近兩年四川廣元中考數(shù)學(xué)真題及答案

2023年四川廣元中考數(shù)學(xué)真題及答案

一、選擇題(每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題意.每小題3分，共30分)

i.萬的相反數(shù)是()

A.—2B.2C.D.!

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0即可求解.

【詳解】解：因?yàn)?g+g=o,

所以一3的相反數(shù)是

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

2.下列計(jì)算正確的是()

A.2ab-2a=bB.a2-a3-a6

C.3crb-r-a=3aD.(a+2)(2—a)=4—a-

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)，同底數(shù)累的乘法，同底數(shù)落的除法，平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可求

解.

【詳解】A.2ab-2a豐b,故該選項(xiàng)不正確，不符合題意：

B.故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

C.3a2h^a=3ab＞故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

D.(a+2)(2-.)=4—/,故該選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)基的乘法，同底數(shù)基的除法，平方差公式，熟練掌

握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊拼成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置

上的小立方塊個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的左視圖是（）

1

21

【答案】D

【解析】

【分析】先細(xì)心觀察原立體圖形中正方體的位置關(guān)系，從左面看去，一共兩排，左邊底部有

1個(gè)小正方形，右邊有2個(gè)小正方形.結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)選出答案.

【詳解】解：從左面看去，一共兩排，左邊底部有1個(gè)小正方形，右邊有2個(gè)小正方形.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是具有幾何體的三視圖及空間想象能

力.

4.某中學(xué)開展“讀書節(jié)活動(dòng)”，該中學(xué)某語文老師隨機(jī)抽樣調(diào)查了本班10名學(xué)生平均每周

的課外閱讀時(shí)間，統(tǒng)計(jì)如表：

每周課外閱讀時(shí)間（小時(shí)）2468

學(xué)生數(shù)（人）2341

下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.眾數(shù)是1B.平均數(shù)是4.8

C.樣本容量是10D.中位數(shù)是5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)、平均數(shù)、樣本的容量、中位數(shù)的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：A.6出現(xiàn)的次數(shù)最多，則眾數(shù)是6,故該選項(xiàng)不正確，符合題意；

B.平均數(shù)是--------7———=4.8,故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

10

C.樣本容量是2+3+4+1=10,故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

4+6

D.中位數(shù)是第5個(gè)和第6個(gè)數(shù)的平均數(shù)即——=5,故該選項(xiàng)正確，不符合題意；

2

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、樣本的容量、中位數(shù)，熟練掌握眾數(shù)、平均數(shù)、樣本的

容量、中位數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5.關(guān)于x的一元二次方程2/一3%+2=0根的情況，下列說法中正確的是（）

2

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得.

【詳解】解：2/一31+』=0,

2

3

其中。=2,匕=一3,c=—,

2

A=（-3）2-4X2X|=-3<0,

，方程沒有實(shí)數(shù)根.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程

，戊2+區(qū)+。=0（。。0）,若△=〃一4ac>0,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若

△-4ac=0,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若A=〃一4〃.<0,則方程沒有實(shí)數(shù)根.

6.如圖，A3是。的直徑，點(diǎn)G〃在；。上，連接CD,OD,AC，若N3OD=124°,

則NACO的度數(shù)是（）

A.56°B.33°C.28°D.23°

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可.

【詳解】解：???NBQDMiZd。，

：.?AOD180?124?56?,

ZAC?！筃AO。=28。，

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理，熟知同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，半徑為5的扇形A08中，ZAOB=90°,。是45上一點(diǎn)，CD1OA,CE1OB,

垂足分別為3,E，若CD=CE,則圖中陰影部分面積為（）

25"25萬25乃25萬

A.——B.——C.——D.——

16864

【答案】B

【解析】

（分析］連接OC,證明四邊形CDOE是正方形，進(jìn)而得出sCDE=SOCE，NCOE=45°,

然后根據(jù)扇形面積公式即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接OC,

VCD±OA,CE1OB,ZAOB=90°,

四邊形CDOE是矩形,

CD=CE,

???四邊形CDOE是正方形，

SCDE=SOCE,/COE=45°）

4525

...圖中陰影部分面積=S扇形兀、52=/兀，

30Ua

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，求扇形面積，證明四邊形CDOE是正方形是解

題的關(guān)鍵.

