高中數(shù)學(xué)課堂講義-統(tǒng)計(jì)案例 公司員工的肥胖情況調(diào)查分析

高中數(shù)學(xué)課堂講義一統(tǒng)計(jì)案例公司員工的肥胖情

況調(diào)查分析

目錄

1.教學(xué)大綱........................................................................1

2.知識(shí)點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)...............................................1

3.知識(shí)點(diǎn)二總體離散程度的估計(jì).................................................2

4.練習(xí)............................................................................3

5.探究點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算........................................4

6.探究點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì).................................................5

7.探究點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì).................................................8

8.課堂作業(yè)......................................................................10

9.課時(shí)作業(yè)（三十六）總體集中趨勢(shì)的估計(jì)總體離散程度的估計(jì)..................12

1.教學(xué)大綱

新課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求

1.結(jié)合教材實(shí)例了解樣本數(shù)字特征（平均數(shù)、中

.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的集

1位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差）的含義.（數(shù)學(xué)抽

中趨勢(shì)參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)），水平

象）

理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2.結(jié)合教材實(shí)例會(huì)計(jì)算樣本的數(shù)字特征.（數(shù)學(xué)

2.結(jié)合實(shí)例，能用樣本估計(jì)總體的離

運(yùn)算）

散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差），

水平會(huì)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.（數(shù)

理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

據(jù)分析）

2.知識(shí)點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)

1.眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的含義及體現(xiàn)

特征量含義在頻率分布直方圖中的體現(xiàn)

取最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)

眾數(shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

的橫坐標(biāo)

將數(shù)據(jù)按從大到小或從小到

把頻率分布直方圖劃分為左

大的順序依次排列，處在最中

中位數(shù)右兩個(gè)面積相等的部分，分界

間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間

線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）.

每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小

平均數(shù)樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之

和

2.總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

第1頁(yè)共38頁(yè)

(1)平均數(shù)和中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布

的形態(tài)有關(guān)；

(2)對(duì)一個(gè)單峰的頻率分布直方圖來(lái)說(shuō)，如果直方圖的形狀是對(duì)稱的(圖(1)),

那么平均數(shù)和中位數(shù)應(yīng)該大體上差不多；如果直方圖在右邊“拖尾”(圖(2)),那

么平均數(shù)大于中位數(shù)；如果直方圖在左邊“拖尾”(圖(3)),那么平均數(shù)小于中位

數(shù)，也就是說(shuō)，和中位數(shù)相比，平均數(shù)總是在“長(zhǎng)尾巴”那邊；

(3)對(duì)數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢(shì)的描述，可以用

平均數(shù)、中位數(shù)；對(duì)分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)等)集中趨勢(shì)

的描述，可以用眾數(shù).

［點(diǎn)撥］一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)都是唯一的；而眾數(shù)不一定唯一，可以

有一個(gè)，也可以有多個(gè).

3.知識(shí)點(diǎn)二總體離散程度的估計(jì)

1.極差

一種簡(jiǎn)單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法是極差.極差越大，波動(dòng)范圍越大.

2.平均距離與方差、標(biāo)準(zhǔn)差

假設(shè)一組數(shù)據(jù)是K,X2,…，X”，用1表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).我們用每

個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對(duì)值作為“距離”，即|(z=l,2,…，ri)

作為國(guó)到1的“距離”.可以得到這組數(shù)據(jù)加，X2,…，尤”到三的"平

均距離”為*刃XLXI.

-ri

絕對(duì)值改用平方來(lái)代替，即:z.孑-2,我們稱之為

第2頁(yè)共38頁(yè)

這組數(shù)據(jù)的方差.取它的算術(shù)平方根，即(而一刀)2,我們稱之為

這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

3.總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差.

如果總體中所有個(gè)體的變量值分別為妨，丫2,…，加，總體平均數(shù)為了,

則稱酸得z(K-T)2為總體方差，s=p為總體標(biāo)準(zhǔn)

尸1

差.

如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有MkWAQ個(gè)，不妨記為72,…,

匕，其中匕出現(xiàn)的頻率為fi(i=1,2,k),則總體方差為S2=T,

__________________________________________________k

Yfi(Yi-Y)2.

/=1

4.樣本方差'樣本標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個(gè)樣本中個(gè)體的變量值分別為yi,yi,yn,樣本平均數(shù)為y，

則稱$2=］5(VL；)2為樣本方差,S=P為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

-產(chǎn)1

［點(diǎn)撥］(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小.標(biāo)準(zhǔn)差、

方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越??；

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：［0,4-0°).

