高中數學必修三統(tǒng)計概率大題

必修三統(tǒng)計概率

解答題（共26小題）

1.某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數據如下表:

年份2007200820092010201120122013

年份代號t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

（I）求y關于t的線性回歸方程；（U）利用（I）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均

純收入的變化情況，并預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式

n__

，,E（t.-7）（y--y）八一一

分別為：b=izi___________________，a=y~bt-

n-9

￡（t「t）2

i=l

2.對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數進展統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的

次數.根據此數據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組頻數頻率

|10,15)100.25

[15,20)24n

[20,25)mP

[25,30]20.05

合計M1

（I）求出表中M,p及圖中a的值；

（H）假設該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間[10,15）內的人數；

（?。┰谒颖局校瑥膮⒓由鐓^(qū)服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數在區(qū)間[25,

30）內的概率.

3.某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如以以下列圖，其中成績分組區(qū)間是：[50,60）,[60,70）,

[70,80）,[80,90）,[90,100].

(1)求圖中a的值；

(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；

(3)假設這100名學生語文成績某些分數段的人數（x）與數學成績相應分數段的人數（y）之比方表所示，求數學成

績在[50,90）之外的人數.

分數段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)亙

x：y1：12：13：44：5

4.某公司有一批專業(yè)技術人員，對他們進展年齡狀況和承受教育程度（學歷）的訪

學歷35歲以下35?50歲50歲以上

本科803020

研究生X20y

（I）用分層抽樣的方法在35?50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個容量為5冰.

中任取2人，求至少有1人的學歷為研究生的概率；50M*0S090100ca

（口）在這個公司的專業(yè)技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10

人，再從這N個人中隨機抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為互，求x,y的值.

39

5.為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下:

性別男女

是否需要志愿

需要4030

不需要160270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關

(3)根據(2)的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例說明理由.附:

2

n(ad-be)p(k2>k)0.00.0100.001

R2_

'(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)k3.8416.63510.828

6.某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制

頻率分布直方圖(如以以下列圖)，其中樣本數據分組區(qū)間為[40,50],[50,60]，…，[80,90],[90,100]

(1)求頻率分布圖中a的值；

(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

(3)從評分在[40,60]的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40,50]的概率.

7.某網站針對2014年中國好聲音歌手A,B,C三人進展網上投票，結果如下：

觀眾年齡支持A支持B支持C

20歲以下200400800

20歲以上(含20歲)100100400

(1)在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A,求n的值.

(2)在支持C的人中，用分層抽樣的方法抽取6人作為一個總體，從這6人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以

下的概率.

8.某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組；第一組[13,

14),第二組[14,15),第五組[17,18],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)假設成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數；

(2)設m,n表示該班某兩位同學的百米測試成績，且m,ne[13,14)U[17,18],求事件"|m-n|>l"的概率.

9.某工廠生產的產品A的直徑均位于區(qū)間[110,118]內(單位：mm).假設生產一件產品A的直徑位于區(qū)間[110,112],

[112,114],[114,116],[116,118]內該廠可獲利分別為10,20,30,10(單位：元)，現從該廠生產的產品A中隨

機100件測量它們的直徑，得到如以以下列圖的頻率分布直方圖.

(I)求a的值，并估計該廠生產一件A產品的平均利潤；

(U)現用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間[112,116)內的產品中隨機抽取一個容量為5的樣

本，再從樣本中隨機抽取兩件產品進展檢測，求兩件產品中至少有一件產品的直徑位于區(qū)間[114,116)內的概率.

10.某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以[160,180),)180,200),[200,200),[220.240),[240,260),

[260,280),[280,300)分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中x的值；(2)求月平均用電量的眾數和中位數；

(3)在月平均用電量為，[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取

11戶居民，則月平均用電量在[220.240)的用戶中應抽取多少戶

12.某校在一次考試中，5名學生的數學和地理成績如表：

學生的編號i12345

數學成績X8075706560

地理成績y7066686462

(1)根據上表，利用最小二乘法，求出y關于x的線性回歸方程j=Rx+；〔其中個=0.36)；

(2)利用(1)中的線性回歸方程，試估計數學90分的同學的地理成績(四舍五入到整數)；

(3)假設從五人中選2人參加數學競賽，其中1、2號不同時參加的概率是多少

13.為了研究某種細菌在特定環(huán)境下，隨時間變化繁殖情況，得如下實驗數據：

天數t(天)34567

繁殖個數y(千個)).53k.―仁

(1)求y關于t的線性回歸方藕一

(2)利用11)中的回歸方程，預測t=8時，細菌繁殖個數.

