天津市濱海新區(qū)2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市濱海新區(qū)2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷參考公式：球的表面積、體積公式：，，為球的半徑．一、選擇題1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴，又，∴.故選：B.2.已知，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件〖答案〗D〖解析〗若，，，則，則，∴“”是“”的不充分條件；若，∵，∴，即，∴“”是“”的必要條件；綜上，“”是“”的必要不充分條件．故選：D．3.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，由函數(shù)的圖象，的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)；在上，函數(shù)圖象與軸存在交點(diǎn).由此分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，其定義域?yàn)椋?，為偶函?shù)，不符合題意；對(duì)于B，，其定義域?yàn)?，有，為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象與軸存在交點(diǎn)，符合題意；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，故恒成立，所以該函數(shù)圖象在上與軸不存在交點(diǎn)，不符合題意；對(duì)于D，，其定義域?yàn)椋袨榕己瘮?shù)，不符合題意.綜上所述，只有選項(xiàng)B的函數(shù)滿足，故選：B．4.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，則,故.故選：C.5.已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.4 B.8 C.12 D.16〖答案〗D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故選：D．6.下列說(shuō)法中正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位數(shù)為6B.將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)正數(shù)后，方差變大C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為和，則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)D.在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，則的值越接近1，判斷兩個(gè)變量有關(guān)的把握越大〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A：將數(shù)據(jù)從小到大排列為：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，又，所以第百分位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)加上同一個(gè)正數(shù)后，方差不變，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，則越接近與，則和的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，因?yàn)?，所以甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，故C正確；對(duì)于D：在列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，的值越大，則兩個(gè)變量有關(guān)的把握越大，故D錯(cuò)誤；故選：C.7.已知函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)有下列四個(gè)說(shuō)法：（1）函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱（3）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)（4）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增以上四個(gè)說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗對(duì)于（1），由，所以不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心，所以（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2）中，由，所以不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸，所以（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3）中，令，可得，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得，所以在內(nèi)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，所以（3）正確；對(duì)于（4）中，由，可得，此時(shí)函數(shù)不單調(diào)函數(shù)，所以（4）錯(cuò)誤.故選：A.8.我國(guó)有著豐富悠久的“印章文化”，古時(shí)候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時(shí)代表身份的信物，后因其獨(dú)特的文化內(nèi)涵，也被作為裝飾物來(lái)使用．圖1是明清時(shí)期的一個(gè)金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)可以看作是一個(gè)正四棱柱和一個(gè)正四棱錐組成的幾何體，如圖2.已知正四棱柱和正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，體積之比為3:1，且該幾何體的頂點(diǎn)在球的表面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱柱和正四棱錐的體積之比為，且共一個(gè)底面，正四棱柱和正四棱錐的高相等，設(shè)正四棱柱和正四棱錐的高為，該幾何體外接球的半徑為，易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱錐的外接球，，解得，∴球O的表面積為．故選：A．9.已知雙曲線的焦點(diǎn)在，過(guò)點(diǎn)的直線與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M?N兩點(diǎn)(點(diǎn)位于點(diǎn)M與點(diǎn)N之間)，且，又過(guò)點(diǎn)作于P(點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn))，且，則雙曲線E的離心率（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，可得如下示意圖：其中，知：，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若與x軸夾角為，即，∴，由，即可得.故選：C第Ⅱ卷二、填空題10.若復(fù)數(shù)z滿足（為虛數(shù)單位），則z的虛部為__________.〖答案〗2〖解析〗由題意，復(fù)數(shù)滿足，即，所以復(fù)數(shù)的虛部為．11.在二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為______．〖答案〗〖解析〗展開式的通項(xiàng)公式為令，解得，則的系數(shù)為故〖答案〗為：12.已知圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，直線與相交于兩點(diǎn)，且，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．