標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)全相等，表明數(shù)據(jù)沒(méi)有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)

沒(méi)有離散性；

(3)標(biāo)準(zhǔn)差的平方52稱為方差，有時(shí)用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測(cè)量樣本數(shù)據(jù)的離散

程度.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測(cè)量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差；

(4)標(biāo)準(zhǔn)差的單位與樣本數(shù)據(jù)一致.

4.練習(xí)

1.判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“x”)

第3頁(yè)共38頁(yè)

(1)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù).()

(2)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).()

(3)平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起

平均數(shù)的變化.()

(4)數(shù)據(jù)的方差越大，樣本數(shù)據(jù)分布越集中、穩(wěn)定.()

答案：(1)X(2)V(3)V(4)X

2.已知一組數(shù)據(jù)4,6,5,8,7,6,那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為()

A.5B.6

C.7D.8

4+6+5+8+7+6

Br-----------6-----------=6.]

3.現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，其平均數(shù)為3,且這10個(gè)數(shù)的平方和是100,那么這組

數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是（）

A.1B.2

C.3D.4

2

A[由X2得$2=LX100—3=L.".5=1.]

4.國(guó)家射擊隊(duì)要從甲、乙、丙、丁四名隊(duì)員中選出一名選手去參加射擊比

賽，四人的平均成績(jī)和方差如下表：

■

—T

iii

平均成績(jī)二8

.5.8.8

方差,28.7

.5.5.1

則應(yīng)派參賽最為合適.

解析：由表可知，丙的平均成績(jī)較高，且發(fā)揮比較穩(wěn)定，應(yīng)派丙去參賽

最合適.

答案：丙

5.探究點(diǎn)一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算

第4頁(yè)共38頁(yè)

例⑴某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人,95分的有1人,

90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績(jī)的

平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.85,85,85B.87,85,86

C.87,85,85D.87,85,90

（2）已知一組數(shù)據(jù)XI,X2,X3,X4,X5,的平均數(shù)是2,那么另一組數(shù)據(jù)2X1

—3,2x2—3,2x3—3,2x4—3,2x5—3的平均數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：（1）從小到大列出所有數(shù)學(xué)成績(jī)：75,80,85,85,85,85,90,

90,95,100,觀察知眾數(shù)和中位數(shù)均為85,計(jì)算得平均數(shù)為87.

（2）因?yàn)橐唤M數(shù)據(jù)X2,X3,右的平均數(shù)是2,所以另一組數(shù)據(jù)2xi—3,

2x2—3,2x3—3,2x4—3,2x5—3的平均數(shù)為2X2—3=1.故選A.

答案：⑴C（2）A

方法技巧

平均數(shù)'眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法

平均數(shù)一般是根據(jù)公式來(lái)計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)

按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算.

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

對(duì)某同學(xué)的六次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：

788383859091

給出關(guān)于該同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)的以下說(shuō)法：①中位數(shù)為84；②眾數(shù)為85；③平

均數(shù)為85；④極差為12.其中，正確說(shuō)法的序號(hào)是.

解析：由題可得中位數(shù)為==84,故①正確；眾數(shù)為83,故②錯(cuò)誤;

丁1-78+83+83+85+90+91

平均數(shù)為----------7---------------------=85,故③正確；極差為91-78=13,故④

錯(cuò)誤.

答案：①③

6.探究點(diǎn)二總體集中趨勢(shì)的估計(jì)

第5頁(yè)共38頁(yè)

例及《某班主任利用周末時(shí)間對(duì)該班級(jí)2020年最后一次月考的語(yǔ)文作文分

數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)都位于20?55之間，現(xiàn)將所有分?jǐn)?shù)情況分為[20,25),

[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55],共七組，其頻

率分布直方圖如圖所示，已知〃z=2〃.

(1)求頻率分布直方圖中加，〃的值;

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該班級(jí)這次月考語(yǔ)文作文分?jǐn)?shù)的眾數(shù)，平均數(shù)

和中位數(shù).(每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表)

解析：(1)由已知及頻率分布直方圖的性質(zhì)，

m=2n,

得

(0.01+0.03+0.06+^+0.03+〃+0.01)X5=l,

加=0.04,

解得

〃=0.02.

(2)①觀察頻率分布直方圖，每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表，所以估

計(jì)該班級(jí)這次月考語(yǔ)文作文分?jǐn)?shù)的眾數(shù)為32.5.