￡(口-t)-y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：b=------------------------,a=y-bt.

￡Ct-7)2

i=l

14.某校100名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區(qū)間如下：

組號第一組第二組第三組第四組第五組

分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

(I)求圖中a的值；

(口)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生期中考試數學成績的平均分；

(印)現用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其

中恰有1人的分數不低于90分的概率

15.20名學生某次數學考試成績(單位：分)的頻率分布直方圖如圖：

(I)求頻率分布直方圖中a的值；in)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學生人數；

(m)從成績在[50,70)的學生任選2人，求此2人的成績都在[60,70)中的概率.

16.某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學生參加數學競賽，他們取得的成績(總分值100分)的莖葉圖如

圖，其中甲班學生的平均分是85,乙班學生成績的中位數是83.

(1)求x和y的值；(2)計算甲班7位學生成績的方差$2；

(3)從成績在90分以上的學生中隨機抽取兩名學生，求甲班至少有一名學生的概率.

17.某單位N名員工參加"社區(qū)低碳你我他”活動.他們的年齡在25歲至50歲之間.按年齡分組：第1組[25,30),

第2組[30,35),第3組[35,40),第4組[40,45),第5組[45,50],得到的頻率分布直方圖如以以下列圖.下表是

年齡的頻率分布表.

區(qū)間[25,30)[30,35][35,40][40,45][45,50]

人數25ab

(1)求正整數a,b,N的值；(2)現要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1,2,

3組的人數分別是多少

(3)在12)的條件下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動，求恰有1人在第3組的概率.

18.某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民，根據這50位市民對兩部門的評分(評分越高說

明市民的評價越高)繪制的莖葉圖如圖：

(I)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數；

(口)分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；

(UI)根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

19.某校夏令營有3名男同學，A、B、C和3名女同學X,Y,Z,其年級情況如表：

一年級二年級三年級

男同學ABC

女同學XYZ

現從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽(每人被選到的可能性一樣)

(I)用表中字母列舉出所有可能的結果；

(口)設M為事件"選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學"，求事件M發(fā)生的概率.

20.設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運發(fā)動人數分別為27,9,18,先采用分層抽取的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運

發(fā)動組隊參加比賽.

(I)求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運發(fā)動的人數；

(H)將抽取的6名運發(fā)動進展編號，編號分別為Ai,A2,A3,A4,A5,A6,現從這6名運發(fā)動中隨機抽取2人參

加雙打比賽.

(i)用所給編號列出所有可能的結果；

(ii)設A為事件"編號為A5和A6的兩名運發(fā)動中至少有1人被抽到"，求事件A發(fā)生的概率.

21.某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況，數據如下表：(單位：人)

參加書法社團未參加書法社團

參加演講社團85

未參加演講社團230

（I）從該班隨機選1名同學，求該同學至少參加一個社團的概率；

（H）在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中，有5名男同學Ai,A2,A3,A4,As,3名女同學Bi,B2,

B3.現從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人，求Ai被選中且Bi未被選中的概率.

22.對一批共50件的某電器進展分類檢測，其重量（克）統(tǒng)計如下：

質量段[80,85）[85,90）[90,95][95,100]

件數5a15b

規(guī)定重量在82克及以下的為"A"型，重量在85克及以上的為"B"型,該批電器有"A"型2件

（I）從該批電器中任選1件，求其為"B"型的概率；

（口）從重量在[80,85）的5件電器中，任選2件，求其中恰有1件為"A"型的概率.

23.如以以下列圖莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學在期末考試中的數學成績.乙組記錄中有一個數字模糊，無法

確認，假設這個數字具有隨機性，并在圖中以a表示.

