如圖2，作于F，于H，當(dāng)時，，∴，∵，∴，∴，可得，∴，∴點P的坐標(biāo)為；②如圖3，當(dāng)時，，∵，由勾股定理，，∴，，∴，，，