②該班級(jí)這次月考語(yǔ)文作文分?jǐn)?shù)的平均數(shù)約為

22.5X0.05+27.5X0.15+32.5XO.3+37.5X0.2+42.5XO.15+47.5X0.1+

52.5X0.05=36.25,

③因?yàn)?0.01+0.03+0.06)X5=0.5,所以該班級(jí)這次月考語(yǔ)文作文分?jǐn)?shù)的中

位數(shù)約為35.

方法技巧

用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)

(1)眾數(shù)：取最高小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)；

(2)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，把頻率分布直方圖劃分為左右兩個(gè)面積

相等的部分的分界線與無(wú)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為中位數(shù)；

(3)平均數(shù)：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中

每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

第6頁(yè)共38頁(yè)

［對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練］

1.某校為了解全校高中學(xué)生五一小長(zhǎng)假參加實(shí)踐活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽查了

100名學(xué)生統(tǒng)計(jì)他們假期參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)（單位：h）,繪制成頻率分布直方

圖如圖所示.

（1）估計(jì)這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)；

（2）估計(jì)這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的上四分位數(shù).

解析：（1）由頻率分布直方圖可以得到最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7,

故這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的眾數(shù)的估計(jì)值為7h.

由頻率分布直方圖中小矩形的面積之和為1得，（0.04+0.12+0.15+〃+

0.05）X2=1,解得。=0.14,則估計(jì)這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的中位數(shù)為

0.5—(0.04+0.12)X2

6+0.15X2X2=7.2(h).

估計(jì)這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為0.04X2X3+0.12X2X5

+0.15X2X7+0.14X2X9+0.05X2X11=7.16（h）.

（2）由頻率分布直方圖可知，參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)在［2,4）的有0.04X2X100

=8（人），同理，參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)在［4,6）的有24人，參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)

在［6,8）的有30人，參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)在［8,10）的有28人，參加實(shí)踐活動(dòng)的

時(shí)長(zhǎng)在［10,12］的有10人，

所以上四分位數(shù)位于［8,10）內(nèi)，為8+2X；Q-G98.93（h）.

U.9—U0.OZ

所以上四分位數(shù)約為8.93h.

2.某校學(xué)生日睡眠時(shí)間的抽樣頻率分布表如下：

日睡眠時(shí)間頻頻

頻數(shù)累計(jì)

（時(shí)）數(shù)率

[6,6.5)正50

第7頁(yè)共38頁(yè)

.05

10

[6.5,7)正正正T

7.17

30

[7,7.5)正正正正正正1：

3.33

30

[7.5,8)正正正正正正正正T

7.37

0

[8,8.5)正一6

.06

0

[8.5,9]T2

.02

11

合計(jì)

00.00

試估計(jì)該校學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間.

解析：方法一：樣本中，總的日睡眠時(shí)間約為6.25X5+6.75X17+7.25X33

+7.75X37+8.25X6+8.75X2=739(時(shí)),故該校學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間約為

739X00=7.39(時(shí)).

方法二：求各個(gè)區(qū)間的中間值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和：

6.25X0.05+6.75X0.17+7.25X0.33+7.75X0.37+8.25X0.06+8.75X0.02

=7.39(時(shí)).

故該校學(xué)生的平均日睡眠時(shí)間約為7.39小時(shí).

7.探究點(diǎn)三總體離散程度的估計(jì)

例?《對(duì)劃艇運(yùn)動(dòng)員甲、乙兩人在相同的條件下進(jìn)行了測(cè)試，分別從中隨機(jī)

抽取6次測(cè)試，得到他們的最大速度(單位:m/s)如下:甲:2.7,3.8,3.0,3.7,

3.5,3.1；

乙：，3.3,2.9,3.8,3.4,2.8,3.6.

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試判斷他們誰(shuí)更優(yōu)秀.

解析：因?yàn)闊o(wú)甲=3.3,x乙=3.3,

所以4=1X[(2.7-3.3)2+(3.8-3.3)2+(3.0-3.3)2+(3.7-3.3)2+(3.5-

第8頁(yè)共38頁(yè)

3.3)2+(3.1-3.3)2]^0.157,

si=：X[(3.3-3.3)2+(2.9-3.3)2+(3.8-3.3)2+(3.4-3.3)2+(2.8-3.3)2+

(3.6-3.3)2]^0.127.

因?yàn)楣=T乙，S*>51,所以兩人最大速度的平均數(shù)相同，而乙比甲

更穩(wěn)定，故乙比甲更優(yōu)秀.