（I）假設甲、乙兩個小組的數學平均成績一樣，求a的值；

（II）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；

（田）當a=2時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，求這兩名同學的數學成績之差的絕對值不超過2分

的概率.

24.某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從A,B兩地區(qū)分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分

如下：

A地區(qū)：62738192958574645376

78869566977888827689

B地區(qū)：73836251914653736482

93486581745654766579

（1）根據兩組數據完成兩地區(qū)用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區(qū)滿意度評分的平均值及分散程度（不

要求計算出具體值，給出結論即可）；

（2）根據用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個等級：

滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分

滿意度等級不滿意滿意非常滿意

記事件C："A地區(qū)用戶的滿意度等級高于B地區(qū)用戶的滿意度等級〃，假設兩地區(qū)用戶的評價結果相互獨立，根據所

給數據，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的頻率，求C的概率.

25.某小組共有A、B、C、D、E五位同學，他們的身高（單位：米）以及體重指標（單位：千克/米2）如下表所示:

ABCDE

身高1.691.731.751.791.82

體重指標19.225.118.523.320.9

（I）從該小組身上下于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率

（H）從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9）中的概率.

26.某校從參加某次知識競賽的同學中，選取60名同學將其成績（百分制，均為整數）分成[40,50）,[50,60）,[60,

70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六組后，得到局部頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，答復以下問題.

（I）求分數在[70,80）內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（口）從頻率分布直方圖中，估計本次考試成績的中位數；

〔?。┘僭O從第1組和第6組兩組學生中，隨機抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對值大于10的概率.

2015年11月17日必修三統(tǒng)計概率

參考答案與試題解析

一.解答題（共26小題）

1.（2014?黑龍江）某地區(qū)2007年至2013年農村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數據如下表：

年份2007200820092010201120122013

年份代號t1234567

人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9

(I)求y關于t的線性回歸方程；

CH)利用(I)中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區(qū)

2015年農村居民家庭人均純收入.

n__

￡(y-t)-y)

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b=------------------------,a=y-bt.

￡(t「T)2

i=l

【考點】線性回歸方程.

【專題】計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】(I)根據所給的數據，利用最小二乘法可得橫標和縱標的平均數，橫標和縱標的積的和，與橫標的平方和，

代入公式求出b的值，再求出a的值，寫出線性回歸方程.

(H)根據上一問做出的線性回歸方程，代入所給的t的值，預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入，這是一個

估計值.

【解答】解：(I)由題意，t=-x(1+2+3+4+5+6+7)=4,

7

y=lx(2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

7

.工(-3)X(-1.4)+(-2)X(-1)+(7)X(-0.7)+0*0.1+1X0.5+2X0.9+3XL6_14_05,

9+4+1+0+1+4+928'，

a=y-bt=4.3-0.5x4=2.3.

??.y關于t的線性回歸方程為j=0.5t+2.3；

(II)由(I)知，b=0.5>0,故2007年至2013年該地區(qū)農村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.

A

將2015年的年份代號t=9代入y=0.51+2.3,得：

A

y=0.5x9+2.3=6.8,

故預測該地區(qū)2015年農村居民家庭人均純收入為6.8千元.

【點評】此題考察線性回歸分析的應用，此題解題的關鍵是利用最小二乘法認真做出線性回歸方程的系數，這是整個

題目做對的必備條件，此題是一個根基題.

2.(2014?高州市模擬)對某校高三年級學生參加社區(qū)服務次數進展統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名

學生參加社區(qū)服務的次數.根據此數據作出了頻數與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組頻數頻率

[10,15)100.25

[15,20)24n

[20,25)mP

[25,30)20.05

合計M1

(I)求出表中M,p及圖中a的值；

(H)假設該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在區(qū)間［10,15)內的人數；

(HI)在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務次數在區(qū)間［25,

30)內的概率.

【考點】隨機抽樣和樣本估計總體的實際應用；頻率分布直方圖.

【專題】計算題；圖表型.

【分析】(I)根據頻率，頻數和樣本容量之間的關系即頻率等于頻數除以樣本容量，寫出算式，求出式子中的字母的

值.

(II)根據該校高三學生有240人，分組［10,15)內的頻率是0.25,估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在此區(qū)間

內的人數為60人.

