高中數(shù)學題型全面歸納（學生版）：第七節(jié)空間角與距離

第七節(jié)空間角與距離

考綱解讀

1.掌握各種角的定義，弄清異面直線所成的角與兩直線所成的角，二面角與二面角的平

面角，直線與平面所成的角和斜線與平面所成的角，二面角與兩平面所成的角的聯(lián)系

與區(qū)別，弄清他們各自的取值范圍。

2.細心體會求空間角的轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想，熟練掌握平移，射影等方法。

知識點精講

一、空間角的定義和范圍

（1）兩條異面直線所成角。的范圍是（0,-］，當夕金時，這兩條異面直線互相垂直。

（2）斜線A0與它在平面。內(nèi)的射影AB所成角，叫做直線與平面所成的角。

平面的斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的任一直線所成角中最小的

角，如果直線和平面垂直，那么直線與平面所成的角為之如果直線和平面平行或直線

2

在平面內(nèi)，那么就是直線和平面所成的角為o.直線和平面所成的角的范圍為［o,勺；斜

線和平面所成的角的范圍為（0,；）,

（3）從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的角叫做二面角，這條直線叫做二面角的

棱，這兩個半平面叫做二面角的面，棱為I，兩個平面分別為a,￡的二面角記做

a-Z-P,二面角的范圍是［0,“］

（4）一個平面垂直于二面角的公共棱且與兩個半平面的交線分別是射線OA,OB,

則NA08叫做二面角的平面角，平面角是直角的二面角叫做直二面角，相交成直

二面角的兩個平面垂直。

二、點到平面距離的定義

點到平面的距離即點到它在平面內(nèi)的正射影的距離。

題型歸納及思路提示

題型118空間角的計算

思路提示

求解空間角如異面直線所成角，直線與平面所成角，二面角的平面角的大??；常用

的方法有：（1）定義法；（2）選點平移法；（3）垂線法：（4）垂面法；（5）向量法。

一、異面直線所成的角

方法一:通過選點平移法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為共面相交的兩直線的夾角來求

解，但要注意兩條異面直線所成角的范圍是（0,

2」

方法二：向量法，設(shè)異面直線a和b的方向向量為6和B，利用夾角余弦公式可求

I兩

得a和b的夾角大小a且cos—?—?O

a=|cos<a,b>\=|a||bi

例8.59【2016高考新課標I理】平面a過正方體ABO481GA的頂點A,a〃平面CS。,

al平面ABC/"％,al平面A88|A1=〃，則〃］，〃所成角的正弦值為

A白_V21

A---D--------D-

223

變式1如圖8-219所示，在長方體48CD-41816歷中,4B=4。=LAA］=2,M是棱

CG的中點，求異面直線41M和QD］所成的角的正切值.

圖8-219

變式2如圖8-220所示，在三棱柱ABC-A/iG中，H是正方形44出8的中

心,44]=2五,C、H_L平面441B1BGH=展，求異面直線4c與必瓦所成角的余弦值.

圖8-220

例8.60（2017全國II卷理）已知直三棱柱ABC—A4cl中，/ABC=120°,AB=2,

8C=CG=1,則異面直線Ag與BQ所成角的余弦值為（）

A百R岳cMDG

----D.-----V.-----U.----

2553

變式1如圖8—224所示，已知正方體4BCD-勺比6％，點E是正方形BCG玩的

中心，點G是棱的中點，設(shè)E1,Gi分別是E，G在平面DCCWi內(nèi)的正投影。求異面直線E[G]

與EA所成角的正弦值。

變式2如圖8-225所示，在四棱錐尸-ABCO中，底面A8CO是矩形，P4_L底面4BCRE

是PC的中點。已知A8=24)=2?,B4=2.求異面直線BC與AE所成的角的大小.

圖8-225

二、直線與平面所成的角

方法一:（垂線法）直線與平面所成的角就是直線與此直線在平面內(nèi)的射影直線所成的角.

過直線上一點作出平面的垂線，得到垂足，而射影直線就通過斜足與垂足，因此作出平面的垂

線是必要的一步.具體步驟是:①先作出該角;②在直角三角形中求解.

方法二:（向量法）直線與平面所成的角為直線的方向向量與平面的法向量所成的銳角的

余角.