8.向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深入與注水量「的函數(shù)關(guān)系的大

【答案】D

【解析】

【分析】從水瓶的構(gòu)造形狀上看，從底部到頂部的變化關(guān)系為：開始寬，逐漸細(xì)小，再變寬，

再從函數(shù)的圖象上看，選出答案.

【詳解】解：從水瓶的構(gòu)造形狀上看，從底部到頂部的變化關(guān)系為：開始寬，逐漸細(xì)小，再

變寬.

則注入的水量r隨水深方的變化關(guān)系為：先慢再快，最后又變慢，

那么從函數(shù)的圖象上看，

C對(duì)應(yīng)的圖象變化為先快再慢，最后又變快，不符合；

A、B對(duì)應(yīng)的圖象中間沒有變化，只有D符合條件.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的定義及函數(shù)的圖象的關(guān)系，抓住變量之間的變化關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

9.近年來，我市大力發(fā)展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選

擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線。包含快速通道，全程7千米，走路線6比路

線a平均速度提高40%,時(shí)間節(jié)省10分鐘，求走路線a和路線。的平均速度分別是多少？

設(shè)走路線a的平均速度為x千米/小時(shí)，依題意，可列方程為()

10710107

A--------------=---R--------------=10

x(1+40%)尤60x(l+40%)x

71010710,八

C--------------=—n--------------=10

(1+40%)尤x60(l+40%)xx

【答案】A

【解析】

【分析】若設(shè)路線a時(shí)的平均速度為x千米/小時(shí)，則走路線6時(shí)的平均速度為(1+40%)尤

千米/小時(shí)，根據(jù)路線3的全程比路線a少用10分鐘可列出方程.

【詳解】解：由題意可得走路線6時(shí)的平均速度為。+40%)%千米/小時(shí)，

10710

/,，T-(l+40%)x-60;

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是

解決問題的關(guān)鍵.

10.已知拋物線y=o?+嬴+C",h,c是常數(shù)且*0)過(-1,0)和(加,0)兩點(diǎn)，且

3<m<4,下列四個(gè)結(jié)論：①出七>0；②3a+c>0；③若拋物線過點(diǎn)(1,4),則

2

-1<?<--；④關(guān)于x的方程a(x+l)(x—m)=3有實(shí)數(shù)根，則其中正確的結(jié)論有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】由拋物線過(-1,0)和(團(tuán),0)兩點(diǎn)得到對(duì)稱軸為直線*=一2=竺^'，且3<機(jī)<4,

b3

〃<0所以得到1<一一<-,進(jìn)而判斷"°的符號(hào)，得至I。歷<0,3o+c>0；拋物線過

2a2

b3

點(diǎn)(-1,0)和(1,4),代入可得a—匕+C=O和a+匕+c=4,解得6=2,又由1<一屋<,，

得-l<a<-一；對(duì)稱軸為直線尤=——，4<0,開口向下，所以y有最大值為—a竺二，

32I2)

且3(加<4,無法判斷關(guān)于x的方程a(x+l)(x—m)=3是否有實(shí)數(shù)根.

【詳解】解：已知拋物線過(-1,0)和(〃7,0)兩點(diǎn)，則對(duì)稱軸為直線》="亨=”，

*.*3<m<4,所以1<----<—,B|J1<----<—,a<0,則Z?>0,

222a2

當(dāng)產(chǎn)一1時(shí)，y+力(一l)+c=a—b+c=0,則c>。，所以彷c<0,故結(jié)論①

錯(cuò)誤；

因?yàn)?-—>1,所以2a>—3a+c=4+2a+c、>。一Z?+c,即3a+c>0,故結(jié)論②正

2a

確；

拋物線過(TO)和(1,4)兩點(diǎn)，代入可得+c=0和a+〃+c=4,兩式相減解得力=2,

由1<----<—可得1<----,解得——,故結(jié)論③正確；

2a22a23

J77—1

對(duì)稱軸為直線x=——，。<0,開口向下，

2

y=a(x+l)(x-〃?)=〃［無2

，加+1丫

???所以y有最大值為-aE)

2

772+1

?-a\>3不一定成立,

~2~

，關(guān)于X的方程a(x+l)(x—旬=3有實(shí)數(shù)根無法確定，故結(jié)論④錯(cuò)誤.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)題意判斷a,b,c與0的關(guān)系，再借助

點(diǎn)的坐標(biāo)得出結(jié)論.