(III)這個樣本參加社區(qū)服務的次數不少于20次的學生共有m+2=6人，設出在區(qū)間［20,25)內的人為ai,a2,a3,

a4,在區(qū)間［25,30)內的人為bi,b2,列舉出所有事件和滿足條件的事件，得到概率.

【解答】解：(I)由分組［10,15)內的頻數是10,頻率是0.25知，辛0.25，

???M=40.

頻數之和為40,

?；a是對應分組［15,20)的頻率與組距的商，

,24

"a=40X5~0,12

［口)因為該校高三學生有240人，分組［10,15)內的頻率是0.25,

二估計該校高三學生參加社區(qū)服務的次數在此區(qū)間內的人數為60人.

(田)這個樣本參加社區(qū)服務的次數不少于20次的學生共有m+2=6人，

設在區(qū)間［20,25)內的人為ai,a2,到a4,在區(qū)間［25,30)內的人為bi,b2.

則任選2人共有(ai,a2)>(ai,a3),(ai,a4)>(ai,bi),(ai,b2).(a2,a3)>(a2>a4).(a2.bi),(a2,b2)>(as>

a4))(a3)bi),(a3,b2),(a4,bi),(a*b2),(bi,b2)15種情況，

而兩人都在［25,30)內只能是(bi,b2)一種，

所求概率為P=1-工1

1515

【點評】此題考察頻率分步直方圖，考察用樣本估計總體，考察等可能事件的概率，考察頻率，頻數和樣本容量之間

的關系，此題是一個根基題.

3.(2012?廣東)某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如以以下列圖，其中成績分組區(qū)間是：［50,60),

［60,70),［70,80),［80,90),［90,100］.

(1)求圖中a的值；

(2)根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；

(3)假設這100名學生語文成績某些分數段的人數〔X)與數學成績相應分數段的人數(y)之比方表所示，求數學成

績在［50,90)之外的人數.

分數段［50,60)［60,70］［70,80］［80,90)

X：yh12：1%,4%*.5

【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布：頻率分布直方圖；眾數、中位數、平均數.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】⑴由頻率分布直方圖的性質可10(2a+0.02+0.03+0.04］=1,解方程即可得到a的值；

(2)由平均數加權公式可得平均數為55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05,計算出結果即得；

(3)按表中所給的數據分別計算出數學成績在分數段的人數，從總人數中減去這些段內的人數即可得出數學成績在

［50,90)之外的人數.

【解答】解：(1)依題意得，10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005；

(2)這100名學生語文成績的平均分為：55x0.05+65x0.4+75x0.3+85x0.2+95x0.05=73(分)；

(3)數學成績在［50,60)的人數為：100x0.05=5,

數學成績在［60,70)的人數為：100X0.4X,=20，

數學成績在［70,80)的人數為：100X0.3x2=40，

3

數學成績在［80,90)的人數為：］00Xo.2X*1=25，

所以數學成績在［50,90)之外的人數為：100-5-20-40-2數10.

【點評】此題考察頻率分布估計總體分布，解題的關鍵是理解頻率分布直方圖，熟練掌握頻率分布直方圖的性質，且

能根據所給的數據建設恰當的方程求解.

4.(2014?煙臺三模)某公司有一批專業(yè)技術人員，對他們進展年齡狀況和承受教育程度(學歷)的調查，其結果(人

數分布)如下表：

學歷35歲以下35?50歲50歲以上

本科803020

研究生X20y

(I)用分層抽樣的方法在35?50歲年齡段的專業(yè)技術人員中抽取一個容量為5的樣本，將該樣本看成一個總體，從

中任取2人，求至少有1人的學歷為研究生的概率；

(H)在這個公司的專業(yè)技術人員中按年齡狀況用分層抽樣的方法抽取N個人，其中35歲以下48人，50歲以上10

人，再從這N個人中隨機抽取出1人，此人的年齡為50歲以上的概率為巨，求x,y的值.

39

【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題.

【分析】(I)用分層抽樣得到學歷為本科的人數，后面的問題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是從5個人中容

易抽取2個，事件數可以列舉出，滿足條件的事件是至少有1人的學歷為研究生，從列舉出的事件中看出結果.