方法技巧

用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差、方差估計(jì)總體的方法

(1)用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差

的近似.實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不相等時(shí)，需先分析平均水平，再

計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差(方差)分析穩(wěn)定情況.

(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍是[0,+8).

(3)因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差與原始數(shù)據(jù)的單位相同，且平方后可能夸大了偏差的程度，

所以雖然方差與標(biāo)準(zhǔn)差在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)的

離散程度上是一樣的，但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差.

[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

為了了解某校九年級(jí)400名學(xué)生的體質(zhì)情況，隨機(jī)抽查了20名學(xué)生，測(cè)試

1min仰臥起坐的成績(jī)(次數(shù))，測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

30353233283634282540

28323042373633312624

(1)20名學(xué)生的平均成績(jī)最是多少？標(biāo)準(zhǔn)差s是多少？

試估計(jì)九年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)和標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)次數(shù)位于7—s與7+s之間的有多少位同學(xué)？所占的百分比是多

少？

——1

解析：(1)20名學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)辇?記(30+35+32+33+28+36+

34+28+25+40+28+32+30+42+37+36+33+31+26+24)=32.

方差$2=而(4+9+0+1+16+16+4+16+49+64+16+0+4+100+25

+16+1+1+36+64)=22.1,

第9頁(yè)共38頁(yè)

即標(biāo)準(zhǔn)差s=.22.1^4.7.

所以估計(jì)九年級(jí)學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?2,標(biāo)準(zhǔn)差為4.7.

（2）7—s-32—4.7=27.3,T+S^32+4.7=36.7,所以次數(shù)位于三一s

與x+s之間的有14位同學(xué)，所占的百分比是70%.

8.課堂作業(yè)

1.某校高一年級(jí)8個(gè)班參加合唱比賽的得分如下：

9189909294879396

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是（）

A.91.5和91.5B.91.5和92

C.91和91.5D.92和92

A「.?這組數(shù)據(jù)由小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,96,

91+92

二中位數(shù)是一―=91.5.

〒…—87+89+90+91+92+93+94+96

平均數(shù)x=----------------------g----------------------=91.5.］

2.（多選）甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)

圖如圖所示，則（）

t頻數(shù)［頻數(shù)

33|-i

22

1八.nnrinn..,1…而一口.一

0|345678910環(huán)數(shù)0\345678910環(huán)數(shù)

甲乙

A.甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)

B.甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)

C.甲的成績(jī)的第80百分位數(shù)等于乙的成績(jī)的第80百分位數(shù)

D.甲的成績(jī)的極差等于乙的成績(jī)的極差

——日—4+5+6+7+8—3X5+6+9

CD［由通圖可侍,x甲=q=6,x乙==6.A

項(xiàng)錯(cuò)誤；甲的成績(jī)的中位數(shù)為6,乙的

7+3

成績(jī)的中位數(shù)為5,B項(xiàng)錯(cuò)誤；甲的成績(jī)的第80百分位數(shù)一廠=7.5,乙的成

第10頁(yè)共38頁(yè)

績(jī)的第80百分位數(shù)一y-=7.5,所以二者相等，所以C項(xiàng)正確；甲的成績(jī)的極

差為4,乙的成績(jī)的極差也為4,D項(xiàng)正確.

3.已知某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1：3：6,2020年8月份調(diào)查得

知該省二、三、四線所有城市房產(chǎn)均價(jià)為1.2萬(wàn)元/平方米，方差為20,二、三、

四線城市的房產(chǎn)均價(jià)分別為2.4萬(wàn)元/平方米，1.8萬(wàn)元/平方米，0.7萬(wàn)元/平方米,

三、四線城市房?jī)r(jià)的方差分別為10,8,則二線城市的房?jī)r(jià)的方差為.

解析：設(shè)二線城市的房?jī)r(jià)的方差為V,由題意可知

2

20=]+；+6-+(2.4—1.2)2]+]+；+6X[10+(1.8-1.2)]+1+^+6[8

+(0.7—1.2)2],解得$2=117.98,即二線城市的房?jī)r(jià)的方差為117.98.

答案：117.98

4.根據(jù)某公路段在某一時(shí)間內(nèi)監(jiān)測(cè)到的車(chē)速，繪制了頻率分布直方圖如圖

所示.

(1)求縱坐標(biāo)中參數(shù)。的值及第三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積；

(2)求眾數(shù)01,中位數(shù)V2的估計(jì)值；

(3)求平均車(chē)速石及方差f的估計(jì)值.