二、填空題(把正確答案直接寫在答題卡對(duì)應(yīng)題目的橫線上.每小題4分，共24分)

11.若有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

【答案】x>3

【解析】

【分析】根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件計(jì)算即可.

【詳解】；丁1=丁有意義，

yjX-3

%—3^0,3。0，

解得x>3,

故答案為：x>3.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條

件，二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

12.廣元市聚焦“1345”發(fā)展戰(zhàn)略和“十四五”規(guī)劃，牢牢牽住重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)“牛鼻子”,

《2023年廣元市重點(diǎn)項(xiàng)目名單》共編列項(xiàng)目300個(gè)，其中生態(tài)環(huán)保項(xiàng)目10個(gè)，計(jì)劃總投資

約45億元，將45億這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為.

【答案】4.5xlO9

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法求解即可.

【詳解】解：將45億這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為4.5xMV.

故答案為：4.5xlO9.

【點(diǎn)睛】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方

法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中14時(shí)<10,〃為整數(shù).確定〃的值時(shí),

要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，〃的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.

13.如圖，a〃o,直線/與直線a,6分別交于8,4兩點(diǎn),分別以點(diǎn)｛"為圓心，大于

2

的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)￡,F,作直線分別交直線a,6于點(diǎn)GD,連接/G

若NCQ4=34°,則ZCAB的度數(shù)為.

【答案】56°##56度

【解析】

［分析］先判斷EF為線段AB的垂直平分線，即可得ZCAB=NCBA,ZACD=/BCD,

再由a〃。，可得NCD4=N5CD=34°,即有NACO=NBCD=34°,利用三角形內(nèi)角

和定理可求/CA8的度數(shù).

【詳解】解：由作圖可知為線段的垂直平分線，

AC=BC>

AZCAB=ZCBA,ZACD=ZBCD,

?:a//b，

：.ZCDA=ZBCD=34°,

：.ZACD=NBCD=34。,

；ZACD+ZBCD+ZCAB+ZCBA=180°,

...ZCAB=56°,

故答案為：56°.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的作圖、垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角

和定理等知識(shí)，判斷EF為線段AB的垂直平分線是解答本題的關(guān)鍵.

14.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》（1261年）一書中，用如圖的三角形解

釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個(gè)三角形為“楊輝三角”，根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第

三個(gè)數(shù)為.

第一行

第二行

第三行

第四行

第五行

第六行

【答案】

【解析】

【分析】根據(jù)前六行的規(guī)律寫出第7,8行的規(guī)律進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：根據(jù)規(guī)律可得第七行的規(guī)律為L6,15,20,15,6,1

第八行的規(guī)律為1,7,21,35,35,21,7,1

???根據(jù)規(guī)律第八行從左到右第三個(gè)數(shù)為21，

故答案為：21.

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類規(guī)律，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0),點(diǎn)8(0,—3),點(diǎn)C在x軸上，且點(diǎn)C在

點(diǎn)A右方，連接43，BC,若tanNABC=1，則點(diǎn)C坐標(biāo)為.

3

【解析】

A「

【分析】根據(jù)已知條件得出NABO=NABC,根據(jù)等面積法得出一-=——，設(shè)C,0),

OAOBv7

則AC=m—1,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：?.?點(diǎn)A(l,0),點(diǎn)3(0,—3),

:.OA=\,OB=3,

tanNOBA=-

3

tanZASC=-

3

：.ZABO=ZABC,

過點(diǎn)A作AO18C于點(diǎn)O,

VAO1BO,ADLBC,AB是NO8C的角平分線,

AO=AD=1

q-OAxOB-OBxOA

*7

?ABC-ACxOB-BCxAD

22

.ACCB

"'~OA~7）B

設(shè)。（也0）,則AC=m-l,BC=yl32+m2

9

解得：機(jī)=一或〃2=0（舍去）

4

（*

故答案為：0,—.

I4J

【點(diǎn)睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是

解題的關(guān)鍵.

16.如圖，ZACB=45°,半徑為2的O。與角的兩邊相切，點(diǎn)尸是。。上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)

產(chǎn)向角的兩邊作垂線，垂足分別為區(qū)F,設(shè)t=PE+6PF，則t的取值范圍是.

A

【答案】272<Z<272+4

【解析】

【分析】利用切線性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)求得=2夜+2,再求得

f=PE+PQ=EQ,分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：設(shè)C。與NACB兩邊的切點(diǎn)分別為久G,連接OG、OD,延長。0交CB

于點(diǎn)//,

由ZOGC=ZODC=ZOGH=90°,

,/ZACB=45°,

NOHC=45。，

OH=y[2OG=2V2.