(II)根據在抽樣過程中每個個體被抽到的概率相等，表示出年齡為50歲以上的概率，利用解方程思想解出x,y的值.

【解答】解：(I)用分層抽樣的方法在35?50歲中抽取一個容量為5的樣本，

設抽取學歷為本科的人數為m

理J解得m=3

505

二抽取了學歷為研究生2人，學歷為本科的3,分別記作Si、S2;Bi,B2、B3

從中任取2人的所有基本領件共10個：(Si,Bi)、(Si,B2)、(Si,B3)、

(S2,Bl)、(S2,B2)、(S2,B3)、(Si,S2〕、(Bl,B2)、(B2,B3)、(Bl,B3)

其中至少有1人的學歷為研究生的基本領件有7個：(Si,BI)、(Si,B2)、(Si,B3)、

(S2,Bi)、(S2,B2)、(S2,B3)、(SI,S2)

???從中任取1人，至少有1人的教育程度為研究生的概率為工

10

(n)解：依題意得：乃

N39

解得N=78

35?50歲中被抽取的人數為78-48-10=20

.481。?,解得x=40,y=5

80+x5020+y

x=40,y=5

【點評】此題考察分層抽樣方法，考察古典概型的概率及其概率公式，考察利用列舉法列舉出試驗包含的所有事件，

列舉法是解決古典概型的首選方法.

5.(2010?河北)為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結

果如下：

性別男女

是否需要志愿

需要___ko_30

不需要160270

(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關

(3)根據(2)的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例說明理由.附:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(k2>k)0.00.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點】簡單隨機抽樣；獨立性檢驗.

【專題】計算題.

【分析】(1)由列聯表可知調查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，兩個數據求比值得到該地區(qū)老

年人中需要幫助的老年人的比例的估算值.

(2)根據列聯表所給的數據，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結果，把觀測值的結果與臨界值進展比較，

看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關.

(3)從樣本數據老年人中需要幫助的比例有明顯差異，調查時，可以先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年

人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好.

【解答】解：(1)???調查的500位老年人中有40+30=70位需要志愿者提供幫助，

?,?該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值為國=14%.

500

(2)根據列聯表所給的數據，代入隨機變量的觀測值公式，

2500x(40X270-30X160)2

----------------------------------------=9967-

200X300X70X430

9.967>6.635,

有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關.

(3)由(2)的結論知，該地區(qū)老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數據能看出該地區(qū)男性老年人與女性老

年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩

層并采用分層抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好.

【點評】此題主要考察統(tǒng)計學知識，考察獨立性檢驗的思想，考察利用數學知識研究實際問題的能力以及相應的運算

能力.

6.(2015?安徽)某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門

的評分，繪制頻率分布直方圖(如以以下列圖)，其中樣本數據分組區(qū)間為［40,50］,［50,60］,［80,90］,［90,100］

(1)求頻率分布圖中a的值；

(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

(3)從評分在［40,60］的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在［40,50］的概率.

【考點】頻率分布直方圖.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中的信息，所有矩形的面積和為1,得到a；

(2)對該部門評分不低于80的即為90和100,的求出頻率，估計概率;

(3)求出評分在［40,60］的受訪職工和評分都在［40,50］的人數，隨機抽取2人，列舉法求出所有可能，利用古典概

型公式解答.

【解答】解：(1)因為(0.004+a+0.018+0.022x2+0.028)xl0=l,解得a=0.006；

(2)由的頻率分布直方圖可知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022+0.018)x10=0.4,所以該企業(yè)職工對該

部門評分不低于80的概率的估計值為0.4：

(3)受訪職工中評分在［50,60)的有：50x0.006x10=3(人),記為Ai,A2,A3；

受訪職工評分在［40,50)的有：50x0.004x10=2(人)，記為Bi,B2.

從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結果共有10種，

分別是{Al,A2},{Ai,A3},{Ai,Bi},{Ai,B2},{A2,A3},{A2,Bi},{A2,B2},{A3,Bi},{A3,B2},{Bi,

B2},

又因為所抽取2人的評分都在［40,50)的結果有1種，即{Bi,B2},

故所求的概率為P=A.