解析：⑴因?yàn)樗行￠L(zhǎng)方形的面積之和為1,所以10Xa+10X3a+

10X4a+10X2a=1,解得a=0.01.

第三個(gè)小長(zhǎng)方形的面積S=10X4a=10X0.04=0.4.

(2)車(chē)速的眾數(shù)v\=\X(60+70)=65.由中位數(shù)兩邊直方圖的面積相等，可

得

10X0.01+10X0.03+0.04X(u2-60)=0.5,

解得02=62.5.

(3)平均車(chē)速亍=0.01X10X45+0.03X10X55+0.04X10X65+

第11頁(yè)共38頁(yè)

0.02X10X75=62.

？=0.1X(45-62)2+03X(55-62)2+0.4X(65—62)2+0.2X(75—62)2=81.

9.課時(shí)作業(yè)(三十六)總體集中趨勢(shì)的估計(jì)總體離散程

度的估計(jì)

(本欄目?jī)?nèi)容，在學(xué)生用書(shū)中以獨(dú)立形式分冊(cè)裝訂！)

[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.10名工人某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,

17,16,14,12.設(shè)其平均數(shù)為a,中位數(shù)為兒眾數(shù)為c,則有()

A.a>b>cB.c>b>a

C.c>a>bD.b>c>a

B［將生產(chǎn)的件數(shù)由小到大排列為：10,12,14,14,15,15,16,17,

17,17,

二。=擊(15+17+14+10+15+17+17+16+14+12)=14.7,中位數(shù)為b

萬(wàn)~=15,

眾數(shù)為c=17.因此，c>/?>a.故選B.]

2.甲、乙兩名同學(xué)在5次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

甲：8889909192

乙：8388898991

若甲、乙兩名同學(xué)的平均成績(jī)分別用工甲，1乙表示，則()

A.x甲>x乙，且甲比乙穩(wěn)定B.x甲>x乙，且乙比甲穩(wěn)定

C.x甲<x乙，且甲比乙穩(wěn)定D.x甲Vx乙，且乙比甲穩(wěn)定

—1

A[x甲=5X(88+89+90+91+92)=90,

,耳=|義[(88—90)2+(89—90)2+(90—90)2+(91—90)2+(92—90)2]=2.

—1

x乙=5X(83+88+89+89+91)=88,

第12頁(yè)共38頁(yè)

si=1X[(83—88)2+(88—88)2+(89—88產(chǎn)+(89—88)2+(91—88)2]=72

所以工?>7乙，且甲比乙穩(wěn)定.]

3.（多選）已知數(shù)據(jù)XI,XI,九3的中位數(shù)為左，眾數(shù)為機(jī)，平均數(shù)為〃，方差

為P,則下列說(shuō)法中，正確的是（）

A.數(shù)據(jù)2加，2x2,2x3的中位數(shù)為2Z

B.數(shù)據(jù)2xi,2x2,In的眾數(shù)為2〃？

C.數(shù)據(jù)2xi,2足，2x3的平均數(shù)為2〃

D.數(shù)據(jù)2幻，2x2,2x3的方差為2P

ABC[若數(shù)據(jù)xi,X2,九3的中位數(shù)為k,眾數(shù)為機(jī)，平均數(shù)為〃，則由性質(zhì)

知數(shù)據(jù)2xi,2x2,2x3的中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，故A,B,C

正確；由方差的性質(zhì)知數(shù)據(jù)2xi,2x2,2x3的方差為4p,故D錯(cuò)誤；故選ABC.]

4.（多選）國(guó)家為了實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)“雙循環(huán)”大戰(zhàn)略，對(duì)東部和西部地區(qū)的多個(gè)

縣市的某一類經(jīng)濟(jì)指標(biāo)進(jìn)行調(diào)查，得出東部，西部?jī)山M數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示,

則下列結(jié)論正確的是（）

東部西部

-8To_一

6331125

86311245

98313116679

21449

1150

A.西部的平均數(shù)為13.3

B.東部的極差小于西部的極差

C.東部的30%分位數(shù)是11.6

D.東部的眾數(shù)比西部的眾數(shù)小

ACD[對(duì)于A：(11.2+11.5+12.4+12.5+13.1+13.1+13.6+13.6+13.7+

13.9+14.4+14.9+15.0)73=13.3即西部的平均數(shù)為13.3,故A正確;

對(duì)于B：東部的最大值為15.1,最小值為10.8,極差為15.1-10.8=4.3；

西部的最大值為15.0,最小值為11.2,極差為15.0—為.2=3.8<4.3；故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：東部共13個(gè)數(shù)據(jù)，13義30%=3.9,即從小到大的第4個(gè)數(shù)11.6為

東部的30%分位數(shù)，所以東部的30%分位數(shù)是11.6,故C正確；

對(duì)于D：東部的眾數(shù)為11.3,西部的眾數(shù)為13.1和13.6均大于11.3,故D

第13頁(yè)共38頁(yè)

正確；故選ACD.]