工CD=DH=2?+2,

如圖，延長石尸交CB于點(diǎn)Q

A

同理PQ=&PF,

,:t=PE+^PF，

；.t=PE+PQ=EQ,

當(dāng)E。與oO相切時(shí)，EQ有最大或最小值，

連接OP，

后都是切點(diǎn)，

NODE=NDEP=ZOPE=90°,

.??四邊形OOEP是矩形，

?；OD=OP,

...四邊形ODEP是正方形，

，t的最大值為EQ=CE=CD+DE=2夜+4；

如圖，

同理，f的最小值為EQ=CE=C。一OE=20；

綜上，t的取值范圍是2后4/42后+4.

故答案為：2夜4Y20+4.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，求得，=EQ是解題

的關(guān)鍵.

三、解答題(要求寫出必要的解答步驟或證明過程，共96分)

17.計(jì)算:平+|友42023°-(-1)'.

【答案】4

【解析】

【分析】先化簡二次根式，絕對(duì)值，計(jì)算零次累，再合并即可.

【詳解】解：平+|夜一2|+2023°—(—1)

=逑+2一夜+1+1

3

=72+2-72+1+1

=4.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的加減運(yùn)算，化簡絕對(duì)值，零次塞的含義，掌握運(yùn)算法則是

解本題的關(guān)鍵.

18.先化簡，再求值：I-2-^4--2---72-----2'其中x=G+l，y=G.

-yy-x)x~y-xy

【答案】￡；21立

22

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，

最后將字母的值代入求解.

e(3x+y2x)2

【詳解】解：---2~i9242----2

11_yy—%Jxy一孫

_3x+y-2xxy(x-y)

=x2—y2-*-2

(x+y)(x-y)2

=現(xiàn)

2，

當(dāng)x=6+l，y=JJ時(shí)，

原式（用1"3+6.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了分式化簡求值，二次根式的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式運(yùn)算法

則進(jìn)行求解.

19.如圖，將邊長為4的等邊三角形紙片沿邊BC上的高AO剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三

角形拼成一個(gè)平行四邊形.

（1）畫出這個(gè)平行四邊形（畫出一種情況即可）：

（2）根據(jù)（1）中所畫平行四邊形求出兩條對(duì)角線長.

【答案】（1）見解析（2）4或2g，2療或2,2717

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意畫出拼接圖形即可；

（2）利用等邊三角形的性質(zhì)求得80、CD、AD,分情況分別利用平行四邊形和矩形的性

質(zhì)和勾股定理求解即可.

【小問1詳解】

解：如圖①或②或③，

【小問2詳解】

解：?.?等邊邊==8c=4,

BD=DC=2,

?*-AD=V42-22=2y[3>

如圖①所示：可得四邊形AC8D是矩形，則其對(duì)角線長為4?=CD=4；

如圖②所示：AD=2y/3.

連接BC,過點(diǎn)C作CE_L8D于點(diǎn)發(fā)則可得四邊形ACE。是矩形，

:.EC=AD=26BE=2BD=4,

則8。="26『+42=2不：

如圖③所示：BD=2,

連接AC，過點(diǎn)力作AE_LBC交CB延長線于點(diǎn)笈可得四邊形AEBO是矩形，

由題意可得：AE=BD=2,EC=2BC=8,

故AC=&+82=2后?

【點(diǎn)睛】本題考查圖形的剪拼，涉及等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、

勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和矩形性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形求解是解答的

關(guān)鍵.

20.為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某校開展以“文化、科技、體育、

藝術(shù)、勞動(dòng)”為主題的活動(dòng)，其中體育活動(dòng)有“一分鐘跳繩”比賽項(xiàng)目，為了解學(xué)生“一分

鐘跳繩”的能力，體育老師隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行測(cè)試并將測(cè)試成績作為樣本，繪制出如圖

所示的頻數(shù)分布直方圖（從左到右依次為第一到第六小組，每小組含最小值，不含最大值）

和扇形統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息解答下列問題：

（2）若“一分鐘跳繩”不低于160次的成績?yōu)閮?yōu)秀，本校學(xué)生共有1260人,請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)

生“一分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；

（3）若“一分鐘跳繩”不低于180次的成績?yōu)闈M分，經(jīng)測(cè)試某班恰有3名男生1名女生成

績?yōu)闈M分，現(xiàn)要從這4人中隨機(jī)抽取2人去參加學(xué)校組織的“一分鐘跳繩”比賽，請(qǐng)用畫樹

狀圖或列表的方法，求所選2人都是男生的概率.