10

【點評】此題考察了頻率分布直方圖的認識以及利用圖中信息求參數以及由頻率估計概率，考察了利用列舉法求滿足

條件的事件，并求概率.

7.(2015?宿州一模)某網站針對2014年中國好聲音歌手A,B,C三人進展網上投票，結果如下：

觀眾年齡支持A支持B支持C

20歲以下200400800

20歲以上(含20歲)100100400

(1)在所有參與該活動的人中，用分層抽樣的方法抽取n人，其中有6人支持A,求n的值.

(2)在支持C的人中，用分層抽樣的方法抽取6人作為一個總體，從這6人中任意選取2人，求恰有1人在20歲以

下的概率.

【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)根據分層抽樣時，各層的抽樣比相等，結合構造關于n的方程，解方程可得n值.

(2)計算出這6人中任意選取2人的情況總數，及滿足恰有1人在20歲以下的情況數，代入古典概率概率計算公式,

可得答案.

【解答】解：(1)..?利用層抽樣的方法抽取n個人時，從“支持A方案”的人中抽取了6人，

.6=___________n__________,

"100+200-200+400+800+100+100+400,

解得n=40；

(2)從"支持C方案”的人中，用分層抽樣的方法抽取的6人中，

年齡在20歲以下的有4人，分別記為1,2,3,4,年齡在20歲以上(含20歲)的有2人，記為a,b,

則這6人中任意選取2人，共有C’15種不同情況，

分別為：(1,2),(1,3),［1,4),(1,a),(1,b),(2,3),(2,4),(2,a),(2,b),(3,4),［3,a),(3,b),

(4,a),(4,b),(a,b),

其中恰好有1人在20歲以下的事件有：

(1,a),(1,b),⑵a),(2,b),［3,a),［3,b),(4,a),(4,b)共8種.

故恰有1人在20歲以下的概率P=A.

15

【點評】此題考察的知識點是古典概型概率計算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計算公式求概率的步驟，是解

答的關鍵.

8.(2015?日照二模)某班50名學生在一次百米測試中，成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果按如下方式分

成五組；第一組［13,14),第二組［14,15),…，第五組［17,18］,如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.

(1)假設成績大于或等于14秒且小于16秒認為良好，求該班在這次百米測試中成績良好的人數；

(2)設m,n表示該班某兩位同學的百米測試成績，且m,nG|13,14)U［17,18］,求事件的概率.

【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題.

【分析】(1)利用頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標乘以組距求出績大于或等于14秒且小于16秒的頻率；利用頻

數等于頻率乘以樣本容量求出該班在這次百米測試中成績良好的人數.

(2)按照(1)的方法求出成績在［13,14)及在［17,18］的人數；通過列舉得到m,n都在［13,14)間或都在［17,18］

間或一個在［13,14)間一個在［17,18］間的方法數，三種情況的和為總基本領件的個數；分布在兩段的情況數是事

件"|m-n|>l"包含的基本領件數；利用古典概型的概率公式求出事件"|m-n|>l〃的概率.

【解答】解：(1)由直方圖知，成績在［14,16)內的人數為：50x0.16+50x0.38=27(人)，

所以該班成績良好的人數為27人、

(2)由直方圖知,成績在［13,14)的人數為50x0.06=3人，

設為為x,y,z；成績在［17,18］的人數為50x0.08=4人，設為A、B、C、D.

假設m,nG［13,14)時，有xy,xz,yz共3種情況；

假設m,n€［17,18］時，有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6種情況;

假設m,n分別在［13,14）和［17,18］內時，

ABCD

XxAxBxCxD

yyAyBycyD

zzAzBzCzD

有12種情況、

所以，基本領件總數為3+6+12=21種，事件所包含的基本領件個數有12種、

.?.P(|m-n|>l)喏'(12分)

【點評】此題考察頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標乘以組距、考察頻數等于頻率乘以樣本容量、考察列舉法求完

成事件的方法數、考察古典概型的概率公式.