5.（多選）甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學(xué)生每分鐘錄入漢字的

個(gè)數(shù)經(jīng)統(tǒng)計(jì)計(jì)算后填入下表：

班參加中方平

級(jí)人數(shù)位數(shù)差均數(shù)

14113

甲55

9915

15113

乙55

1105

下列結(jié)論中，正確的是（）

A.甲、乙兩班學(xué)生成績(jī)的平均水平相同

B.乙班優(yōu)秀的人數(shù)多于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)2150個(gè)為優(yōu)

秀）

C.甲班的成績(jī)波動(dòng)情況比乙班的成績(jī)波動(dòng)大

D.甲班成績(jī)的眾數(shù)小于乙班成績(jī)的眾數(shù)

ABC[甲、乙兩班成績(jī)的平均數(shù)都是135,故兩班成績(jī)的平均水平相同，

，A正確；s*=191>110=51，，甲班成績(jī)不如乙班穩(wěn)定，即甲班成績(jī)波動(dòng)較

大，，C正確；甲、乙兩班人數(shù)相同，但甲班成績(jī)的中位數(shù)為149,乙班成績(jī)的

中位數(shù)為151,從而易知乙班每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)2150個(gè)的人數(shù)要多于甲班，.I

B正確；由題表看不出兩班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)，D錯(cuò)誤.]

6.某工廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測(cè).如圖是根據(jù)抽樣檢測(cè)后的數(shù)據(jù)繪制

的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重（單位：克）的范圍是[96,106],樣本數(shù)據(jù)分組

為[96,98）,[98,100）,[100,102）,[102,104）,[104,106].已知樣本中產(chǎn)品

凈重小于100克的個(gè)數(shù)是36,下列結(jié)論：①樣本中凈重大于或等于98克并且小

于102克的產(chǎn)品的個(gè)數(shù)是60；②樣本的眾數(shù)是101；③樣本的中位數(shù)是當(dāng)；

④樣本的平均數(shù)是101.3.

第14頁(yè)共38頁(yè)

頻率/組距

0.150

0.125

0.100

0.075

0.050

9698100102104106產(chǎn)品凈重/克

其中結(jié)論正確的是.(寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào))

解析：由題意可知樣本中凈重小于100克的產(chǎn)品的頻率為(0.05+0.1)X2

=0.3,所以樣本量為懸=120,

所以樣本中凈重在[98,102)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為(0.1+0.15)X2X120=60,①正確.

由題圖知，最高小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是101,故眾數(shù)是101,②正確.

因?yàn)樽钭筮叺膬蓚€(gè)小矩形的面積和是0.3,最右邊的兩個(gè)小矩形的面積和是

0.4,故中位數(shù)為100+2H：入2=券，③正確.

U.o-U.33

樣本的平均數(shù)是2X(97X0.05+99X0.1+101X0.15+103X0.125+

105X0.075)=101.3,④正確.

答案：①②③④

7.已知一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到一1,0,4,x,7,14,中

位數(shù)為5,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,方差為.

解析：-1,0,4,x,7,14的中位數(shù)為5，

.4+x_._

=5,??X~~6.

-1+0+4+6+7+14

...這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

]74

這組數(shù)據(jù)的方差是5X(36+25+l+l+4+81)=y.

74

答案：5y

8.五個(gè)數(shù)1,2,3,4,。的平均數(shù)是3,則。=,這五個(gè)數(shù)的標(biāo)

準(zhǔn)差是.

1+2+3+4+。

解析：由=3,得a=5；

第15頁(yè)共38頁(yè)

由52=1x[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2得，標(biāo)準(zhǔn)差s

=也.