【答案】（1）第四小組的頻數(shù)為10,補(bǔ)全圖形見解析

（2）該校學(xué)生“一分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為294人

（3）所選2人都是男生的概率為g.

【解析】

【分析】（1）首先利用第二小組的人數(shù)及所占比例求得總?cè)藬?shù)，然后求得第四組的人數(shù)，即

可作出統(tǒng)計(jì)圖；

（2）利用總?cè)藬?shù)1260乘以優(yōu)秀成績所占的比例即可求解；

（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出符合條件的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公

式計(jì)算即可.

【小問1詳解】

解：樣本容量是12+20%=60（人），

第四組的人數(shù)是：60-6-12-18-10-4=10（人），

補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖如圖：

18

6

1

n4

2

1

n0

8

6

4

2

O

【小問2詳解】

解：該校學(xué)生“一分鐘跳繩”成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)為1260x^3=294（人）；

60

【小問3詳解】

解：畫樹狀圖：

開始

男男男女

小/K小小

男男女男男女男男女男男男

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽到的2人都是男生的結(jié)果數(shù)為6,

所以抽到的2人都是男生的概率為色=」.

122

【點(diǎn)睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可

能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件：樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識(shí)

點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.還考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計(jì)圖獲

取信息的能力.

21.“一縷清風(fēng)銀葉轉(zhuǎn)”，某市20臺(tái)風(fēng)機(jī)依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風(fēng)葉轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)能

就能轉(zhuǎn)換成電能，造福千家萬戶.某中學(xué)初三數(shù)學(xué)興趣小組，為測(cè)量風(fēng)葉的長度進(jìn)行了實(shí)地

測(cè)量.如圖，三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120°,當(dāng)其中一片風(fēng)葉OB與塔干。。疊合時(shí)，在與

塔底〃水平距離為60米的￡處，測(cè)得塔頂部0的仰角NO。=45。，風(fēng)葉Q4的視角

ZOEA=30°.

(1)已知。，￡兩角和的余弦公式為：cos(2+￡)=cosacos^-sinasinp,請(qǐng)利用

公式計(jì)算cos75°；

(2)求風(fēng)葉Q4的長度.

【答案】(1)戈-6

4

(2)風(fēng)葉Q4的長度為僅OG-60)米

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中公式計(jì)算即可；

(2)過點(diǎn)4作種10E，連接4C，OGLAC,先根據(jù)題意求出OE,再根據(jù)等腰對(duì)等

邊證明OE=AE,結(jié)合第一問的結(jié)論用三角函數(shù)即可求所，再證明四邊形止4G是矩形,

即可求出.

【小問I詳解】

解：由題意可得：cos75°=cos(45°+30°),

cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=x--x—=———；

v'22224

【小問2詳解】

解：過點(diǎn)/作AF1DE，連接AC，OG±AC,如圖所示，

由題意得：?！?60米，NOED=45。,

DE

OE=^^6072p

cosZ45°O米，NDOE=45°,

V

?..三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120°,

二ADOA=120°,

：.ZAOE=120°-45°=75°,

又,:NOH4=30°,

ZOAE=180°-75°-30°=75°,

ZOAE=ZAOE,

OE=AE=60yf2米，

VZOEA=30°,NOED=45。,

：.ZAED=75°,

cos75。=^^!

由（1）得:

4

EF=A￡xcos75°=30G-30米，

￡>F=￡>E-￡F=60T30G-30)=90-30G米，

VAF1DE，OG±AC,OD1DE,

.?.四邊形的G是矩形，

AG=DF=90-30^米，

?.?三片風(fēng)葉兩兩所成的角為120°,且三片風(fēng)葉長度相等,

...NQ4G=30°,

上=小警=僅0匹6。)火

??cos30°百'/米，

T

，風(fēng)葉OA的長度為(6073-60)米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意和作出輔助線是關(guān)鍵.

22.某移動(dòng)公司推出46兩種電話計(jì)費(fèi)方式.