9.(2014?岳陽二模)某工廠生產的產品A的直徑均位于區(qū)間［110,118］內(單位：mm).假設生產一件產品A的直徑

位于區(qū)間［110,112］,［112,114］,［114,116］,［116,118］內該廠可獲利分別為10,20,30,10(單位:元)，現從該

廠生產的產品A中隨機100件測量它們的直徑，得到如以以下列圖的頻率分布直方圖.

(I)求a的值，并估計該廠生產一件A產品的平均利潤；

(口)現用分層抽樣法從直徑位于區(qū)間［112,116)內的產品中隨機抽取一個容量為5的樣

本，再從樣本中隨機抽取兩件產品進展檢測，求兩件產品中至少有一件產品的直徑位于區(qū)間［114,116)內的概率.

【考點】分層抽樣方法；古典概型及其概率計算公式.

【專題】計算題；概率與統(tǒng)計.

【分析】(I)利用所有小矩形的面積之和為1求得a值；根據頻數=頻率x樣本容量求得各組的頻數，代入平均數公式

計算；

(II)根據頻率分布直方圖求得直徑位于區(qū)間口12,114)和［114,116)的頻率之比，可得在兩組中應取的產品數，

利用寫出所有基本領件的方法求符合條件的基本領件個數比；

【解答】解：⑴由頻率分布直方圖得:2x(0.050+0.150+a+0.075)=l=a=0.225,

直徑位于區(qū)間［110,112)的頻數為100x2x0.050=10,位于區(qū)間［112,114)的頻數為100x2x0.150=30,

位于區(qū)間［114,116)的頻數為100x2x0.225=45,位于區(qū)間［116,118)的頻數為100x2x0.075=15,

生產一件A產品的平均利潤為1°X1°+2O*30+30X45+10X15=22(元)；

100

(II)由頻率分布直方圖得：直徑位于區(qū)間［112,114)和［114,116)的頻率之比為2：3,

二應從直徑位于區(qū)間［112,114)的產品中抽取2件產品，記為A、B,

從直徑位于區(qū)間［114,116)的產品中抽取3件產品，記為a、b、c,從中隨機抽取兩件，所有可能的取法有，(A,B),

(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c)

,(a,b),(a,c),(b,c)10種，兩件產品都不在區(qū)間［114,116)的取法只有(A,B)一種，

.?.兩件產品中至少有一件產品的直徑位于區(qū)間［114,116)內的取法有9種.

所求概率為P=X.

10

【點評】此題考察了分層抽樣方法，考察了古典概型的概率計算，讀懂頻率分布直方圖是解答此題的關鍵.

10.(2015?廣東)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以［160,180),［180,200),［200,200),［220.240),

［240,260),［260,280),［280,300)分組的頻率分布直方圖如圖.

(1)求直方圖中X的值；

(2)求月平均用電量的眾數和中位數：

(3)在月平均用電量為，［220,240),［240,260),［260,280),［280,300)的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取

11戶居民，則月平均用電量在［220.240)的用戶中應抽取多少戶

【考點】頻率分布直方圖.

【專題】概率與統(tǒng)計.

【分析】(1)由直方圖的性質可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+X+O.OO5+O.OO25)x20=l,解方程可得；

(2)由直方圖中眾數為最高矩形上端的中點可得，可得中位數在［220,240)內，設中位數為a,解方程

(0.002+0.0095++0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5可得；

(3)可得各段的用戶分別為25,15,10,5,可得抽取比例，可得要抽取的戶數.

【解答】解：(1)由直方圖的性質可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=l,

解方程可得x=0.0075,二直方圖中x的值為0.0075；

(2)月平均用電量的眾數是220+240=230,

2

???[0.002+0.0095+0.011)x20=0.45<0.5,

二月平均用電量的中位數在[220,240)內，

設中位數為a,由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5可得a=224,

???月平均用電量的中位數為224；

(3)月平均用電量為1220,240)的用戶有0.0125x20x100=25,

月平均用電量為［240,260)的用戶有0.0075x20x100=15,

月平均用電量為［260,280)的用戶有0.005x20x100=10,

月平均用電量為［280,300)的用戶有0.0025x20x100=5,

抽取比例為11=1,

25+15+10+5

.,.月平均用電量在［220,240)的用戶中應抽取2