如圖8-226所示，設(shè)直線/的方向向量為彳，平面。的法向量為元，直線/和平面。所成

的角為〃，則<@t>+〃吟或因為。的取值范圍是［0,7所以

sind=]coS<i；,ri>\=^

圖8-226

方法三：（點面距法）利用相關(guān)方法求出直線上一點到平面的距離”，再求出此點與斜足間

的距離/,設(shè)直線和平面所成角的大小為。，則sin8

例8.61（2017天津文17）如圖，在四棱錐P-A6C。中，平面尸。C,AD//BC,

PD1PB,AD=1,BC=3,8=4,PD=2

（I）求異面直線AP與8C所成的角的余弦值

（II）求證：PD1平面P3C

（III）求直線AB與平面所成角的正弦值

變式1如圖8-229所示，在棱長為2的正方體4BCD-勺&6/中，點E是BQ的中點.

求DE與平面ABCD所成角的正切值.

圖8-229

變式2如圖8-230所示，在三棱錐V-ABC中，底面ABC,ACLBC,點。是AB

的中點，且AC=BC=a,ZVDC=0(O<6<》當8變化時，求直線BC與平面VAB所成角的

取值范圍.

圖8-230

變式3如圖8-231所示，在RtAAOB中，乙408』,斜邊AB=4,RtAA0C可以通過RtA

6

A08以A0為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，動點O在斜邊AB上，

求CD與平面AOB所成角正切的最大值.

圖8-231

三、二面角的平面角

求二面角的平面角的方法有：（1）根據(jù)定義，即在公共棱上取一點分別在兩個半平面內(nèi)

作棱的垂線，兩條垂線所成的角即為二面角的平面角；（2）利用三垂線定理及其逆定理；（3）

當二面角由兩個等腰三角形構(gòu)成時，利用底邊的額兩條中線；（4）求正棱錐側(cè)面夾角時利用

三角形全等；（5）在直棱柱中求截面與底面夾角時，用二面角的面積射影定理

S^=S^\cos6\,其中8為二面角的大小;（6）利用空間向量求解二面角，轉(zhuǎn)化為兩個平面的

法向量夾角，公共棱不明顯的二面角常用此法來求，但應(yīng)注意法向量而，記的夾角與二面角

e的大小是相等或互補的（需要根據(jù)具體情況判斷想等或互補）。

例8.62.（2017全國H卷理）如圖，四棱錐P—ABC。中，側(cè)面陰。為等邊三角形且垂直

于底面ABC。，AB=BC=-AD,-=90。，E是PD的中點.

2

（1）證明：直線CE〃平面B4B；

（2）點M在棱PC上，且直接8M與底面ABCD所成角為45°,求二面角"―A5—。的

余弦值.

變式1如圖8-234所示，在四面體0ABe中，0CL0A,OCLOB,ZAOB=\20Q,且

OA=OB=OC=1,求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.

圖8-234

變式2如圖8-235所示,四棱錐S-ABCD的底面是正方形,SOL平面ABCD,

SD=2a，AD=?&>0)。點E是SO上的點，且OE=2a(0<A42)。

設(shè)二面角C-AE-D的大小為仇直線BE與平面ABCD所成角為y，若tandStan<p=l<求2

值。

圖8-235

變式3如圖8-236所示，正方形A8C。和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEVAC,

EF〃AC,AB=y/2,CE=EF=1,二面角A-BE-D的大小.

圖8-236

例8.63(2017天津理)如圖，在三棱錐P—ABC中，Q4_L平面ABC,NBAC=90°,點

。,￡"分別為棱抬,「。,3。的中點，M是線段AO的中點，PA=AC=4,AB=2

(I)求證：MN〃平面BDE

(II)求二面角C—EM—N的正弦值

(III)已知點”在棱24上，且直線NH與直線的所成的角的余弦值為立，求線段

21

的長

B

變式1如圖8-239所示，四棱錐S-ABCD中，平面ABCD,AB^DC,ADLDC,

AB=AD=1,DC=SD^2,E為棱SD上的一點，平面EDCJ■平面SBC,求二面角A-DE-C的

大小。

圖8-239

變式2如圖8-240所示，已知正三棱柱—的各棱長都是4,E是BC的中點,

動點F在側(cè)棱CG上，且不與點C重合，設(shè)二面角C-AF-E的大小為仇求tan8的最小值。

圖8-240

變式3如圖8-241所示,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,Q為BC的中點，POL平面ABC,

垂足。落在線段AD上.若8c=8,P0=4工0=3,00=2,求二面角B-AP-C的大小.