答案：56

9.在一次高三年級(jí)統(tǒng)一考試中，數(shù)學(xué)試卷有一道滿分為10分的選做題，

學(xué)生可以從A,B兩道題目中任選一題作答.某校有900名高三學(xué)生參加了本

次考試，為了了解該校學(xué)生解答該選做題的得分情況，計(jì)劃從900名學(xué)生的選

做題成績(jī)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為10的樣本，為此將900名學(xué)生的選做題成績(jī)隨

機(jī)編號(hào)為001，002,900.若采用分層隨機(jī)抽樣，按照學(xué)生選擇A題目或B

題目，將成績(jī)分為兩層，且樣本中選擇A題目的成績(jī)有8個(gè)，平均數(shù)為7,方

差為4；樣本中選擇B題目的成績(jī)有2個(gè)，平均數(shù)為8,方差為1.試用樣本

估計(jì)該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)與方差.

解析：設(shè)樣本中選擇A題目的成績(jī)的平均數(shù)為T(mén),方差為52；樣本中

選擇B題目的成績(jī)的平均數(shù)為了，方差為巴則三=7,$2=4,7=8,t2

=1,

8x+2y8X7+2X8

所以樣本的平均數(shù)為=-~~5~-=7.2,

方差為七｛8X[4+(7-7.2)2]+2X[14-(8-7.2)2])=3.56.

故該校900名學(xué)生的選做題得分的平均數(shù)約為7.2,方差約為3.56.

10.某種瓶裝液體，因?yàn)檠b瓶機(jī)的不穩(wěn)定性，所以很可能使每瓶的含量都

不是標(biāo)準(zhǔn)的含量.我們隨機(jī)抽出了20瓶，測(cè)得它們的含量(單位：百毫升)如下：

12.111.912.212.212.012.112.912.112.312.5

11.712.412.311.811.312.111.411.611.212.2

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)，確定適當(dāng)分組，列出頻率分布表，畫(huà)出頻率分布直方圖；

(2)計(jì)算出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差(結(jié)果精確到0.01)；

(3)結(jié)合(1)(2)的結(jié)果，根據(jù)實(shí)際意義寫(xiě)一個(gè)簡(jiǎn)短的報(bào)告，對(duì)總體情況作出估

計(jì).

解析：(1)頻率分布表如下：

第16頁(yè)共38頁(yè)

頻頻

分組頻數(shù)累計(jì)

數(shù)率

0

[11.0,11.5)T3

.15

0

[11.5,12.0)iF4

.20

10

[12.0,12.5)正正一

1.55

0

[12.5,13.0)T2

.10

21

合計(jì)

0.00

頻率分布直方圖如下:

頻率/組距

11.011.512.012.513.0含量/百毫升

——1

(2)平均數(shù)x=20(12.1+11.9+12.24----1-12.2)12.02,

方差$2=*［(12.1—12.02)2+(11.9—12.02)2+(12.2—12.02)2+3+(12.2—

12.02溝心0.17.

(3)根據(jù)方差的值可知數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差也很小，對(duì)比平均數(shù)來(lái)看，這個(gè)波動(dòng)程度

是可以接受的.從頻率分布直方圖中也可以看出，每瓶的含量大致位于［1L5,

12.5］內(nèi).因此，判斷裝瓶機(jī)工作穩(wěn)定.

［B級(jí)能力提升］

11.(多選)對(duì)甲、乙兩個(gè)大學(xué)生一周內(nèi)每天的消費(fèi)額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到兩組樣

本數(shù)據(jù)，甲：40,53,57,62,63,57,60；乙：47,63,52,59,45,56,

63.則下列判斷正確的是()

A.甲消費(fèi)額的眾數(shù)是57,乙消費(fèi)額的眾數(shù)是63

B.甲消費(fèi)額的中位數(shù)是57,乙消費(fèi)額的中位數(shù)是56

第17頁(yè)共38頁(yè)

C.甲消費(fèi)額的平均數(shù)大于乙消費(fèi)額的平均數(shù)

D.甲消費(fèi)額的方差小于乙消費(fèi)額的方差

ABC[對(duì)于A,甲組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為57,乙組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)為63,正確;

對(duì)于B,甲消費(fèi)額的中位數(shù)是57,乙消費(fèi)額的中位數(shù)是56,正確；對(duì)于C,x

1—1

甲=亍(40+53+57+57+60+62+63)=56,x乙=,(45+47+52+56+59+63

+63)=55,可得三甲乙，正確；對(duì)于D,s*=1[(40-56)2+(53-56)2+

(57—56產(chǎn)+(57—56)2+(60—56)2+(62—56產(chǎn)+(63—56)2]=52.571,si=1[(45

-55)2+(47-55)2+(52-55)2+(56-55)2+(59-55)2+(63-55)2+(63-

55月心45.429,可得或,可得甲消費(fèi)額的方差大于乙消費(fèi)額的方差，故D

錯(cuò)誤.]