計(jì)費(fèi)方式月使用費(fèi)/元主叫限定時(shí)間/min主叫超時(shí)費(fèi)/(元/min)被叫

A782000.25免費(fèi)

B1085000.19免費(fèi)

(1)設(shè)一個(gè)月內(nèi)用移動(dòng)電話主叫時(shí)間為加in,根據(jù)上表，分別寫出在不同時(shí)間范圍內(nèi)，方

式4方式8的計(jì)費(fèi)金額關(guān)于力的函數(shù)解析式；

(2)若你預(yù)計(jì)每月主叫時(shí)間為350min,你將選擇4,8哪種計(jì)費(fèi)方式，并說明理由；

(3)請(qǐng)你根據(jù)月主叫時(shí)間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計(jì)費(fèi)方式.

【答案】(1)見解析；

(2)選方式B計(jì)費(fèi)，理由見解析；

(3)見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)兩種計(jì)費(fèi)金額分別為必、力，分別計(jì)算f〈200,200VfW500,

t>500,三個(gè)不同范圍內(nèi)的/、6兩種方式的計(jì)費(fèi)金額即可；

(2)令，=350,根據(jù)(1)中范圍求出對(duì)應(yīng)兩種計(jì)費(fèi)金額，選擇費(fèi)用低的方案即可；

(3)令X=108,求出此時(shí)。值務(wù)，當(dāng)主叫時(shí)間時(shí)，方式4省錢；當(dāng)主叫時(shí)間/=為

時(shí)，方式4和6一樣；當(dāng)主叫時(shí)間/>小時(shí)，方式6省錢；

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)兩種計(jì)費(fèi)金額分別為X、為

當(dāng)f4200時(shí)，方式/的計(jì)費(fèi)金額為78元，方式8的計(jì)費(fèi)金額為108元；

200V/W500,方式4的計(jì)費(fèi)金額x=78+("200)x0.25=0.25/+28,方式8的計(jì)費(fèi)金

額為108元；

當(dāng)f>500時(shí)，方式力的計(jì)費(fèi)金額為x=0.25,+28,方式6的計(jì)費(fèi)金額為

%=108+（—500）x0.19=0.19f+13

總結(jié)如下表：

主叫時(shí)間，分鐘方式4計(jì)費(fèi)（%）方式8計(jì)費(fèi)（為）

r<20078108

200VW000.25/+28108

>5000.257+280.19/+13

【小問2詳解】解：當(dāng)￡=350時(shí),x=0.25x350+28=115.5

%=108

弘>>2，故選方式6計(jì)費(fèi).

【小問3詳解】

解：令yW108,有0.257+28W108解得/W320

.?.當(dāng)/<320時(shí)，方式/更省錢；

當(dāng)片320時(shí)，方式1和6金額一樣：

當(dāng)￡>320時(shí)，方式6更省錢.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)在電話計(jì)費(fèi)中的應(yīng)用，根據(jù)題意分段討論是求解的關(guān)鍵.

23.如圖，已知一次函數(shù)）=依+6的圖象與反比例函數(shù)y='（m>0）的圖象交于A（3,4）,

8兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)G將直線A5沿p軸向上平移3個(gè)單位長度后與反比例函數(shù)圖象交

于點(diǎn)D,E.

（2）連接A￡>,CD,求ACD的面積.

7

【答案】（1）k^--.7/2=12；C（9,0）

（2）4co=9

【解析】

【分析】（1）把點(diǎn)A（3,4）代入丫=依+6和y=?〃?>0）求出“、加的值即可；把y=0代

入AB的解析式，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（2）延長D4交x軸于點(diǎn)F,先求出AB平移后的關(guān)系式，再求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，然后求出AD

解析式，得出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，根據(jù)SA。=58-一5^求出結(jié)果即可.

【小問1詳解】

解：把點(diǎn)4（3,4）代入，=履+6和3?=生（加>0）得：

3左+6=4,4=—,

3

2

解得：k=一一,帆二12,

3

212

???A5的解析式為y=-一元+6,反比例函數(shù)解析式為y=一，

3x

2?