圖8-241

例8.64(2016年新課標I理18)如圖，在己A,B,C,D,E,F為頂點的五面體中，面

ABEF為正方形，AF=2FQ,DA

(I)證明平面ABE尸tEFDC；

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

FA

變式1如圖8-244所示，四棱錐P-ABC。中，底面A8CQ為平行四邊形，ZDAB=60°,

AB=24DPO_L底面ABC。。若PO=4。，求二面角A-P8-C的余弦值.

圖8-244

變式2如圖8-245所示，在四棱錐P-ABCD中,PA_L平面ABCD,底面ABCD為棱形,AB=2,

/BAD=60°,當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長。

圖8-245

變式3如圖8-246所示，四棱錐P-ABCD中，PAABCD,BC=CD=2,AC=4,

4CD=^ACB=60°,F為PC的中點，AF1PB.

⑴求PA的長；

(2)求二面角B-AF-D的正弦值。

圖8246

變式4如圖8-247所示，四棱柱ABC。-481Goi的底面ABCD是正方形，O為底面中心,

0Ax1平面ABCD,AB=AAt=叵

(1)證明：4iC_L平面

⑵求平面。C比與平面BBiDQ的夾角8的大小。

圖8-247

題型119點到平面距離的計算

思路提示

求解點到平面的距離，常用方法有：

(1)定義法，作出點到免的垂線，，垂線段的長度就是點到平面的距離，通常是借助某個直角

三角形來求解。

(2)轉(zhuǎn)化法，利用等體積法或者線面平行的位置關(guān)系，將點A到平面a的距離轉(zhuǎn)化為與其相

關(guān)的點B到平面a的距離。

(3)向量法，點P為平面a外一點，點Q為平面a上的任一點，■為平面a的法向量，點P

到平面a的距離d=空。

1"1

例8.65如圖8-248所示，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2,4CB=90°,AP=BP=AB,

PC14C,求點C到平面PAB的距離。

變式1如圖8-250所示，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的棱形，"1BC=45°，

OA1底面ABCD、OA=2,求點、B到平面OCD的距離。

圖8-250

變式2如圖8-251所示，四棱錐P-ABCD為矩形，PA\底面ABCD,PA=AB=近，求直

線AD與平面PBC的距離。

圖8-251

例8.66如圖8-252所示，正三棱柱ABC-A^\C\的所有棱長都為2,D為CG的中點，求

點C到平面48D的距離。

圖8-252

變式1如圖8-253所示，在四棱錐P-ABCD中

PD1底面ABCD,PD=DC=BC=1,AB//CD,/BCD=90°,點A到平面PBC的

距離.

圖8-253

變式2如圖8-254所示,三角形BCD與三角形MCD都市邊長為2的正三角形，平面MCD±

平面BCD,ABj^BCD,AB=2?求點A到平面M8C的距離。

C

圖8-254

例8.67如圖8-255所示，在直三棱柱ABC—48G中，底面是等腰直角三角形，且AC=2,

NACB=90°,側(cè)棱A4=2,D,E分別是CCi與4B的中點。求點4到平面AED的距離.

圖8-255圖8-256

變式1如圖8-257所示，已知ABC。一ABICQI是底面邊長為1的正四棱柱，Oi為4c

與BQ的交點,若點C到平面AB◎的距離為泉求正四棱柱ABCDfBC。的高。

圖8-257

變式2如圖8-258所示，四棱錐P-ABCD中P4j.成顏BCD,四邊形ABCD中，

AD±AB,AB+AD=4,CD=也NCDA=45°,AB=AP。

(1)若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；

(2)在線段AD上是否存在一個點G,使得點G到點P,B,C,D的距離相等？說明理由。

圖8-258

最有效訓練題37（限時45分鐘）

1.正方體ABCD-A/CQi中AB=4A=2,A2=1,E為CCi的中點，則異面直線BG與AE

所成角的余弦值為（)

,舊c同c2V15n3^10

A.—B.—C.——D.——

10101010

2.如圖8-259所示，在正三棱柱A8C—A]8iG中，AB=A\A,則AQ與平面BCGa所成

角的正弦值為（）

A.B.—D.-

54

B

圖8-259

3.已知兩平面的法向量分別為蔡=（0,1,0）,片=（0,1,1）,,則兩平面所成的二面角為（）

445°B.1350C.45°最135°D.9O0

4.二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，且都垂直與AB,

已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2VI7,則該二面角的大小為（）

4.150°8.45°C.60°D.12O0

5.如圖8-260所示,正方體428—Ai-止萬的棱長為1,O為底面4/CiA的中心，則點

O到平面ABC\D\的距離為（）

Dt

圖8-260

6.正四棱錐P-ABCD的底面邊長為2,高為3,E.F