12.為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)

保知識(shí)測(cè)試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為加°,眾數(shù)為加°,平

均數(shù)為7,則()

10得分

me=m<）=xB.me—mo<x

me<m（）<xD.x

D[由題圖可知，30名學(xué)生的得分情況依次為：2個(gè)人得3分，3個(gè)人得4

分，10個(gè)人得5分，6個(gè)人得6分，3個(gè)人得7分，2個(gè)人得8分，2個(gè)人得9

分，2個(gè)人得10分.中位數(shù)為第15,16個(gè)數(shù)(分別為5,6)的平均數(shù)，即%=

—1

5.5,5出現(xiàn)的次數(shù)最多，m。=5,尤=而X(2X3+3X4+10X5+6X6+3X7

+2X8+2X9+2X10)-5.97.于是得mo<me<x.]

第18頁(yè)共38頁(yè)

章末復(fù)習(xí)與總結(jié)

歸納、整理、綜合所學(xué)知識(shí)

思維導(dǎo)圖——知識(shí)體系構(gòu)建

厘清知識(shí)主線，理順邏輯關(guān)系二

普查

學(xué)會(huì)使用統(tǒng)計(jì)軟件作統(tǒng)計(jì)圖表、計(jì)算樣

-I實(shí)際問(wèn)題）~［抽樣調(diào)查

本平均數(shù)，樣本方差等特征值,有利于

積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)思想簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

T抽樣）―［分層隨機(jī)抽樣

在頻率分布立方圖中，估計(jì)樣

樣本頻率分布

本的中位數(shù)是難點(diǎn)

,、樣本的百分位數(shù)

樣本具有隨機(jī)性，所以作出的［學(xué)習(xí)誤區(qū)）

-薪潢—樣本的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)果具彳i偶然性

統(tǒng)計(jì)知識(shí)梳理）一I樣本標(biāo)準(zhǔn)一、方差、極一

求一組數(shù)據(jù)的平均值，中位數(shù)、總體的取值規(guī)律

方差等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核

總體的百分位數(shù)

心素養(yǎng)

選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表分析數(shù)據(jù),-［總體數(shù)據(jù)）一總體的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)

■（核心素養(yǎng)總體標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差

運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)-（用樣本估計(jì)總體洋迫一年—

學(xué)科能力培優(yōu)練思維提能力，解題觸類旁通。

一、數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)的基本思想，是形成理性思維的重要基礎(chǔ)，通過(guò)抽象、概

括去認(rèn)識(shí)、理解、把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，能逐漸養(yǎng)成一般性思考問(wèn)題的習(xí)慣.在

本章中，數(shù)學(xué)抽象主要體現(xiàn)在隨機(jī)抽樣中.

題型一隨機(jī)抽樣

例0M（1）問(wèn)題：①某小區(qū)有800戶家庭，其中高收入家庭200戶，中等收入

家庭480戶，低收入家庭120戶，為了了解有關(guān)家用轎車(chē)購(gòu)買(mǎi)力的某個(gè)指標(biāo)，

要從中抽取一個(gè)容量為100的樣本；②從10名學(xué)生中抽取3人參加座談會(huì).方

法（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；（2）分層隨機(jī)抽樣,則問(wèn)題與方法配對(duì)正確的是（）

A.①⑴,②⑵B.①⑵,②⑴

C.①⑴，②⑴D.①⑵，②⑵

（2）一個(gè)單位有職工800人，其中具有高級(jí)職稱的160人，具有中級(jí)稱職的

320人，具有初級(jí)職稱的200人，其余人員120人.為了解職工收入情況，決定

采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從中抽取樣本量為40的樣本.則從上述各層中依次

第19頁(yè)共38頁(yè)

抽取的人數(shù)分別是（）

A.12,24,15,9B.9,12,12,7

C.8,15,12,5D.8,16,10,6

解析：（1）問(wèn)題①中的總體是由差異明顯的幾部分組成的，故可采用分層

隨機(jī)抽樣方法；問(wèn)題②中總體的個(gè)數(shù)較少，故可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.故匹配正

確的是B.

（2）因?yàn)槌闃颖葹楹?［，故各層中依次抽取的人數(shù)分別是黑=8,啜

oUUZvZUZX）

,200八120,

=16,而=10,