〖答案〗〖解析〗依題意可知拋物線的焦點(diǎn)為，圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則，又∵，∴則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故〖答案〗為：．13.隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展越來(lái)越好，外出旅游的人越來(lái)越多，現(xiàn)有兩位游客慕名來(lái)天津旅游，他們分別從天津之眼摩天輪、五大道風(fēng)景區(qū)、古文化街、意式風(fēng)情街、海河觀光游船、盤山風(fēng)景區(qū)，這6個(gè)隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩，兩位游客都選擇天津之眼摩天輪的概率為________．這兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪的條件下，他們選擇的景點(diǎn)不相同的概率________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件表示“兩位游客都選擇天津之眼摩天輪”，則；設(shè)事件表示“兩位游客中至少有一人選擇天津之眼摩天輪”，事件表示“他們選擇的景點(diǎn)不相同”，則，，∴．故〖答案〗為：．14.在平行四邊形中，，，點(diǎn)在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為________（請(qǐng)用表示）；若，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗作EF于F．∵，且四邊形為平行四邊形，故，則，那么，，∴，又，故，∴，故，∴，即，則在向量上的投影向量為；，，如圖以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，作軸于Q，則，則，則．設(shè)，則，又，∴，，，∴．作軸于P，則，，則．故，故，令，∵在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故，即的最小值為．故〖答案〗為：；．15.已知函數(shù)若函數(shù)（）（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗時(shí)，，單調(diào)遞增，的圖象：令，函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)k＝0時(shí)，，如圖，顯然，函數(shù)與函數(shù)的圖象不可能有4個(gè)交點(diǎn)，不符題意；②當(dāng)k＜0時(shí)，如圖，要使函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個(gè)交點(diǎn)，則，則；③當(dāng)k＞0時(shí)，如圖，要使函數(shù)與函數(shù)的圖象恰好有4個(gè)交點(diǎn)，則與在時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，令，則與在時(shí)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，令，，則，∴在時(shí)單調(diào)遞增，∵，，，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．∴，∴如圖：∴．綜上所述，．故〖答案〗為：．三、解答題16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，．（1）求角的大?。海?）求的值；（3）求的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，∴，∴，∴．又因?yàn)?，可得；?）在中，由余弦定理及，，，有，故；（3）由，可得，因?yàn)?，所以，故為銳角，故，因此，．所以，．17.如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，側(cè)棱A1A⊥平面ABC，點(diǎn)D是棱CC1的中點(diǎn).（1）證明：BB1⊥平面AB1C；（2）求點(diǎn)B1到平面ABD的距離；（3）求平面BCD與平面ABD的夾角的余弦值.（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取則，所以.（2）解：由（1）知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，所以點(diǎn)B1到平面ABD的距離為；（3）解：由（1）知，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，設(shè)平面BCD與平面ABD的夾角為，則.18.已知橢圓：（）的離心率為，分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)（），點(diǎn)在橢圓上且位于軸下方，設(shè)和的面積分別為，．若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②若直線與直線交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，設(shè)直線和直線的斜率為，，求證：為定值，并求出此定值．（1）解：由題意得，又，解得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①解：由（1）可得，點(diǎn)（）橢圓上，代入橢圓方程得，連接，∵，，，∴，∴直線的方程為，聯(lián)立，解得或（舍去），．②證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為：，又，，直線的方程為，由，解得，∴，由，得，，則，∴，則，，依題意、不重合，∴，即，∴，直線的方程為，令，即，解得，，，定值．19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列是公比大于1的等比數(shù)列，且，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列，的所有項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，放在的前面；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，放在的前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列：，，，，，，，…，求數(shù)列的前7項(xiàng)和及前項(xiàng)和；（3）是否存在數(shù)列，滿足等式成立，若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，，可知，所以．又，所以數(shù)列的公差，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，，．所以，．得到，聯(lián)立得解得或（舍去），代入中，解得得數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由題意（3）由已知得①當(dāng)時(shí)，②，①②兩式相減得：，當(dāng)時(shí)，也符合③所以，對(duì)于都成立．又當(dāng)時(shí)④成立③④兩式相減得：，經(jīng)檢驗(yàn)也符合故存在．20.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，①求函數(shù)的圖象在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程；②若對(duì)任意的，均有，則稱為在區(qū)間上的下界函數(shù)，為在區(qū)間上的上界函數(shù)．若，且為在上的下界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）當(dāng)時(shí)，若，,且,設(shè)，.證明：．（1）解：①當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)圖像在處的切線斜率．又因?yàn)?，所以函?shù)的圖象在處的切線