把>=。代入>=——x+6得：0=--x+6,

33

解得：x=9,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（9,0）；

【小問2詳解】

解：延長D4交x軸于點(diǎn)尸，如圖所示:

----、----、、A

qF

將直線AB沿y軸向上平移3個(gè)單位長度后解析式

22

y=——x4-6+3=—x+9,

y=--x+9

3

聯(lián)立〈

12

y=-

x2=12

解得：

艮=1

???點(diǎn)唱斗

設(shè)直線AO的解析式為y=%x+4,把。,A（3,4）代入得:

IZ7

—k,+b.=8

<211，

3kl+4=4

\k-_8

解得：\'3,

4=12

8

直線AD的解析式為y=--x+\2,

9

解得：x=-

.??點(diǎn)夕的坐標(biāo)為［|,o

99

...CF

2-2

?q=q-q

,,2ACD-°CDF丁CAF

ax2x8_ix2x4

2222

=9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)解析式，反比例函

數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握待定系數(shù)法，能求出一次函數(shù)和反比例函數(shù)的

交點(diǎn)坐標(biāo).

24.如圖，A8為OO的直徑，C為。。上一點(diǎn)，連接AC,8C,過點(diǎn)。作。。的切線交A8

延長線于點(diǎn)。，OFLBC于點(diǎn)、E,交CD于點(diǎn)、F.

(1)求證：ZBCD=ZBOE；

3

(2)若sinNC48=5，AB=\O,求3。的長.

90

【答案】(1)見解析(2)8D的長為一.

7

【解析】

【分析】(1)連接0C,利用圓周角定理及半徑相等求得NQ4C+NOC6=90°,根據(jù)切

線的性質(zhì)求得ZBCD+ZOCB=ZOCD=：90°,推出NBCD=NOAC,再證明

OE//AC,據(jù)此即可證明結(jié)論成立;

(2)先求得8C=6,AC=8,設(shè)證明利用相似三角形的

性質(zhì)得到9(10+x)=16x,解之即可.

【小問1詳解】

證明：連接OC,

c

A5為。。的直徑,

NACO+NOCB=ZACB=90°,

■：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

/.Z(24C+ZOCB=90o.

???CD是；。的切線，

二次BCD+40cB="CD=90°，

NBCD=NOAC,

?/OF±BC,

/.ZOFB=ZACB=90°，

：.OE//AC,

：.ZBOE=ZOAC,

：./BCD=/BOE；

【小問2詳解】

解：,?,AB為:。的直徑,

ZACfi=90°,

3

VsinZCAB^-,/W=10,

5

sinZCAB=—=-,

AB5

BC-6，AC=>/102-62--8,

設(shè)3Z)=x,則AD=10+x,

由(1)得N8CD=NC4￡>,

又ND=/D，

/.ZXBCD^/\CAD,

_B_C___C__D__B_D_艮nn_6___C__D____x_

"AC~AD~CD'8-l0+x~CD

整理得9（10+x）=16x,

解得x=。，

7

小八90

??3。的長為—.

7

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正弦函數(shù)的定義,

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

25.如圖1,已知線段48,AC，線段AC繞點(diǎn)A在直線A3上方旋轉(zhuǎn)，連接6C,以BC

為邊在8C上方作RtBDC,且NO3C=30°.

（1）若ZBDC=9Q°，以AB為邊在上方作RtZ\A4E,且ZAEB=90°,NEBA=30°,

連接DE，用等式表示線段AC與OE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）如圖2,在（1）的條件下，若DEJ.AB,43=4,AC=2,求3c的長；

（3）如圖3,若NBCD=90°,AB=4，AC=2,當(dāng)AO的值最大時(shí)，求此時(shí)tan/CBA

的值.

【答案】（DAC=Z仆DE

3

（2）BC=2S

⑶B

5

【解析】

【分析】（1）在RtB￡>C中，ZDBC=3Q°，RtAR4E,且以=90。，ZEBA=30°,

ARRF

可得△ABEsACBD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出言；=——,/DBE=/CBA,進(jìn)

BCBD

而證明AABCs^EBD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解;

（2）延長OE交AB于點(diǎn)/，如圖所示，在Rt_AE尸中，求得ER,AR,進(jìn)而求得防的

長，根據(jù)（1）的結(jié)論，得出。E=在Rt_B￡D中，勾股定理求得8。，進(jìn)而根據(jù)

八ABCS&EBD,即可求解.

(3)如圖所示，以AB為邊在A3上方作RtAR4￡,且NE4B=90°,ZEBA=30°,

連接BE,E4，ED,EC,同(1)可得，3E>￡SBC4,進(jìn)而得出。在以￡為圓心，逑

3

為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A,E,O三點(diǎn)共線時(shí)，的值最大，進(jìn)而求得COSN8D4=R7

7

/TT

sinNBDA=上，根據(jù)△ABCs"BD得出ZBDE=ZBCA，過點(diǎn)A作AF1BC,

7

于點(diǎn)F，分別求得ARCR,然后求得BF，最后根據(jù)正切的定義即可求解.

【小問1詳解】

解：在RtBDC中,ZDBC=3Q°,RtAfi4￡,且NA￡B=90°,NEBA=30°,

AABESACBD,ZDBE+NEBC=ZABC+NEBC,

BE=ABxcosNABE^—AB

2

ABBE

--=—,ADBE=NCBA,

BCBD

：.AABCS^EBD

ACAB_AB_2^

——AB

2

/.AC=26*

3

故答案為：AC^-yf3DE.

3

【小問2詳解】

VRtAA4￡,RZAEB=90°,ZEBA=30°,AB=4

AAE=ABsinZEBA=-AB=2,NS4￡=60。，

2

延長DE交AB于點(diǎn)F,如圖所示，

D

,/DEYAB，

/.4BFD=NDFA=W,

二在Rt_AER中，EF=AExsinZBAE=^-x2=y/3>AF=^AE=1,

：.BF=AB-AF=4-1^3,

由（1）可得AC=2&DE,

3

???DE=LAC=6

2

；?DF=DE+EF=26

在Rt6FD中，BD=yjBF2+DF2=J32+（2^=721，

AABCS&EBD,

.BCAC2V3

"~BD~~DE~~T'

，BC=—xV21=2V7，

3

BC=2A/7；

【小問3詳解】

解：如圖所示，以AB為邊在4?上方作RtZ\R4E,且/E4B=90°,ZEBA=30°,連

接BE,EA，ED,EC,

則”一些一型

ACBC3

:AC=2,則?！?皿工

3

在Rt.iAEB中，A8=4，AE-ABxtanZ.EBA=4x——=

33

...￡＞在以E為圓心，上叵為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),

3

當(dāng)點(diǎn)AE,。三點(diǎn)共線時(shí)，AO的值最大，此時(shí)如圖所示，則AO=AE+0E=M

3

D

在Rt^MO中，8。=〃笈+4。242+

873

Afi_4_V21

4/)丁277sin/BDA

cosZBDA=——BD—4721—7

BD47217

3

3

■:AABCS^EBD,

...ZBDE=ABCA,

過點(diǎn)A作Ab1,于點(diǎn)F，

???CF=ACxcos4ACB=2乂過~=氈-AFACxsinZACB==^-

777

?；Z￡)BC=30°,

/.BC=BBD=BX^^-=2幣,

223

/?BF=BC-CF=2yH-^-=^^-

77

RtA必中，tanZCBA=^~=

FB10V75

7

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求

圓外一點(diǎn)到圓的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

26.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y=o?+法+4的圖象與x軸交于點(diǎn)

A（-2,0）,8（4,0）,與I軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知￡；為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線對(duì)稱軸/上一點(diǎn)，以B,E，尸為頂點(diǎn)的三角形

是等腰直角三角形，且乙"E=90。，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）如圖2，P為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AP交＞軸于點(diǎn)M，連接3P并延長交）

軸于點(diǎn)N,在點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)過程中，OM+'ON是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，

2

請(qǐng)說明理由.

1,

【答案】（1）y——x~+x+4

-2

（2）尸（1,1）或尸（1,一5）或尸（1,一3）

（3）OM+-ON^6,理由見解析

2

【解析】

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,設(shè)/與x交于點(diǎn)G,過點(diǎn)￡作于點(diǎn)。，

證明Gg.GBf,設(shè)/（［，加），則?！?1+m，DG=DF+FG=GB+FG=3+m,

進(jìn)而得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得〃？的值，同理可求得當(dāng)點(diǎn)尸在x軸下方時(shí)

的坐標(biāo)；當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求解；

（3）設(shè)尸（S"）,直線"的解析式為丁=公+/,3P的解析式為y=gx+〃，求得解析

式，然后求得OM,ON,即可求解.

【小問1詳解】

解:將點(diǎn)4(-2,0),8(4,0),代入/=加+法+4

4a—2Z?+4=0

得4

16。+4"4=0

解得：＜a=~2,

b=l

拋物線解析式為y=--x2+x+4：

【小問2詳解】

?.?點(diǎn)4(-2,0),8(4,0),

-2+4